第21講特殊的平行四邊形（講義）（教師版含解析）年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+訓(xùn)練-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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第二十一講特殊平行四邊形
必備知識點(diǎn) 2
考點(diǎn)一特殊平行四邊形中的翻折問題 3
考點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定 10
考點(diǎn)三矩形的性質(zhì)與判定 17
考點(diǎn)四正方形的性質(zhì)與判定 21

知識導(dǎo)航

必備知識點(diǎn)
一、矩形的性質(zhì)與判定
1．矩形的性質(zhì)：
1)四個角都是直角；2)對角線相等且互相平分；3)面積=長×寬=2S△ABD=4S△AOB．(如圖)

2．矩形的判定：
1)定義法：有一個角是直角的平行四邊形；2)有三個角是直角；3)對角線相等的平行四邊形．
二、菱形的性質(zhì)與判定
1．菱形的性質(zhì)：
1)四邊相等；2)對角線互相垂直、平分，一條對角線平分一組對角；3)面積=底×高=對角線乘積的一半．
2．菱形的判定：
1)定義法：有一組鄰邊相等的平行四邊形；2)對角線互相垂直的平行四邊形；3)四條邊都相等的四邊形．
三、正方形的性質(zhì)與判定
1．正方形的性質(zhì)：
1)四條邊都相等，四個角都是直角；2)對角線相等且互相垂直平分；3)面積=邊長×邊長=2S△ABD=4S△AOB．
2．正方形的判定：
1)定義法：有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的平行四邊形；2)一組鄰邊相等的矩形；
3)一個角是直角的菱形；4)對角線相等且互相垂直、平分．
四、聯(lián)系

(1)兩組對邊分別平行；(2)相鄰兩邊相等；(3)有一個角是直角；(4)有一個角是直角；
(5)相鄰兩邊相等；(6)有一個角是直角，相鄰兩邊相等；(7)四邊相等；(8)有三個角都是直角．
五、中點(diǎn)四邊形
1)任意四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形一定是平行四邊形.
2)對角線相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是矩形.
3)對角線互相垂直的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是菱形.
4)對角線互相垂直且相等的四邊形所得到的中點(diǎn)四邊形是正方形.

考點(diǎn)一特殊平行四邊形中的翻折問題

1．如圖，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．點(diǎn)E、F分別為邊BC、AD上一點(diǎn)，連接EF，將矩形ABCD沿著EF折疊，使得點(diǎn)A落到邊CD上的點(diǎn)A'處，且DA'＝2A'C，則折痕EF的長度為(　　)

A．3 B．2 C． D．
【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EM⊥AD，垂足為M，
∵DA'＝2A'C，DC＝6，
∵DA'＝DC＝4，A'C＝DC＝2，
由折疊得，AF＝FA′，AB＝A′B′＝6，
設(shè)DF＝x，則FA＝FA′＝8﹣x，
在Rt△DFA′中，由勾股定理得，
x2+42＝(8﹣x)2，
解得x＝3，即DF＝3，
∴FA＝FA′＝8﹣3＝5，
∵∠NA′C+∠DA′F＝180°﹣90°＝90°，∠NA′C+∠A′NC＝90°，
∴∠DA′F＝∠A′NC，
∴∠C＝∠D＝90°，
∴△A′NC∽△FA′D，
∴＝＝，即＝＝，
解得NC＝，A′N＝，
∴B′N＝A′B′﹣A′N＝6﹣＝＝NC，
∴△A′CN≌△ENB′(AAS)，
∴EN＝A′N＝，
∴EC＝EN+NC＝+＝6＝MD，
∴MF＝6﹣3＝3，
在Rt△EFM中，EF＝＝3，
故選：A．

2．如圖，在菱形紙片ABCD中，AB＝8，∠A＝60°，將菱形紙片翻折，使點(diǎn)A落在CD的中點(diǎn)E處，折痕為FG，點(diǎn)F、G分別在邊AB，AD上，則EG的長為(　　)

