?2023屆山東省青島市青島第二中學(xué)高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題

一、單選題
1．已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則（????）
A． B． C．2 D．5
【答案】B
【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)將復(fù)數(shù)z表示出來(lái)，再通過(guò)復(fù)數(shù)平面與復(fù)數(shù)的模的關(guān)系即可求出答案.
【詳解】由題意，復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則
故選:B．
2．設(shè)非空集合若，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由題可知，進(jìn)而可得，即得.
【詳解】由題可知，，
則，
解得，
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.
故選：C.
3．已知公差為的等差數(shù)列中，、、成等比數(shù)列，若該數(shù)列的前項(xiàng)和則（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)已知條件求出的值，再由可求得正整數(shù)的值.
【詳解】由已知，則，解得，
故，因?yàn)椋獾?
故選：B.
4．已知正數(shù)a，b，c滿(mǎn)足成等差數(shù)列，則下列兩條直線.的位置關(guān)系是（????）
A．垂直 B．重合 C．平行 D．相交
【答案】B
【分析】由直線與直線的位置關(guān)系判斷，
【詳解】由題意得，得，
故，即，兩直線重合，
故選：B
5．下列說(shuō)法正確的是（????）
A．將一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上同一個(gè)常數(shù)后，平均數(shù)和方差都不變
B．設(shè)具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量x，y的相關(guān)系數(shù)為r，則|r|越接近于0，x和y之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng)
C．在一個(gè)2×2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K2的值，則K2的值越小，判斷兩個(gè)變量有關(guān)的把握越大
D．若 ，則
【答案】D
【分析】對(duì)A根據(jù)方差與平均數(shù)定義即可判斷，對(duì)B利用線性相關(guān)定義則可判斷，對(duì)C根據(jù)的含義即可判斷，對(duì)D對(duì)于正態(tài)分布的特點(diǎn)，即可求出區(qū)間概率.
【詳解】對(duì)于A,方差反映一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,將一組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)常數(shù)后,方差不變,但平均數(shù)變化，故A錯(cuò)誤，
對(duì)于B,具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量,的相關(guān)系數(shù)為,則越接近于,和之間的線性相關(guān)程度越強(qiáng),故B錯(cuò)誤,
對(duì)于C,在一個(gè)列聯(lián)表中,由計(jì)算得的值,則的值越大,判斷兩個(gè)變量有關(guān)的把握越大,故C錯(cuò)誤,
對(duì)于D，,

故D正確.
故選：D.
6．“角a與β的終邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”是“”的（????）
A．充分必要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】C
【分析】根據(jù)終邊關(guān)于對(duì)稱(chēng)，得兩角的關(guān)系，再由，得兩角滿(mǎn)足的關(guān)系，根據(jù)充分必要條件的定義即可求解.
【詳解】角與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng),則,
.
反之，當(dāng)時(shí)，則，從而角a與β的終邊不一定關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).
故“角與的終邊關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)”是“”的充分不必要條件.
故選：C
7．已知，，，，則（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求出的取值范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系以及兩角差的正弦公式求出的值，即可得解.
【詳解】因?yàn)?，則，因?yàn)?，則，可得，
因?yàn)?，則，，
所以，，，
所以，
，
所以，.
故選：A.
8．已知橢圓??過(guò)橢圓中心的一條直線與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，設(shè)直線AP，BP的斜率分別為m，n，則當(dāng) 取最小值時(shí)，橢圓C的離心率為（????）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】設(shè)，利用斜率公式求得，結(jié)合在橢圓上，化簡(jiǎn)可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得使函數(shù)取最小值的，根據(jù)離心率定義即得.
【詳解】由題可知，設(shè)，則，
而，則，
又，
令，則，
所以，
由，可得，函數(shù)單調(diào)遞減，由，可得，函數(shù)單調(diào)遞增，
故，即時(shí)， 取最小值，
此時(shí).
故選：C.

