精品解析：廣東省華附 深中 省實 廣雅四校聯(lián)考2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

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命題學(xué)校：廣東實驗中學(xué) 定稿人：楊晉鵬 張淑華
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.
注意事項：
1.答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考號填寫在答題卷上.
2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.
3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.
4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結(jié)束后，將答題卷收回.
一.單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 已知全集，集合A，B滿足，則下列關(guān)系一定正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)已知條件，求得，再進(jìn)行選擇即可.
【詳解】因為集合A，B滿足，故可得，
對A：當(dāng)為的真子集時，不成立；
對B：當(dāng)為的真子集時，也不成立；
對C：，恒成立；
對D：當(dāng)為的真子集時，不成立；
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A. B. C. 1D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念確定復(fù)數(shù)，最后根據(jù)的周期性求結(jié)果.
【詳解】由已知，
所以，.
故選：C
3. 直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作出圖象，找出一個對稱點和直線與直線的交點，即可求出對稱直線的方程.
【詳解】由題意，
在直線中，作出圖象如下圖所示，
由圖可知，點關(guān)于直線對稱的點為,
直線與直線的交點為,
∴關(guān)于直線對稱的直線方程為：，即，
∴關(guān)于直線對稱的直線方程是：.
故選：B.
4. 已知向量在方向上的投影向量的模為，向量在方向上的投影向量的模為1，且，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)投影向量的模長公式計算出，再由向量垂直關(guān)系列出方程，求出，得到夾角.
【詳解】由題可得所以.
因為，所以，
所以，所以，
即.
因為，所以.
故選：B.
5. 若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】通過橢圓的離心率得出之間的關(guān)系，即可求出雙曲線的離心率.
【詳解】由題意，
在橢圓中，離心率，
∴，即，
在雙曲線中，
∴雙曲線的離心率.
故選：A.
6. 在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個車輪上的點剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時到鐵軌上表面的距離為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】針對實際問題建模轉(zhuǎn)化為圓的弧長與圓心角、半徑之間的關(guān)系，就圓心角的范圍進(jìn)行分類,借助于直角三角形計算即得.
【詳解】當(dāng)列車行駛的距離為時，則車輪轉(zhuǎn)過的角度所對應(yīng)的扇形弧長為，
車輪轉(zhuǎn)過的角度為點的初始位置為，設(shè)車輪的中心為，當(dāng)
時，作，垂足為，如圖，
則到鐵軌表面的距離為；
當(dāng)時，，作，垂足為，如圖，
則，
到鐵軌表面的距離為；
當(dāng)在其它范圍均可得到，點到鐵軌上表面的距離為.
故選:B.
7. 若，則的大小關(guān)系為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由題意可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值，作出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象即可得解.
【詳解】由，
可得，所以，故，
所以，
令，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
如圖，作出函數(shù)的圖象，
由圖可知，可知.
故選：A.
8. 數(shù)列的前項和，且，若，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先把適度放縮，求出前項和的范圍，再進(jìn)行判斷.
【詳解】由已知得：
，又，
故
當(dāng)且時，
，
所以.
故選：D
【點睛】方法點睛：數(shù)列的前項和沒法求，再者本題求的是前項和的取值范圍，所以要想到對數(shù)列要適度放縮，然后求和.
二.多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）
9. 下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 若，則
B. 若，則
C. “”是“”成立的充分不必要條件
D. 若，則
【答案】BD
【解析】
【分析】判斷與不等式有關(guān)結(jié)論的正確與否，一般可考慮以下方法：①取反例說明不成立，②利用不等式性質(zhì)推理得到命題為真，③通過作差法判斷.
【詳解】對于A項，若取，則，顯然A項錯誤；
對于B項，因，又由知，故由不等式的性質(zhì)易得B項正確；
對于C項，當(dāng)時，滿足，但，
故推不出，即“”不是“”成立的充分條件，故C項錯誤；
對于D項，因，先證當(dāng)時,必有成立.
即由可得：，
因，有，
故，即D項正確.
故選：BD.
