(1)任何兩個(gè)基本事件是互斥的；
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2、由于是一個(gè)必然事件，再加上，故，這個(gè)公式很有用，?？墒垢怕实挠?jì)算得到簡(jiǎn)化．當(dāng)直接求某一事件的概率較為復(fù)雜時(shí)，可轉(zhuǎn)化去求其對(duì)立事件的概率
3、事件的分類
4、事件的關(guān)系與運(yùn)算
5、古典概型
具有以下兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型，簡(jiǎn)稱古典概型．
(1)所有的基本事件只有有限個(gè)；
(2)每個(gè)基本事件的發(fā)生都是等可能的．
6、如果1試驗(yàn)的等可能基本事件共有n個(gè)，那么每一個(gè)等可能基本事件發(fā)生的概率都是eq \f(1,n)，如果某個(gè)事件A包含了其中m個(gè)等可能基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝eq \f(m,n)．
7、古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的個(gè)數(shù),基本事件的總數(shù))．
8、相互獨(dú)立事件
(1)概念：對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立.
(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq \(B,\s\up6(－))__，eq \(A,\s\up6(－))與B，eq \(A,\s\up6(－))與eq \(B,\s\up6(－))也都相互獨(dú)立.
1、（2023?上海）為了學(xué)習(xí)宣傳黨的二十大精神，某校學(xué)生理論宣講團(tuán)赴社區(qū)宣講，已知有4名男生，6名女生，從10人中任選3人，則恰有1名男生2名女生的概率為 ．
【答案】0.5．
【解析】從10人中任選3人的事件個(gè)數(shù)為，
恰有1名男生2名女生的事件個(gè)數(shù)為，
則恰有1名男生2名女生的概率為．
故答案為：0.5．
2、（2022?上海）為了檢測(cè)學(xué)生的身體素質(zhì)指標(biāo)，從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，則每一類都被抽到的概率為 ．
【答案】．
【解析】從游泳類1項(xiàng)，球類3項(xiàng)，田徑類4項(xiàng)共8項(xiàng)項(xiàng)目中隨機(jī)抽取4項(xiàng)進(jìn)行檢測(cè)，
則每一類都被抽到的方法共有種，
而所有的抽取方法共有種，
故每一類都被抽到的概率為，
故答案為：．
3、（2022?甲卷（理））從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率為 ．
【答案】．
【解析】根據(jù)題意，從正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任選4個(gè)，有種取法，
若這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面，有底面2個(gè)和側(cè)面4個(gè)、對(duì)角面6個(gè)，一共有12種情況，
則這4個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)平面的概率；
故答案為：．
4、（2022?新高考Ⅰ）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為
A．B．C．D．
【答案】
【解析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)共有種方式，
其中互質(zhì)的有：23，25，27，34，35，37，38，45，47，56，57，58，67，78，共14種，
故所求概率為．
故選：．
5、（2023?天津）甲、乙、丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為，，．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為 ；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為 ．
【答案】；．
【解析】設(shè)盒子中共有球個(gè)，
則甲盒子中有黑球個(gè)，白球個(gè)，
乙盒子中有黑球個(gè)，白球個(gè)，
丙盒子中有黑球個(gè)，白球個(gè)，
從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為；
將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率．
故答案為：；
6、（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為（ ）
A．0.3B．0.5C．0.6D．0.8
【答案】C
【解析】：將3個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可以是：
，
共10種排法，
其中2個(gè)0不相鄰的排列方法為：
，
共6種方法，
故2個(gè)0不相鄰的概率為，
故選：C.
7、（2018年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)）我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，
隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，
因?yàn)椋噪S機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種方法，
故所求概率為，故選C．
8、(2019·全國(guó)卷Ⅰ)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“——”和陰爻“— —”，右圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是( )
A.eq \f(5,16) B.eq \f(11,32)
C.eq \f(21,32) D.eq \f(11,16)
【答案】A
【解析】重卦是由從下到上排列的6個(gè)爻組成，而爻有“陽(yáng)爻”和“陰爻”兩種，故所有的重卦共有26＝64種．重卦中恰有3個(gè)“陽(yáng)爻”的共有Ceq \\al(3,6)×Ceq \\al(3,3)＝20種．故所求概率P＝eq \f(20,64)＝eq \f(5,16)，故選A.
