TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc157234086" \l "_Tc157028086" 一、考情分析
二、知識建構(gòu)
\l "_Tc157234087" 考點一 圓的相關概念
\l "_Tc157234088" 題型01 理解圓的相關概念
\l "_Tc157234089" 題型02 圓的周長與面積相關計算
\l "_Tc157234090" 題型03 圓中的角度計算
\l "_Tc157234091" 題型04 圓中線段長度的計算
\l "_Tc157234092" 題型05 求一點到圓上一點的距離最值
\l "_Tc157234093" 考點二 圓的性質(zhì)
\l "_Tc157234094" 題型01 由垂徑定理及推論判斷正誤
\l "_Tc157234095" 題型02 利用垂徑定理求解
\l "_Tc157234096" 題型03 根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解
\l "_Tc157234097" 題型04 根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解
\l "_Tc157234098" 題型05 在坐標系中利用勾股定理求值或坐標
\l "_Tc157234099" 題型06 利用垂徑定理求平行弦問題
\l "_Tc157234100" 題型07 利用垂徑定理求同心圓問題
\l "_Tc157234101" 題型08 垂徑定理在格點中的應用
\l "_Tc157234102" 題型09 利用垂徑定理的推論求解
\l "_Tc157234103" 題型10 垂徑定理的實際應用
\l "_Tc157234104" 題型11 利用垂徑定理求取值范圍
\l "_Tc157234105" 題型12 利用弧、弦、圓心角關系判斷正誤
\l "_Tc157234106" 題型13 利用弧、弦、圓心角關系求角度
\l "_Tc157234107" 題型14 利用弧、弦、圓心角關系求線段長
\l "_Tc157234108" 題型15 利用弧、弦、圓心角關系求周長
\l "_Tc157234109" 題型16 利用弧、弦、圓心角關系求面積
\l "_Tc157234110" 題型17 利用弧、弦、圓心角關系求弧的度數(shù)
\l "_Tc157234111" 題型18 利用弧、弦、圓心角關系比較大小
\l "_Tc157234112" 題型19 利用弧、弦、圓心角關系求最值
\l "_Tc157234113" 題型20 利用弧、弦、圓心角關系證明
\l "_Tc157234114" 題型21 利用圓周角定理求解
\l "_Tc157234115" 題型22 利用圓周角定理推論求解
\l "_Tc157234116" 題型23 已知圓內(nèi)接四邊形求角度
\l "_Tc157234117" 題型24 利用圓的有關性質(zhì)求值
\l "_Tc157234118" 題型25 利用圓的有關性質(zhì)證明
\l "_Tc157234119" 題型26 利用圓的有關性質(zhì)解決翻折問題
\l "_Tc157234120" 題型27 利用圓的有關性質(zhì)解決最值問題
\l "_Tc157234121" 題型28 利用圓的有關性質(zhì)求取值范圍
\l "_Tc157234122" 題型29 利用圓的有關性質(zhì)解決多結(jié)論問題
\l "_Tc157234123" 題型30 圓有關的常見輔助線-遇到弦時, 常添加弦心距
\l "_Tc157234124" 題型31 圓有關的常見輔助線-遇到有直徑時, 常添加（畫）直徑所對的圓周角
考點一 圓的相關概念
題型01 理解圓的相關概念
【例1】（2023·廣東湛江·統(tǒng)考二模）下列說法中，正確的是（ ）
①對角線垂直且互相平分的四邊形是菱形；②對角線相等的四邊形是矩形；③同弧或等弧所對的圓周角相等；④弧分為優(yōu)弧和劣?。?br>A．①B．①③C．①③④D．②③④
【變式1-1】（2023·上海普陀·統(tǒng)考二模）下列關于圓的說法中，正確的是（ ）
A．過三點可以作一個圓B．相等的圓心角所對的弧相等
C．平分弦的直徑垂直于弦D．圓的直徑所在的直線是它的對稱軸
【變式1-2】（2021·河南南陽·校聯(lián)考一模）下列關于圓的說法，正確的是（ ）
A．弦是直徑，直徑也是弦
B．半圓是圓中最長的弧
C．圓的每一條直徑所在的直線都是它的對稱軸
D．過三點可以作一個圓
【變式1-3】（2022·四川德陽·模擬預測）下列語句中，正確的是（ ）
①相等的圓周角所對的弧相等；②同弧或等弧所對的圓周角相等；③平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的??；④圓內(nèi)接平行四邊形一定是矩形．
A．①②B．②③C．②④D．④
題型02 圓的周長與面積相關計算
【例2】（2023·福建泉州·南安市實驗中學?？级＃┻m時的休閑可以緩解學習壓力，如圖是火影忍者中的仙法·白激之術(shù)，其形狀外圍大致為正圓，整體可看成為兩個同心圓，BC=400像素，∠ABC=90°，那么周圍圓環(huán)面積約為（ ）

