本試卷共4頁.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.
注意事項：
1.答題前，考生務必將自己的姓名?準考證號填寫在本試卷和答題卡上.
2回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應的答案標號涂黑，如有改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案：回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.
3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解一元二次不等式求集合，再由集合的交運算求結果.
【詳解】由，，
所以.
故選：D
2. 若角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經過點，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據三角函數的定義，可求得，再結合正弦二倍角公式，即可求解.
【詳解】由題設，
所以.
故選：C.
3. 過雙曲線的左焦點作其一條漸近線的垂線，垂足為，線段的中點在另外一條漸近線上，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】記的中點為，證明兩條漸近線相互垂直，據此即可求解.
【詳解】由題意，記的中點為，如圖，
由，則，
所以兩條漸近線相互垂直，
可得，則，
即，所以.
故選：A.
4. 的展開式中，常數項等于（ ）
A. 1B. 15C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根據二項式展開式的通項公式求出展開式的通項，再令通項中的次數為，進而求出常數項.
【詳解】二項式，可得：，即
令的次數，解得.
將代入到通項公式中，可得常數項為.
故選：B
5. 如圖所示是函數的導數的圖像，下列四個結論：
①在區(qū)間上是增函數；
②在區(qū)間上是減函數，在區(qū)間上是增函數：
③是的極大值點；
④是的極小值點.
其中正確的結論是
A. ①③B. ②③C. ②③④D. ②④
【答案】D
【解析】
【分析】結合導函數的圖象，可判斷函數的單調性，從而可判斷四個結論是否正確.
【詳解】由題意，和 時，；和時，，
故函數在和上單調遞減，在和上單調遞增，
是的極小值點，是的極大值點，
故②④正確，答案為D.
【點睛】用導數求函數極值的基本步驟：
①確定函數的定義域；
②求導數；
③求方程的根；
④檢查在方程根左右的值的符號，如果左正右負，則在這個根處取得極大值；如果左負右正，則在這個根處取得極小值.
6. 已知點P為直線上的一點，過點P作圓的切線PA，切點為A，則的最大值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】結合圖像得到，問題轉換成求最小值即可求解；
【詳解】解：根據題意，圓其圓心為半徑
過點P作圓的切線PA，
則
則
設圓心C到直線l的距離為d，
則
故
所以的最大值為
故選：A
7. 數學活動小組由12名同學組成，現將12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出一名組長，則不同的分配方案的種數為
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【詳解】將這12名同學平均分成四組分別研究四個不同課題,且每組只研究一個課題
只需每個課題依次選三個人即可，共有中選法，最后選一名組長各有3種，
故不同的分配方案為：，
故選A.
8. 設，過作直線分別交（不與端點重合）于，若，，若與的面積之比為，則
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據面積比得出，的關系，根據，從而可以，表示出，利用共線原理列方程，解出即可得到答案
【詳解】連接并延長，則通過的中點，過，分別向所在直線作垂線，垂足分別為，，
如圖所示
與的面積之比為
根據三角形相似可知，則
即
由平行四邊形法則得
根據待定系數法有，則
故選
【點睛】平面向量的線性運算可以根據三角形法則或者平行四邊形法則，將三角形面積問題轉化為平面幾何中三角形相似問題進行求解，考查化歸轉化思想及數形結合思想的應用
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對得6分，部分選對得部分分，選錯得0分.
9 已知，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】利用賦值法可判斷ACD的正誤，利用二項展開式的通項公式可判斷B的正誤.
【詳解】對A：令得，A選項錯誤；
對B：，B選項正確；
對C：令得，又，
所以，C選項錯誤；
對D：令得，
又，所以，D選項正確；
故選：BD.
10. 已知數列的前n項和為且則（ ）
A. B.
C. D. 數列的前n項和為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用給定條件求解數列單調性判斷A，利用累乘法求出數列通項公式判斷B，利用等差數列求和公式結合給定條件判斷C，利用裂項相消法求和判斷D即可.
【詳解】由題意得，且，
可知，則為正項遞增數列，
得到，即，故A正確；
由，則時，
，
又符合上式，故，
當時，，故B正確；
由等差數列求和公式得，則，故C錯誤；
而，
故數列的前n項和為
，故D正確.
故選：ABD
11. 已知定義域為的函數滿足，且，為的導函數，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】A令得，令得，賦值此式可得；B對兩邊求導得出可得周期為4，利用反證法得出2也為周期，此時即為常函數，退出矛盾；C由
可得周期4，計算即可；D對兩邊對求導，得，再令即可.