1、擲兩顆均勻的骰子，則點(diǎn)數(shù)之和為5的概率等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】： B
【解析】擲兩顆均勻的骰子的所有基本事件有種，點(diǎn)數(shù)之和為5的有4中，
所以所求概率為．
2、2019年中國(guó)北京世界園藝博覽會(huì)于4月29日至10月7日在北京市延慶區(qū)舉辦．如果小明從中國(guó)館、國(guó)際館、植物館、生活體驗(yàn)館四個(gè)展館中隨機(jī)選擇一個(gè)進(jìn)行參觀，那么他選擇的展館恰為中國(guó)館的概率為( )

A. eq \f(1,2) B. eq \f(1,4) C. eq \f(1,8) D. eq \f(1,16)
【答案】B
【解析】 可能出現(xiàn)的選擇有4種，滿足條件要求的種數(shù)為1種，則P＝eq \f(1,4).故選B.
3、如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)．從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為( )
A. eq \f(1,10) B. eq \f(1,5) C. eq \f(3,10) D. eq \f(1,20)
【答案】A
【解析】 從1，2，3，4，5中任取3個(gè)不同的數(shù)的基本事件為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，3))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，2，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，3，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，4，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3，4))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，4，5))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4，5))，共10個(gè)，其中滿足勾股數(shù)的只有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，4，5))，共1個(gè)，∴所求概率p＝eq \f(1,10).故選A.
4、（多選）（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）有甲、乙兩種報(bào)紙供市民訂閱，記事件E為“只訂甲報(bào)紙”，事件F為“至少訂一種報(bào)紙”，事件G為“至多訂一種報(bào)紙”，事件H為“不訂甲報(bào)紙”，事件I為“一種報(bào)紙也不訂”，下列命題正確的是（ ）
A．E與G是互斥事件
B．F與I是互斥事件，且是對(duì)立事件
C．F與G不是互斥事件
D．G與I是互斥事件
【答案】BC
【解析】對(duì)于A選項(xiàng)，、事件有可能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件；
對(duì)于B選項(xiàng)，與不可能同時(shí)發(fā)生，且發(fā)生的概率之和為1，是互斥事件，且是對(duì)立事件；
對(duì)于C選項(xiàng)，與可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件；
對(duì)于D選項(xiàng)，與也可以同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件.
故選：BC.
考向一 隨機(jī)事件的概率與頻率
例1、某險(xiǎn)種的基本保費(fèi)為a(單位：元)，繼續(xù)購(gòu)買該險(xiǎn)種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險(xiǎn)次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：
隨機(jī)調(diào)查了該險(xiǎn)種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險(xiǎn)情況，得到如下統(tǒng)計(jì)表：
(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)不高于基本保費(fèi)”，求P(A)的估計(jì)值；
(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費(fèi)高于基本保費(fèi)但不高于基本保費(fèi)的160%”，求P(B)的估計(jì)值；
(3)求續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值．
【解析】 (1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)小于2的頻率為eq \f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估計(jì)值為0.55.
(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4，由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險(xiǎn)次數(shù)大于1且小于4的頻率為eq \f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估計(jì)值為0.3.
(3)由所給數(shù)據(jù)得
調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費(fèi)為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.
∴續(xù)保人本年度平均保費(fèi)的估計(jì)值為1.192 5a.
變式1、某超市計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完．根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位：℃)有關(guān)．如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶．為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：
以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率估計(jì)最高氣溫位于該區(qū)間的概率．
(1)估計(jì)六月份這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率；
(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y(單位：元)．當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，寫出Y的所有可能值，并估計(jì)Y大于零的概率．
【解析】：(1)這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶，當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫低于25 ℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫低于25 ℃的頻率為eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6，所以這種酸奶一天的需求量不超過(guò)300瓶的概率的估計(jì)值為0.6.
(2)當(dāng)這種酸奶一天的進(jìn)貨量為450瓶時(shí)，
若最高氣溫不低于25 ℃，則Y＝6×450－4×450＝900；
若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高氣溫低于20 ℃，則Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以Y的所有可能值為900,300，－100，
Y大于零當(dāng)且僅當(dāng)最高氣溫不低于20 ℃，由表格數(shù)據(jù)知，最高氣溫不低于20 ℃的頻率為eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8，因此Y大于零的概率的估計(jì)值為0.8.
