1.伯努利試驗與二項分布
(1)伯努利試驗
只包含兩個可能結(jié)果的試驗叫做伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復(fù)進行n次所組成的隨機試驗稱為n重伯努利試驗.
(2)二項分布
一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0＜p＜1)，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝Ceq \\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0，1，2，…，n.
如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作X～B(n，p).
2.兩點分布與二項分布的均值、方差
(1)若隨機變量X服從兩點分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
3.超幾何分布
一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X＝k)＝eq \f(Ceq \\al(k,M)Ceq \\al(n－k,N－M),Ceq \\al(n,N))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r，其中，n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機變量X服從超幾何分布.
1、（2022?浙江）現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則 ， ．
【答案】；．
【解析】根據(jù)題意可得：的取值可為1，2，3，4，
又，
，
，
，
，
故答案為：；．
2、（2021?天津）甲、乙兩人在每次猜謎活動中各猜一個謎語，若一方猜對且另一方猜錯，則猜對的一方獲勝，否則本次平局．已知每次活動中，甲、乙猜對的概率分別為和，且每次活動中甲、乙猜對與否互不影響，各次活動也互不影響，則一次活動中，甲獲勝的概率為 ；3次活動中，甲至少獲勝2次的概率為 ．
【答案】；．
【解析】一次活動中，甲獲勝的概率為，
次活動中，甲至少獲勝2次的概率為．
故答案為：；．
3、【2018年新課標(biāo)1卷理科】某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立．
（1）記件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為,求的最大值點；
（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了件，結(jié)果恰有件不合格品，以（1）中確定的作為的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為元，若有不合格品進入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付元的賠償費用．
（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為，求;
（ii）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？
【解析】（1）件產(chǎn)品中恰有件不合格品的概率為.
因此.
令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以的最大值點為；
（2）由（1）知，.
（i）令表示余下的件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，，即.
所以.
（ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.
由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗
1、若隨機變量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，則P(X＝3)等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(40,243) C.eq \f(10,27) D.eq \f(3,5)
【答案】 B
【解析】 隨機變量X～Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，\f(1,3)))，則P(X＝3)＝Ceq \\al(3,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(40,243).
2、(2022·昆明診斷)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(3,5) C.eq \f(18,125) D.eq \f(54,125)
【答案】D
【解析】袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝eq \f(3,5)，∴3次中恰有2次抽到黃球的概率P＝Ceq \\al(2,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))eq \s\up12(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5)))＝eq \f(54,125).
3、(2022·濟南模擬)從裝有3個白球、4個紅球的箱子中，隨機取出了3個球，恰好是2個白球、1個紅球的概率是( )
A.eq \f(4,35) B.eq \f(6,35) C.eq \f(12,35) D.eq \f(36,343)
【答案】 C
【解析】 如果將白球視為合格品，紅球視為不合格品，則這是一個超幾何分布問題，故所求概率為P＝eq \f(Ceq \\al(2,3)Ceq \\al(1,4),Ceq \\al(3,7))＝eq \f(12,35).
3、 在4次獨立試驗中，事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率是 eq \f(65,81)，則事件A在一次試驗中出現(xiàn)的概率是________．
【答案】 eq \f(1,3)
【解析】 設(shè)事件A發(fā)生的概率為P，則1－(1－P)4＝ eq \f(65,81)，解得P＝ eq \f(1,3).
4、（2022·湖北江岸·高三期末）在次獨立重復(fù)試驗中，每次試驗的結(jié)果只有A，B，C三種，且A，B，C三個事件之間兩兩互斥.已知在每一次試驗中，事件A，B發(fā)生的概率均為，則事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差之比為（ ）
A．5：5：4B．4：4：3C．3：3：2D．2：2：1
【答案】C
【解析】根據(jù)事件的互斥性可得：每一次試驗中，事件發(fā)生的概率為
設(shè)事件A，B，C發(fā)生的次數(shù)為分別隨機變量，則有：

則事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差分別為： ，，
故事件A，B，C發(fā)生次數(shù)的方差之比為：
故選：C
考向一 獨立重復(fù)試驗與二項分布
例1、已知一個射手每次擊中目標(biāo)的概率為P＝ eq \f(3,5)，求他在4次射擊中下列事件發(fā)生的概率．
(1) 命中一次；
(2) 命中兩次．
【解析】 (1) 命中一次的概率為P＝C eq \\al(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(96,625).
(2) 命中兩次的概率為P＝C eq \\al(2,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up12(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(216,625).
變式1、已知一個射手每次擊中目標(biāo)的概率為P＝ eq \f(3,5)，求他在4次射擊中下列事件發(fā)生的概率．求：
(1) 恰在第三次命中目標(biāo)的概率；
(2) 剛好在第二次、第三次兩次擊中目標(biāo)的概率．
【解析】 (1) 恰在第三次命中目標(biāo)的概率為
P＝ eq \f(3,5)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(3)＝ eq \f(3,5)× eq \f(8,125)＝ eq \f(24,625).
(2) 在第二次、第三次兩次擊中目標(biāo)的概率為
P＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up12(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(36,625).
