TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc156917260" \l "_Tc156807534" 一、考情分析
二、知識建構(gòu)
\l "_Tc156917261" 考點一 菱形的性質(zhì)與判定
\l "_Tc156917262" 題型01 利用菱形的性質(zhì)求角度
\l "_Tc156917263" 題型02 利用菱形的性質(zhì)求線段長
\l "_Tc156917264" 題型03 利用菱形的性質(zhì)求周長
\l "_Tc156917265" 題型04 利用矩形的性質(zhì)求面積
\l "_Tc156917266" 題型05 利用矩形的性質(zhì)求坐標
\l "_Tc156917267" 題型06 利用矩形的性質(zhì)證明
\l "_Tc156917268" 題型07 添加一個條件證明四邊形是菱形
\l "_Tc156917269" 題型08 證明四邊形是菱形
\l "_Tc156917270" 題型09 根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度
\l "_Tc156917271" 題型10 根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長
\l "_Tc156917272" 題型11 根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積
\l "_Tc156917273" 題型12 根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題
\l "_Tc156917274" 題型13 與菱形有關(guān)的新定義問題
\l "_Tc156917275" 題型14 與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題
\l "_Tc156917276" 題型15 與菱形有關(guān)的動點問題
\l "_Tc156917277" 題型16 菱形與一次函數(shù)綜合
\l "_Tc156917278" 題型17 菱形與反比例函數(shù)綜合
\l "_Tc156917279" 題型18 菱形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合
\l "_Tc156917280" 題型19 菱形與二次函數(shù)綜合
考點一 菱形的性質(zhì)與判定
菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.
菱形的性質(zhì)：
1）具有平行四邊形的所有性質(zhì)；
2）四條邊都相等；
3）兩條對角線互相垂直，且每條對角線平分一組對角.
4）菱形既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，菱形的對稱中心是菱形對角線的交點，菱形的對稱軸是菱形對角線所在的直線，菱形的對稱軸過菱形的對稱中心.
菱形的判定：
1）A
對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.
2）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.
3）四條邊相等的四邊形是菱形.
【解題思路】判定一個四邊形是菱形時，可先說明它是平行四邊形，再說明它的一組鄰邊相等或它的對角線互相垂直，也可直接說明它的四條邊都相等或它的對角線互相垂直平分．
菱形的面積公式：S=ah=對角線乘積的一半（其中a為邊長，h為高）.
菱形的周長公式：周長l=4a（其中a為邊長）.
1. 對于菱形的定義要注意兩點:a.是平行四邊形;b.一組鄰邊相等.
2. 定義說有一組鄰邊相等的平行四邊形才是菱形,不要錯誤地理解為有一組鄰邊相等的四邊形是菱形.
3. 菱形的面積S=對角線乘積的一半，適用于對角線互相垂直的任意四邊形的面積的計算.
4. 在求菱形面積時,要根據(jù)圖形特點及已知條體靈活選擇面積公式來解決問題，
5. 在利用對角線長求菱形的面積時,要特別注意不要漏掉計算公式中的12 .
題型01 利用菱形的性質(zhì)求角度
【例1】（2022·河北石家莊·校考模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，∠1=15°，則∠D=（ ）
A．115°B．150°C．125°D．130°
【變式1-1】（2023·陜西西安·一模）如圖，將菱形紙片沿著線段AB剪成兩個全等的圖形，則∠1的度數(shù)是（ ）
A．40°B．60°C．80°D．100°
【變式1-2】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，以點A為圓心，以AB長為半徑畫弧，分別交BC,CD于點E，F(xiàn)． 若∠EAF=60°，則∠D的度數(shù)為 ．

【變式1-3】（2020·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，DE⊥BC于E，連接OE，若∠ABC=124°，則∠OED= 度．
【變式1-4】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，∠CBD=75?，分別以A、B為圓心，大于AB的一半長為半徑畫弧，兩弧在AB的兩側(cè)分別交于點P、Q，作直線PQ交AB于點E，交AD于點F，連接BF，求∠DBF的度數(shù)．
題型02 利用菱形的性質(zhì)求線段長
【例2】（2022·安徽·合肥38中?？寄M預(yù)測）如圖在菱形ABCD中，AD=12，對角線AC和BD交于點O，點E，F(xiàn)分別是OD和OC的中點，AE與BF交于點G，則EF的長為 ．