A． B． C．4 D．4
【解答】解：作EM⊥AD于M，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，AB＝8，
∴CD＝AD＝AB＝8，AB∥DC，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠MDC＝60°，
∵E是CD中點(diǎn)，
∴DE＝4，
∵M(jìn)E⊥AD，∠DMC＝60°
∴∠MED＝30°，且ME⊥AD
∴DM＝DE＝2，ME＝DM＝2，
由折疊的性質(zhì)得：AG＝EG，∠AFG＝∠EFG，
在Rt△GME中，EG2＝GM2+ME2．
∴EG2＝(8﹣EG+2)2+(2)2，
解得：EG＝，
故選：A．

3．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，將△ADM沿著AM翻折，得到△AD'M，延長MD'與AB交于點(diǎn)N，連接CD'，若AB＝10，CD'＝6，則D'N＝　?。?br />
【解答】解：如圖，連接CN，DD'交AM于H，過點(diǎn)C作CE⊥MN于E，過點(diǎn)M作MF⊥CD'于F，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝10，
∵點(diǎn)M為CD的中點(diǎn)，
∴DM＝CM＝5，
∵將△ADM沿著AM翻折，得到△AD'M，
∴DM＝D'M＝5，DH＝D'H，AM⊥DD'，
∴CM＝D'M，
又∵M(jìn)F⊥CD'，
∴CF＝D'F＝3，
∴MF＝＝＝4，
∵DM＝CM，D'F＝CF，DH＝D'H，
∴DD'＝2MF＝8，HM＝D'C＝3，
∴DH＝4，
∵tan∠AMD＝，
∴，
∴AD＝，
∵S△CD'M＝×CD'×MF＝×D'M×CE，
∴6×4＝5×CE，
∴CE＝，
∵S△MNC＝×MN×CE＝×CM×AD，
∴MN×＝5×，
∴MN＝，
∴D'N＝MN﹣D'M＝，
故答案為：．
4．如圖，在矩形ABCD中，BC＝3，對角線AC，BD交于點(diǎn)O，將△BOC沿直線BD翻折至矩形ABCD所在平面內(nèi)，得到△BOC′，BC′與AD交于點(diǎn)E，OC′與AD交于點(diǎn)F，連接AC′，若C′O∥DC，則點(diǎn)E到AC′的距離為　?。?br />
【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EH⊥AC'于H，

∵四邊形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，AB∥CD，
∴OC＝OD＝OB＝OA，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵將△BOC沿直線BD翻折至矩形ABCD所在平面內(nèi)，得到△BOC′，
∴OC＝OC'，BC＝BC'＝3，
∵C′O∥DC，
∴C'O∥AB，∠C'OD＝∠ODC，
∴∠C'OD＝∠ODC＝∠OCD，
∵∠C'OD+∠ODC+∠OCD＝180°，
∴∠C'OD＝∠ODC＝∠OCD＝60°，
∴△OCD是等邊三角形，
∴OC＝OD＝CD，
∴AB＝C'O，
∴四邊形ABOC'是平行四邊形，
∵OB＝OC'，
∴平行四邊形ABOC'是菱形，
∴AB＝OB＝AO＝AC'＝C'O，
∴△ABO，△AC'O都是等邊三角形，
∴∠ABO＝∠AC'O＝∠C'AO＝60°，
∴∠ABC'＝∠AC'B＝30°，∠C'AD＝∠BAC'﹣BAD＝30°，
∴BE＝2AE，∠C'AD＝∠AC'E，
∴AE＝C'E，
∴BE+C'E＝BC'＝3，
∴2AE+AE＝3，
∴AE＝1，
∵∠EAH＝30°，EH⊥AC'，
∴EH＝AE＝，
∴點(diǎn)E到AC′的距離為，
故答案為：．
5．如圖，把矩形紙片ABCD(BC＞CD)沿折痕DE折疊，點(diǎn)C落在對角線BD上的點(diǎn)P處，展開后再沿折痕BF折疊，點(diǎn)C落在BD上的點(diǎn)Q處，沿折痕DG折疊，點(diǎn)A落在BD上的點(diǎn)R處，若PQ＝4，PR＝7，則BD＝　13?。?br />
【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，∠C＝90°，
由折疊的性質(zhì)可得：CD＝PD，AD＝DR，BC＝BQ，
∵PQ＝4，PR＝7，
∴PQ＝BQ﹣(BD﹣PD)＝BC﹣BD+CD＝4，PR＝AD﹣PD＝BC﹣CD＝7，
∴BD＝BC+CD﹣4，BC＝CD+7，
∵BD2＝BC2+CD2，
∴(CD+7+CD﹣4)2＝(CD+7)2+CD2，
∴CD1＝5，CD2＝﹣4(舍去)，
∴BC＝12，
∴BD＝＝＝13，
故答案為：13．