A．40000πB．1600πC．64000πD．160000π
【變式2-1】（2019·廣東佛山·佛山市三水區(qū)三水中學?？家荒＃┠彻珗@計劃砌一個形狀如圖（1）所示的噴水池，后來有人建議改為圖（2）的形狀，且外圓的直徑不變，噴水池邊沿的寬度、高度不變，你認為砌噴水池的邊沿（ ）
A．圖（1）需要的材料多B．圖（2）需要的材料多
C．圖（1）、圖（2）需要的材料一樣多D．無法確定
【變式2-2】（2021·河南南陽·校聯(lián)考一模）方孔錢是我國古代銅錢的固定形式，呈“外圓內(nèi)方”．如圖所示，是方孔錢的示意圖，已知“外圓”的周長為2π，“內(nèi)方”的周長為4，則圖中陰影部分的面積是 ．
【變式2-3】（2022·山東濟寧·統(tǒng)考一模）如圖，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的 倍．（精確到個位）
【變式2-4】（2021·四川內(nèi)江·四川省內(nèi)江市第六中學校考一模）把一個圓心為O，半徑為r的小圓面積增加一倍，兩倍，三倍，分別得到如圖所示的四個圓（包括原來的小圓），則這四個圓的周長之比（按從小到大順序排列）是 ．
題型03 圓中的角度計算
【例3】（2022·江蘇常州·統(tǒng)考一模）如圖，已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，點C在弦AB上，連接CO并延長CO交于⊙O于點D，∠D=20°，則∠BAD的度數(shù)是（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【變式3-1】（2023·山東聊城·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的弦，OC⊥AB，垂足為C，OD∥AB，OC＝12OD，則∠ABD的度數(shù)為（ ）
A．90°B．95°C．100°D．105°
【變式3-2】（2022·河北廊坊·統(tǒng)考模擬預測）如圖，CD是⊙O的直徑，弦DE ∥AO，若∠A=25°，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【變式3-3】（2022·江蘇蘇州·蘇州市振華中學校?？寄M預測）如圖，在扇形AOB中，D為AB上的點，連接AD并延長與OB的延長線交于點C，若CD=OA，∠O=75°，則∠A的度數(shù)為（ ）
A．35°B．52.5°C．70°D．72°
題型04 圓中線段長度的計算
【例4】（2023·湖南益陽·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在斜邊AB上，以BD為直徑的⊙O經(jīng)過邊AC上的點E，連接BE，且BE平分∠ABC，若⊙O的半徑為3，AD=2，則線段BC的長為（ ）