【詳解】令，代入可得，即，所以，
令，則，即，
令得，
以替換，則，A選項正確；
以替換，則，所以函數是周期為4的周期函數.
令，則，即，所以是偶函數.
對兩邊求導得，即.
替換，則；以替換，則，
所以是周期為4的周期函數，
若的周期為6，則，又，
則，又 ，則，即，
此時為常函數，與、矛盾，故的周期不可能為6，
B選項錯誤；
由的周期為4，且.
，C選項正確；
因為的周期為，且，所以.
因，所以，
對兩邊對求導，
得，即
令，可得，所以，則，D選項正確.
故選：ACD
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 平面上動點滿足，則點的軌跡方程為__________.
【答案】
【解析】
【分析】求出點到定點與距離之和，根據與之間距離即可求解.
【詳解】由滿足知點到定點與的距離之和為10，
又與之間距離為，
根據橢圓定義可知該點的軌跡是橢圓，
其中,
軌跡方程為.
故答案為：.
13. 在中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.若，， ，則的面積為________．
【答案】3
【解析】
【分析】利用余弦定理，結合已知求出，再利用三角形面積公式計算即得.
【詳解】在中，由余弦定理，得，則，
于是，解得，
所以的面積為.
故答案為：3
14. 如圖，某數陣滿足：各項均為正數，每一行從左到右成等差數列，每一列從上到下成公比相同的等比數列，，，，則__________，__________.
【答案】 ①. 960； ②. .
【解析】
【分析】設出每一列等比數列的公比為，結合等比數列性質可得，即可得，即可得，從而可得，即可得，即可求得；由結合等差數列求和公式可計算出，再結合等比數列求和公式即可得.
【詳解】設每一列等比數列的公比都為，則，，則由，可得，則，，
故，由，得，則，
故，即，
故，
則，
則.
故答案為：960；.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 盒子中有3支不同的鉛筆和4支不同的水筆.
（1）將這些筆取出后排成一排，使得鉛筆互不相鄰，水筆也互不相鄰，共有多少種不同的排法？
（2）一次性取出3支筆，使得取出的三支筆中至少有1支鉛筆，共有多少種不同的取法？
【答案】（1）種；
（2）種.
【解析】
【分析】（1）先將支不同的鉛筆進行排序，然后將支不同的水筆插入鉛筆所形成的空位中（含兩端），結合插空法可求得結果；
（2）對摸出的鉛筆的支數進行分類討論，結合組合知識以及分類加法計數原理可得結果.
【小問1詳解】
將支不同的水筆和支不同的鉛筆排成一排，使得鉛筆互不相鄰，水筆也不相鄰，
只需先將支不同的鉛筆進行全排，然后將支不同的水筆插入鉛筆所形成的4個空位中（含兩端），
由分步乘法計數原理可知，不同的排法種數為種.
【小問2詳解】
隨機一次性摸出支筆，使得摸出的三支筆中至少有支鉛筆，則鉛筆的支數可以是或或，
由分類加法計數原理知，不同的取筆種數為種.
16. 如圖，在直五棱柱中，，，，，，是的中點．
（1）證明：平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析；
（2）.
【解析】
【分析】（1）分別取的中點，連接，先證四邊形為平行四邊形，再證四邊形為平行四邊形，進而得，最后應用線面平行的判定證明結論；
（2）構建合適的空間直角坐標系，應用向量法求線面角的正弦值.
【小問1詳解】
如圖，分別取的中點，連接，則．
因為，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，．同理，，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
故，又，
所以，又平面，平面，
所以平面．
【小問2詳解】
如圖，以為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，
可得，，，，，
則，，．
設平面的法向量為，則，令，得．
設直線與平面所成的角為，則，
故直線與平面所成角的正弦值為．
17. 設函數=[]．
（1）若曲線在點（1，）處的切線與軸平行，求；
（2）若在處取得極小值，求的取值范圍．
【答案】(1) 1 (2)（，）
【解析】
【詳解】分析：（1）先求導數，再根據得a；（2）先求導數的零點：，2；再分類討論，根據是否滿足在x=2處取得極小值，進行取舍，最后可得a的取值范圍．
詳解：解：（Ⅰ）因為=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由題設知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此時f (1)=3e≠0．
所以a的值為1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，則當x∈(，2)時，f ′(x)0．
所以f (x)

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