專題08 平面向量小題全面梳理與精細(xì)分類（練習(xí)）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練（新高考通用）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

題型一：平面向量基本定理及其應(yīng)用
1．（2024·山東濱州·二模）在中，為的重心，為上一點(diǎn)，且滿足，則（）
A．B．
C．D．
2．在中，若是的內(nèi)心，的延長線交于，則有稱之為三角形的內(nèi)角平分線定理，現(xiàn)已知，，且，則實(shí)數(shù)（）
A．B．C．D．
3．在平行四邊形中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且滿足，記，則（）
A．B．
C．D．
題型二：平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用
4．在中，點(diǎn)滿足，直線與交于點(diǎn)，則的值為（）
A．B．C．D．
5．（2024·高三·江蘇南通·期中）在中，，，，.若，則（）
A．B．C．D．
6．（2024·高三·安徽亳州·期中）在中，，，與交于點(diǎn)，且，則（）
A．B．C．D．1
題型三：平面向量的數(shù)量積
7．如圖，在中，兩直角邊，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為斜邊AB的三等分點(diǎn)，則 .
8．在邊長為1的正中，，則的值等于．
9．已知菱形的邊長為 2，且，若點(diǎn) 滿足，則 .
題型四：平面向量的模與夾角
10．已知，且，則 .
11．已知向量的夾角為，則 .
12．若是夾角為的兩個單位向量，則與的夾角為 .
題型五：等和線問題
13．四邊形是正方形，延長至點(diǎn)，使得，若為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上移動（包含端點(diǎn)），設(shè)，求的取值范圍．
14．（2024·湖南常德·一模）如圖，四邊形是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運(yùn)動一周回到A點(diǎn)，，則的取值范圍為．
15．在如圖所示的直角梯形中，為梯形內(nèi)一動點(diǎn)，且，若，則的最大值為 .
題型六：極化恒等式
16．已知圓O的半徑為2，A，B是圓O上兩點(diǎn)，且，是圓O的一條直徑，若動點(diǎn)P滿足(，)，且，則的最小值為 .
17．如圖，在中，是的中點(diǎn)，，是上的兩個三等分點(diǎn)，，則的值是 .
18．（2024·高三·上海松江·期末）已知點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)，為圓的任意一條直徑，則的取值范圍是．
題型七：矩形大法
19．設(shè)向量，，滿足，，，則的最小值是（）
A．B．C．D．1
20．（2023·河北石家莊·高三階段練習(xí)）已知向量，，滿足，，若，則的最大值是．
題型八：平面向量范圍與最值問題
21．設(shè)都是單位向量，且，則的最小值為．
22．已知，，為平面向量，如果，，，則的最小值為 .
23．（2024·上海崇明·一模）已知不平行的兩個向量滿足，．若對任意的，都有成立，則的最小值等于．
題型九：等差線、等商線問題
24．（2023·全國·高三專題練習(xí)）給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動，若，其中x、.則的最大值為；的取值范圍是 .
25．（2023·高一單元測試）如圖，在中，，，，若延長CB到點(diǎn)D，使，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動時，設(shè)，當(dāng)取最大值時，的值是 .
26．（2023·山東濰坊·高三開學(xué)考試）在中，點(diǎn)D滿足，當(dāng)點(diǎn)E在射線AD（不含點(diǎn)A）上移動時，若，則的最小值為．
題型十：奔馳定理與向量四心
27．奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，，，的面積分別為，，，則.“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個定理對應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.設(shè)為三角形內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：，則（）
A．B．C．D．
28．在中，，，是的外心，則的最大值為（）
A．2B．
C．D．4
29．若的三邊為a，b，c，有，則是的（）
A．外心B．內(nèi)心
C．重心D．垂心
題型十一：阿波羅尼斯圓問題
30．（2024·高三·上海閔行·開學(xué)考試）阿波羅尼斯證明過這樣一個命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為3，動點(diǎn)滿足，則的范圍為 .
31．已知平面向量滿足，且，則的最小值為（）
A．B．C．D．
32．（2024·高三·山東日照·期中）已知平面向量，，滿足⊥，且，，則的最小值為（）
A．B．C．D．
題型十二：平行四邊形大法
33．（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知為單位向量，平面向量，滿足，的取值范圍是____.