二、多選題
9．已知，且 ，則下列結(jié)論正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由題可得，根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)判斷A，利用基本不等式判斷B，根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性判斷C，由基本不等式“1”的代換判斷D.
【詳解】因?yàn)?，?，
所以，即，則，A正確；
由，又，可得，B錯(cuò)誤；
由知：，C錯(cuò)誤；
，又，
∴，D正確.
故選：AD.
10．已知向量 ??則下列命題正確的是（????）
A．若，則 B．存在θ，使得
C．與向量共線的單位向量是 D．向量模的最大值是
【答案】BD
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算性質(zhì)，逐項(xiàng)進(jìn)行檢驗(yàn)即可求解.
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)：因?yàn)?，所以?br /> 所以得到：，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng):當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與同向共線，
所以成立，故選項(xiàng)正確；
對(duì)于選項(xiàng)：與向量共線的單位向量為，有兩個(gè)，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)：，
其中，
所以，所以當(dāng)時(shí)， 取最小值，，
所以向量模的最大值是,故選項(xiàng)正確.
故選：BD.
11．若點(diǎn)P是棱長(zhǎng)為2的正方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M是棱的中點(diǎn)，則（????）
A．當(dāng)點(diǎn)P在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐 的體積為定值
B．當(dāng)時(shí)，線段長(zhǎng)度的最大值為4
C．當(dāng)直線AP與平面所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
D．直線DM被正方體 的外接球所截得的線段的長(zhǎng)度為
【答案】ACD
【分析】對(duì)A找到高不變，底面為定值，則體積不變，求出相關(guān)高與底面積即可，對(duì)B找到點(diǎn)軌跡是矩形（除點(diǎn)）與重合時(shí)最大,即可計(jì)算，對(duì)C找到點(diǎn)的三次軌跡，第三次軌跡為四分之一圓，計(jì)算即可，對(duì)D建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線距離公式即可計(jì)算.
【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，根據(jù)正方體上下底面平行得到平面的距離始終為2，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，故，故，故，故A正確；

對(duì)于B，分別取中點(diǎn),,連接,,
首先與平行且相等,與平行且相等,因此與平行且相等,則是平行四邊形，

在同一平面內(nèi),正方形,易得

，
所以(為,的交點(diǎn)),
所以,又平面平面,
所以平面,
所以平面,而,則平面
所以點(diǎn)軌跡是矩形（除點(diǎn)）與重合時(shí)最大,為,
故B錯(cuò)誤，
對(duì)于C，直線與平面所成角為,若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，最大,不成立;
在平面內(nèi),點(diǎn)的軌跡是,
在平面內(nèi),點(diǎn)的軌跡是,
在平面時(shí),作平面,如圖,

作平面，，

點(diǎn)的軌跡是以為圓心,以2為半徑的四分之一
點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為,
點(diǎn)的軌跡總長(zhǎng)度為,故C正確;
對(duì)于D選項(xiàng)，首先作出如圖所示圖像，shouxian外接球半徑，
直線與球面的一個(gè)交點(diǎn)為，另一交點(diǎn)設(shè)為，
以為原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，首先求出圓心到直線的距離，因?yàn)槔忾L(zhǎng)為2，且為中點(diǎn)，故,,,故,
,，故圓心到直線的距離，故線段,
故D正確.

故選：ACD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：空間中點(diǎn)到直線的距離公式：
設(shè)某空間直線的方向向量為過(guò)點(diǎn);空間上的一點(diǎn)令，即表示由點(diǎn)指向點(diǎn)的向量.
觀察
而與要求的距離構(gòu)成以即為斜邊的直角三角形.故
.
12．已知函數(shù) 若函數(shù)有四個(gè)不同的零點(diǎn)：，且,則以下結(jié)論正確的是（????）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，數(shù)形結(jié)合可判斷B的正誤；分析可知，結(jié)合基本不等式可判斷A的正誤；構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，可判斷CD的正誤.
【詳解】設(shè)，其中，則，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，函數(shù)的極大值為，且當(dāng)時(shí)，，
作出函數(shù)與的大致圖象，

