小題專練08立體幾何(B)一、單項(xiàng)選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.(考點(diǎn):空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算,★)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值是(    ).A.1   B.   C.   D.2.(考點(diǎn):圓柱的體積,★★)已知圓柱的高為1,側(cè)面積為4π,則這個(gè)圓柱的體積為(    ).A.π B.2π C.3π D.4π3.(考點(diǎn):點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,★★)已知存在直線l,m與平面α,β,其中l?α,m?β,則下列命題中正確的是(    ).A.若l∥m,則必有α∥βB.若l⊥m,則必有α⊥βC.若l⊥β,則必有α⊥βD.若α⊥β,則必有m⊥α4.(考點(diǎn):圓錐的側(cè)面積,★★)若一個(gè)圓錐的軸截面為正三角形,其邊長(zhǎng)為a,則其表面積為(    ).A.a2π B.a2π C.a2π D.a2π5.(考點(diǎn):圓臺(tái)基本量的運(yùn)算,★★)已知圓臺(tái)的兩個(gè)底面面積之比為4∶9,母線與底面的夾角是60°,軸截面的面積為180,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l=(    ).A.12 B.12 C.6 D.66.(考點(diǎn):球內(nèi)接多面體的體積計(jì)算,★★)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為(    ).A. B.C. D.7.(考點(diǎn):異面直線所成的角,★★)如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°, E為BB'的中點(diǎn),異面直線CE與C'A所成角的余弦值是(    ).A. B.- C. D.-8.(考點(diǎn):三棱錐的外接球的求法,★★★)如圖,平面四邊形ACBD中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC=,現(xiàn)將△ABD沿AB翻折,使點(diǎn)D移動(dòng)至點(diǎn)P,且PA⊥AC,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(    ).A.8π B.6π C.4π D.π二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分.9.(考點(diǎn):圓柱的基本運(yùn)算,★★)用一張長(zhǎng)為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面,則相應(yīng)圓柱的底面半徑可能是(    ).A. B. C. D.10.(考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積,★★)如圖所示,△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AC=3,BC=4,AB=5.下列說法正確的是(    ).A.以BC所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為15πB.以BC所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為36πC.以AC所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為25πD.以AC所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為16π11.(考點(diǎn):立體幾何中的翻折問題,★★★)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,將△ABD沿對(duì)角線BD折起.設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A',并且平面A'BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論中正確的是(    ).A.A'D⊥BCB.三棱錐A'-BCD的體積為C.CD⊥平面A'BDD.平面A'BC⊥平面A'DC12.(考點(diǎn):立體幾何的綜合運(yùn)用,★★★)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別為線段B1D1,BC1上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(    ).A.DB1⊥平面ACD1B.平面A1C1B∥平面ACD1C.點(diǎn)F到平面ACD1的距離為D.