10. 已知圓，圓分別是圓與圓上的點，則（ ）
A. 若圓與圓無公共點，則
B. 當(dāng)時，兩圓公共弦所在直線方程為
C. 當(dāng)時，則斜率最大值為
D. 當(dāng)時，過點作圓兩條切線，切點分別為，則不可能等于
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時即可判斷錯誤；對于B，兩圓方程相減即可驗算；對于C，畫出公切線通過數(shù)形結(jié)合即可驗算；對于D，畫出圓兩條切線，通過數(shù)形結(jié)合即可驗算.
【詳解】對于選項A，當(dāng)兩圓內(nèi)含時，可以無窮大，所以A不正確；
當(dāng)時兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為，所以B為正確選項；
對于選項B，當(dāng)時如圖，

和為兩條內(nèi)公切線，且，
由平面幾何知識可知，
所以可得，
即斜率的最大值為，C選項正確；
對于D選項，如圖，

點P在位置時，
點在位置時，
所以中間必然有位置使得，故D錯誤.
故選：BC.
【點睛】關(guān)鍵點睛：判斷CD兩選項的關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形，通過數(shù)形結(jié)合即可順利得解.
11. 已知函數(shù)，滿足有三個不同的實數(shù)根，則（ ）
A. 若，則實數(shù)的取值范圍是
B. 過軸正半軸上任意一點僅有一條與函數(shù)相切的直線
C.
D. 若成等差數(shù)列，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】對于A，求導(dǎo)得函數(shù)單調(diào)性、極值，由此即可判斷；對于B，關(guān)于點中心對稱，由此即可判斷；對于C，由展開即可判斷；對于D，由結(jié)合C選項分析即可判斷.
【詳解】因為，
所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，
所以，當(dāng)有三個不同的實數(shù)根時，，故A正確，
關(guān)于點中心對稱，
所以在此點處的切線方程為，
結(jié)合圖象可知：當(dāng)且僅當(dāng)時，符合題意，所以B正確，
由于方程有三個根，
所以，展開可知，C不正確；
由展開可知，
當(dāng)成等差數(shù)列時，所以，
在中，令，得，
所以，D正確.
故選：ABD.
12. 已知正四面體的棱長為3，下列說法正確的是（ ）
A. 若點滿足，且，則的最小值為
B. 在正四面體的內(nèi)部有一個可以任意轉(zhuǎn)動的正四面體，則此四面體體積可能為
C. 若正四面體的四個頂點分別在四個互相平行的平面內(nèi)，且每相鄰平行平面間的距離均相等，則此距離為
D. 點在所在平面內(nèi)且，則點軌跡的長度為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)空間向量共面的結(jié)論可判斷是平面上的一點，即可利用勾股定理求解四棱錐的高判斷A，根據(jù)正四面體與其外接球內(nèi)切球以及所在的正方體的關(guān)系即可求解B，根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可求解C，根據(jù)球的截面性質(zhì)即可求解D.
【詳解】解：如圖：
對于，因為點滿足且，
可知點是平面上的一點.
又因為正四面體是棱長為3，
則三角形外接圓半徑滿足，
故點到平面的距離為,
故的最小值為點到平面的距離，即為,A正確；
對于B，將正四面體放入到正方體中，則正方體的棱長為，
因為正四面體的體積為立方體的體積減去四個小三棱錐的體積：
，
而正四面體四個面的面積都是
設(shè)正四面體的內(nèi)切球半徑為，解得，
因為正四面體在正四面體的內(nèi)部，且可以任意轉(zhuǎn)動，
所以最大正四面體外接球直徑為，
因此最大正四面體外接球也是棱長為的正方體的外接球，
所以正四面體體積最大值為，故B不正確.
對于C，在正方體內(nèi)，過作平面，分別交于點，
過作平面，分別交于點，且平面平面，
由正四面體的四個頂點分別在四個互相平行的平面內(nèi)，
且每相鄰平行平面間的距離均相等，
其中平面和平面為中間的兩個平面，
易知為的中點，為的中點，
因為正方體是棱長為，
所以，
所以點到的距離為，
所以每相鄰平行平面間的距離為，故C正確；
對于D選項：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)點，,
由可得，
化簡可得，
可知點的軌跡是平面與以點為球心，2為半徑的球的截面圓上，
,
設(shè)平面法向量為，則
，
取則，
所以點點到平面的距離為，
截面圓的半徑為所以截面圓周長為，
故選:ACD
【點睛】方法點睛：解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：
（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；
（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；
（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.