方法總結(jié)： (1)解題的關(guān)鍵是根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖表分析滿足條件的事件發(fā)生的頻數(shù)，計(jì)算頻率，用頻率估計(jì)概率．
(2)頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)(概率)，所以有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．
考向二 古典概型的概率問(wèn)題
例2、先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求：(1) 點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)的概率；
(2) 點(diǎn)數(shù)之和大于5且小于10的概率．
【解析】 從圖中容易看出，基本事件與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，共36種．
(1) 記“點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)”的事件為A，從圖中可以看出，事件A包含的基本事件共有9個(gè)：(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)，所以P(A)＝ eq \f(1,4).
(2) 記“點(diǎn)數(shù)之和大于5且小于10”的事件為B，從圖中可以看出，事件B包含的基本事件共有20個(gè)(已用虛線圈出)，所以P(B)＝ eq \f(20,36)＝ eq \f(5,9).
變式1、先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，求：(1) 點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)的概率；
(2) 出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)的概率；
(3) 點(diǎn)數(shù)之和能被3整除的概率．
【解析】 如圖，從圖中容易看出基本事件與所描點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，共36種．
(1) 記“點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn)7點(diǎn)”為事件A，從圖中可以看出，事件A包含的基本事件共有6個(gè)：(6，1)，(5，2)，(4，3)，(3，4)，(2，5)，(1，6)，故P(A)＝ eq \f(6,36)＝ eq \f(1,6).
(2) 記“出現(xiàn)兩個(gè)4點(diǎn)”為事件B，從圖中可以看出，事件B包含的基本事件只有1個(gè)，即(4，4)，
故P(B)＝ eq \f(1,36).
(3) 記“點(diǎn)數(shù)之和能被3整除”為事件C，則事件C包含的基本事件共有12個(gè)：(1，2)，(2，1)，(1，5)，(5，1)，(2，4)，(4，2)，(3，3)，(3，6)，(6，3)，(4，5)，(5，4)，(6，6)，故P(C)＝ eq \f(12,36)＝ eq \f(1,3).
變式2、 (1)(2022·濟(jì)南質(zhì)檢)在一個(gè)不透明的容器中有6個(gè)小球，其中有4個(gè)黃球，2個(gè)紅球，它們除顏色外完全相同，如果一次隨機(jī)取出2個(gè)球，那么至少有1個(gè)紅球的概率為( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(7,15) D.eq \f(8,15)
【答案】 B
【解析】 一次隨機(jī)取出2個(gè)球，樣本點(diǎn)總數(shù)為Ceq \\al(2,6)＝15，至少有1個(gè)紅球包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)為Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)＋Ceq \\al(2,2)＝9，
所以至少有1個(gè)紅球的概率P＝eq \f(9,15)＝eq \f(3,5).
(2)兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)隨機(jī)排成一列，則兩位女同學(xué)相鄰的概率是( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
【答案】 D
【解析】 兩位男同學(xué)和兩位女同學(xué)排成一列一共有Aeq \\al(4,4)＝24種方法，兩位女同學(xué)相鄰的排法有Aeq \\al(2,2)Aeq \\al(3,3)＝12種，
∴兩位女同學(xué)相鄰的概率P＝eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).
方法總結(jié)：古典概型的概率求解步驟
(1)求出所有基本事件的個(gè)數(shù)n.
(2)求出事件A包含的所有基本事件的個(gè)數(shù)m.
(3)代入公式P(A)＝eq \f(m,n)求解．
考向三 古典概型與統(tǒng)計(jì)的綜合
例3、從某地高中男生中隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的體重(單位：kg)數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖所示)．由圖中數(shù)據(jù)可知體重的平均值為_(kāi)_______ kg；若要從體重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三組內(nèi)的男生中，用分層抽樣的方法選取12人參加一項(xiàng)活動(dòng)，再?gòu)倪@12人中選兩人當(dāng)正副隊(duì)長(zhǎng)，則這兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為_(kāi)_______．
【答案】：64．5 eq \f(2,3)
【解析】：由頻率分布直方圖可知，體重在[40,50)內(nèi)的男生人數(shù)為0．005×10×100＝5，同理，體重在[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90]內(nèi)的人數(shù)分別為35,30,20,10，所以體重的平均值為eq \f(45×5＋55×35＋65×30＋75×20＋85×10,100) ＝64．5．利用分層抽樣的方法選取12人，則從體重在[60,70)，[70,80)，[80,90]三組內(nèi)選取的人數(shù)分別為12×eq \f(30,60)＝6,12×eq \f(20,60)＝4,12×eq \f(10,60)＝2，則兩人體重不在同一組內(nèi)的概率為eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,6)＋C\\al(1,4)C\\al(1,8)＋C\\al(1,2)C\\al(1,10),A\\al(2,12))＝eq \f(2,3)．
變式1、在某次測(cè)驗(yàn)中，有6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分．用xn表示編號(hào)為n(n＝1，2，…，6)的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢?br>(1)求第6位同學(xué)的成績(jī)x6及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；
(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68，75)中的概率．
【解析】 (1)∵這6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，
所以eq \f(1,6)(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90，這6位同學(xué)成績(jī)的方差s2＝eq \f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，所以標(biāo)準(zhǔn)差s＝7.