A．403B．8C．245D．6
【變式4-1】（2023·云南臨滄·統(tǒng)考一模）已知AB=12，C、D是以AB為直徑的⊙O上的任意兩點，連接CD，且AB⊥CD，垂足為M，∠OCD=30°，則線段MB的長為 ．
【變式4-2】（2023·廣東·統(tǒng)考一模）已知A、B是圓O上的點，以O為圓心作弧，交OA、OB于點C、D．分別以點C和點D為圓心，大于12CD長為半徑畫弧，兩弧相交于點E．作線段OE，交AB于點F，交⊙O于點G．若OF=3cm，∠AOB=120°，則⊙O的半徑為 cm．
題型05 求一點到圓上一點的距離最值
【例5】（2023·山東德州·統(tǒng)考三模）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB=3，BC=4．點P是線段BC上一動點，點M為線段AP上一點．∠ADM=∠BAP，則BM的最小值為（ ）
A．52B．125C．13-32D．13-2
【變式5-1】（2021·山東臨沂·統(tǒng)考模擬預測）如圖，在RtΔABC中，∠ACB=90°，AC=10，BC=12，點D是ΔABC內(nèi)的一點，連接AD，CD，BD，滿足∠ADC=90°，則BD的最小值是（ ）
A．5B．6C．8D．13
【變式5-2】（2022·山東臨沂·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于點D，AD=5，P是半徑為3的⊙A上一動點，連結(jié)PC，若E是PC的中點，連結(jié)DE，則DE長的最大值為（ ）
A．8B．8.5C．9D．9.5
【變式5-3】（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）如圖，點A，B的坐標分別為A(3，0)、B(0，3)，點C為坐標平面內(nèi)的一點，且BC=2，點M為線段AC的中點，連接OM，則OM的最大值為（ ）
A．322+1B．32+2C．322D．2
考點二 圓的性質(zhì)
1. 圓的對稱性
2. 垂徑定理及推論
垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.
推論：1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.
垂徑定理模型（知二得三）
如圖，可得①AB過圓心 ②AB⊥CD ③CE=DE ④AC=AD ⑤BC=BD
【總結(jié)】垂徑定理及其推論實質(zhì)是指一條直線滿足：（1）過圓心（2）垂直于弦（3）平分弦（被平分的弦不是直徑）（4）平分弦所對的優(yōu)?。?）平分弦所對的劣弧，若已知五個條件中的兩個，那么可推出其中三個，簡稱“知二得三”，解題過程中應靈活運用該定理.
常見輔助線做法（考點）：1）過圓心，作垂線，連半徑，造Rt△，用勾股，求長度；
2）有弦中點，連中點和圓心，得垂直平分.
2）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧.
【易錯點】求兩條弦間的距離時要分類討論兩條弦與圓心的相對位置：兩弦在圓心的同側(cè)，兩弦在圓心的異側(cè)．
3. 弧、弦、圓心角的關系
定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等.
推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量分別相等.
【解題思路】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么這兩條弧所對的弦相等，所對的圓心角、圓周角也都相等．運用這些相等關系，可以實現(xiàn)線段相等與角相等之間的相互轉(zhuǎn)化．
4. 圓周角定理
圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.（即：圓周角= 12 圓心角）
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等.
推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.
【補充】圓的一條?。ㄏ遥┲粚χ粋€圓心角，對應的圓周角有無數(shù)個，但圓周角的度數(shù)只有兩個，這兩個度數(shù)和為180°
【解題思路】
1）在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半，在同圓中可以利用圓周角定理進行角的轉(zhuǎn)化.
2）在證明圓周角相等或弧相等時，通?！坝傻冉钦业然　被颉坝傻然≌业冉恰?
3）當已知圓的直徑時，常構(gòu)造直徑所對的圓周角．
4）在圓中求角度時，通常需要通過一些圓的性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化．比如圓心角與圓周角間的轉(zhuǎn)化；同弧或等弧的圓周角間的轉(zhuǎn)化；連直徑，得到直角三角形，通過兩銳角互余進行轉(zhuǎn)化等．
1）圓周角和圓心角的轉(zhuǎn)化可通過作圓的半徑構(gòu)造等腰三角形,利用等腰三角形的頂點和底角的關系進行轉(zhuǎn)化.
2）圓周角和圓周角可利用其“橋梁”——圓心角來轉(zhuǎn)化.
3）圓周角定理成立的條件是“同一條弧所對的”兩種角，在運用定理時不要忽略了這個條件，把不同弧所對的圓周角與圓心角錯當成同一條弧所對的圓周角和圓心角.
5. 圓內(nèi)接四邊形
性質(zhì)：1）圓內(nèi)接四邊形對角互補.
2) 圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角.
題型01 由垂徑定理及推論判斷正誤
【例1】（2023·浙江·模擬預測）如圖，CD是⊙O是直徑，AB是弦且不是直徑，CD⊥AB，則下列結(jié)論不一定正確的是（ ）