三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）
13. 雙曲線的漸近線方程________．
【答案】
【解析】
【分析】先確定雙曲線的焦點所在坐標(biāo)軸，再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近線方程．
【詳解】∵雙曲線的a=2，b=1，焦點在x軸上
而雙曲線的漸近線方程為y=±
∴雙曲線的漸近線方程為y=±
故答案為y=±
【點睛】本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程，解題時要注意先定位，再定量的解題思想
14. 已知等差數(shù)列的前項和為Sn(n∈N*),，則的最小值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)公差，由題意得到關(guān)于首項和公差的方程組，求解后代入等差數(shù)列的前項和公式，配方即得.
【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意得：解得：，則，
因，故當(dāng)或時，的最小值為.
故答案為：.
15. 已知函數(shù)的最小正周期為，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】
【解析】
【分析】先將函數(shù)降冪，由題設(shè)求出的值，再根據(jù)后續(xù)條件，考查所得函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性，比較區(qū)間的包含關(guān)系計算即得.
【詳解】由的最小正周期為，得,則，
因當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.
由題知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故須使，解得.
故答案為：.
16. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，分別是函數(shù)和函數(shù)圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】由得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值，并得到，進(jìn)而利用數(shù)形結(jié)合法可知，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，再求出等號成立的條件，從而得到實數(shù)的最大值.
【詳解】由，整理得，
即在圓心，半徑為1的半圓上.
，
令，則，又，
所以，當(dāng)時，，則為單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則為單調(diào)遞減，
綜上可知，在處取得極大值，也是最大值，即，
于是，即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以曲線一條切線為，
數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)分別為對應(yīng)切點，且與兩切線垂直時取得最小值，
即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，
即的最小值為.
過圓心與垂直的直線方程，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時取到最小值.
綜上所述，，而恒成立，
所以，則的最大值為.
故答案為：.
【點睛】1.利用導(dǎo)數(shù)求取值范圍時，當(dāng)函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構(gòu)來進(jìn)行求解，本題變型得到，從而構(gòu)造進(jìn)行求解.
2.在求圓上的動點到另一個曲線上的動點距離最值問題時，通常轉(zhuǎn)化為圓心到曲線上的動點距離最值問題，進(jìn)而進(jìn)行求解.
四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 已知數(shù)列的前項和滿足.
（1）求的通項公式；
（2）求數(shù)列的前項和.
【答案】17. ；
18.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)前項和公式求通項公式，先確定，再求.
（2）用錯位相減求和法求數(shù)列的前項和.
【小問1詳解】
由已知：
當(dāng)時
兩式相減可得：，，
又時，滿足上式，
所以，.
，.
，
又時，滿足上式，
則；
【小問2詳解】
由（1）可得：，
則，
即，
兩式相減可得：，
即.
18. 在9道試題中有4道代數(shù)題和5道幾何題，每次從中隨機(jī)抽出1道題，抽出的題不再放回.
（1）求在第一次抽到幾何題的條件下第二次抽到代數(shù)題的概率；
（2）若抽4次，抽到道代數(shù)題，求隨機(jī)變量的分布列和期望.
【答案】（1）；
（2）分布列見解析，
【解析】
【分析】（1）利用條件概率的公式求解或者利用縮小事件空間的方法求解；
（2）先確定的所有取值，求出各自的概率，寫出分布列，利用期望的公式可得期望.
【小問1詳解】
（1）記表示事件“第次抽到代數(shù)題”，.
方法一：由條件概率公式可得
.
所以第一次抽到幾何題的條件下，第二次抽到代數(shù)題的概率為；
方法二：已知第一次抽到幾何題，這時還剩余代數(shù)題和幾何題各四道，因此）.
【小問2詳解】
由題意，隨機(jī)變量的可能取值為：；
，
，
.
的分布列為
所以.
19. 已知函數(shù)，.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，與有公切線，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】19 答案見解析
20.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，求得，分類討論，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)公切線與和的切點分別為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程，轉(zhuǎn)化為，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，得出函數(shù)的值域，即可求解.