(2)從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)的成績(jī)有：(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10種．恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68，75)中的有：(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4種．
故所求的概率為eq \f(4,10)＝0.4，即恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68，75)中的概率為0.4.
變式2、在某次測(cè)驗(yàn)中，6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分.用xn表示編號(hào)為n(n＝1，2，…，6)的同學(xué)所得成績(jī)，且前5位同學(xué)的成績(jī)?nèi)缦拢?br>(1) 求第6位同學(xué)的成績(jī)x6，及這6位同學(xué)成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差s；
(2) 從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)，求恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68，75)中的概率．
【解析】 (1) 因?yàn)檫@6位同學(xué)的平均成績(jī)?yōu)?5分，
所以 eq \f(1,6)×(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，
解得x6＝90,
s2＝ eq \f(1,6)×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以標(biāo)準(zhǔn)差s＝7.
(2) 從前5位同學(xué)中，隨機(jī)地選出2位同學(xué)的成績(jī)有：(70，76)，(70，72)，(70，70)，(70，72)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，(72，70)，(72，72)，(70，72)，共10種，
恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68，75)中的有(70，76)，(76，72)，(76，70)，(76，72)，共4種，故所求的概率為 eq \f(4,10)＝0.4,
即恰有1位同學(xué)成績(jī)?cè)趨^(qū)間(68，75)中的概率為0.4.
考向四 對(duì)立事件與互斥事件的概率
例4、下列命題：
①將一枚硬幣拋擲兩次，設(shè)事件M：“兩次出現(xiàn)正面”，事件N：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件M與N互為對(duì)立事件；
②若事件A與B互為對(duì)立事件，則事件A與B為互斥事件；
③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B互為對(duì)立事件；
④若事件A與B互為對(duì)立事件，則事件A＋B為必然事件．
其中真命題的序號(hào)是________．
【答案】 ②④
【解析】 一枚硬幣拋兩次，共出現(xiàn)(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)四種結(jié)果，則事件M與N是互斥事件，但不是對(duì)立事件，故①是假命題；對(duì)立事件首先是互斥事件，故②是真命題；互斥事件不一定是對(duì)立事件，如①中兩個(gè)事件，故③是假命題；事件A，B為對(duì)立事件，則一次試驗(yàn)中A，B一定有一個(gè)要發(fā)生，故④是真命題．
變式1、(1) 從一箱產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一件，設(shè)事件A＝{抽到一等品}，事件B＝{抽到二等品}，事件C＝{抽到三等品}，且已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，則事件“抽到的產(chǎn)品不是一等品”的概率為_(kāi)_______；
【答案】 0.35
【解析】 “抽到的產(chǎn)品不是一等品”與事件A是對(duì)立事件，則所求概率P＝1－P(A)＝0.35.
(2) 圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為 eq \f(1,7)，都是白子的概率是 eq \f(12,35)，則從中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．
【答案】 eq \f(17,35)
【解析】 設(shè)“從中取出2粒都是黑子”為事件A，“從中取出2粒都是白子”為事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”為事件C，則C＝A＋B，且事件A與B互斥，所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝ eq \f(1,7)＋ eq \f(12,35)＝ eq \f(17,35)，即任意取出2粒恰好是同一色的概率為 eq \f(17,35).
1、 (2022·湖南高三開(kāi)學(xué)考試)從0，2，4，6，8中任取2個(gè)不同的數(shù)分別記作a，b，則 |a－b|≥3的概率是( )
A. eq \f(1,5) B. eq \f(3,10)
C. eq \f(2,5) D. eq \f(3,5)
【答案】 D
【解析】 從0，2，4，6，8中任取2個(gè)不同的數(shù)a，b，共有 eq \f(5×4,2)＝10(個(gè))基本事件，取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值等于2有(0，2)，(2，4)，(4，6)，(6，8)共4個(gè)基本事件，所以所求概率為P＝1－ eq \f(4,10)＝ eq \f(3,5).