由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，B對(duì)；
因?yàn)椋瑒t，由圖可知，
則，即，
所以，，A對(duì)；
令，其中，由圖可知，
，
當(dāng)時(shí)，，，則，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，
所以，，即，
因?yàn)?，，且函?shù)在上單調(diào)遞減，
所以，，則，故，C錯(cuò)D對(duì).
故選：ABD.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題：
（1）確定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)問(wèn)題：可利用數(shù)形結(jié)合的辦法判斷交點(diǎn)個(gè)數(shù)，如果函數(shù)較為復(fù)雜，可用導(dǎo)數(shù)知識(shí)確定極值點(diǎn)和單調(diào)區(qū)間從而確定其大致圖象；
（2）方程的有解問(wèn)題就是判斷是否存在零點(diǎn)的問(wèn)題，可參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問(wèn)題處理.可以通過(guò)構(gòu)造函數(shù)的方法，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為研究構(gòu)造的函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題；
（3）利用導(dǎo)數(shù)硏究函數(shù)零點(diǎn)或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結(jié)合思想研究；③構(gòu)造輔助函數(shù)硏究.

三、填空題
13．在的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，則所有項(xiàng)的系數(shù)和等于______
【答案】
【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)和可求得的值，然后在二項(xiàng)式中令，可求得所有項(xiàng)的系數(shù)和.
【詳解】的二項(xiàng)式系數(shù)和為，可得，
所以，的所有項(xiàng)的系數(shù)和為.
故答案為：.
14．已知圓C:，直線l與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等，則滿(mǎn)足上述條件的直線l共有__________________條.
【答案】4
【分析】畫(huà)出圓的圖像，根據(jù)圖像觀察可得答案.
【詳解】由已知圓C：，圓心，半徑
作出圓的圖像如下：

根據(jù)圖像觀察可得：存在4條直線與圓C相切，且在x軸、y軸上的截距相等
其中是過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線，是斜率為-1的直線
故答案為：4.
15．已知.若曲線存在兩條過(guò)點(diǎn)的切線，則的取值范圍是___________.
【答案】或
【分析】求導(dǎo)函數(shù)設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，寫(xiě)出切線方程并代入點(diǎn)得，由于有兩條切線，故方程有兩非零的根，結(jié)合判別式即可求解．
【詳解】由題得，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，
則切線方程為，
又切線過(guò)點(diǎn)，可得，
整理得，
因?yàn)榍€存在兩條切線，故方程有兩個(gè)不等實(shí)根且
若，則，為兩個(gè)重根，不成立
即滿(mǎn)足，解得或．
故的取值范圍是或
故答案為：或
16．在三棱錐 中，底面ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，點(diǎn)M為的垂心，且平面，則三棱錐的外接球的表面積為_(kāi)________.
【答案】
【分析】利用線面垂直的判定定理可得平面，得，則可得是等邊三角形，設(shè)外接球心為O，則O在CM上，半徑為r，在中列方程求出半徑，進(jìn)而即得.
【詳解】如圖，連接并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)與交于點(diǎn)，則，

因?yàn)槠矫嫫矫妫?br /> 所以，
因?yàn)?平面，
所以平面，平面，
所以，
因?yàn)槭钦切?，故為中點(diǎn)，
又，所以是等邊三角形，，
易得，，
所以，
設(shè)外接球心為O，則O在CM上，半徑為r，
在中有，
解得，
故外接球表面積為.
故答案為：.

四、解答題
17．在，中，記角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知
(1)求角B；
(2)已知點(diǎn)D在AC邊上，且，求的面積.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由正弦定理可得，再利用化簡(jiǎn)，從而求出角；
（2）在中由余弦定理建立等式，再利用得到另一等式，進(jìn)而求出的三邊，由此求出其面積．
【詳解】（1）因?yàn)椋?br /> 由正弦定理可得，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
因?yàn)?，則，所以，即，故，
又，所以，故.
（2）由題意設(shè)，，，由（1）得，
在中由余弦定理可得，①，
因?yàn)?，所以?br /> 即②，
聯(lián)立①②，解得（負(fù)值舍去），
則，，是等邊三角形，
所以，即的面積是．
.
18．在①；②，，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.
已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，??，數(shù)列滿(mǎn)足 .
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】(1)
(2)條件選擇見(jiàn)解析，答案見(jiàn)解析