直線AE與平面BB1D1D所成角的正弦值為三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(考點(diǎn):圓錐的有關(guān)計(jì)算,★★)已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是4,側(cè)面積是4π,則該圓錐的高為        . 14.(考點(diǎn):求球的表面積,★★)已知一平面截球O所得截面圓的半徑為1,且球心到截面圓所在平面的距離為2,則球O的表面積為        . 15.(考點(diǎn):三棱錐的外接球,★★)已知在三棱錐P-ABC中,PA=PC=2,BA=BC=1,∠ABC=90°,若PA與底面ABC所成的角為60°,則點(diǎn)P到底面ABC的距離是        ;三棱錐P-ABC的外接球的表面積為        . 16.(考點(diǎn):平面與平面所成的角,★★★)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E為CD的中點(diǎn).將△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到幾何體D-ABCE.則平面ABCE與平面CDE所成角的余弦值為        .      答案解析：1.(考點(diǎn):空間向量坐標(biāo)的運(yùn)算,★)已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),且ka+b與2a-b互相垂直,則k的值是(    ).A.1 B. C. D.【解析】由題意可得(ka+b)·(2a-b)=0,即(k-1,k,2)·(3,2,-2)=0,故3k-3+2k-4=0,所以k=.【答案】D2.(考點(diǎn):圓柱的體積,★★)已知圓柱的高為1,側(cè)面積為4π,則這個(gè)圓柱的體積為(    ).A.π B.2π C.3π D.4π【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r,根據(jù)圓柱的側(cè)面積公式得2πr×1=4π,所以r=2,則圓柱的體積V=πr2h=π×22×1=4π.【答案】D3.(考點(diǎn):點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系,★★)已知存在直線l,m與平面α,β,其中l?α,m?β,則下列命題中正確的是(    ).A.若l∥m,則必有α∥βB.若l⊥m,則必有α⊥βC.若l⊥β,則必有α⊥βD.若α⊥β,則必有m⊥α【解析】對(duì)于選項(xiàng)A,平面α和平面β還有可能相交,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)B,平面α和平面β還有可能相交或平行,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤;對(duì)于選項(xiàng)C,因?yàn)?/span>l?α,l⊥β,所以α⊥β,故選項(xiàng)C正確;對(duì)于選項(xiàng)D,直線m不一定和平面α垂直,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.【答案】C4.(考點(diǎn):圓錐的側(cè)面積,★★)若一個(gè)圓錐的軸截面為正三角形,其邊長(zhǎng)為a,則其表面積為(    ).A.a2π B.a2π C.a2π D.a2π【解析】由題意可知圓錐的母線長(zhǎng)l=a,底面半徑r=,∴圓錐的表面積S=πr(r+l)=π··=a2π.【答案】C5.(考點(diǎn):圓臺(tái)基本量的運(yùn)算,★★)已知圓臺(tái)的兩個(gè)底面面積之比為4∶9,母線與底面的夾角是60°,軸截面的面積為180,則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)l=(    ).A.12 B.12 C.6 D.6【解析】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為2r,則其下底面半徑為3r,依題意可作圓臺(tái)的軸截面如圖所示,其中DE⊥AB,CF⊥AB.∵∠DAE=∠CBF=60°,∴DE=AE=r.∴軸截面面積S=(DC+AB)·DE=5r2=180,解得r=6,∴母線長(zhǎng)l=AD=2AE=2r=12.【答案】B6.(考點(diǎn):球內(nèi)接多面體的體積計(jì)算,★★)已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上,△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形,SC為球O的直徑,且SC=2,則此棱錐的體積為(    ).A. B.C. D.【解析】△ABC的外接圓的半徑r=,球O的半徑R=SC=,故點(diǎn)O到平面ABC的距離d==.又SC為球O的直徑,所以點(diǎn)S到平面ABC的距離為2d=.故此棱錐的體積為V=S△ABC×2d=××2×2××=.【答案】A7.