A．AE=BEB．OE=DEC．AO=COD．AD=BD
【變式1-1】（2022·河南洛陽·統(tǒng)考一模）如圖，點F是⊙O直徑AB上一個動點（不與點A，B重合），過點F作弦CD⊥AB，點E是AD上不與點D重合的一個動點，則下列結(jié)論中不一定正確的是（ ）
A．CF=DFB．AC=AD
C．∠BAC=∠BEDD．∠ABC>∠BED
【變式1-2】（2022·山東濟寧·二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO、AD、OD，∠BAD=22.5°，則下列說法中不正確的是（ ）
A．CE=EOB．OC=2CDC．∠OCE=45°D．∠BOC=2∠BAD
題型02 利用垂徑定理求解
【例2】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┤鐖D，線段CD是⊙O的直徑，CD⊥AB于點E，若AB長為16，OE長為6，則⊙O半徑是（ ）
A．5B．6C．8D．10
【變式2-1】（2022·重慶·重慶八中?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，AC＝CD，⊙O的半徑為22，則△AOC的面積為（ ）
A．3B．2C．23D．4
【變式2-2】（2022·廣東廣州·執(zhí)信中學?？级＃┤鐖D，⊙O是ΔABC的外接圓，∠BAC=60°，若⊙O的半徑OC為2，則弦BC的長為（ ）
A．4B．23C．3D．3
【變式2-3】（2022·浙江寧波·統(tǒng)考模擬預測）已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長為（ ）
A．25cmB．43cmC．25cm或45cmD．23cm或43cm
題型03 根據(jù)垂徑定理與全等三角形綜合求解
【例3】（2022·湖北襄陽·模擬預測）如圖，AB為⊙O的直徑，AE為⊙O的弦，C為優(yōu)弧ABE的中點，CD⊥AB，垂足為D，AE=8，DB=2，則⊙O的半徑為（ ）
A．6B．5C．42D．43
【變式3-1】（2020·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C為BD的中點，CF為⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足為E，連接BD交CF于點G，連接CD，AD，BF．
(1)求證：ΔBFG?ΔCDG；
(2)若AD=BE=2，求BF的長．
【變式3-2】（2023·湖北武漢·?？寄M預測）如圖AB為圓O的直徑，AE為圓O的弦，C為O上一點，AC=CE，CD⊥AB，垂足為D．

(1)連接CO，判斷CO與AE的位置關系，并證明；
(2)若AE=8，BD=2，求圓O的半徑；
題型04 根據(jù)垂徑定理與相似三角形綜合求解
【例4】（2022·重慶沙坪壩·重慶南開中學?？既＃┤鐖D，點E是⊙O中弦AB的中點，過點E作⊙O的直徑CD，P是⊙O上一點，過點P作⊙O的切線與AB延長線交于點F，與CD延長線交于點G，若點P為FG中點，csF=35，⊙O的半徑長為3則CE的長為（ ）
A．75B．85C．32D．43
【變式4-1】（2022·四川瀘州·校考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點F，OE⊥AC于點E，若OE＝3，OB＝5，則CD的長度是（ ）
A．9.6B．45C．53D．10
【變式4-2】（2019·新疆阿克蘇·模擬預測）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD⊥AO于E，連接BC，過點O作OF⊥BC于F，若BD=8cm，AE=2cm，則OF的長度是（ ）
A．3cmB．6 cmC．2.5cmD．5 cm
【變式4-3】（2023·河南周口·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上的一點．
(1)過點B作⊙O的切線PB，交AC的延長線于點P（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
(2)在（1）的條件下，若OD⊥BC，垂足為D，OD=2，PC=9，求PB的長．
題型05 在坐標系中利用勾股定理求值或坐標
【例5】（2021·吉林松原·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標系中，點P在第一象限，⊙P與x軸、y軸都相切，且經(jīng)過矩形AOBC的頂點C，與BC相交于點D，若⊙P的半徑為5，點A的坐標是(0,8)，則點D的坐標是（ ）

A．(9,2)B．(9,3)C．(10,2)D．(10,3)
【變式5-1】（2023·湖南衡陽·校考模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，⊙P與y軸相切于點C，與x軸相交于A，B兩點，假設點P的坐標為（5，3），點M是⊙P上的一動點，那么△ABM面積的最大值為（ ）

A．64B．48C．32D．24
【變式5-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在平面直角坐標系xOy中，以M3,5為圓心，AB為直徑的圓與x軸相切，與y軸交于A、C兩點，則點B的坐標是 ．
【變式5-3】（2022·江蘇南京·校聯(lián)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，一個圓與兩坐標軸分別交于A、B、C、D四點．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），則點D的坐標為 ．
【變式5-4】（2022·新疆昌吉·統(tǒng)考一模）如圖，在平面直角坐標系中，⊙M與x軸相切于點A，與y軸交點分別為B、C，圓心M的坐標是（4，5），則弦BC的長度為 ．
【變式5-5】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，以點C1,1為圓心，2為半徑作圓，交x軸于A，B兩點，點P在⊙C上．