【變式2-1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）已知菱形的一個內(nèi)角為60°，一條對角線的長為43，則另一條對角線的長為 ．
【變式2-2】（2022·湖南長沙·?？级＃┤鐖D，四邊形ABCD是邊長為5的菱形，對角線AC，BD的長度分別是一元二次方程x2-2m+1x+8m=0的兩實數(shù)根，DH是AB邊上的高，則DH= ．

【變式2-3】（2022·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AC、BD交于點O，點E在線段OD上，連接CE，若BE=CD=2DE，AC=27，則CE的長為 ．

【變式2-4】（2023·山西呂梁·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC=2，BD=1，AC，BD相交于點O，過點C作CE⊥AB交AB的延長線于點E，過點O作OF⊥CE交CE于點F，則OF的長度為 ．

題型03 利用菱形的性質(zhì)求周長
【例3】（2023·河北滄州·?？寄M預(yù)測）矩形ABCD的對角線AC、BD相交于O，CE∥BD，DE∥AC，若AB=6，AD=8，則四邊形OCED的周長是( )

A．10B．20C．28D．30
【變式3-1】（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A，B，C在坐標軸上，若點A的坐標為0,3，∠D=60°，則菱形ABCD的周長為（ ）

A．13B．14C．15D．83
【變式3-2】（2023·河南商丘·統(tǒng)考一模）如圖，菱形ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別為AB，AD，CD的中點，EF=4，F(xiàn)G=3，則菱形ABCD的周長為（ ）
A．12B．16C．18D．20
【變式3-3】（2023·湖南永州·校考二模）如圖，在菱形ABCD中，M、N分別為AB、AC的中點，若MN=3，則菱形ABCD的周長為 ．

【變式3-4】（2023·湖南長沙·長沙市南雅中學(xué)統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD交于點O，點E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的中點，連接EF．

(1)求證：AC⊥EF；
(2)若EF=6，tan∠AEF=13，求菱形ABCD的周長．
題型04 利用矩形的性質(zhì)求面積
【例4】（2022·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考一模）一個菱形的周長是20，兩條對角線的比是4:3，則這個菱形的面積是（ ）
A．12B．96C．48D．24
【變式4-1】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖，菱形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，過點D作DH⊥AB于點H，連接OH，若OA=6，OH=4，則菱形ABCD的面積為（ ）
A．72B．48C．24D．9
【變式4-2】（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知菱形ABCD的周長為24，對角線AC、BD交于點O，且AC+BD=16，則該菱形的面積等于 ．
【變式4-3】（2022·福建龍巖·?？寄M預(yù)測）如圖，菱形ABCD中，∠CBA=60°，其中一條對角線AC=6cm，則該菱形的面積是 cm2．

題型05 利用矩形的性質(zhì)求坐標
【例5】（2022·陜西西安·?？寄M預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，O是菱形ABCD對角線BD的中點，AD∥x軸且AD=4，∠A=60°，將菱形ABCD繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，使點D落在x軸正半軸上，則旋轉(zhuǎn)后點C的對應(yīng)點的坐標是（ ）

A．0，23B．2，-4C．23，0D．0，-23
【變式5-1】（2023·天津河西·天津市新華中學(xué)校考一模）如圖，四邊形ABCD是菱形，點D在x軸上，頂點A，B的坐標分別是(0，2)，(4，4)，則點C的坐標是（ ）

A．(4，2)B．(6,2)C．(6,4)D．(8,2)
【變式5-2】（2023·河南周口·淮陽第一高級中學(xué)?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標系xOy中，已知菱形ABCD的頂點A-3,3，C1,-1，對角線BD交AC于點M，交x軸于點N，若BN=2ND，則點B的坐標是（ ）

A．32,72B．2,22C．（4，2）D．（2，4）
【變式5-3】（2023·河南南陽·統(tǒng)考三模）菱形OABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，已知頂點A8,0，點D是OA的中點，點P是對角線OB上的一個動點，∠AOC=60°，當(dāng)PA+PD最短時，點P的坐標為（ ）
A．6,23B．6,433C．4,2D．4,433
【變式5-4】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為菱形，點A-3,0，點D0,4，點B在x軸的正半軸上，則點C的坐標為（ ）．