考點(diǎn)二菱形的性質(zhì)與判定

6．如圖，菱形ABCD中，AC是對角線．
(1)如圖①若∠BAC＝30°，AB＝8，求菱形ABCD的面積：
(2)如圖②，G、F分別是BC、CD上一點(diǎn)，連接GF，過點(diǎn)G作GMLCF于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CH⊥GF于點(diǎn)P，交GD于點(diǎn)H，且GC＝HC＝GF．求證：DC＝DH+DF
(3)如圖③，若AB＝BD＝10，且點(diǎn)P是△ABD內(nèi)任意一點(diǎn)，求PA+PB+PD的最小值．

【解答】(1)解：如圖①中，連接BD交AC于點(diǎn)O．

∵四邊形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD，AO＝OC，
∵AB＝8，∠BAC＝30°，
∴OB＝AB＝4，OA＝OB＝4，
∴BD＝2OB＝8，AC＝2OA＝8，
∴S菱形ABCD＝?BD?AC＝×＝32．

(2)證明：如圖②中，過點(diǎn)H作HQ⊥DH交CD于Q，設(shè)GM交CH于N，過點(diǎn)F作FW⊥DF交DG于W．

∵GF＝GC，GM⊥CF，
∴∠CGM＝∠FGM，
∵CH⊥FG，
∴∠GPN＝∠CMN＝90°，
∵∠GNP＝∠CNM，
∴∠FGM＝∠NCM，
∵CG＝CH，
∴∠CGH＝∠CHG，
∴∠CGM+∠MGD＝∠MCN+∠CDH，
∴∠MGD＝∠MDG，
∵∠GMD＝90°，
∴∠MGD＝∠MDG＝45°，
∵HQ⊥DH，
∴∠HQD＝∠HDQ＝45°，
∴DH＝HQ，DQ＝DH，
∵∠FGW+∠GHC＝90°，∠GHC+∠CHQ＝90°，
∴∠FGW＝∠CHQ，
∵∠WFD＝90°，∠FDW＝45°，
∴∠FWD＝∠HQD＝45°，
∴∠FWG＝∠CHQ，
∵GF＝CH，
∴△FGW≌△CHQ(AAS)，
∴FW＝CQ＝DF，
∴CD＝CQ+QD＝DF+DH．

(3)解：如圖③中，將△ABP繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到△KAJ，連接PJ，DK，過點(diǎn)A作AR⊥DK于R．

由題意AB＝AD＝BD＝10，
∴△ABD是等邊三角形，
∴∠BAD＝60°＝∠PAD+∠BAP＝∠PAD+∠KAJ，
∵AP＝AJ，∠PAJ＝60°，
∴△PAJ是等邊三角形，∠KAD＝120°，AK＝AB＝AD＝10，
∴PA＝PJ，
∵PB＝JK，
∴PA+PB+PD＝DP+PJ+JK，
∵DP+PJ+JK≥DK，
∴當(dāng)K，J，P，D共線時，PA+PB+PD的值最小，最小值＝DK的長，
∵AR⊥DK，AK＝AD，∠AKD＝30°，
∴KR＝RD＝AK?cos30°＝5，
∴DK＝10，
∴PA+PB+PD的最小值為10．
7．如圖，四邊形ABCD為菱形，∠BCD＝60°，E為對角線AC上一點(diǎn)，且AE＝AB，F(xiàn)為CE的中點(diǎn)，連接DF、BF，BG⊥BF與AC交于點(diǎn)G；
(1)若AB＝2，求EF的長；
(2)求證：CG﹣EF＝BG．