(考點(diǎn):異面直線所成的角,★★)如圖,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=90°,E為BB'的中點(diǎn),異面直線CE與C'A所成角的余弦值是(    ).A. B.- C. D.-【解析】依題意,以C為原點(diǎn),CA,CB,CC'所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AC=BC=AA'=2,則C(0,0,0),E(0,2,1),C'(0,0,2),A(2,0,0),故=(0,2,1),=(2,0,-2).設(shè)異面直線CE與C'A所成的角為θ,則cos θ===,所以異面直線CE與C'A所成角的余弦值為.【答案】A8.(考點(diǎn):三棱錐的外接球的求法,★★★)如圖,平面四邊形ACBD中,AB⊥BC,AB⊥DA,AB=AD=1,BC=,現(xiàn)將△ABD沿AB翻折,使點(diǎn)D移動(dòng)至點(diǎn)P,且PA⊥AC,則三棱錐P-ABC的外接球的表面積為(    ).A.8π B.6π C.4π D.π【解析】由DA⊥AB,翻折后得到PA⊥AB,又PA⊥AC,AB∩AC=A,則PA⊥平面ABC,可知PA⊥BC.又因?yàn)?/span>AB⊥BC,PA∩AB=A,則BC⊥平面PAB,于是BC⊥PB,因此三棱錐P-ABC的外接球球心是PC的中點(diǎn).計(jì)算可得CP==2,則外接球半徑為1,所以外接球的表面積為4π.【答案】C二、多項(xiàng)選擇題:本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得3分,有選錯(cuò)的得0分.9.(考點(diǎn):圓柱的基本運(yùn)算,★★)用一張長(zhǎng)為8,寬為4的矩形硬紙卷成圓柱的側(cè)面,則相應(yīng)圓柱的底面半徑可能是(    ).A. B. C. D.【解析】設(shè)底面半徑為r,若矩形的長(zhǎng)恰好為圓柱的底面周長(zhǎng),則2πr=8,所以r=;同理,若矩形的寬恰好為圓柱的底面周長(zhǎng),則2πr=4,所以r=.故圓柱的底面半徑為或.【答案】AD10.(考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)體的體積和表面積,★★)如圖所示,△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AC=3,BC=4,AB=5.下列說法正確的是(    ).A.以BC所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為15πB.以BC所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為36πC.以AC所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積為25πD.以AC所在直線為軸,將此三角形旋轉(zhuǎn)一周,所得旋轉(zhuǎn)體的體積為16π【解析】以BC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),所得旋轉(zhuǎn)體為底面半徑為3,母線長(zhǎng)為5,高為4的圓錐,側(cè)面積為π×3×5=15π,體積為×π×32×4=12π,所以A正確,B錯(cuò)誤;以AC所在直線為軸旋轉(zhuǎn)時(shí),所得旋轉(zhuǎn)體為底面半徑為4,母線長(zhǎng)為5,高為3的圓錐,側(cè)面積為π×4×5=20π,體積為×π×42×3=16π,所以C錯(cuò)誤,D正確.【答案】AD11.(考點(diǎn):立體幾何中的翻折問題,★★★)如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,∠BCD=45°,將△ABD沿對(duì)角線BD折起.設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A',并且平面A'BD⊥平面BCD,則下列結(jié)論中正確的是(    ).A.A'D⊥BCB.三棱錐A'-BCD的體積為C.CD⊥平面A'BDD.平面A'BC⊥平面A'DC【解析】如圖所示,取E為BD的中點(diǎn),連接A'E,因?yàn)?/span>AD∥BC,AD=AB=1,AD⊥AB,得到∠DBC=∠ADB=45°,又∠BCD=45°,所以△BCD為等腰直角三角形.因?yàn)槠矫?/span>A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD,CD⊥BD,所以CD⊥平面A'BD,故C正確;E為BD的中點(diǎn),A'E⊥BD,則A'E⊥平面BCD,所以A'E⊥BC,如果A'D⊥BC,那么可得到BC⊥平面A'BD,故BC⊥BD,與已知矛盾,故A錯(cuò)誤;三棱錐A'-BCD的體積V=××××=,故B錯(cuò)誤;在直角三角形A'CD中,A'C2=CD2+A'D2,所以A'C=,在三角形A'BC中,A'B=1,BC=2,A'C=,滿足BC2=A'B2+A'C2,所以BA'⊥CA'.又BA'⊥DA',CA'∩DA'=A',所以BA'⊥平面A'DC.又BA'?平面A'BC,所以平面A'BC⊥平面A'DC,故D正確.