【分析】（1）令，可求得的值，令，由可得，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項(xiàng)和公差，可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）選①，可得出，利用錯(cuò)位相減法可求得；
選②，求得，利用裂項(xiàng)相消法可求得.
【詳解】（1）解：當(dāng)時(shí)，，即，解得或（舍）.
當(dāng)時(shí)，由可得，
上述兩個(gè)等式作差可得，即，
，，則，
所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且該數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，
因此，.
（2）解：若選①，則，則，
所以，，
上述兩個(gè)等式作差可得
，
因此，；
若選②，，
所以，.
19．某足球俱樂(lè)部在對(duì)球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析,在2022年度賽季中,為了考查甲球員對(duì)球隊(duì)的貢獻(xiàn)度,現(xiàn)作如下數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì):

球隊(duì)勝
球隊(duì)負(fù)
總計(jì)
甲參加

8
30
甲未參加
8


總計(jì)

20


(1)求r,s的值,據(jù)此能否有95%的把握認(rèn)為球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān);.
(2)根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),乙球員能夠勝任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門(mén)員四個(gè)位置,且出場(chǎng)率分別為:0.3、0.5、0.1、0.1,當(dāng)出任前鋒、中鋒、后衛(wèi)以及守門(mén)員時(shí),球隊(duì)輸球的概率依次為:0.4、0.2、0.6、0.2.則:
①當(dāng)他參加比賽時(shí),求球隊(duì)某場(chǎng)比賽輸球的概率;
②當(dāng)他參加比賽時(shí),在球隊(duì)輸了某場(chǎng)比賽的條件下,求乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率;
③如果你是教練員,應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)有關(guān)知識(shí),該如何合理安排乙球員的參賽位置?
附表及公式:
P(K2≥k)
0.15
0.10
0.05
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828


【答案】(1),有把握
(2)①,②,③守門(mén)

【分析】(1)根據(jù)列聯(lián)表中一些數(shù)據(jù)，將表格填寫(xiě)完整,計(jì)算出即可;
(2) ①根據(jù)獨(dú)立事件的概率公式,列出式子計(jì)算結(jié)果即可;
②根據(jù)條件概率的計(jì)算公式列出式子計(jì)算結(jié)果即可;
③分別求出球隊(duì)輸了比賽的條件下,乙擔(dān)任各個(gè)位置的概率,比較大小,判斷合適位置即可。
【詳解】（1）解:由題知,,
將表格填完整如下所示:

球隊(duì)勝
球隊(duì)負(fù)
總計(jì)
甲參加
22
8
30
甲未參加
8
12
20
總計(jì)
30
20
50

,
,
所以有95%的把握認(rèn)為球隊(duì)勝利與甲球員參賽有關(guān);
（2）①由題知,記“乙球員參加比賽,比賽輸球”為事件,
,
故乙球員參加比賽,比賽輸球的概率為0.3;
②由題知,記“乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒”為事件,
則,
,
故球隊(duì)輸了比賽的條件下,乙球員擔(dān)當(dāng)前鋒的概率為0.4;
③記“乙球員乙球員擔(dān)當(dāng)中鋒”為事件,
記“乙球員乙球員擔(dān)當(dāng)后衛(wèi)”為事件,
記“乙球員乙球員擔(dān)當(dāng)守門(mén)”為事件,
有,,
,
,
,
所以應(yīng)該安排乙球員擔(dān)當(dāng)守門(mén),贏面大些.
20．某校積極開(kāi)展社團(tuán)活動(dòng)，在一次社團(tuán)活動(dòng)過(guò)程中，一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)《九章算術(shù)》中提到了“芻薨”這個(gè)五面體，于是他們仿照該模型設(shè)計(jì)了一道數(shù)學(xué)探究題，如圖1，E、F、G分別是邊長(zhǎng)為4的正方形的三邊的中點(diǎn)，先沿著虛線段將等腰直角三角形裁掉，再將剩下的五邊形沿著線段EF折起，連接就得到了一個(gè)“芻甍”???(如圖2)。

(1)若O是四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，求證：平面；
(2)若二面角的大小為求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析；
(2).

