? 2022–2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試
高三數(shù)學(xué)試題
本試題卷共6頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. B. C. D.
2. 若的展開式中含有項的系數(shù)為18，則（）
A2 B. C. 或 D. 或
3. 已知集合，.若，則（）
A. B.
C. 或 D. 或
4. “阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將一個正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點的兩個正三角形所在平面的夾角正切值為（）

A. B. 1 C. D.
5. “”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
6. 已知函數(shù)的部分圖像如下圖所示，將的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的最小值為（）

A. B. C. D. 0
7. 為了解甲、乙兩個班級學(xué)生的物理學(xué)習(xí)情況，從兩個班學(xué)生的物理成績（均為整數(shù)）中各隨機抽查20個，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖（用頻率分布直方圖估計總體平均數(shù)時，每個區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點值），關(guān)于甲、乙兩個班級的物理成績，下列結(jié)論正確的是（）

A. 甲班眾數(shù)小于乙班眾數(shù) B. 乙班成績75百分位數(shù)為79
C. 甲班的中位數(shù)為74 D. 甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計值
8. 已知定義域為的“類康托爾函數(shù)”滿足：①，；②；③.則（）
A. B. C. D.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 通過長期調(diào)查知，人類汗液中指標(biāo)的值服從正態(tài)分布.則（）
參考數(shù)據(jù)：若，則；.

A. 估計人中汗液指標(biāo)的值超過的人數(shù)約為
B. 估計人中汗液指標(biāo)的值超過的人數(shù)約為
C. 估計人中汗液指標(biāo)的值不超過的人數(shù)約為
D. 隨機抽檢人中汗液指標(biāo)的值恰有人超過的概率為
10. 已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，，，點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則（）
A. B.
C. 的坐標(biāo)為 D. 的坐標(biāo)為
11. 已知為坐標(biāo)原點，離心率為的橢圓的左，右焦點分別為，，與曲線恰有三個交點，則（）
A. 橢圓的長軸長為
B. 的內(nèi)接正方形面積等于3
C. 點在上，，則的面積等于1
D. 曲線與曲線沒有交點
12. 已知數(shù)列和滿足，，，.則（）
A. B. 數(shù)列是等比數(shù)列
C. 數(shù)列是等差數(shù)列 D.
三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.
13已知，，則______.
14. 將8塊完全相同的巧克力分配給A，B，C，D四人，每人至少分到1塊且最多分到3塊，則不同的分配方案共有______種（用數(shù)字作答）.
15. 已知為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，過的直線交于A，B兩點，A，B中點在軸上方且其橫坐標(biāo)為1，，則直線的斜率為______.
16. 已知球的半徑為2，圓錐的頂點和底面圓周上的點均在球上，記球心到圓錐底面的距離為，圓錐的底面半經(jīng)為.則（1）的最大值為______；（2）圓錐體積的最大值為______.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 在中，，內(nèi)角，，的對邊分別記為，，.
（1）求的值；
（2）求的最小值.
18. 如圖1所示，在中，點E，F(xiàn)在線段上，點在線段上，，，，.將△ACE，△BDF分別沿CE，DF折起至點A，B重合為點，形成如圖2所示的幾何體，在幾何體中作答下面的問題.

（1）證明：平面平面；
（2）求點到平面的距離.
19. 記數(shù)列的前項和為，，______.給出下列兩個條件：條件①：數(shù)列和數(shù)列均為等比數(shù)列；條件②：.試在上面的兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，完成下列兩問的解答：
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記正項數(shù)列的前項和為，，，，求.
20. 由個小正方形構(gòu)成長方形網(wǎng)格有行和列.每次將一個小球放到一個小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為，放紅球的概率為q，.
（1）若，，記表示100輪放球?qū)嶒炛小懊恳涣兄辽僖粋€紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
求y關(guān)于n的回歸方程，并預(yù)測時，y的值；（精確到1）
（2）若，，，，記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）求事件“不是每一列都至少一個紅球”發(fā)生的概率，并證明：.
附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：，，，.
21. 已知為坐標(biāo)原點，動直線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點，與橢圓交于E，F(xiàn)兩點.當(dāng)時，.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若動直線與相切，證明：的面積為定值.
22. 已知函數(shù)最小值和的最大值相等.
（1）求；
（2）證明：；
（3）已知正整數(shù)，證明：.





