A．5,4B．4,5C．4,3D．3,4
【變式5-5】（2023·陜西咸陽·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，菱形OABC的頂點A的坐標為4,0，點B、C 在第一象限, ∠AOC=60°，求點C的坐標．

題型06 利用矩形的性質(zhì)證明
【例6】（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，E,F是對角線AC上的兩點，且AE=CF．
(1)求證：△ADE≌△CBF；
(2)證明四邊形BEDF是菱形．
【變式6-1】（2023·山西·山西實驗中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，在菱形ABCD中，AC是對角線，點E是線段AC延長線上的一點，在線段CA的延長線上截取AF=CE，連接DF，BF，DE，BE．試判斷四邊形FBED的形狀，并說明理由．
【變式6-2】（2024上·黑龍江哈爾濱·九年級統(tǒng)考期末）【操作探究】
已知：在菱形ABCD中，點M在直線BD上，過M作AC的平行線交直線AD于點E，交直線AB于點F．
(1)【舉例感知】如圖1，當(dāng)點M在線段BD上時，求證：AC=ME+MF；
(2)【類比探究】
①當(dāng)點M在DB延長線上時，直接寫出AC、ME、MF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．
②當(dāng)點M在BD延長線上時，直接寫出AC、ME、MF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．
【變式6-3】（2020·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，E是AD的中點，點F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求證：四邊形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的長．

【變式6-4】（2022·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）已知菱形ABCD中，E是邊AB的中點，F(xiàn)是邊AD上一點．
(1)如圖1，連接CE，CF．CE⊥AB，CF⊥AD．
①求證：CE=CF；
②若AE=2，求CE的長；
(2)如圖2，連接CE，EF．若AE=3，EF=2AF=4，求CE的長．
題型07 添加一個條件證明四邊形是菱形
【例7】（2022·湖北襄陽·統(tǒng)考中考真題）如圖，?ABCD的對角線AC和BD相交于點O，下列說法正確的是（ ）

A．若OB＝OD，則?ABCD是菱形B．若AC＝BD，則?ABCD是菱形
C．若OA＝OD，則?ABCD是菱形D．若AC⊥BD，則?ABCD是菱形
【變式7-1】（2019·寧夏·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD的兩條對角線相交于點O，且互相平分．添加下列條件，仍不能判定四邊形ABCD為菱形的是（ ）
A．AC⊥BDB．AB=ADC．AC=BDD．∠ABD=∠CBD
【變式7-2】（2021·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E,F分別在BC,AD上，AF=EC．只需添加一個條件即可證明四邊形AECF是菱形，這個條件可以是 （寫出一個即可）．
【變式7-3】（2022·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BD，垂足為O，AB∥CD，要使四邊形ABCD為菱形，應(yīng)添加的條件是 ．（只需寫出一個條件即可）
題型08 證明四邊形是菱形
【例8】（2022·江蘇連云港·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E，使DE=AD，且BE⊥DC．
(1)求證：四邊形DBCE為菱形；
(2)若△DBC是邊長為2的等邊三角形，點P、M、N分別在線段BE、BC、CE上運動，求PM+PN的最小值．
【變式8-1】（2022·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）小惠自編一題：“如圖，在四邊形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，AC⊥BD，OB＝OD．求證：四邊形ABCD是菱形”，并將自己的證明過程與同學(xué)小潔交流．
若贊同小惠的證法，請在第一個方框內(nèi)打“√”；若贊成小潔的說法，請你補充一個條件，并證明．
【變式8-2】（2023·云南·統(tǒng)考中考真題）如圖，平行四邊形ABCD中，AE、CF分別是∠BAD、∠BCD的平分線，且E、F分別在邊BC、AD上，AE=AF．