變式2、已知一個射手每次擊中目標(biāo)的概率為P＝ eq \f(3,5)，求他在4次射擊中下列事件發(fā)生的概率．求：
(1) 至少命中一次的概率；
(2) 至多命中兩次的概率．
【解析】 (1) 至少命中一次的概率為
P＝1－ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(4)＝ eq \f(609,625).
(2) 至多命中兩次的概率為P＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(4)＋C eq \\al(1,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5)))× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(3)＋C eq \\al(2,4)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,5))) eq \s\up12(2)× eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(3,5))) eq \s\up12(2)＝ eq \f(328,625).
變式3、（2022·山東淄博·高三期末）學(xué)習(xí)強國中有兩項競賽答題活動，一項為“雙人對戰(zhàn)”，另一項為“四人賽”．活動規(guī)則如下：一天內(nèi)參與“雙人對戰(zhàn)”活動，僅首局比賽可獲得積分，獲勝得2分，失敗得1分；一天內(nèi)參與“四人賽”活動，僅前兩局比賽可獲得積分，首局獲勝得3分，次局獲勝得2分，失敗均得1分．已知李明參加“雙人對戰(zhàn)”活動時，每局比賽獲勝的概率為；參加“四人賽”活動（每天兩局）時，第一局和第二局比賽獲勝的概率分別為p，．李明周一到周五每天都參加了“雙人對戰(zhàn)”活動和“四人賽”活動（每天兩局），各局比賽互不影響．
(1)求李明這5天參加“雙人對戰(zhàn)”活動的總得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
(2)設(shè)李明在這5天的“四人賽”活動（每天兩局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率為．求p為何值時，取得最大值．
【解析】
(1)解：可取5，6，7，8，9，10，
，，
，，
，，
分布列如下：
所以（分）；
(2)解：設(shè)一天得分不低于3分為事件，
則，
則恰有3天每天得分不低于3分的概率，
則
，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，
所以當(dāng)時，取得最大值.
方法總結(jié)：判斷某隨機變量是否服從二項分布的關(guān)鍵點
(1)在每一次試驗中，事件發(fā)生的概率相同.
(2)各次試驗中的事件是相互獨立的.
(3)在每一次試驗中，試驗的結(jié)果只有兩個，即發(fā)生與不發(fā)生.
考向二 超幾何分布
例2、 袋中有8個球，其中5個黑球，3個紅球，從袋中任取3個球，求取出的紅球數(shù)X的分布列，并求至少有一個紅球的概率．
【解析】 由題意，得X＝0，1，2，3，
P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(3,5),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(10,56)＝ eq \f(5,28)，
P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,3)·C eq \\al(2,5),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(30,56)＝ eq \f(15,28)，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,3)·C eq \\al(1,5),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(15,56)，
P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,3),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(1,56)，
所以X的分布列為
所以P(X≥1)＝1－ eq \f(5,28)＝ eq \f(23,28).
變式1、袋中有8個球，其中5個黑球，3個紅球，從袋中任取3個球，求取出的黑球數(shù)X的分布列．
【解析】 X的可能取值為0，1，2，3.
P(X＝0)＝ eq \f(C eq \\al(0,5)·C eq \\al(3,3),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(1,56)，
P(X＝1)＝ eq \f(C eq \\al(1,5)·C eq \\al(2,3),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(15,56)，
P(X＝2)＝ eq \f(C eq \\al(2,5)·C eq \\al(1,3),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(30,56)＝ eq \f(15,28)，
P(X＝3)＝ eq \f(C eq \\al(3,5)·C eq \\al(0,3),C eq \\al(3,8))＝ eq \f(10,56)＝ eq \f(5,28)，
所以X的分布列為
變式2、（2022·山東臨沂·高三期末）一機床生產(chǎn)了個汽車零件，其中有個一等品、個合格品、個次品，從中隨機地抽出個零件作為樣本.用表示樣本中一等品的個數(shù).
（1）若有放回地抽取，求的分布列；
（2）若不放回地抽取，用樣本中一等品的比例去估計總體中一等品的比例.
①求誤差不超過的的值；
②求誤差不超過的概率（結(jié)果不用計算，用式子表示即可）
【解析】（1）對于有放回抽取，每次抽到一等品的概率為，且各次試驗之間的結(jié)果是獨立的，
因此，從而，，，，，
所以的分布列如下：
（2）對于不放回抽取，各次試驗結(jié)果不獨立，服從超幾何分布，樣本中一等品的比例為，而總體中一等品的比例為，由題意，
①或；
②.
方法總結(jié)：(1)超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù).超幾何分布的特征是：
①考察對象分兩類；②已知各類對象的個數(shù)；③從中抽取若干個個體，考查某類個體數(shù)X的概率分布.
(2)超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型.
1、（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知隨機變量，且，則__________.
【答案】
【詳解】因為隨機變量，且，
則，解得：，
.
故答案為：.
2、2023·江蘇南通·三模）隨機變量，則__________.
【答案】/
【詳解】因為隨機變量，
所以，
所以，
所以標(biāo)準(zhǔn)差，
故答案為：.
