1、.條件概率
(1)概念：一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P(A)＞0，我們稱 為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.
2、兩個公式
①利用古典概型，P(B|A)＝ ；
②概率的乘法公式：P(AB)＝
3、全概率公式
一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，有 ，我們稱上面的公式為全概率公式．
4. *貝葉斯公式：
一般地，設A1，A2，…，An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0, i＝1,2，…，n，則對任意的事件B?Ω，P(B)>0有P(Ai|B)＝eq \f(P?Ai?P?B|Ai?,P?B?)＝eq \f(P?Ai?P?B|Ai?,\(∑,\s\up11(n),\s\d4(k＝1))P?Ak?P?B|Ak?)，i＝1,2，…，n.
1、（2022?天津）52張撲克牌，沒有大小王，無放回地抽取兩次，則兩次都抽到的概率為 ；已知第一次抽到的是，則第二次抽取的概率為 ．
2、（2023?甲卷（理））有50人報名足球俱樂部，60人報名乒乓球俱樂部，70人報名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報足球俱樂部，則其報乒乓球俱樂部的概率為
A．0.8B．0.4C．0.2D．0.1
1、 (2022·泰州模擬)足球訓練中點球射門是隊員練習的必修課，經(jīng)統(tǒng)計，某足球隊員踢向球門左側時進球的概率為80%，踢向球門右側時進球的概率為75%.若該球員進行點球射門時踢向球門左、右兩側的概率分別為60%，40%，則該球員點球射門進球的概率為( )
A. 77% B. 77.5% C. 78% D. 78.5%
2、 (2022·揭陽高三期末)袋中有大小和形狀都相同的3個白球和2個黑球，現(xiàn)從袋中不放回地依次抽取兩個球，則在第一次取到白球的條件下，第二次也取到白球的概率是( )
A. eq \f(3,4) B. eq \f(3,5) C. eq \f(1,2) D. eq \f(3,10)
3、 (多選)(2022·聊城二模)從含有3道代數(shù)題和2道幾何題的5道試題中隨機抽取2道題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回，則下列說法中正確的是( )
A. “第1次抽到代數(shù)題”與“第1次抽到幾何題”是互斥事件
B. “第1次抽到代數(shù)題”與“第2次抽到幾何題”相互獨立
C. 第1次抽到代數(shù)題且第2次也抽到代數(shù)題的概率是 eq \f(3,10)
D. 在有代數(shù)題的條件下，兩道題都是代數(shù)題的概率是 eq \f(1,3)
4、已知P(B)＝0.3，P(B|A)＝0.9，P(B|eq \(A,\s\up6(－)))＝0.2，則P(A)＝( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(3,7) D.0.1
考向一 條件概率
例1、一袋中共有大小相同的5個黑球和5個白球．
(1) 若從袋中任意摸出2個球，求至少有1個白球的概率；
(2) 現(xiàn)從中不放回地取球，每次取1個球，取2次，已知第一次取得白球，求第二次取得黑球的概率．
變式1、 (1)已知盒中裝有3個紅球、2個白球、5個黑球，它們大小形狀完全相同.現(xiàn)需一個紅球，甲每次從中任取一個不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,3) C.eq \f(3,8) D.eq \f(2,9)
(2)對標有不同編號的6件正品和4件次品的產(chǎn)品進行檢測，不放回地依次摸出2件.在第一次摸出次品的條件下，第二次摸到正品的概率是( )
A.eq \f(3,5) B.eq \f(2,5) C.eq \f(5,9) D.eq \f(2,3)
變式2、（1）從標有1，2，3，4，5的五張卡中，依次抽出2張，則在第一次抽到奇數(shù)的情況下，第二次抽到偶數(shù)的概率為________．
(2)某射擊選手射擊一次擊中10環(huán)的概率是eq \f(4,5)，連續(xù)兩次均擊中10環(huán)的概率是eq \f(1,2)，已知該選手某次擊中10環(huán)，則隨后一次擊中10環(huán)的概率是( )
A.eq \f(2,5) B.eq \f(5,8) C.eq \f(1,2) D.eq \f(4,5)
變式3、某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關聯(lián)如下：
設該險種的一位續(xù)保人一年內出險次數(shù)與相應概率如下：
(1) 求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；
(2) 若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；
(3) 求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值．
方法總結：求條件概率的常用方法
(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝eq \f(P（AB）,P（A）).