【解答】(1)解：連接BD交AC于O，如圖所示：
∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，AC⊥BD，OB＝OD，OA＝OC，∠OAB＝∠BAD＝30°，
∴OB＝AB＝1，OA＝OB＝，
∴AC＝2OA＝2，
∵AE＝AB＝2，
∴CE＝AC﹣AE＝2﹣2，
∵F為CE的中點(diǎn)，
∴EF＝CE＝﹣1；
(2)證明：設(shè)AB＝2a，
同(1)得：OB＝AB＝a，OA＝OB＝a，
∴AC＝2OA＝2a，
∵AE＝AB＝2a，
∴CE＝AC﹣AE＝(2﹣2)a，OE＝AE﹣OA＝(2﹣)a，
∵F為CE的中點(diǎn)，
∴EF＝CE＝(﹣1)a，
∴OF＝OE+EF＝(2﹣)a+(﹣1)a＝a，
∴OB＝OF，
∵AC⊥BD，
∴△BOF是等腰直角三角形，
∴∠BFG＝45°，
∵BG⊥BF，
∴△BFG是等腰直角三角形，
∴GF＝BG，
∵GF＝CG﹣CF＝CG﹣EF，
∴CG﹣EF＝BG．

8．如圖1，在菱形ABCD中，∠B為銳角，點(diǎn)P，H分別在邊AD，CB上，且DP＝BH，在AB邊上取點(diǎn)M，N(點(diǎn)N在BM之間)使AM＝5BN．點(diǎn)P從點(diǎn)D勻速運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)Q恰好從點(diǎn)M勻速運(yùn)動到點(diǎn)N，連結(jié)PQ，PH分別交對角線AC于E，F(xiàn)，記QM＝x，AP＝y(tǒng)，已知y＝﹣2x+12．
(1)①請判斷PF與FH的大小關(guān)系，并說明理由；
②求AD，BN的長；
(2)如圖2，連結(jié)QF，當(dāng)四邊形FQBH中有兩邊平行時，求AE：EC的值；
(3)若∠B＝60°，連結(jié)QH，求△FQH面積的最小值．

【解答】解：(1)①結(jié)論：PF＝PH．理由如下：
∵ABCD是菱形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵PD＝BH，
∴∠PAF＝∠FCH，AP＝CH，
又∵∠AFP＝∠HFC，
∴△AFP≌△HFC(AAS)，
∴PF＝FH；

②當(dāng)x＝0代入y＝﹣2x+12得y＝12，即AD＝12，
當(dāng)y＝0代入y＝﹣2x+12，得x＝6，即MN＝6，
∵AM＝5BN，AB＝AD＝12，
∴5BN+BN+6＝12，
∴BN＝1；

(2)①當(dāng)FQ∥BH時，如圖2，
∵PF＝PH，PF∥CH∥AD，
∴AQ＝QB，
∴QF是△ABC的中位線，
∴x+1＝11﹣x，
∴x＝5，
∴y＝2，
∴AP＝10，QF＝6
∵AP∥QF，
∴△AEP∽△QEF，
∴AE：EF＝10：6＝5：3，
∴AE：EC＝5：11；

②當(dāng)FH∥BQ時，如圖2，
∵AP∥BC，
∴ABHP是平行四邊形，
∴12﹣y＝y(tǒng)，y＝6 代入得x＝3，
∴AQ＝8，
∵PF＝6，△AQE∽△PFE，
∴AE：EF＝4：3，
∴AE：EC＝4：10＝2：5；

(3)連接QH．過點(diǎn)F作FK⊥BC于點(diǎn)K，F(xiàn)J⊥AB于點(diǎn)J，過點(diǎn)Q作QT⊥BC于T．

由題意，CH＝AP＝﹣2x+12，BQ＝x+1，AQ＝11﹣x，
∵AB＝BC，∠B＝60°，
∴△ABC是等邊三角形，
∴AC＝AB＝BC＝12，
∴FA＝FC＝6，
∴QT＝(x+1)，F(xiàn)J＝FK＝×6＝3，
∵S△FQH＝S△ABC﹣S△BQH﹣S△AQF﹣S△FCH
＝36﹣×2x×(x+1)﹣×(﹣2x+12)×3﹣×(12﹣x﹣1)×3
＝﹣(x﹣4)2+，
∵﹣＜0，
∴x＝4時，△FQH的面積最小，最小值為．