2022–2023學(xué)年度第一學(xué)期期末考試
高三數(shù)學(xué)試題
本試題卷共6頁，22題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 復(fù)數(shù)的虛部為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求得的結(jié)果，即可得答案.
【詳解】由題意復(fù)數(shù)，
故復(fù)數(shù)的虛部為，
故選：B
2. 若的展開式中含有項的系數(shù)為18，則（）
A. 2 B. C. 或 D. 或
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)二項式展開式的通項公式，可列出方程，即可求得a，即得答案.
【詳解】由題意的展開式中含有項的系數(shù)為18，
即，即，
解得或，
故選：C
3. 已知集合，.若，則（）
A B.
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)集合表示點的含義，可得直線與圓相交或相切，然后得到，整理解出不等式即可得出答案.
【詳解】由已知可得，集合表示的點在圓上，圓心為，半徑，集合表示的點為直線，即上的點.
由可知，直線與圓有交點，即直線與圓相交或相切，
所以圓心到直線的距離，即，
整理可得，解得.
故選：A.
4. “阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對稱美.如圖，將一個正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則該多面體中具有公共頂點的兩個正三角形所在平面的夾角正切值為（）

A. B. 1 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】將該多面體放在正方體中，利用空間向量的坐標(biāo)運算，求出平面和平面的法向量，即可求平面和平面夾角的余弦值，進而可求解.
【詳解】將該“阿基米德多面體”放入正方體中，如圖，
平面和平面為有公共頂點的兩個正三角形所在平面，

建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，
則
設(shè)平面的法向量為
所以，令，所以
設(shè)平面的法向量為
所以，令，所以
設(shè)平面平面和平面的夾角為，
則，
因為平面和平面的夾角為銳角，所以，
所以，
故選：D
5. “”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的（）
A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】由時，結(jié)合奇函數(shù)定義可判斷為奇函數(shù)，舉反例說明函數(shù)為奇函數(shù)時，可能是，不能得出一定是，由此可判斷答案.
【詳解】當(dāng)時，，其定義域為關(guān)于原點對稱，
且滿足，故為奇函數(shù)；
當(dāng)時，，其定義域為關(guān)于原點對稱，
且滿足，故為奇函數(shù),
即函數(shù)為奇函數(shù)不能推出，還可能是，
故“”是“函數(shù)為奇函數(shù)”的充分不必要條件，
故選：A
6. 已知函數(shù)的部分圖像如下圖所示，將的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)的圖像，則函數(shù)的最小值為（）

A. B. C. D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】先計算，再由平移得，代入并配方計算即可.
【詳解】由圖可知，故，
，得,
又，故，故，
則，
則，
當(dāng)時，的最小值為.
故選：B
7. 為了解甲、乙兩個班級學(xué)生的物理學(xué)習(xí)情況，從兩個班學(xué)生的物理成績（均為整數(shù)）中各隨機抽查20個，得到如圖所示的數(shù)據(jù)圖（用頻率分布直方圖估計總體平均數(shù)時，每個區(qū)間的值均取該區(qū)間的中點值），關(guān)于甲、乙兩個班級的物理成績，下列結(jié)論正確的是（）

