精品解析：山東省青島市第二中學2024屆高三上學期期末數(shù)學試題-試卷下載-教習網(wǎng)

命題人：程志王作杭張羽審核人：董天龍
本試卷共6頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上的無效.
一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解集合A，再由交集的概念計算即可.
【詳解】由，即.
故選：C
2. 已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量公式：計算即得.
【詳解】根據(jù)平面向量的投影向量的規(guī)定可得: 向量在向量上的投影向量為：，即，
因，則，，則向量在向量上的投影向量為：.
故選：D.
3. 若復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】應(yīng)用復數(shù)乘法化簡，再由所在象限的復數(shù)特征列不等式組求參數(shù)范圍.
【詳解】由題設(shè)，可得，所以，對應(yīng)的點位于第四象限，
所以.
故選：C
4. 已知函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱，則的最小值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦函數(shù)對稱中心求出的表達式，再賦值求得結(jié)果.
【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于原點中心對稱,則，解得，因為，當時，取得最小值.
故選：B
5. 展開式的常數(shù)項為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用二項展開式通項結(jié)合換底公式可求得結(jié)果.
【詳解】的展開式通項為
，
由可得，且，
所以，展開式中的常數(shù)項為
.
故選：C.
6. 橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點軌跡為圓：，這個圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓上總存在點，使得過點能作橢圓的兩條相互垂直的切線，財?shù)娜≈捣秶牵? ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將在圓上總存在點能作橢圓的兩條相互垂直的切線轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的蒙日圓總存在交點，然后列不等式求解即可.
【詳解】由題意得橢圓的蒙日圓為，
在圓上總存在點，
則圓與總存在交點，即兩圓相切或相交，
則，解得.
故選：D.
7. 1551年奧地利數(shù)學家?天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示，則（）
A. B. C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)給定的定義，利用銳角三角函數(shù)的定義轉(zhuǎn)化為角的正余弦，再利用二倍角公式、輔助角公式求解作答.
【詳解】依題意，角可視為某直角三角形的內(nèi)角，
由銳角三角函數(shù)定義及已知得，
所以.
故選：C
8. 雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交，于，兩點.已知、、成等差數(shù)列，且與反向.則雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意為直角三角形，解出三邊后再由漸近線斜率求離心率
【詳解】設(shè) ，
由勾股定理可得：得：，
，
由倍角公式，解得
且，則，即，
則離心率．
故選:A
二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.
9. 已知，則下列選項正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】對于A：直接觀察即可；對于B：做差法判斷；對于C：構(gòu)造函數(shù)，確定函數(shù)單調(diào)性后可判斷；對于D：構(gòu)造函數(shù)，確定單調(diào)性，然后通過化簡整理后可判斷.
【詳解】對于A選項，不一定大于1，故A錯誤.
對于B選項，因為，則，
所以，故B正確.
一題多解，根據(jù)糖水不等式，，，可知B正確.
對于C選項，，
令，則，則在上單調(diào)遞增.
又因為，所以，即，故C正確.
對于D選項，因為，
所以，
令，令，
則在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即，
則，即成立，故D正確.
一題多解根據(jù)對數(shù)平均不等式，，可知D正確.
故選：BCD.
10. 有一組樣本數(shù)據(jù)，添加一個數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)（）
A. 眾數(shù)是1概率是
B. 極差不變的概率是
C. 第25百分位數(shù)不變的概率是
D. 平均值變大的概率是
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)題意計算出的每個可能的取值相應(yīng)的概率，結(jié)合各選項的條件確定X可能的取值，即可求出相應(yīng)的概率，即得答案.
【詳解】由題意知，
則，，
，，
對于A，眾數(shù)是1，說明添加的數(shù)為1，則，A正確；
對于B，極差不變，說明添加的數(shù)，
則極差不變的概率是，B正確；
對于C，由于，
故原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第2個數(shù)，
只要添加的數(shù)不為0，原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)從小到大排列后，第二個數(shù)相同，都為1，
故第25百分位數(shù)不變的概率是，C錯誤；
對于D，原樣本數(shù)據(jù)的平均值為，
平均值變大，則添加的數(shù)要大于2，即，
故平均值變大的概率是，D正確，
故選：ABD
11. 已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對任意，，則（）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和導函數(shù)的運算法則，結(jié)合賦值法可得相關(guān)結(jié)論.
【詳解】因為，
令得：，又因為，所以，故A正確；
因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，且為偶函數(shù).
令，可得：①
再用代替可得：
②
①②得：
所以：，
所以是周期為3的周期函數(shù)，所以：，故B正確.
因為：，，所以：，
所以：，故C錯誤；
又因為亦為周期為3的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以
令，可得：，
所以.
所以：.故D正確.
故選：ABD
【點睛】方法點睛：對于可導函數(shù)有：奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)；偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù).
若定義在上的函數(shù)是可導函數(shù)，且周期為，則其導函數(shù)也是周期函數(shù)，且周期也為.
三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為2和4，若側(cè)棱與底面所成的角為，則該正四棱臺的體積為__________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出輔助線，根據(jù)側(cè)棱與底面所成角的大小求出臺體的高，利用臺體體積公式求出答案.
【詳解】如圖，延長相交于點，連接，
過點作⊥平面，交于點，則⊥平面于點，
且點在上，
其中，過點作⊥于點，則，
所以，
因為側(cè)棱與底面所成的角為，所以，故，
則該正四棱臺的體積為.
故答案為：
13. 某次會議中，籌備組將包含甲?己在內(nèi)的4名工作人員，分配到3個會議廳工作，每個會議廳至少1人，每人只負責一個會議廳，則甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法共有__________種.（用數(shù)字作答）
【答案】30
【解析】
【分析】先求出4名工作人員分配到3個會議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數(shù)，相減得到答案.
【詳解】將4名工作人員分配到3個會議廳，方案有種情況，
其中甲?乙兩人分配到同一個會議廳的情況為，
從而甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種.
故答案為：30
14. 某同學在研究構(gòu)造新數(shù)列時發(fā)現(xiàn)：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構(gòu)造出新的數(shù)列.將數(shù)列1，2進行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列；...第次得到數(shù)列；記，則__________；__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】找到規(guī)律，得到，，結(jié)合等比數(shù)列求和公式得到答案.
【詳解】，，
，依次類推，得到
，
故.
故答案為：42，-3
四?解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15. 記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.
（1）求的值；
（2）若，且的周長為，求邊上的高.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知結(jié)合切化弦可得，利用正余弦定理邊化角，可得，即可求得答案；
（2）由題意可得，結(jié)合（1）即可求出，利用余弦定理求出，進而求得，結(jié)合邊上的高為，即可求得答案
【小問1詳解】
由，可得，
所以，
又由正弦定理和余弦定理，可得，
整理得，所以.
【小問2詳解】
由，且的周長為，可得，
又由（1）可知，，即，
所以，聯(lián)立方程組，解得，
所以，
則，
所以邊上的高為.
16. 如圖，底面是邊長為2的菱形，平面.
（1）求證：平面平面；
（2）求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證平面，再證得,從而得平面，即得：平面平面；
（2）通過（1）的條件建系，求出相關(guān)點的坐標，表示出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計算即得.
【小問1詳解】