考點(diǎn)三矩形的性質(zhì)與判定

9．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥DE于點(diǎn)E．
(1)如圖1，已知F在AB邊上，AD＝DE，AD＝10，CD＝6，求BF的長；
(2)如圖2，已知DE＝EF，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，求證：CD+EC＝CG．

【解答】(1)解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，BC＝AD＝10，
∵DE＝AD＝10，
∴CE＝＝＝8，
∴BE＝BC﹣CE＝2，
∵EF⊥DE，
∴∠BEF+∠CED＝90°，
∵∠BEF+∠BFE＝90°，
∴∠BFE＝∠CED，
∴△BEF∽△CDE，
∴＝，即＝，
解得：BF＝；
即BF的長為；
(2)證明：連接EG，作GM⊥CG，交CD的延長線于M，如圖2所示：
則∠CGM＝90°，
∵EF⊥DE，
∴∠DEF＝90°，
∵DE＝EF，點(diǎn)G為DF的中點(diǎn)，
∴EG⊥DF，EG＝DF＝FG＝DG，∠F＝∠EDF＝45°，∠DGE＝90°，
∴∠DEG＝∠EDF＝45°，∠DGM＝∠EGC，
∵∠DGE+∠BCD＝180°，
∴∠CEG+∠CDG＝180°，
∵∠MDG+∠CDG＝180°，
∴∠CEG＝∠MDG，
在△MDG和△CEG中，，
∴MDG≌△CEG(ASA)，
∴MG＝CG，DM＝CE，
∴△CGM是等腰直角三角形，
∴CM＝CG，
即CD+DM＝CG，
∴CD+EC＝CG．

10．四邊形ABCD是平行四邊形，∠A＝∠B．
(1)求證：?ABCD是矩形；
(2)若BC＝AB，求∠ACB的度數(shù)；
(3)在(2)的條件下，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且CE＝CF，∠ECF＝30°，AC＝4，求2AE﹣FD的值．

【解答】(1)證明：如圖1中，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∵∠A＝∠B，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四邊形ABCD是矩形；

(2)解：如圖2中，

在Rt△ACB中，tan∠ACB＝＝，
∴∠ACB＝30°；

(3)解：如圖3中，作FH⊥AC于H．

∵∠ACB＝∠ECF＝30°，
∴∠BCE＝∠FCH，
∵CE＝CF，∠B＝∠FHC＝90°，
∴△BCE≌△HCF，
∴BE＝FH，
在Rt△AFH中，∵∠FAH＝30°，
∴FH＝AF，
∴AE+AF＝AE+FH＝AE+BE＝AB，
在Rt△ACB中，∵∠ACB＝30°，
∴AB＝AC＝2，
∴AE+AF＝2，
∴2AE+AF＝4，
∴AF＝4﹣2AE，
∴DF＝AD﹣AF＝2﹣(4﹣2AE)，
∴2AE﹣FD＝4﹣2．

考點(diǎn)四正方形的性質(zhì)與判定

11．如圖所示，正方形ABCD和正方形AEFG共頂點(diǎn)A，正方形ABCD繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)，連接DG，BE，BE與AC相交于點(diǎn)H．
(1)如圖1，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)G，A，H，C恰好在同一直線上時，若AE＝，AB＝2，求線段DG的長；
(2)如圖2，連接HG，在旋轉(zhuǎn)過程中，若∠DGH＝2∠ABE，求證：HG＝HB；
(3)如圖3，BE與DG相交于點(diǎn)O，點(diǎn)K為線段AG上一點(diǎn)，連接OK，若AE＝3，AK＝1，在旋轉(zhuǎn)過程中，直接寫出線段OK的最小值．

【解答】(1)解：如圖1中，過點(diǎn)D作DM⊥AC于M．

∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠AD＝CD＝AB＝2，∠ADC＝90°，
∴AC＝＝＝2，
∵DM⊥AC，
∴AM＝MC＝，
∴DM＝AC＝，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴AG＝AE＝，
∴GM＝AG+AM＝2，
∴DG＝＝＝．