(1)求出A，B兩點的坐標；
(2)試確定經(jīng)過A、B兩點且以點P為頂點的拋物線解析式；
(3)在該拋物線上是否存在一點D，使線段OP與CD互相平分？若存在，求出點D的坐標；若不存在，請說明理由．
題型06 利用垂徑定理求平行弦問題
【例6】（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）已知⊙O的直徑為10cm， AB，CD是⊙O的兩條弦，AB∥CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD之間的距離為（ ）．
A．1B．7C．1或7D．3或4
【變式6-1】（2022·江蘇宿遷·校聯(lián)考一模）已知⊙O的直徑為10cm，AB，CD是⊙O的兩條弦，AB//CD，AB=8cm，CD=6cm，則AB與CD之間的距離為 cm．
【變式6-2】（2022·江蘇泰州·統(tǒng)考二模）如圖，在⊙O中，AB是直徑，弦EF∥AB．
(1)在圖1中，請僅用不帶刻度的直尺畫出劣弧EF的中點P；（保留作圖痕跡，不寫作法）
(2)如圖2，在（1）的條件下連接OP、PF，若OP交弦EF于點Q，現(xiàn)有以下三個選項：①△PQF的面積為32；②EF=6；③PF=10，請你選擇兩個合適選項作為條件，求⊙O的半徑，你選擇的條件是 （填序號）
題型07 利用垂徑定理求同心圓問題
【例7】（2020·山東泰安·?？寄M預測）如圖，兩個同心圓，大圓的半徑為5，小圓的半徑為3，若大圓的弦AB與小圓有公共點，則弦AB的取值范圍是（ ）
A．8≤AB≤10B．8＜AB≤10C．4≤AB≤5D．4＜AB≤5
【變式7-1】（2022·四川綿陽·?？家荒＃┤鐖D，⊙O1的弦AB是⊙O2的切線，且AB∥O1O2，如果AB＝12cm，那么陰影部分的面積為（ ）．
A．36πcm2B．12πcm2C．8πcm2D．6πcm2
【變式7-2】（2022·湖南長沙·模擬預測）如圖，在以點O為圓心的兩個同心圓中，大圓的弦AB切小圓于點C，若AB=8，則圓環(huán)的面積是 ．
題型08 垂徑定理在格點中的應用
【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考模擬預測）如圖所示，在由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過格點A，B，C，AE的延長線經(jīng)過格點D，則AE的長為（ ）
A．3π4B．π2C．5π8D．5π4
【變式8-1】（2023·天津河西·天津市新華中學?？级＃┤鐖D，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點A，點B，點D均在格點上，并且在同一個圓上，取格點M，連接AM并延長交圓于點C，連接AD．

（1）AM= ；
（2）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺畫出線段AP，使AP平分∠CAD，且點P在圓上，并簡要說明點P的位置是如何找到的（不要求證明） ．
【變式8-2】（2023·天津東麗·統(tǒng)考二模）如圖，在網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點，點A，B，M均為格點，以格點O為圓心，AB為直徑作圓，點M在圓上．

（Ⅰ）線段AB的長等于 ；
（Ⅱ）請在如圖所示的網(wǎng)格中，用無刻度的直尺，在BM上找出一點P，使PM=AM，并簡要說明畫圖方法（不要求證明）
【變式8-3】（2023·湖北武漢·模擬預測）如圖，由小正方形構(gòu)成的6×6網(wǎng)格中，每個正方形的頂點叫做格點．⊙O經(jīng)過A、B、C三點，僅用無刻度的直尺在給定的網(wǎng)格中按要求作圖（保留作圖痕跡）．

(1)在圖1中畫出圓心O；
(2)在圖2中的圓上找一點E，使OE平分弧BC；
(3)在圖3中的圓上找一點F，使BF平分∠ABC．
題型09 利用垂徑定理的推論求解
【例9】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是弧BE的中點，點B是弧CD的中點，若AB=10，BG=2，則BE的長為（ ）