3、（多選）（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）若隨機變量，下列說法中正確的是（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
【答案】BCD
【詳解】A選項：因，所以，故A錯誤.
B選項：，故B正確.
C選項：，故C正確.
D選項：，，故D正確.
故選：BCD.
4、（2022·河北唐山·高三期末）（多選題）為排查新型冠狀病毒肺炎患者，需要進行核酸檢測．現(xiàn)有兩種檢測方式：（1）逐份檢測：（2）混合檢測：將其中k份核酸分別取樣混合在一起檢測，若檢測結(jié)果為陰性，則這k份核酸全為陰性，因而這k份核酸只要檢測一次就夠了，如果檢測結(jié)果為陽性，為了明確這k份核酸樣本究競哪幾份為陽性，就需要對這k份核酸再逐份檢測，此時，這k份核酸的檢測次數(shù)總共為次．假設(shè)在接受檢測的核酸樣本中，每份樣本的檢測結(jié)果是陰性還是陽性都是獨立的，并且每份樣本是陽性的概率都為，若，運用概率統(tǒng)計的知識判斷下列哪些p值能使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式．（參考數(shù)據(jù)：）（ ）
A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1
【答案】CD
【詳解】設(shè)混合檢測分式，樣本需要檢測的總次數(shù)可能取值為
，
故的分布列為：
設(shè)逐份檢測方式，樣本需要檢測的總次數(shù)，則
要使得混合檢測方式優(yōu)于逐份檢測方式，需
即，即，即
又，，
故選：CD
5、（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）唐三彩是中國古代陶瓷燒制工藝的珍品，它吸取了中國國畫、雕塑等工藝美術(shù)的特點，在中國文化中占有重要的歷史地位，在陶瓷史上留下了濃墨重彩的一筆，唐三彩的生產(chǎn)至今已有多年的歷史，制作工藝十分復(fù)雜，而且優(yōu)質(zhì)品檢驗異常嚴格，檢驗方案是：先從燒制的這批唐三彩中任取件作檢驗，這件唐三彩中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為，如果，再從這批唐三彩中任取件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批唐三彩通過檢驗：如果，再從這批唐三彩中任取件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批唐三彩通過檢驗，其他情況下，這批唐三彩的優(yōu)質(zhì)品概率為，即取出的每件唐三彩是優(yōu)質(zhì)品的概率都為，且各件唐三彩是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立．
(1)求這批唐三彩通過優(yōu)質(zhì)品檢驗的概率；
(2)已知每件唐三彩的檢驗費用為元，且抽取的每件唐三彩都需要檢驗，對這批唐三彩作質(zhì)量檢驗所需的總費用記為元，求的分布列及數(shù)學(xué)期望．
【解析】
(1)解：設(shè)第一次取出的件唐三彩中恰有件優(yōu)質(zhì)品為事件，
第一次取出的件唐三彩全是優(yōu)質(zhì)品為事件，
第二次取出的件唐三彩都是優(yōu)質(zhì)品為事件，
第二次取出的件唐三彩是優(yōu)質(zhì)品為事件，這批唐三彩通過檢驗為事件，
依題意有，
所以．
(2)解：可能的取值為、、，
，
，．
所以的分布列為
6、（2022·山東青島·高三期末）習(xí)近平總書記在黨的十九大報告中指出，保障和改善人民最關(guān)心最直接最現(xiàn)實的利益問題要從“讓人民群眾滿意的事情”做起.2021年底某市城市公園建設(shè)基本完成，為了解市民對該項目的滿意度，從該市隨機抽取若干市民對該項目進行評分(滿分100分)，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，并將分數(shù)從低到高分為四個等級：
(1)若市民的滿意度評分相互獨立，以滿意度樣本估計全市民滿意度，現(xiàn)從全市民中隨機抽取5人，求至少2人非常滿意的概率；
(2)相關(guān)部門對該項目進行驗收，驗收的硬性指標(biāo)是：全民對該項目的滿意指數(shù)不低于0.8，否則該項目需要進行整改，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計知識，判斷該項目能否通過驗收，并說明理由；(注：滿意指數(shù)=)
(3)在等級為不滿意的市民中，老人占，現(xiàn)從該等級市民中按年齡分層抽取9人了解不滿意的原因，并從中選取3人擔(dān)任督導(dǎo)員.記X為老年督導(dǎo)員的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X).
【解析】(1)
，解得，設(shè)至少2人非常滿意的概率為事件A，由題意知5人中非常滿意的人數(shù)，.
(2)由頻率分布直方圖得：
滿意度平均分為，滿意指數(shù)，因此，能通過驗收.
(3)
分層抽取9人中老人有3人，由題意知服從超幾何分布，的可能取值為，，，，，則分布列為：
所以，
5
6
7
8
9
10
X
0
1
2
3
P
eq \f(5,28)
eq \f(15,28)
eq \f(15,56)
eq \f(1,56)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,56)
eq \f(15,56)
eq \f(15,28)
eq \f(5,28)
1
11
滿意度評分
低于60分
60分到79分
80分到89分
不低于90分
滿意度等級
不滿意
基本滿意
滿意
非常滿意
0
1
2
3

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