A. 甲班眾數(shù)小于乙班眾數(shù) B. 乙班成績的75百分位數(shù)為79
C. 甲班的中位數(shù)為74 D. 甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計值
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)圖，計算甲班眾數(shù)和乙班眾數(shù)，判斷A；根據(jù)頻率分布直方圖計算乙班成績的75百分位數(shù)，判斷B；求出甲班的中位數(shù)，判斷C；求出兩個班級的平均分，即可判斷D.
【詳解】由甲、乙兩個班級學(xué)生的物理成績的數(shù)據(jù)圖可知甲班眾數(shù)為79，
乙班眾數(shù)設(shè)為，則，由于物理成績均為整數(shù)，故，
故甲班眾數(shù)不小于乙班眾數(shù)，A錯誤；
對于乙班物理成績的頻率分布直方圖，
前三個矩形的面積之和為，
故乙班成績的75百分位數(shù)為80，B錯誤；
由甲班物理成績數(shù)據(jù)圖可知，小于79分的數(shù)據(jù)有9個，79分的數(shù)據(jù)有6個，
故甲班的中位數(shù)為79，C錯誤；
甲班平均數(shù)為，
乙班平均數(shù)估計值為，
即甲班平均數(shù)大于乙班平均數(shù)估計值，D正確，
故選：D
8. 已知定義域為的“類康托爾函數(shù)”滿足：①，；②；③.則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的定義分別賦值得到，然后再利用得到，再次賦值，利用，即可求解.
【詳解】因為，，令可得：，
又因，令可得：，令可得：，
由可得：，
令，則有，所以，
令，，則有，所以，
因為，所以，
也即，所以，
故選：.
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 通過長期調(diào)查知，人類汗液中指標(biāo)的值服從正態(tài)分布.則（）
參考數(shù)據(jù)：若，則；.

A. 估計人中汗液指標(biāo)的值超過的人數(shù)約為
B. 估計人中汗液指標(biāo)的值超過的人數(shù)約為
C. 估計人中汗液指標(biāo)的值不超過的人數(shù)約為
D. 隨機抽檢人中汗液指標(biāo)的值恰有人超過的概率為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，進行ABC選項的判斷；結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)以及二項分布的概率計算公式即可判斷選項D.
【詳解】由，可得汗液指標(biāo)的值超過的
概率為.所以人中汗液指標(biāo)的值
超過的人數(shù)約為，故A對；
同理，D選項中，隨機抽檢人中汗液指標(biāo)的值恰有
人超過的概率為：，故D對；
由，所以人中汗液指標(biāo)的值
超過的人數(shù)約為
=，B對；
由，人中汗液指標(biāo)的值
不超過的人數(shù)約為

，故C錯.
故選：ABD
10. 已知對任意平面向量，把繞其起點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點.已知平面內(nèi)點，點，，，點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，則（）
A. B.
C. 的坐標(biāo)為 D. 的坐標(biāo)為
【答案】ACD
【解析】
【分析】由題意表示出，結(jié)合題設(shè)可求得，即得，，判斷；根據(jù)題中定義求得坐標(biāo)，可得點坐標(biāo)，判斷D；再求得，求得其模，判斷A.
【詳解】由題意可知點，點，故，
因為，故，
又，即，故，
所以，，故B錯誤，C正確；
因為點繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點，
所以，
則由,可得點坐標(biāo)為，故D正確；
故，則，A正確，
故選：ACD
11. 已知為坐標(biāo)原點，離心率為的橢圓的左，右焦點分別為，，與曲線恰有三個交點，則（）
A. 橢圓的長軸長為
B. 的內(nèi)接正方形面積等于3
C. 點在上，，則的面積等于1
D. 曲線與曲線沒有交點
【答案】BCD
【解析】
【分析】由橢圓與余弦函數(shù)都關(guān)于軸對稱，可得其中一個交點為，從而可求，根據(jù)離心率求得，從而可判斷A；聯(lián)立，求出，從而可判斷B；設(shè)，根據(jù)橢圓的定義可得，又，從而可求，即可求面積，從而可判斷C；設(shè)直線，聯(lián)立，可得直線與橢圓相切，且直線在橢圓的右上方，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)證明???????，從而可判斷D.
【詳解】因為橢圓與曲線都關(guān)于軸對稱，且與曲線恰有三個交點,
所以其中一個交點的橫坐標(biāo)為0.
又,所以該交點坐標(biāo)為，所以.
因為橢圓的離心率為，所以，解得，
故橢圓的長軸長為，故A錯誤.
橢圓的方程為,
設(shè)的內(nèi)接正方形與在第一象限的交點為，設(shè)，
聯(lián)立，可得，
故的內(nèi)接正方形面積為，故B正確.
設(shè)，因為點W在C上,所以.
因為，所以.
所以，解得.
所以的面積為，故C正確.
設(shè)直線，
聯(lián)立,可得，即，
,所以直線與橢圓C相切，且直線在橢圓的右上方.
設(shè)
，
故，令，可得.
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增.
所以