重難點(diǎn)突破：向量對角線定理
34．在平面四邊形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是邊AD、BC的中點(diǎn)，且AB=1，EF=,CD=，若，則的值為（）
A．13B．14C．15D．16
35．在四邊形中，點(diǎn)分別是邊的中點(diǎn)，設(shè)，.若，，，則（）
A．B．
C．D．
36．在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點(diǎn)，設(shè)，，若，，，則xy的最小值為．
1．如圖，邊長為的等邊，動點(diǎn)在以為直徑的半圓上.若，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
2．已知平面向量，，則在上的投影向量為（）．
A．B．C．D．
3．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（）
A．B．C．3D．7
4．已知△ABC是邊長為1的正三角形，是BN上一點(diǎn)且，則（）
A．B．C．D．1
5．如圖，在中，點(diǎn)，分別在，邊上，且，，點(diǎn)為中點(diǎn)，則（）
A．B．C．D．
6．已知，為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為（）
A．B．C．D．
7．點(diǎn)P在邊長為1的正三角形的外接圓上，則的最大值為（）
A．B．C．D．
8．在半徑為2的圓上任取三個不同的點(diǎn)且，則的最大值為（）
A．B．C．D．
9．（多選題）如圖，是邊長為的等邊三角形，，點(diǎn)在以為直徑的半圓上（含端點(diǎn)），設(shè)，則（）
A．的值不可能大于B．
C．的最小值為D．的最大值為1
10．（多選題）若等邊三角形的邊長為為的中點(diǎn)，且交于點(diǎn)，則下列說法正確的是（）
A．當(dāng)時，
B．若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則
C．為定值
D．的最小值為
11．（多選題）已知為的外心，，則（）
A．與不共線B．與垂直
C．D．
12．（多選題）如圖，已知中，，，是的中點(diǎn)，動點(diǎn)在以為直徑的半圓弧上.則（）
A．
B．最小值為-2
C．在上的投影向量為
D．若的最大值為
13．已知平面向量滿足：，，且對任意的單位向量滿足，則的最大值為 .（用含的式子表示）
14．在平行四邊形中，，，點(diǎn)在邊上，滿足，則向量在向量上的投影向量為（請用表示）；若，點(diǎn)，分別為線段，上的動點(diǎn)，滿足，則的最小值為．
15．已知點(diǎn)O，A，B，C均在同一平面內(nèi)，，，，當(dāng)取最大值時，．
16．在四邊形中，，，，，，分別為線段、的中點(diǎn)，若設(shè)，，則可用，表示為； .
17．如圖，在平面四邊形中，，則 .
目錄
TOC \ "1-2" \h \z \u \l "_Tc187072972" 01 模擬基礎(chǔ)練 PAGEREF _Tc187072972 \h 2
\l "_Tc187072973" 題型一：平面向量基本定理及其應(yīng)用 PAGEREF _Tc187072973 \h 2
\l "_Tc187072974" 題型二：平面向量共線的充要條件及其應(yīng)用 PAGEREF _Tc187072974 \h 3
\l "_Tc187072975" 題型三：平面向量的數(shù)量積 PAGEREF _Tc187072975 \h 3
\l "_Tc187072976" 題型四：平面向量的模與夾角 PAGEREF _Tc187072976 \h 4
\l "_Tc187072977" 題型五：等和線問題 PAGEREF _Tc187072977 \h 4
\l "_Tc187072978" 題型六：極化恒等式 PAGEREF _Tc187072978 \h 4
\l "_Tc187072979" 題型七：矩形大法 PAGEREF _Tc187072979 \h 5
\l "_Tc187072980" 題型八：平面向量范圍與最值問題 PAGEREF _Tc187072980 \h 5
\l "_Tc187072981" 題型九：等差線、等商線問題 PAGEREF _Tc187072981 \h 6
\l "_Tc187072982" 題型十：奔馳定理與向量四心 PAGEREF _Tc187072982 \h 6
\l "_Tc187072983" 題型十一：阿波羅尼斯圓問題 PAGEREF _Tc187072983 \h 7
\l "_Tc187072984" 題型十二：平行四邊形大法 PAGEREF _Tc187072984 \h 8
\l "_Tc187072985" 重難點(diǎn)突破：向量對角線定理 PAGEREF _Tc187072985 \h 8
\l "_Tc187072986" 02 重難創(chuàng)新練 PAGEREF _Tc187072986 \h 8