(1)求證：四邊形AECF是菱形；
(2)若∠ABC=60°，△ABE的面積等于43，求平行線AB與DC間的距離．
【變式8-3】（2022·山東青島·統(tǒng)考中考真題）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E，F(xiàn)在對角線BD上，BE=EF=FD，∠BAF=∠DCE=90°．
(1)求證：△ABF≌△CDE；
(2)連接AE，CF，已知__________（從以下兩個條件中選擇一個作為已知，填寫序號），請判斷四邊形AECF的形狀，并證明你的結(jié)論．
條件①：∠ABD=30°；
條件2：AB=BC．
（注：如果選擇條件①條件②分別進行解答，按第一個解答計分）
題型09 根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求角度
【例9】（2020·河北唐山·統(tǒng)考一模）如圖，①以點A為圓心2cm長為半徑畫弧分別交∠MAN的兩邊AM、AN于點B、D；②以點B為圓心，AD長為半徑畫弧，再以點D為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點C；③分別連接BC、CD、AC，若∠MAN=60°，則∠ACB的大小為 ．
【變式9-1】（2023·四川成都·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以C、B為圓心，取AB的長為半徑作弧，兩弧交于點D．連接BD、AD．若∠ABD=130°，則∠CAD= ．
【變式9-2】（2022·寧夏中衛(wèi)·統(tǒng)考一模）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，若四邊形OBCD為菱形，則∠BAD的度數(shù)是 ．
【變式9-3】（2022·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，雨傘不論張開還是收緊，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC．當(dāng)傘收緊時，點D與點M重合，且點A，E（F），D在同一條直線上．已知傘骨的部分長度如下（單位：cm）：DE=DF=AE=AF=40．
(1)求AM的長．
(2)當(dāng)傘撐開時，量得∠BAC=110°，求AD的長．（結(jié)果精確到1cm）
參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.8192,cs55°≈0.5736,tan55°≈1.4281．
題型10 根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求線段長
【例10】（2023·湖北荊州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）在?ABCD中，用直尺和圓規(guī)作∠BAD的平分線AG交BC于點E．若BF=6，AB=5，則AE的長為（ ）

A．4B．6C．8D．10
【變式10-1】（2023·海南省直轄縣級單位·校考三模）如圖，在矩形ABCD中，過AC的中點O作EF⊥AC，交BC于E，交AD于F，連接AE、CF．若AB=3，∠DCF=30°，則EF的長為（ ）

A．2B．5C．3D．22
【變式10-2】（2023·青海海東·統(tǒng)考三模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，P為BC邊上的任意一點，連接PA，以PA、PC為鄰邊作?PAQC，連接PQ，當(dāng)AP=PC時，PQ的長為 ．

【變式10-3】（2023·吉林長春·統(tǒng)考二模）如圖，小李將一張邊長分別為4和10的矩形紙片對折、再對折，然后沿圖中的虛線AC剪下，將紙展開，就得到一個四邊形．若∠ACB=60°，則這個四邊形的周長為 ．
題型11 根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定求面積
【例11】（2023·云南·模擬預(yù)測）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中點，E是AD的中點，過點A作AF∥BC交CE的延長線于點F．
(1)求證：四邊形ADBF是菱形；
(2)若AB＝8，菱形ADBF的面積為40，求AC的長．
【變式11-1】（2022·貴州貴陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）折疊矩形紙片ABCD，使點B落在點D處，折痕為MN，已知AB=8，AD=4，則MN的長是（ ）A．535B．25C．735D．45
【變式11-2】（2019·山東德州·校聯(lián)考二模）如圖，在?ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE=DF
（1）求證：?ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求?ABCD的面積．
【變式11-3】（2022·吉林長春·?？寄M預(yù)測）如圖，矩形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，BE//AC，AE//BD．
（1）求證：四邊形AOBE是菱形；
（2）若∠AOB=60°，AC=4，求菱形AOBE的面積．
【變式11-4】（2022·江蘇南京·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是BC、DC的中點．
(1)求證∠AEF=∠AFE；
(2)若菱形ABCD的面積為8，則△AEF的面積為______．
題型12 根據(jù)菱形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題
【例12】（2023·內(nèi)蒙古·一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于12AC的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，F(xiàn)．下列結(jié)論：
①四邊形AECF是菱形；②∠AFB＝2∠ACB；③AC?EF＝CF?CD；
④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【變式12-1】（2023·廣東深圳·?？寄M預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為菱形，BF∥AC，DF交AC的延長線于點E，交BF于點F，且CE:AC=1:2．則下列結(jié)論：①△ABE≌△ADE；②∠CBE=∠CDF；③DE=FE；④S△BCE:S四邊形ABFD=1:10．其中正確結(jié)論是（ ）
A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④
【變式12-2】（2022·湖南長沙·長沙市長郡雙語實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，直線CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交于點E．連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F，則下列結(jié)論：
①四邊形ACBE是菱形； ②∠ACD=∠BAE； ③AF：FC=1：2；
其中正確的結(jié)論有 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號）
【變式12-3】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，點M，N分別在AD，將矩形紙片ABCD沿直線MN折疊，使得點C落在AD上的一點E處，現(xiàn)給出以下結(jié)論：
①連接CM，四邊形ENCM一定是菱形；
② F，M，C三點一定在同一直線上；
③當(dāng)點E與A重合時，A，B，C，D，F(xiàn)五點在同一個圓上；
④點E到邊MN，BN的距離可能相等．
其中正確的是 ．（寫出所有正確結(jié)論的序號）
題型13 與菱形有關(guān)的新定義問題
【例13】（2020·河北唐山·統(tǒng)考模擬預(yù)測）定義：如圖，若菱形AECF與正方形ABCD兩個頂點A，C重合，另外兩個頂點E，F(xiàn)在正方形ABCD的內(nèi)部，則稱菱形AECF為正方形ABCD的內(nèi)含菱形．
若正方形的周長為16，其內(nèi)含菱形邊長是整數(shù)，則內(nèi)含菱形的周長為 ；
若正方形的面積為18，其內(nèi)含菱形的面積為6，則內(nèi)含菱形的邊長為 ．
【變式13-1】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）定義：若四邊形中某個頂點與其它三個頂點距離相等，則這個四邊形叫做等距四邊形，這個頂點叫做這個四邊形的等距點．