A．3B．4C．6D．8
【變式9-1】（2022·四川資陽·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，C、D是⊙O上兩點，若BC＝BD，∠OCD＝14°，則∠D的度數(shù)為（ ）
A．34°B．36°C．37°D．38°
【變式9-2】（2023·四川巴中·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，E為弧BC上一點，若∠CEA=28°，則∠ABD的度數(shù)為（ ）
A．14°B．28°C．56°D．無法確定
題型10 垂徑定理的實際應用
【例10】（2021·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考模擬預測）往直徑為52cm的圓柱形容器內(nèi)裝入一些水以后，截面如圖所示，若水面寬AB=48cm，則水的最大深度為（ ）
A．8cmB．10cmC．16cmD．20cm
【變式10-1】（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）我國古代數(shù)學經(jīng)典著作《九章算術(shù)》中記載了一個“圓材埋壁”的問題“今有圓材埋在壁中，不知大小．以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問徑幾何？”意思是：今有一圓柱形木材，埋在墻壁中，不知大小，用鋸子去鋸這個木材，鋸口深DE=1寸，鋸道AB=1尺（1尺=10寸），則這根圓柱形木材的直徑是（ ）
A．12寸B．13寸
C．24寸D．26寸
【變式10-2】（2023·北京西城·統(tǒng)考一模）“圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的應用，例如古典園林中的門洞，如圖，某地園林中的一個圓弧形門洞的高為2.5m，地面入口寬為1m,則該門洞的半徑為 m．
【變式10-3】（2023·廣東佛山·校考三模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敝肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．
(1)某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，則這條橋主橋拱的半徑是______m；
(2)某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN=10m，拱頂P（拋物線頂點）距離水面4m，求橋拱拋物線的解析式；
(3)如圖③，某時橋A和橋B的橋下水位均上升了2m，求此時兩橋的水面寬度．
【變式10-4】（2022·上海奉賢·統(tǒng)考二模）圖1是某種型號圓形車載手機支架，由圓形鋼軌、滑動桿、支撐桿組成．圖2是它的正面示意圖，滑動桿AB的兩端都在圓O上，A、B兩端可沿圓形鋼軌滑動，支撐桿CD的底端C固定在圓O上，另一端D是滑動桿AB的中點，（即當支架水平放置時直線AB平行于水平線，支撐桿CD垂直于水平線），通過滑動A、B可以調(diào)節(jié)CD的高度．當AB經(jīng)過圓心O時，它的寬度達到最大值10cm，在支架水平放置的狀態(tài)下：
(1)當滑動桿AB的寬度從10厘米向上升高調(diào)整到6厘米時，求此時支撐桿CD的高度．
(2)如圖3，當某手機被支架鎖住時，鎖住高度與手機寬度恰好相等（AE=AB），求該手機的寬度．
題型11 利用垂徑定理求取值范圍
【例11】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考二模）如圖，⊙O的半徑為5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一個動點，則OP的長度范圍是（ ）
A．8≤OP≤10B．5≤OP≤8C．4≤OP≤5D．3≤OP≤5
【變式11-1】（2023上·江蘇南通·九年級?？计谀┮阎鐖D，∠MON=60°，點A，B為射線OM，ON上的動點，且AB=43，在∠MON的內(nèi)部、△AOB的外部有一點P，且AP=BP，∠APB=120°，則線段OP的取范圍 ．
【變式11-2】（2021上·浙江杭州·九年級?？计谥校┤鐖D，C、D是以AB為直徑的圓O上的兩個動點（點C、D不與A、B重合），M是弦CD的中點，過點C作CP⊥AB于點P．若CD＝3，AB＝5，則PM的范圍是 ．
題型12 利用弧、弦、圓心角關系判斷正誤
【例12】（2022·上海金山·?？家荒＃┤鐖D，O是弧AD所在圓的圓心．已知點B、C將弧AD三等分，那么下列四個選項中不正確的是（ ）
A．AC=2CDB．AC=2CD
C．∠AOC=2∠CODD．S扇形AOC=2S扇形COD．
【變式12-1】（2023·山東青島·統(tǒng)考二模）如圖，OA、OB、OC都是⊙O的半徑，若∠AOB是銳角，且∠AOB＝2∠BOC，則下列結(jié)論正確的是（ ）個.
①AB＝2BC；②AB＝2BC；③∠ACB＝2∠CAB；④∠ACB＝∠BOC．
A．1B．2C．3D．4
【變式12-2】（2019·浙江杭州·校聯(lián)考一模）如圖，在△ABC中，以邊BC為直徑做半圓，交AB于點D，交AC于點E，連接DE，若DE∧=2BD∧=2CE∧，則下外說法正確的是（ ）
A．AB＝3AEB．AB＝2AEC．3∠A＝2∠CD．5∠A＝3∠C
題型13 利用弧、弦、圓心角關系求角度
【例13】（2023·陜西西安·西北大學附中?？寄M預測）如圖，AB,CD是⊙O的兩條直徑，E是劣弧BC的中點，連接BC，DE．若∠ABC=22°，則∠CDE的度數(shù)為（ ）
A．22°B．32°C．34°D．44°
【變式13-1】（2022·廣西柳州·統(tǒng)考二模）如圖，點A,B,C,D,E在⊙O上，AB=CD,∠AOB=42°，則∠CED=（ ）
A．48°B．24°C．22°D．21°
【變式13-2】（2021·陜西西安·高新一中?？级＃┤鐖D，BD是⊙O的直徑，點A，C在⊙O上，AB=AD，AC交BD于點G．若∠COD=126°．則∠AGB的度數(shù)為（ ）
A．99°B．108°C．110°D．117°
【變式13-3】（2021·福建漳州·模擬預測）如圖，在半徑為R的⊙O中，AB是直徑，AC是弦，D為弧AC的中點，AC與BD交于點E，已知∠A＝36°，則∠AED的度數(shù)為（ ）
A．36°B．56°C．63°D．72°
題型14 利用弧、弦、圓心角關系求線段長
【例14】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）如圖，AB是⊙O的直徑，CD、BE是⊙O的兩條弦，CD交AB于點G，點C是BE的中點，點B是CD的中點，若AB=10，BG=2，則BE的長為（ ）