，
即，即，
故函數(shù)的圖象在的上方，
所以曲線C與曲線沒有交點，故D正確.
故選:BCD.
【點睛】關(guān)鍵點睛：
（1）由橢圓與余弦函數(shù)都關(guān)于軸對稱，可得其中一個交點為；
（2）取直線，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系及直線與曲線的位置關(guān)系求解.
12. 已知數(shù)列和滿足，，，.則（）
A. B. 數(shù)列是等比數(shù)列
C. 數(shù)列是等差數(shù)列 D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】通過合理賦值即可判斷A，對B兩式作和即可判斷，對C兩式作差即可判斷，對D，通過BC選項求出，則可判斷D正確.
【詳解】對A選項，令，則，，
則，則，則，則A錯誤，
對B選項，由題意中兩式相加得，故B正確，
對C選項，由題意中兩式作差得，
即，則C正確，
對D選項，由B得，，
兩式相加得，
則，
則
若，顯然，則成立,
故選：BCD.
三、填空題：本題共4個小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，，則______.
【答案】##
【解析】
【分析】將已知兩式平方相加，結(jié)合兩角差的余弦公式，即可求得答案.
【詳解】因為，，
故，
，
以上兩式相加可得，即，
故，
故答案為：
14. 將8塊完全相同的巧克力分配給A，B，C，D四人，每人至少分到1塊且最多分到3塊，則不同的分配方案共有______種（用數(shù)字作答）.
【答案】19
【解析】
【分析】將分配方案分為3類，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理和分類加法計數(shù)原理解決即可.
【詳解】滿足條件的分配方案可分為3類，第一類每人2塊，第二類有兩人3塊，兩人1塊，第三類，一人3塊，一人一塊，2人2塊，
屬于第一類的分配方案有1個，
屬于第二類的分配方案有個，即6個，
屬于第三類的分配方案有個，即12個，
故滿足條件的分配方案的總數(shù)為19個，
故答案為：19.
15. 已知為坐標(biāo)原點，拋物線的焦點為，過的直線交于A，B兩點，A，B中點在軸上方且其橫坐標(biāo)為1，，則直線的斜率為______.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)出直線的方程為：，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理和弦長公式，以及中點坐標(biāo)即可求解.
【詳解】由題意可知：直線的斜率存在且大于零，
則設(shè)直線的方程為：，，
聯(lián)立方程組，整理可得：，
則，，又因為A，B中點的橫坐標(biāo)為1，
所以，則，
由弦長公式可得：，
又因為，則有，
化簡整理可得：，即，解得：，
因為，所以，
故答案為：.
16. 已知球的半徑為2，圓錐的頂點和底面圓周上的點均在球上，記球心到圓錐底面的距離為，圓錐的底面半經(jīng)為.則（1）的最大值為______；（2）圓錐體積的最大值為______.
【答案】 ①. 2 ②. ##
【解析】
【分析】討論球心與圓錐的位置關(guān)系，確定的關(guān)系，結(jié)合基本不等式求的最大值，由錐體體積公式表示圓錐體積，利用導(dǎo)數(shù)求其最值.
【詳解】當(dāng)球心在圓錐內(nèi)或圓錐的底面上時，過圓錐的軸作截面可得：

則，，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為2,
圓錐的體積，其中，
所以，
所以
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，體積取最大值，最大值為，
當(dāng)球心在圓錐外時，過圓錐的軸作截面可得：

則，，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故的最大值為2,
圓錐的體積，其中，
所以，
所以
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以.
綜上所述，的最大值為2，圓錐體積的最大值為.
故答案為：2；.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
17. 在中，，內(nèi)角，，的對邊分別記為，，.
（1）求的值；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合余弦定理化簡計算可得，從而代入，即可求解出答案；（2）根據(jù)余弦定理，結(jié)合（1）結(jié)論化簡表示得，再利用基本不等式即可求解的最小值.
【小問1詳解】
由正弦定理邊角互化可得，
，
由余弦定理得，，
化簡得，
從而得，即，

【小問2詳解】
由余弦定理得，

因為在中，均大于，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為.
【點睛】思路點睛：在處理三角形中的邊角關(guān)系時，一般全部化為角的關(guān)系，或全部化為邊的關(guān)系．題中若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．應(yīng)用正、余弦定理時，注意公式變式的應(yīng)用．解決三角形問題時，注意角的限制范圍．
18. 如圖1所示，在中，點E，F(xiàn)在線段上，點在線段上，，，，.將△ACE，△BDF分別沿CE，DF折起至點A，B重合為點，形成如圖2所示的幾何體，在幾何體中作答下面的問題.