平面平面.
.又底面是菱形，.
平面平面，
如圖，設(shè)交于，取的中點，連，則，
因，則,故是平行四邊形.
則因平面，平面，
又因平面平面平面.
【小問2詳解】
以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標系

因，
則
設(shè)平面的法向量為則
故可取，
又
設(shè)平面的法向量則
故可取.
設(shè)平面與平面夾角為，則，
即平面與平面夾角的余弦值為.
17. 為檢驗預(yù)防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗其血液中某項醫(yī)學指標（該醫(yī)學指標范圍為，統(tǒng)計如下：
個別數(shù)據(jù)模糊不清，用含字母的代數(shù)式表示.
（1）為檢驗該項醫(yī)學指標在內(nèi)的是否需要接種加強針，先從醫(yī)學指標在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗進行判斷.從這8人中隨機抽取4人調(diào)研醫(yī)學指標低的原因，記這4人中接種疫苗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；
（2）根據(jù)（1）化驗研判結(jié)果，醫(yī)學認為該項醫(yī)學指標低于50，產(chǎn)生抗體較弱，需接種加強針，該項醫(yī)學指標不低于50，產(chǎn)生抗體較強，不需接種加強針.請先完成下面的列聯(lián)表，若根據(jù)小概率的獨立性檢驗，認為接種疫苗與志愿者產(chǎn)生抗體的強弱有關(guān)聯(lián)，求的最大值.
附：，其中.
【答案】（1）分布列見解析，
（2）列聯(lián)表見解析，2
【解析】
【分析】（1）由抽樣調(diào)查性質(zhì)可得抽取接種疫苗人數(shù)，計算出的所有可能取值的對應(yīng)概率可得分布列，由分布列可計算期望；
（2）結(jié)合計算公式計算出對應(yīng)的范圍即可得.
【小問1詳解】
從醫(yī)學指標在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人中，
接種疫苗有2人，接種疫苗有6人，
由題意可知，可能取值為，
，
的分布列為：
則；
【小問2詳解】
列聯(lián)表如下：
則，
由題意可知，，
整理得，，
解得或，
又，則，
所以，
故的最大值為2.
18. 已知橢圓的離心率，其上焦點與拋物線的焦點重合.