【分析】（1）取線段中點(diǎn)，連接、，可得四邊形是平行四邊形，然后線面平行的判定定理即得；
（2）由題可得即為二面角的平面角，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸和軸正向建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面ABE和平面OAB的一個(gè)法向量，利用空間向量夾角公式即得．
【詳解】（1）取線段CF中點(diǎn)H，連接OH、GH，
由圖1可知，四邊形EBCF是矩形，且，
∴O是線段BF與CE的中點(diǎn)，
∴且，
在圖1中且，且．
所以在圖2中，且，
∴且，
∴四邊形AOHG是平行四邊形，則，??
由于平面GCF，平面GCF，
∴平面GCF．
（2）由圖1，，，折起后在圖2中仍有，，
∴即為二面角的平面角．
∴，
以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，，分別為x軸和y軸正向建立空間直角坐標(biāo)系如圖，

設(shè)，則、、，
∴，，
易知平面ABE的一個(gè)法向量，
設(shè)平面OAB的一個(gè)法向量，
由，得，取，則，，
于是平面的一個(gè)法向量，
∴，
∴平面ABE與平面OAB夾角的余弦值為．
21．已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；
(2)若?? 且 ??恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】(1)極大值為，極小值為；
(2)．

【分析】（1）求定義域，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的極值情況；
（2）不等式變形為，構(gòu)造，求導(dǎo)后得到，對(duì)分類(lèi)討論，求出每種情況下的實(shí)數(shù)a的取值范圍，即得.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?br /> 則
令，得，或．
當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下：
x






+
0
-
0
+

單調(diào)遞增

單調(diào)遞減

單調(diào)遞減

因此，當(dāng)時(shí)，有極大值，并且極大值為；當(dāng)時(shí)，有極小值，并且極小值為；
（2）因?yàn)榈葍r(jià)于，
令，則
，
（?。┤?，對(duì)于函數(shù)，有，
所以恒成立，
故當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；
（ⅱ）若，
當(dāng)時(shí)，，所以，
故不等式恒成立；
現(xiàn)探究當(dāng)時(shí)的情況：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以是的極小值點(diǎn)，
要使不等式成立，只需，
解得：，
故當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；
（ⅲ）若，
當(dāng)時(shí)，，所以，
故不等式恒成立；
現(xiàn)探究當(dāng)時(shí)的情況：
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以是的極小值點(diǎn)，
要使不等式成立，只需，
即．
設(shè)，則化為，
因?yàn)?，所以在上為增函?shù)，
于是，由及，得，
故當(dāng)時(shí)，不等式恒成立；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問(wèn)題的解法：
若在區(qū)間上有最值，則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
若能分離常數(shù)，即將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：（或），則
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
22．已知等軸雙曲線????的右焦點(diǎn)為，過(guò)右焦點(diǎn)F作斜率為正的直線l，直線l交雙曲線的右支于P，Q兩點(diǎn)，分別交兩條漸近線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)M，P 在第一象限，O是原點(diǎn).
(1)求直線l斜率的取值范圍；
(2)設(shè)的面積分別為，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）已知等軸和焦點(diǎn)坐標(biāo)，可求出雙曲線方程，設(shè)出直線方程，聯(lián)立雙曲線方程由韋達(dá)定理即可解得直線l斜率的取值范圍.
（2）由直線與漸近線方程聯(lián)立可求出M，N兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出P到兩條漸近線的距離，整體代入求出，分割利用韋達(dá)定理結(jié)合三角形面積公式，可求得，進(jìn)而得到關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，即可得到答案.
【詳解】（1）已知雙曲線等軸，可設(shè)雙曲線方程為，因?yàn)橛医裹c(diǎn)為，故，由得，所以雙曲線方程的方程為，設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立雙曲線方程得， ，解得
即直線l斜率的取值范圍為.
（2）設(shè)，漸近線方程為，則P到兩條漸近線的距離滿(mǎn)足，，而，，同理，所以，由，，所以，，

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