(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝eq \f(n（AB）,n（A）)
考向二 全概率公式
例2、有甲、乙兩個袋子，甲袋中有3個白球，2個黑球，乙袋中有4個白球，4個黑球．現(xiàn)從甲袋中任取2個球放入乙袋，然后再從乙袋中任取一球，求此球為白球的概率．
變式1、 設5支槍中有2支未經(jīng)試射校正，3支已校正．一射手用校正過的槍射擊，中靶率為0.9，用未校正過的槍射擊，中靶率為0.4.
(1) 該射手任取一支槍射擊，中靶的概率是多少？
(2) 若任取一支槍射擊，結果未中靶，求該槍未校正的概率．
變式2、(1) 某保險公司將其公司的被保險人分為三類：“謹慎的”“一般的”“冒失的”．統(tǒng)計資料表明，這三類人在一年內發(fā)生事故的概率依次為0.05,0.15,0.30.若該保險公司的被保險人中“謹慎的”被保險人占20%，“一般的”被保險人占50%，“冒失的”被保險人占30%，則該保險公司的一個被保險人在一年內發(fā)生事故的概率是( )
A. 0.155 B. 0.175
C. 0.016 D. 0.096
(2) 人們?yōu)榱私庖恢还善蔽磥硪欢〞r期內價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如利率的變化．現(xiàn)假設人們經(jīng)分析估計利率下調的概率為60%，利率不變的概率為40%.根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，則該只股票將上漲的概率為 .
方法總結：利用全概率公式的思路：
(1) 按照確定的標準，將一個復雜事件分解為若干個互斥事件Ai(i＝1,2，…，n)；
(2) 求P(Ai)和所求事件B在各個互斥事件Ai發(fā)生條件下的概率P(B|Ai)；
(3) 代入全概率公式計算
1、（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預測）在某地區(qū)進行流行病調查，隨機調查了100名某種疾病患者的年齡，發(fā)現(xiàn)該100名患者中有20名的年齡位于區(qū)間內．已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.15%，年齡位于區(qū)間內人口占該地區(qū)總人口的30%．現(xiàn)從該地區(qū)任選一人，若此人年齡位于區(qū)間內，則此人患該疾病的概率為（ ）
A．0.001B．0.003C．0.005D．0.007
2、（2022·廣東揭陽·高三期末）袋中有大小和形狀都相同的3個白球和2個黑球，現(xiàn)從袋中不放回地依次抽取兩個球，則在第一次取到白球的條件下，第二次也取到白球的概率是（ ）
A．B．C．D．
3、（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）（多選題）一個袋中有大小?形狀完全相同的3個小球，顏色分別為紅?黃?藍，從袋中先后無放回地取出2個球，記“第一次取到紅球”為事件A，“第二次取到黃球”為事件，則（ ）
A．B．為互斥事件
C．D．相互獨立
4、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┠硨W校為了迎接黨的二十大召開，增進全體教職工對黨史知識的了解，組織開展黨史知識競賽活動并以支部為單位參加比賽.現(xiàn)有兩組黨史題目放在甲?乙兩個紙箱中，甲箱有5個選擇題和3個填空題，乙箱中有4個選擇題和3個填空題，比賽中要求每個支部在甲或乙兩個紙箱中隨機抽取兩題作答.每個支部先抽取一題作答，答完后題目不放回紙箱中，再抽取第二題作答，兩題答題結束后，再將這兩個題目放回原紙箱中.
(1)如果第一支部從乙箱中抽取了2個題目，求第2題抽到的是填空題的概率；
(2)若第二支部從甲箱中抽取了2個題目，答題結束后錯將題目放入了乙箱中，接著第三支部答題，第三支部抽取第一題時，從乙箱中抽取了題目.已知第三支部從乙箱中取出的這個題目是選擇題，求第二支部從甲箱中取出的是2個選擇題的概率.
上年度出
險次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
保 費
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
一年內出
險次數(shù)
0
1
2
3
4
≥5
概 率
0.30
0.15
0.20
0.20
0.10
0.05

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