（1）求橢圓的方程；
（2）若過點的直線交橢圓T于點、，同時交拋物線于點、（如圖1所示，點在橢圓與拋物線第一象限交點上方），判斷與的大小關(guān)系，并證明；
（3）若過點的直線交橢圓于點、，過點與直線垂直的直線交拋物線于點、（如圖2所示），判斷四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）
（2），證明見解析
（3）存在，最小值為
【解析】
【分析】（1）求出拋物線焦點坐標，可得出的值，利用橢圓的離心率可得出的值，由此可計算出的值，由此可得出橢圓的方程；
（2）設(shè)直線方程為，分析可知，將直線的方程分別與橢圓、拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式求出、，利用作差法可得出、的大小關(guān)系；
（3）設(shè)、、、，對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率存在時，求出、的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得四邊形面積的取值范圍；在直線的斜率不存在時，直接求出四邊形的面積，綜合可得出四邊形面積的最小值.
【小問1詳解】
解：由題意可知，拋物線的焦點為，
由題意可知，，，則，所以，，
因此，橢圓的方程為.
【小問2詳解】
解：由題意，設(shè)橢圓與拋物線的交點為，

聯(lián)立解得，即點，
所以，直線的斜率為，
若要產(chǎn)生如圖1中、、、四點的位置，可知，
設(shè)直線方程，設(shè)、、、，
聯(lián)立，消去得，
，
由韋達定理可得，，
所以
，
拋物線方程為，
聯(lián)立，消去得，，
由韋達定理可得，，
所以
，
所以
，即.
【小問3詳解】
解：存在最小值，最小值為.
設(shè)、、、，
當直線的斜率存在且不為零時，設(shè)直線方程為，
則直線方程為，
由（2）可知：，由，
以替換，可得，
所以，
因為，令，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
當時，則，則，
當直線的斜率不存在時，由可得，則，，
所以.
綜上所述：，所以四邊形面積的最小值為.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：
一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；
二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.
19. 已知函數(shù).
（1）若為奇函數(shù)，求此時在點處的切線方程；
（2）設(shè)函數(shù)，且存在分別為的極大值點和極小值點.
（i）求函數(shù)的極值；
（ii）若，且，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）（i）答案見解析；（ii）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義, 求出的值, 然后利用導數(shù)求切線方程.
（2）( i )對進行求導, 將既存在極大值, 又存在極小值轉(zhuǎn)化成必有兩個不等的實數(shù)根, 利用導數(shù)得到的單調(diào)性和極值, 進而即可求解;
(ii) 對進行求導, 利用導數(shù)分析的極值, 將恒成立轉(zhuǎn)化成 , 構(gòu)造函數(shù), 利用導數(shù)分類討論求解即可.
【小問1詳解】
為奇函數(shù)，有，則，經(jīng)檢驗知滿足題意，
所以所以，，
所以在點處的切線方程為.
【小問2詳解】
（i），
因為函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，
則必有兩個不等的實根，則，
令可得或，
所以，解得且.
當時，.則有：
極大值，極小值
當時，.則有：
極大值，極小值.
（ii）由，所以，
由題意可得對恒成立，
即
令，其中，
令，則
①當，即時，在上是嚴格增函數(shù)，
所以，即，符合題意；
②當，即或時，
設(shè)方程的兩根分別為且，
當時，則，
則在上是嚴格增函數(shù)，
所以，即，符合題意；
當時，則，
則，則當時，，
則在上單調(diào)遞減，，即不合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導數(shù)研究曲線的切線、極值與最值等知識與方法，其中第 (2) 問的 (ii ) 小問, 關(guān)鍵是將恒成立轉(zhuǎn)化成 , 構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)分類討論求解即可, 屬于難題.
該項醫(yī)學指標
接種疫苗人數(shù)
10
50
接種疫苗人數(shù)
30
40
疫苗
抗體
合計
抗體弱
抗體強
疫苗
疫苗
合計
0.25
0.025
0.005
1.323
5.024
7.879
2
3
4
疫苗
抗體
合計
抗體弱
抗體強
疫苗
100
疫苗
100
合計
60
140
200
0
+
0
-
0
+
極大值
極小值
0
+
0
-
0
+
極大值
極小值

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