(1)判斷：一個內(nèi)角為60°的菱形________等距四邊形．（填“是”或“不是”）
(2)如圖2，在5×5的網(wǎng)格圖中有A、B兩點，請在答題卷給出的兩個網(wǎng)格圖上各找出C、D兩個格點，使得以A、B、C、D為頂點的四邊形以A為等距點的“等距四邊形”，畫出相應(yīng)的“等距四邊形”（互不全等），并寫出該等距四邊形的端點均為非等距點的對角線長．端點均為非等距點的對角線長為________．
(3)如圖，在海上A，B兩處執(zhí)行任務(wù)的兩艘巡邏艇，根據(jù)接到指令A(yù)，B兩艇同時出發(fā)，A艇直接回到駐地O，B艇到C島執(zhí)行某項任務(wù)后回到駐地O（在C島執(zhí)行任務(wù)的時間忽略不計），已知A，B，C三點到O點的距離相等，AO∥BC，BC=100km，tanA=32，若A艇速度為65km/h，試問B艇的速度是多少時，才可以和A艇同時回到駐地？
【變式13-2】（2022·遼寧沈陽·東北育才雙語學(xué)校?？既＃径x】在平面直角坐標系xOy中，如果點A，C為某個菱形的一組對角的頂點，且點A，C在直線y=x上，那么稱該菱形為點A，C的“陽光菱形”，如圖是點A，C的“陽光菱形”的一個示意圖．

【運用】已知點M的坐標為2，2，點P的坐標為4，4．
(1)下列各組點，能與點M，P形成“陽光菱形”的是______．（直接填寫序號）
①E-4，10，F(xiàn)10,-4 ；②G1，6，H6，1 ；③I0，5，J5，0．
(2)如果四邊形MNPQ是點M，P的“陽光菱形”，點N在MP下方，且面積為16．
①求點N、點Q的坐標；
②如果直線y=kx-3k與折線MN-NP有唯一公共點，直接寫出滿足條件的k的取值范圍．
【變式13-3】（2022·江西萍鄉(xiāng)·校考模擬預(yù)測）若四邊形對角線互相垂直，那么我們定義這種四邊形為“對垂”四邊形．
特征辨析
(1)下列4個圖中，四邊形ABCD不是“對垂”四邊形的是（ ）
歸納探究
(2)如圖1，ED⊥AF于O，動點P，Q都從O點出發(fā)，點P沿OE運動到B，點Q沿OF運動到C．
①當(dāng)∠BAC=30°，OB=OC，OD=1，OA=4時，則AB2+CD2=___________，AD2+CB2=___________，據(jù)此結(jié)合（1）中相關(guān)圖形試猜想“對垂”四邊形ABCD兩組對邊AB，CD與BC，AD之間的數(shù)量關(guān)系：___________（用等式表示）；
②在“對垂”四邊形ABCD中，當(dāng)①中的條件都不存在時，①中所猜想的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？若成立，請予以證明；若不成立，請說明理由．
拓展應(yīng)用
(3)如圖2，四邊形AEDB和四邊形AGFC均為正方形，點B恰好在FC的延長線上，且已知AC=2，AB=3，求GE的長．
題型14 與菱形有關(guān)的規(guī)律探究問題
【例14】（2023·廣東深圳·?？家荒＃┤鐖D，菱形OABC的頂點O(0,0)，A(-2,0)，∠B=60°，若菱形OABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到菱形OA1B1C1，依此方式，繞點O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次得到菱形OA2024B2024C2024，那么點C2024的坐標是( )

