說明:
1.本試卷共4頁，共22題，滿分共150分，考試用時120分鐘．考試結束后，只將答題紙交回．
2.答題前，考生務必將自己的姓名、考號、座號填寫在答題卡上．
3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效．
一、選擇題（本題包括8個小題，每小題5分，共40分.在每個小題的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知集合，，則（ ）
A．B．C．D．
2．復數(shù)（i是虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點位于象限為（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知向量，，那么等于（ ）
A．B．C．1D．0
4．已知函數(shù)的導函數(shù)的圖象如圖所示，則下列判斷正確的是（ ）

A．2為的極大值點B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．為的極小值點D．在區(qū)間上單調(diào)遞增
5．教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣.按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為.經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且y隨時間t（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間t（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（ ）
（參考數(shù)據(jù)）
A．5B．7C．9D．10
6．已知，，則 的終邊在
A．第二、四象限B．第一、三象限
C．第一、三象限或x軸上D．第二、四象限或x軸上
7．已知，，，則（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)滿足對任意，都有成立，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
二、選擇題（本題包括4個小題，每小題5分，共20分.在每個小題的四個選項中，有多項是符合題目要求.全 部選對的得 5 分，部分選對的得 2 分，有選錯的得 0 分）
9．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（ ）

A．的最小正周期為
B．
C．的圖象關于直線對稱
D．將的圖象向右平移個單位長度得到的函數(shù)圖象關于y軸對稱
10．下列說法正確的是（ ）
A．函數(shù)與是同一個函數(shù)
B．若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
C．已知命題p：，，則命題p的否定為，
D．定義在上的奇函數(shù)滿足，則函數(shù)的周期為4
11．已知向量，其中，下列說法正確的是（ ）
A．若，則B．若與夾角為銳角，則
C．若，則在方向上投影向量為D．若
12．若正實數(shù)a，b滿足，則下列說法錯誤的是（ ）
A．有最小值B．有最大值
C．有最小值4D．有最小值
三、填空題（本題包括4個小題，每小題5分，共20分.）
13．已知集合，集合，若，則實數(shù) .
14．已知，，則的取值范圍是 .
15．若，則 ．
16．“不等式對一切實數(shù)都成立”，則的取值范圍為 .
四、解答題（本題包括6個小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17．已知， ，.
(1)求的值；
(2)求向量與夾角的余弦值．
18．已知函數(shù)的定義域為A，集合．
(1)當時，求；
(2)若，求的取值范圍．
19．在ΔABC 中，內(nèi)角的對邊分別為 .已知
（1） 求的值
（2） 若 ，求ΔABC的面積.
20．已知二次的數(shù).
(1)若不等式的解集是，求實數(shù)的值：
(2)當時，求不等式的解集.
21．已知銳角的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求角的大??；
(2)若，求的取值范圍.
22．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)證明：當時，.
1．C
【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．
方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．
【詳解】方法一：因為，而，
所以．
故選：C．
方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．
故選：C．
2．D
【分析】利用復數(shù)的除法求出復數(shù)，再求出對應點的坐標即可得解.
【詳解】復數(shù)，
因此復數(shù)在復平面對應的點在第四象限.
故選：D
3．A
【分析】利用向量數(shù)量積的坐標運算和兩角和的正弦公式可得答案.
【詳解】，，
.
故選：A.
4．A
【分析】根據(jù)導函數(shù)圖象分析的取值情況，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點.
【詳解】由導函數(shù)圖象可得當時，當時，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且在的左邊，在的右邊，
所以的極大值點為、，極小值點為.
故選：A
5．B
【分析】根據(jù)已知條件求得，然后列不等式來求得的取值范圍，進而求得的最小整數(shù)值.
【詳解】當時，，
所以，由得，
，
所以的最小整數(shù)值為.
故選：B
6．D
【分析】先判斷角所在的象限，再求出的終邊所在的象限即可.
【詳解】∵，|，
∴，
∴角的終邊在第四象限或x軸非負半軸上，
即，
，
∴的終邊在第二、四象限或x軸上.
故選：D.
【點睛】本題主要考查三角函數(shù)值的符號和角的終邊所在的位置，屬于基礎題.
7．A
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可.
【詳解】因為在R上單調(diào)遞增，且，
所以；
因為在R上單調(diào)遞減，且，
所以；
因為在上單調(diào)遞增，且，
所以．
綜上所述，，
故選：A．
8．C
【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性的定義，列式求解.