A．3B．4C．6D．8
【變式14-1】（2022·遼寧葫蘆島·統(tǒng)考一模）如圖，AB為⊙O直徑，點C，D在⊙O上且AC=BC．AD與CO交于點E，∠DAB＝30°，若AO=3，則CE的長為（ ）
A．1B．32C．3-1D．23-2
【變式14-2】（2022·重慶·重慶巴蜀中學?？家荒＃┤鐖D，AB是⊙O的直徑，點D是弧AC的中點，過點D作DE⊥AB于點E，延長DE交⊙O于點F，若AE=2，⊙O的直徑為10，則AC長為（ ）
A．5B．6C．7D．8
【變式14-3】（2022·遼寧沈陽·模擬預測）如圖，AB為⊙O的直徑，AB=4，CD=22，劣弧BC的長是劣弧BD長的2倍，則AC的長為（ ）
A．32B．22C．3D．23
題型15 利用弧、弦、圓心角關系求周長
【例15】（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）如圖所示的曲邊三角形可按下述方法作出：作等邊△ABC；分別以點A，B，C為圓心，以AB的長為半徑作BC，AC，AB，三條弧所圍成的圖形就是一個曲邊三角形．如果AB=3，那么這個曲邊三角形的周長是（ ）．
A．πB．2π C．92πD．3π
【變式15-1】（2022上·陜西西安·九年級期末）如圖，已知⊙O的半徑等于2cm，AB是直徑，C，D是⊙O上的兩點，且AD=DC=CB，則四邊形ABCD的周長等于（ ）
A．8cmB．10cmC．12cmD．16cm
【變式15-2】（2019·江蘇南通·統(tǒng)考一模）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，點P在⊙O上，PD恰好經(jīng)過圓心O，連接PB．
（1）若CD＝8，BE＝2，求⊙O的周長；
（2）若∠P＝∠D，點E是AB的一個四等分點嗎？為什么？
題型16 利用弧、弦、圓心角關系求面積
【例16】（2022·甘肅武威·統(tǒng)考模擬預測）如圖，⊙O的半徑是4，AB是⊙O的直徑，D是AB的中點，連接AD，則圖中陰影部分的面積是 （結(jié)果保留π）．
【變式16-1】（2022·安徽宿州·宿州市第十一中學?？寄M預測）如圖，點C，D分別是以AB為直徑的半圓上的三等分點，AB=4，連接BC,CD,BD．
(1)填空：BC_________2BD；（填“>”“=”或“2CDC．AB”，“=”，“

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