A．3,1B．1,-3C．-3,-1D．-1,3
【變式14-1】（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的頂點均在坐標軸上，且點B的坐標為2,0，以AB為邊構(gòu)造菱形ABEF，將菱形ABEF與正方形ABCD組成的圖形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)結(jié)束時，點F的對應(yīng)點F2023的坐標為（ ）

A．-2,22B．22,-2C．-22,2D．-2,-22
【變式14-2】（2023·湖南永州·統(tǒng)考二模）如圖，已知矩形ABCD的邊長分別為6，4，進行如下操作：第一次，順次連接矩形ABCD各邊的中點，得到四邊形A1B1C1D1；第二次，順次連接四邊形A1B1C1D1各邊的中點，得到四邊形A2B2C2D2；…如此反復(fù)操作下去，則第n次操作后，得到四邊形AnBnCnDn的面積是（ ）

A．32n-4B．32n-3C．32n-2D．322n-3
【變式14-3】（2023·貴州銅仁·?？家荒＃┤鐖D，菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=1，延長CD至A1，使DA1=CD，以A1C為一邊，在BC的延長線上作菱形A1CC1D1，連接AA1，得到△ADA1；再延長C1D1至A2，使D1A2=C1D1，以A2C1為一邊，在CC1的延長線上作菱形A2C1C2D2，連接A1A2，得到△A1D1A2…按此規(guī)律，得到△A2021D2021A2022，記△ADA1的面積為S1，△A1D1A2的面積為S2???，△A2021D2021A2022的面積為S2022，則S2022= ．

【變式14-4】（2020·甘肅蘭州·蘭州市外國語學(xué)校?？级＃┤鐖D，在菱形ABCD中，邊長為1，∠A＝60?，順次連接菱形ABCD各邊中點，可得四邊形A1B1C1D1；順次連結(jié)四邊形A1B1C1D1各邊中點，可得四邊形A2B2C2D2；順次連結(jié)四邊形A2B2C2D2各邊中點，可得四邊形A3B3C3D3；按此規(guī)律繼續(xù)下去，…，則四邊形A2019B2019C2019D2019的面積是 ．
【變式14-5】（2019·甘肅白銀·校聯(lián)考一模）如圖，作出邊長為1的菱形ABCD，∠DAB＝60°，連接對角線AC，以AC為邊作第二個菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°，連接AC1，再以AC1為邊作第三個菱形ACC2D2，使∠D2AC1＝60°；…按此規(guī)律所作的第2019個菱形的邊長為 ．
題型15 與菱形有關(guān)的動點問題
【例15】（2023·廣東東莞·統(tǒng)考一模）如圖菱形ABCD的邊長為4cm，，∠A=60°，動點P，Q同時從點A出發(fā)，都以1cm/s的速度分別沿A→B→C和A→D→C的路經(jīng)向點C運動，設(shè)運動時間為x（單位：s），四邊形PBDQ的面積為y（單位：cm2），則y與x0≤x≤8之間的函數(shù)關(guān)系可用圖象表示為（ ）
A．B．C．D．
【變式15-1】（2017·山東濰坊·統(tǒng)考一模）菱形OBCD在平面直角坐標系中的位置如圖所示，頂點B2，0，∠DOB=60°，點E坐標為0,-3，點P是對角線OC上一個動點．則EP+BP的最短距離是 ．

【變式15-2】（2023·湖北省直轄縣級單位·模擬預(yù)測）用四根一樣長的木棍搭成菱形ABCD，P是線段DC上的動點（點P不與點D和點 C重合），在射線BP上取一點M，連接DM，CM，使∠CDM=∠CBP．
操作探究一