(2)證明：如圖2中，連接DH．

∵四邊形ABCD，四邊形EFGA都是正方形，
∴∠BAD＝∠EAG＝90°，AB＝AD，AE＝AG，
∴∠EAB＝∠GAD，
∴△EAB≌△GAD(SAS)，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵AD＝AB，∠DAH＝∠BAH＝45°，AH＝AH，
∴△AHB≌△AHD(SAS)，
∴BH＝DH，∠ABH＝∠ADH，
∴∠ADH＝∠ADG，
∵∠HDA＝2∠ABE＝2∠ADG，
∴∠HGD＝∠HDG，
∴HG＝HD，
∴HB＝HG．

(3)解：連接EG，取EG的中點(diǎn)T，連接OT，TK，過點(diǎn)T作TN⊥AG于N．

由(3)可知△EAB≌△GAD，
∴∠DGA＝∠AEB，
∵∠EAG＝90°，
∴∠EOG＝90°，
∵四邊形AEFG是正方形，
∴AE＝AG＝3，∠EAG＝90°，
∴EG＝＝＝3，
∵TE＝TG，
∴OT＝EG＝，
∵∠TNG＝90°，∠TGN＝45°，
∴TN＝GN＝，
∵AK＝1，AN＝AG﹣GN＝，
∴NK＝AN﹣AK＝，
∴TK＝＝＝，
∵OK≥OT﹣TK，
∴OK≥﹣，
∴OK的最小值為﹣．
12．如圖，點(diǎn)M是正方形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，連接AM，點(diǎn)E是線段AM上一點(diǎn)，∠CDE的平分線交AM延長線于點(diǎn)F．
(1)如圖1，若點(diǎn)E為線段AM的中點(diǎn)，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的長；
(2)如圖2，若DA＝DE，求證：BF+DF＝AF．

【解答】解：(1)設(shè)BM＝x，則CM＝2x，BC＝3x，
∵BA＝BC，∴BA＝3x．
在Rt△ABM中，E為斜邊AM中點(diǎn)，
∴AM＝2BE＝2．
由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2，
即40＝x2+9x2，解得x＝2．
∴AB＝3x＝6．
(2)延長FD交過點(diǎn)A作垂直于AF的直線于H點(diǎn)，過點(diǎn)D作DP⊥AF于P點(diǎn)．
∵DF平分∠CDE，
∴∠1＝∠2．
∵DE＝DA，DP⊥AF
∴∠3＝∠4．
∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°．
∴AH＝AF．
∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°，
∴∠BAF＝∠DAH．
又AB＝AD，
∴△ABF≌△ADH(SAS)．
∴AF＝AH，BF＝DH．
∵Rt△FAH是等腰直角三角形，
∴HF＝AF．
∵HF＝DH+DF＝BF+DF，
∴BF+DF＝AF．

13．如圖，在正方形ABCD中，線段CE交四邊形的邊于點(diǎn)E，點(diǎn)H為BD的中點(diǎn)，BF、DG分別垂直CE于點(diǎn)F和點(diǎn)G，連接HF、HG．
(1)若AB＝3，AE＝2EB，求BF的長；
(2)求證：FG＝FH．

【解答】解：(1)如圖，∵四邊形ABCD為正方形，AB＝3，AE＝2EB，
∴BC＝AB＝3，AE＝2，BE＝1，
∴在直角△BEC中，由勾股定理得到：CE＝＝＝，
則BE?BC＝CE?BF，
故BF＝＝＝；

(2)如圖，F(xiàn)G＝HF．理由如下：
連接CH，
∵在△BFC與△CGD中，，
∴△BFC≌△CGD(AAS)，
∴BF＝CG，∠FBC＝∠DCG．
∵點(diǎn)H是BD的中點(diǎn)，
∴CH⊥BD，且HC＝BH＝DH，
∴∠HBC＝∠HCD＝45°，
∴∠FBH＝∠GHC．
∵在△HBF與△HCG中，，
∴△HBF≌△HCG(SAS)，
∴FH＝GH，∠FHB＝∠GHC，
∴∠FHG＝∠BHC＝90°，
∴FG＝HF．

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