（1）證明：平面平面；
（2）求點到平面的距離.
【答案】（1）證明過程見詳解
（2）
【解析】
【分析】(1)根據(jù)題意可證平面，利用面面垂直的判定即可證明；
(2) 點到平面的距離為，利用體積相等，計算即可求解.
【小問1詳解】
由題意知：，，
因為，且平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
【小問2詳解】
由題意可知：是邊長為的正三角形，取的中點，連接，則有，且，

由（1）知平面平面，且平面平面
，所以平面，
由（1）知：平面，因為，所以平面，
又因為，，所以，
在中，過點作，則為的中點，
所以，所以，
又因為，設(shè)點到平面的距離為，
則，也即，所以，
所以，即點到平面的距離為.
19. 記數(shù)列的前項和為，，______.給出下列兩個條件：條件①：數(shù)列和數(shù)列均為等比數(shù)列；條件②：.試在上面的兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，完成下列兩問的解答：
（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.）
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）記正項數(shù)列的前項和為，，，，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）選擇條件①：先由為等比數(shù)列結(jié)合等比中項列出式子，再設(shè)出等比數(shù)列的公比，通過等比數(shù)列公式化簡求值即可得出答案；
選擇條件②：先由得出，兩式做減即可得出，再驗證時即可利用等比數(shù)列通項公式得出答案；
（2）通過得出，兩式相減結(jié)合已知即可得出，即數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別都成公差為2的等差數(shù)列，將轉(zhuǎn)化即可得出答案.
【小問1詳解】
選條件①：
數(shù)列為等比數(shù)列，
，
即，
，且設(shè)等比數(shù)列的公比為，
，
解得或（舍），
，
選條件②：
，
，
即，
由①②兩式相減得：，
即，
令中得出也符合上式，
故數(shù)列為首項，公比等比數(shù)列，
則，
【小問2詳解】
由第一問可知，不論條件為①還是②，都有數(shù)列為首項，公比的等比數(shù)列，即，
則，，
，
，
由③④兩式相減得：，
即，
數(shù)列為正項數(shù)列，
則，
則數(shù)列的奇數(shù)項、偶數(shù)項分別都成公差為2的等差數(shù)列，
，
即，
數(shù)列前2n項中的全部偶數(shù)項之和為：，
則.
20. 由個小正方形構(gòu)成長方形網(wǎng)格有行和列.每次將一個小球放到一個小正方形內(nèi)，放滿為止，記為一輪.每次放白球的頻率為，放紅球的概率為q，.
（1）若，，記表示100輪放球?qū)嶒炛小懊恳涣兄辽僖粋€紅球”的輪數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表：
n
1
2
3
4
5
y
76
56
42
30
26
求y關(guān)于n的回歸方程，并預(yù)測時，y的值；（精確到1）
（2）若，，，，記在每列都有白球的條件下，含紅球的行數(shù)為隨機變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（3）求事件“不是每一列都至少一個紅球”發(fā)生的概率，并證明：.
附：經(jīng)驗回歸方程系數(shù)：，，，.
【答案】（1）；3.
（2）分布列見解析；.
（3）；證明見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，結(jié)合經(jīng)驗回歸方程系數(shù)公式，即可求得回歸方程，繼而求得預(yù)測值；
（2）確定X的取值可能為，根據(jù)條件概率的概率公式求得每一個值對應(yīng)的概率，即可得分布列，繼而求得期望;
（3）求得每一列都至少一個紅球的概率，根據(jù)對立事件的概率公式可得事件“不是每一列都至少一個紅球”發(fā)生的概率，再求得“每一行都至少一個白球”的概率，結(jié)合兩事件的關(guān)系可得其概率大小關(guān)系，即可證明結(jié)論.
【小問1詳解】
由題意知 ,
故，
所以 ，
所以線性回歸方程為： ，
所以，估計時，.
【小問2詳解】
由題意知：，，，，
則X的取值可能為，
記“含紅球的行數(shù)為k”為事件，記“每列都有白球”為事件B，
所以 ，
，
，
所以X的分布列為：