2、 (2022·廣東茂名二模)甲、乙、丙三人是某商場(chǎng)的安保人員，根據(jù)值班需要甲連續(xù)工作2天后休息一天，乙連續(xù)工作3天后休息一天，丙連續(xù)工作4天后休息一天，已知3月31日這一天三人均休息，則4月份三人在同一天工作的概率為( )
A. eq \f(1,3) B. eq \f(2,5)
C. eq \f(11,30) D. eq \f(3,10)
【答案】 B
【解析】 甲工作的日期為1，2，4，5，7，8，10，…，29.乙工作的日期為1，2，3，5，6，7，9，10，…，30.丙工作的日期為1，2，3，4，6，7，8，9，…，29.在同一天工作的日期為1，2，7，11，13，14，17，19，22，23，26，29，所以三人同一天工作的概率為P＝ eq \f(12,30)＝ eq \f(2,5).
3、(多選)(2022·益陽(yáng)高三月考)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，甲表示事件“至少有一次中靶”，乙表示事件“恰有一次中靶”，丙表示事件“兩次都中靶”，丁表示事件“兩次都不中靶”，則下列說(shuō)法中正確的是( )
A. 甲與乙是互斥事件
B. 乙與丙是互斥事件
C. 乙與丁是對(duì)立事件
D. 甲與丁是對(duì)立事件
【答案】 BD
【解析】 一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，其基本事件有：兩次都不中靶；第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；兩次都中靶．其中甲事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶；兩次都中靶．乙事件包含的基本事件有：第一次中靶，第二次不中靶；第一次不中靶，第二次中靶．丙事件包含的基本事件有：兩次都中靶．丁事件包含的基本事件有：兩次都不中靶，所以根據(jù)互斥與對(duì)立事件的定義，甲與乙不互斥，乙與丙互斥，乙與丁互斥不對(duì)立，甲與丁為對(duì)立事件．故A，C錯(cuò)誤，B，D正確．故選BD.
4、（多選）（2023·湖北·校聯(lián)考三模）A，B為隨機(jī)事件，已知，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．若A，B為互斥事件，則B．若A，B為互斥事件，則
C．若A，B是相互獨(dú)立事件，D．若，則
【答案】ACD
【詳解】A：由A、B是互斥事件，故，正確．
B：由知：，不正確．
C：由于A，B是相互獨(dú)立事件，，
，正確．
D：，則，
，正確．
故選：ACD
5、（多選）（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考三模）已知事件A，B滿足，，則（ ）
A．若，則
B．若A與B互斥，則
C．若，則A與B相互獨(dú)立
D．若A與B相互獨(dú)立，則
【答案】BD
【詳解】解：對(duì)于A，因?yàn)?，，，所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)榕c互斥，所以，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)?，即，所以，又因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，所以與相互獨(dú)立；因?yàn)?，所以，所以，故D正確.
故選：BD
確定事件
必然事件
在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件
不可能事件
在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件
隨機(jī)事件
在條件S下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件
名稱
條件
結(jié)論
符號(hào)表示
并（和）事件
A發(fā)生或B發(fā)生
事件A與事件B的
并事件（或和事件）
（或）
交（積）事件
A發(fā)生且B發(fā)生
事件A與事件B的
交事件（或積事件）
（或）
互斥事件
為不可能事件
事件A與事件B互斥
對(duì)立事件
為不可能事件
為必然事件
事件A與事件B互為
對(duì)立事件
獨(dú)立事件
A是否發(fā)生不影響
B發(fā)生
事件A與事件B為
相互獨(dú)立事件
上年度出
險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保費(fèi)
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
出險(xiǎn)次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
頻數(shù)
60
50
30
30
20
10
保費(fèi)
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
頻率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
最高氣溫
[10,15)
[15,20)
[20,25)
[25,30)
[30,35)
[35,40)
天數(shù)
2
16
36
25
7
4
編號(hào)n
1
2
3
4
5
成績(jī)xn
70
76
72
70
72
編號(hào)n
1
2
3
4
5
成績(jī)xn
70
76
72
70
72

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