(1)如圖1，調(diào)整菱形ABCD，使∠A=90°，當(dāng)點M在菱形ABCD外時，在射線BP上取一點N，使BN=DM，連接CN，則∠BMC= ，MCMN=
操作探究二
(2)如圖2，調(diào)整菱形ABCD，使∠A=120°，當(dāng)點M在菱形ABCD外時，在射線BP上取一點N，使BN=DM，連接CN，探索MC與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
拓展遷移
(3)在菱形ABCD中，∠A=120°，AB=6．若點P在直線CD上，點M在射線BP上，且當(dāng)∠CDM=∠PBC=45°時，請直接寫出MD的長．
【變式15-3】（2023·江蘇鹽城·景山中學(xué)?？寄M預(yù)測）如圖，BD是菱形ABCD的對角線，AB=BD=2cm．動點P從點A出發(fā)，沿折線AB-BC以1cm/s的速度向終點C運動，當(dāng)點P出發(fā)后，且不與點B重合時，過點P作PQ∥BD交折線AD-DC于點Q．以PQ為邊作正三角形PQE，且點E與BD始終在PQ的同側(cè)．設(shè)正三角形PQE與△ABD重疊部分圖形的面積為Scm2，點P運動的時間為ts．

(1)當(dāng)點E落在BD上時，求t的值；
(2)當(dāng)點P在AB邊上時，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
(3)當(dāng)點E落在∠BDC的平分線上時，直接寫出t的值．
【變式15-4】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=6cm．動點P從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿邊AB向終點B勻速運動．以PA為一邊作∠APQ=120°，另一邊PQ與折線AC-CB相交于點Q，以PQ為邊作菱形PQMN，點N在線段PB上．設(shè)點P的運動時間為xs，菱形PQMN與△ABC重疊部分圖形的面積為ycm2．

(1)當(dāng)點Q在邊AC上時，PQ的長為 cm．（用含x的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)點M落在邊BC上時，求x的值．
(3)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍．
題型16 菱形與一次函數(shù)綜合
【例16】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=-43x+4的圖像與x軸、y軸分別交于點A、B，以AB為邊作菱形ABCD，BC∥x軸，則菱形ABCD的周長是 ．
【變式16-1】（2018·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）已知一次函數(shù)y=﹣3x+3的圖象與x軸、y軸分別交于A、B兩點．直線l過點A且垂直于x軸．兩動點D、E分別從A B兩點間時出發(fā)向O點運動（運動到O點停止）．運動速度分別是每秒1個單位長度和3個單位長度．點G、E關(guān)于直線l對稱，GE交AB于點F．設(shè)D、E的運動時間為t（s）．
（1）當(dāng)t為何值時，四邊形是菱形？判斷此時△AFG與AGB是否相似，并說明理由；
（2）當(dāng)△ADF是直角三角形時，求△BEF與△BFG的面積之比．
題型17 菱形與反比例函數(shù)綜合
【例17】（2023·吉林長春·吉林大學(xué)附屬中學(xué)校考模擬預(yù)測）如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABCO的頂點O為坐標原點，邊CO在x軸正半軸上，∠AOC=60°，反比例函數(shù)y=3xx>0的圖象經(jīng)過點A，且交菱形對角線BO于點D，DE⊥x軸于點E，則CE長為（ ）

A．1B．3C．2-3D．3-1
【變式17-1】（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考二模）如圖，平面直角坐標系中，菱形ABCD的頂點A,C在反比例函數(shù)y=kx(k0)的圖像上．

(1)求該反比例函數(shù)的解析式；
(2)若點N是反比例函數(shù)圖像上一點，當(dāng)四邊形ABCN是菱形時，求出點N坐標．
【變式17-4】（2023·河南周口·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為6,8，連接OA，過點A作x軸的垂線，垂足為B，∠AOB的平分線與線段AB交于點P．

(1)若反比例函數(shù)y=kxx>0的圖像經(jīng)過點P，求反比例函數(shù)的解析式．
(2)如圖，過點A作x軸的平行線，交射線OP于點Q，過點Q作OA的平行線，交x軸于點R．求證：四邊形OAQR是菱形．
【變式17-5】（2023·河南商丘·統(tǒng)考三模）如圖，菱形OBAC頂點A在反比例函數(shù)y=kx (x>0)的圖象上，點B在y軸上，點C為(4,3)．