0
1
2




所以數(shù)學(xué)期望為.
【小問3詳解】
證明：因為每一列至少一個紅球的概率為 ,
記“不是每一列都至少一個紅球”為事件A，所以，
記“每一行都至少一個白球”為事件B，所以，
顯然， ，所以 ，
即，所以.
【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答要首先能正確的理解題意，弄清楚題目的要求是什么，比如第二文中的條件概率的計算，要弄清每種情況的含義，第三問難點在于正確計算出“不是每一列都至少一個紅球”以及“每一行都至少一個白球”的概率，并能進行判斷二者之間的關(guān)系，從而比較概率大小，證明結(jié)論.
21. 已知為坐標(biāo)原點，動直線與雙曲線的漸近線交于A，B兩點，與橢圓交于E，F(xiàn)兩點.當(dāng)時，.
（1）求雙曲線的方程；
（2）若動直線與相切，證明：的面積為定值.
【答案】（1）
（2）的面積為定值,證明見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)，由題意有，直線與雙曲線的漸近線聯(lián)立方程組，求得，直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達定理求得，根據(jù)方程解出，得雙曲線的方程.
（2）根據(jù)（1）中解得的兩點坐標(biāo)，表示出的面積，由直線與相切，聯(lián)立方程組消元后判別式為0，化簡后得定值.
【小問1詳解】
設(shè)

因為，所以
由，得；同理可得，所以，
由，得，所以
所以即，由，解得，
所以雙曲線的方程為.
【小問2詳解】
雙曲線的漸近線方程為，
由得，，，
所，，
，
由，得，
因為直線與雙曲線相切，所以，即，
所以為定值.
【點睛】思路點睛：1.雙曲線的漸近線方程為，而雙曲線的漸近線方程為(即)，應(yīng)注意其區(qū)別與聯(lián)系.
2.解答直線與橢圓的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．強化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
22. 已知函數(shù)的最小值和的最大值相等.
（1）求；
（2）證明：；
（3）已知是正整數(shù)，證明：.
【答案】（1）
（2）證明過程見解析（3）證明過程見解析
【解析】
【分析】（1）先求定義域，再求導(dǎo)，得到，由，分與兩種情況，得到時無最大值，當(dāng)時，得到，構(gòu)造，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，，從而確定；
（2）要證明，只需證，由（1）知：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故只需證，且等號成立的條件與不同，
設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)性，求出，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，證畢；
（3）要證明不等式，只需證，構(gòu)造，，求導(dǎo)得到其單調(diào)性，得到所以，證畢
【小問1詳解】
由題意得：的定義域為，的定義域為，
因為，
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以，
又因為，
若，則，在上單調(diào)遞增，無最大值；
若，；令，解得：，
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
故，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
綜上：；
【小問2詳解】
要證明，只需證，
由（1）知：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
故只需證，且等號成立的條件與不同，
設(shè)，，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以在處取得極大值，也是最大值，
故，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，
故；
【小問3詳解】
要證明，
只需證，
即證，
設(shè)，，
所以，
所以在上單調(diào)遞增，，
所以，
綜上：成立.
【點睛】很多時候，我們需要證明，但不代表就要證明，因為大多數(shù)情況，的零點解不出來，設(shè)隱零點是一種方法，也可嘗試凹凸反轉(zhuǎn)，如要證明，可把拆分為兩個函數(shù)，放在不等式的兩邊，即要證明，只要證明，凹凸反轉(zhuǎn)的關(guān)鍵是如何分離出兩個函數(shù)，通常考慮指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)分離，構(gòu)造兩個單峰函數(shù)，進行求解.


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