【小問1詳解】
解：由函數(shù)，可得，
當(dāng)時，可得時，，單調(diào)遞減，
時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，可得時，，單調(diào)遞增，
時，，單調(diào)遞減.
【小問2詳解】
解：設(shè)公切線與和的切點分別為，
可得，可得切線方程為，
即，即
由，可得，則，所以切線方程為
所以，可得，
設(shè)，可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，極大值為，
又由當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以，所以時，即實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】方法策略：利用導(dǎo)數(shù)研究參數(shù)問題的求解策略：
1、分離參數(shù)法：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，一端是變量的表達(dá)式的不等式，轉(zhuǎn)化為求解含有變量的表達(dá)式對應(yīng)的函數(shù)的最值問題，進(jìn)而求得參數(shù)的范圍；
2、構(gòu)造函數(shù)法：根據(jù)不等式的恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值（值域），進(jìn)而得出相應(yīng)的含參數(shù)的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍；
3、圖象法：畫出不等式對應(yīng)的函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，確定函數(shù)的極值點或最值點的位置，進(jìn)而求得參數(shù)的取值范圍.
20. 如圖，在棱長為的正方體中，點是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐.
（1）若，求證：平面平面；
（2）是否存在，使得直線平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，推導(dǎo)出二面角為直角，結(jié)合面面垂直的定義可證得結(jié)論成立；
（2）假設(shè)存在，使得直線平面，以為原點，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，將的坐標(biāo)用的表達(dá)式表示，設(shè)，可得出關(guān)于、的方程組，解之可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
證明：若，則平面?平面為同一個平面.
連接、，則是中點，是中點，
所以平面與平面重合，平面與平面重合，
由正方體性質(zhì)可知平面，
因為、平面，所以，，，
為二面角的平面角，
因為，，則，同理可得，
所以，所以，平面平面
【小問2詳解】
解：假設(shè)存在，使得直線平面，
以為原點，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則、、，故、，
設(shè)平面的法向量為，則，
取，得是平面的一個法向量，
取的中點，的中點，連接、，則，
因為，則，同理可知，，
因為，，，則四邊形為矩形，所以，，
于是是二面角的平面角，
是二面角的平面角，
是二面角的平面角.于是，
因為，，，
因為，則，所以，
因為，，，、平面，
所以，平面，且，
故，同理，
所以，
因為，
，
所以，
若直線平面，是平面的一個法向量，則，
即存在，使得，則，
因為，可得，
故方程組無解，
所以不存在，使得直線平面.
【點睛】方法點睛：證明面面垂直常用的方法：
（1）面面垂直的定義；
（2）面面垂直的判定定理.
在證明面面垂直時，一般假設(shè)面面垂直成立，然后利用面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，即為所證的線面垂直，組織論據(jù)證明即可.
21. 在中，角所對的邊分別為邊上的高設(shè)為，且.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理求出的表達(dá)式，利用面積公式求出表達(dá)式，得出，即可求出的值；
（2）求出的范圍，利用的表達(dá)式即可得出的取值范圍.
【小問1詳解】
由題意，
在中，由余弦定理和可得，.
，
又由面積公式可知，
，由得
又
∴，
【小問2詳解】
由題意及（1）得，
在中，.
過作的垂線，且使，則，
，即，得，
，
，
，
由，得，
的取值范圍為.
22. 已知橢圓的兩焦點分別為的離心率為，橢圓上有三點，直線分別過的周長為8.
（1）求的方程；
（2）設(shè)點，求面積的表達(dá)式（用表示）.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率和三角形周長即可求出橢圓方程；
（2）設(shè)直線和直線的方程，分別與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出和面積比值，結(jié)合面積表達(dá)式即可得出面積的表達(dá)式
【小問1詳解】
由題意，
在橢圓中，
的周長，解得，
因為橢圓的離心率為，所以，解得，
則，
故的方程為.
【小問2詳解】
由題意及（1）證明如下，
在中，
由幾何知識得，直線和直線的斜率不為零，
設(shè)直線和直線的方程為,
聯(lián)立，消去并整理得，
由韋達(dá)定理得，
同理得
因為，所以，
可得即；
同理可得，
可得即，
不妨設(shè)，
由，
又
則
把代入上式得，
.
0
1
2
3
4