【詳解】∵滿足對任意，都有成立，
∴在上是減函數(shù)，，解得，
∴a的取值范圍是.
故選：C．
9．AC
【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)的解析式為，結合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐項判定，即可求解.
【詳解】由函數(shù)的圖象，可得，
所以，可得，所以，
因為，所以，
即，可得，即，
因為，可得，所以，
所以A正確，B不正確；
由，所以是函數(shù)的圖象的對稱軸，所以C正確；
將的圖象向右平移個單位長度，
可得，
此時函數(shù)的圖象關于原點對稱，不關于軸對稱，所以D錯誤.
故選：AC.
10．BCD
【分析】由相同函數(shù)的定義判斷A；由抽象函數(shù)的定義域判斷B；由全稱命題的否定是特稱命題判斷C；由函數(shù)周期的定義求的周期來判斷D.
【詳解】對于A，的定義域為，的定義域為，
故，不是同一函數(shù)；所以選項A錯誤；
對于B，函數(shù)的定義域為，則中的范圍為，
由抽象函數(shù)的定義域可得，
中的范圍為，即，解得，
故函數(shù)的定義域為；所以選項B正確；
對于C，命題p：，，則命題p的否定為，，所以選項C正確；
對于D，由，
得，故，
因為為奇函數(shù)，故，
所以，從而，
故，則函數(shù)的周期為4，故選項D正確．
故選：BCD．
11．AC
【分析】由向量垂直的坐標表示列方程求參數(shù)判斷A；根據(jù)向量夾角為銳角有，注意同向共線的情況判斷B；由投影向量的定義求投影向量判斷C；根據(jù)向量坐標求模判斷D.
【詳解】若，則，解得，A正確；
若與夾角為銳角，則，解得，
當，，此時，與夾角為，B錯誤；
若，則，因為在方向上投影為，與同向的單位向量為，
所以在方向上投影向量為，C正確；
由題設，，D錯誤.
故選：AC
12．AD
【分析】求得最值判斷選項A；求得最大值判斷選項B；求得最小值判斷選項C；求得最小值判斷選項D.
【詳解】選項A：由（當且僅當時等號成立），
得，故有最大值.判斷錯誤；
選項B：
（當且僅當時等號成立），
則，則有最大值.判斷正確；
選項C：（當且僅當時等號成立），
故有最小值4，判斷正確；
選項D：（當且僅當時等號成立），
所以有最小值.判斷錯誤.
故選：AD.
13．1
【分析】根據(jù)子集的定義求解.
【詳解】因為，所以，
即，所以.
當時，，，滿足，故.
故答案為：1.
14．
【分析】先將表示為，再結合不等式的性質(zhì)即可求解.
【詳解】設，
則，∴
即，
又∵，，
∴，，
∴，
即 ，
∴的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】本題考查不等式的性質(zhì)，考查運算能力，是基礎題.
15．15##0.2
【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的正余弦公式，結合齊次式法求值作答.
【詳解】因為，所以.
故答案為：
16．
【分析】對二次項系數(shù)分成等于0和不等于0兩種情況進行討論，對時，利用二次函數(shù)的圖象進行分析求解.
【詳解】當時，不等式對一切實數(shù)都成立，
所以成立；
當時，由題意得解得：；
綜上所述：.
17．(1)
(2)
【分析】（1）由，可求的值；
（2）利用向量數(shù)量積求出，，再由向量數(shù)量積求夾角的余弦值.
【詳解】（1），
由，得，所以.
（2）因為，
，
所以，.
令向量與的夾角為θ，
則，
即向量與夾角的余弦值是.
18．(1)或
(2)
【分析】（1）先求出，再求出即可；
（2）分和兩種情況，得到關于a的不等式，再求出的取值范圍.
【詳解】（1）要使函數(shù)有意義，則，
解得，，
當時，，
或，
則或．
（2），
①當時，，即，滿足題意；
②當時，，解得，
綜上，的取值范圍為．
19．（1） （2）
【分析】（1）正弦定理得邊化角整理可得，化簡即得答案．
（2）由（1）知，結合題意由余弦定理可解得 ，，從而計算出面積．
【詳解】（1）由正弦定理得，
所以
即
即有，即
所以
（2）由（1）知，即，
又因為 ，所以由余弦定理得：
，即，解得,
所以，又因為，所以 ，
故ΔABC的面積為=.
【點睛】正弦定理與余弦定理是高考的重要考點，本題主要考查由正余弦定理解三角形，屬于一般題．
20．(1)a的值為，b的值為2
(2)答案見解析
【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解與一元二次方程的根之間的關系求解即可.
（2）分別研究、、時一元二次不等式的解集即可.
【詳解】（1）因為的解集為，
所以，解得，
故a的值為，b的值為2.
（2）當時，，（），
方程的根為或，（），
①當時，，不等式的解集為或，
②當時，，不等式的解集為，
③當時，，不等式的解集為或，
綜述，①當時，不等式的解集為或，
②當時，不等式的解集為，
③當時，不等式的解集為或.
21．(1)
(2)
【分析】（1）利用誘導公式及正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式求出，即可得解；
（2）利用正弦定理將邊化角，轉化為角的三角函數(shù)，再由的取值范圍，求出的范圍.
【詳解】（1）由，即，
得，
由正弦定理可得，
所以，
所以，因為，所以，
所以，又，所以.
（2）由正弦定理，
所以
.
因為為銳角三角形，且，
所以，解得，
所以，，
所以，，
所以的取值范圍為.
22．(1)答案見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，對進行分類討論，判斷的正負作答即可；
（2）把代入不等式，化簡轉化為，構造新函數(shù)，對新函數(shù)求導，并求出其最小值為，即可判斷原不等式成立.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，可得.
當時，可知，所以在上單調(diào)遞增；
當時，由得，
可得時，有，時，有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；
當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）證明：當時，要證成立，
只需證成立，
只需證即可.
因為，由（1）知，.
令，
則，
可得時，有；時，有，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
可知，則有，所以有，
所以當時，成立.
【點睛】方法點睛：不等式證明問題往往轉化為函數(shù)恒成立問題解決.

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