【答案】CD12.(考點(diǎn):立體幾何的綜合運(yùn)用,★★★)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F分別為線段B1D1,BC1上的動(dòng)點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是(    ).A.DB1⊥平面ACD1B.平面A1C1B∥平面ACD1C.點(diǎn)F到平面ACD1的距離為D.直線AE與平面BB1D1D所成角的正弦值為【解析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD,AA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由題意知,A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),A1(0,0,1),B1(1,0,1),C1(1,1,1),D1(0,1,1),設(shè)E(x,y,1),=λ,即(x-1,y,0)=(-λ,λ,0),∴E(1-λ,λ,1),設(shè)F(1,y',z'),=μ,即(0,y',z')=(0,μ,μ),∴F(1,μ,μ).對(duì)于A項(xiàng),∵=(1,-1,1),=(1,1,0),=(0,1,1),∴∴DB1⊥AC,DB1⊥AD1.又AC,AD1?平面ACD1,AC∩AD1=A,∴DB1⊥平面ACD1,故A正確;對(duì)于B項(xiàng),∵DB1⊥平面ACD1,∴=(1,-1,1)為平面ACD1的一個(gè)法向量,∵=(1,1,0),=(1,0,-1),∴∴DB1⊥A1C1,DB1⊥A1B.又A1C1,A1B?平面A1C1B,A1C1∩A1B=A1,∴DB1⊥平面A1C1B,∴平面A1C1B∥平面ACD1,故B正確;對(duì)于C項(xiàng),∵=(1,μ,μ),∴點(diǎn)F到平面ACD1的距離d===,故C正確;對(duì)于D項(xiàng),∵幾何體為正方體,∴AC⊥平面BB1D1D,∴=(1,1,0)是平面BB1D1D的一個(gè)法向量,又=(1-λ,λ,1),設(shè)直線AE與平面BB1D1D所成的角為θ,則sin θ==,故D錯(cuò)誤.【答案】ABC三、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分.13.(考點(diǎn):圓錐的有關(guān)計(jì)算,★★)已知一個(gè)圓錐的母線長(zhǎng)是4,側(cè)面積是4π,則該圓錐的高為        . 【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l,底面半徑為r,高為h,由題意得l=4,πrl=4π,解得r=1,所以h==.【答案】14.(考點(diǎn):求球的表面積,★★)已知一平面截球O所得截面圓的半徑為1,且球心到截面圓所在平面的距離為2,則球O的表面積為        . 【解析】作出對(duì)應(yīng)的截面圖,如圖所示.∵截面圓的半徑為1,∴BC=1.∵球心O到截面圓所在平面的距離為2,∴OC=2.設(shè)球的半徑為R.在Rt△OCB中,OB2=OC2+BC2=5.即R2=5,∴該球的表面積為4πR2=20π.【答案】20π15.(考點(diǎn):三棱錐的外接球,★★)已知在三棱錐P-ABC中,PA=PC=2,BA=BC=1,∠ABC=90°,若PA與底面ABC所成的角為60°,則點(diǎn)P到底面ABC的距離是        ;三棱錐P-ABC的外接球的表面積為        . 【解析】將三棱錐P-ABC置于長(zhǎng)方體中(如圖所示),其中PP1⊥平面ABC,由PA與底面ABC所成的角為60°,可得PP1=,即點(diǎn)P到底面ABC的距離為.由△PP1A≌△PP1C,得P1A=P1C=1,由圖可知,PB是長(zhǎng)方體外接球的直徑,也就是三棱錐P-ABC外接球的直徑,所以球的表面積為4π·=5π.【答案】  5π16.(考點(diǎn):平面與平面所成的角,★★★)如圖,在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,E為CD的中點(diǎn).將△ADE沿AE折起,使平面ADE⊥平面ABCE,得到幾何體D-ABCE.則平面ABCE與平面CDE所成角的余弦值為        . 【解析】如圖,以B為坐標(biāo)原點(diǎn),BC,BA所在直線分別為x軸,y軸,過點(diǎn)B與平面ABCE垂直的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則B(0,0,0),C(1,0,0),A(0,2,0),E(1,1,0),D.設(shè)向量n=(x0,y0,1)為平面CDE的一個(gè)法向量,則n⊥,n⊥,即n·=0,n·=0.∵=(0,1,0),=,∴x0=,y0=0,即n=(,0,1).又平面ABCE的一個(gè)法向量為m=(0,0,1),∴cos<n,m>===.∴平面ABCE與平面CDE所成角的余弦值為.【答案】 

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