(1)求k的值；
(2)點P為反比例函數(shù)圖象上一個動點，過點P作PN⊥x軸于點N，交OA于點M，若PM=MN，求點P的坐標．
題型18 菱形與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合
【例18】（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=kx+b的圖像與反比例函數(shù)y=mxm>0的圖像相交于A3,4，B-4,n兩點，與x軸相交于點C．

(1)求m和n的值；
(2)若點Pe,f在該反比例函數(shù)的圖像上，且它到y(tǒng)軸的距離小于3，則f的取值范圍是 ；（直接寫出答案）
(3)以AC為邊在右側(cè)作菱形ACDE．使點D在x軸正半軸上，點E在第一象限，雙曲線交DE于點F，連接AF,CF，則△ACF的面積為 ．（直接寫出答案）
【變式18-1】（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，已知反比例函數(shù)y1=kx與一次函數(shù)y2=x+2圖象在第一象限內(nèi)相交于A3,n與x軸相交于點B．
(1)求n和k的值．
(2)根據(jù)圖象，當(dāng)y1≥y2時，求x的取值范圍．
(3)如圖，以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，求點D的坐標．
【變式18-2】（2023·安徽合肥·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知一次函數(shù)y1=32x-3的圖象與反比例函數(shù)y2=kx第一象限內(nèi)的圖象相交于點A4,n，與x軸相交于點B．
(1)求n和k的值；
(2)如圖，以AB為邊作菱形ABCD，使點C在x軸正半軸上，點D在第一象限，雙曲線交CD于點E，連接AE、BE，求S△ABE．
【變式18-3】（2021·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，一次函數(shù)y=mx+1的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象相交于A、B兩點，點C在x軸正半軸上，點D(1,-2)，連接OA、OD、DC、AC，四邊形OACD為菱形．
(1)求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；
(2)根據(jù)圖象，直接寫出反比例函數(shù)的值小于2時，x的取值范圍；
(3)設(shè)點P是直線AB上一動點，且S△OAP=12S菱形OACD，求點P的坐標．
題型19 菱形與二次函數(shù)綜合
【例19】（2023·江蘇鹽城·?？既＃┮?guī)定：若一個四邊形中，有且僅有三條邊相等，那么我們稱這個四邊形為“準菱形”
(1)若二次函數(shù)y=ax2+bx+c的頂點為A(1,4)，且與x軸交于點B(-1,0)及點C．
①求二次函數(shù)表達式．
②y軸上是否存在點D，使得四邊形ABDC為“準菱形”，若存在，請求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
(2)已知四邊形ABCD，點P為對角線BD上一點，PG∥AD，PQ∥BC，且PG=BG=CQ，
求證：四邊形ABCD為“準菱形”．

(3)利用無刻度的直尺及圓規(guī)按要求進行作圖：分別在線段BC、AD上找點P、Q，使得BP=PQ=QD．
提示：小紅同學(xué)已寫了一些步驟，請你按照小紅的思路繼續(xù)完成（保留作圖痕跡；也可作自己的方法）
步驟一：分別以B、D為圓心，相同長度為半徑畫圓，交BC、AD于點E、F；

【變式19-1】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=ax2+bx+4（a＜0）的圖象與x軸交于點A（﹣2，0）和點B（4，0），與y軸交于點C，直線BC與對稱軸交于點D．
(1)求二次函數(shù)的解析式．
(2)若拋物線y=ax2+bx+4（a＜0）的對稱軸上有一點M，以O(shè)、C、D、M四點為頂點的四邊形是平行四邊形時，求點M的坐標．
(3)將拋物線y=ax2+bx+4（a＜0）向右平移2個單位得到新拋物線，新拋物線與原拋物線交于點E，點F是新拋物線的對稱軸上的一點，點G是坐標平面內(nèi)一點，當(dāng)以D、E、F、G四點為頂點的四邊形是菱形時，求點F的坐標．
【變式19-2】（2022·湖南永州·統(tǒng)考一模）如圖，一次函數(shù)y=33x-3圖象與坐標軸交于點A、B，二次函數(shù)y=33x2+bx+c圖象過A、B兩點．
（1）求二次函數(shù)解析式；
（2）點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為點C，點P是對稱軸上一動點，在拋物線上是否存在點Q，使得以B、C、P、Q為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出Q點坐標；若不存在，請說明理由．
【變式19-3】（2021·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，已知二次函數(shù)y=ax2-4ax+3a（a>0）的圖象與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，橫坐標分別為m，n（m

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