一、單選題
1．已知命題，，則是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
【答案】B
【分析】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，把任意改為存在，把結(jié)論否定.
【詳解】命題的否定形式是，.
故選：B.
2．已知，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先由，得到，再利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正切公式得到求解.
【詳解】解：由，得，
則，
，
.
故選：D
3．已知是相互垂直的單位向量.若向量，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用向量數(shù)量積的性質(zhì)先求，然后由投影向量公式可得.
【詳解】因?yàn)槭窍嗷ゴ怪钡膯挝幌蛄浚?br>所以，.
又，，所以，
所以，
又，
所以向量在向量上的投影向量為.
故選：B
4．2023年的五一勞動(dòng)節(jié)是疫情后的第一個(gè)小長(zhǎng)假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游．除常見(jiàn)的五個(gè)旅游熱門(mén)地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國(guó)，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門(mén)至少有三個(gè)部門(mén)所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（ ）
A．1800B．1080C．720D．360
【答案】B
【分析】分成恰有2個(gè)部門(mén)所選的旅游地相同、4個(gè)部門(mén)所選的旅游地全不相同兩類，再應(yīng)用分步計(jì)數(shù)及排列、組合數(shù)求至少有三個(gè)部門(mén)所選旅游地全不相同的方法種數(shù).
【詳解】①恰有2個(gè)部門(mén)所選的旅游地相同，
第一步，先將選相同的2個(gè)部門(mén)取出，有種；
第二步，從6個(gè)旅游地中選出3個(gè)排序，有種，
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有種；
②4個(gè)部門(mén)所選的旅游地都不相同的方法有種，
根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門(mén)至少有三個(gè)部門(mén)所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有種．
故選：B
5．將一個(gè)棱長(zhǎng)為1的正方體放入一個(gè)圓柱內(nèi)，正方體可自由轉(zhuǎn)動(dòng)，則該圓柱體積的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】當(dāng)圓柱底面直徑和高剛好等于正方體的的體對(duì)角線時(shí)體積最小，然后可解.
【詳解】由題意知，當(dāng)圓柱底面直徑和高剛好等于正方體的的體對(duì)角線時(shí)體積最小，
正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為
所以，此時(shí)圓柱的底面半徑為，高為，
所以該圓柱體積的最小值為.
故選：B.
6．設(shè)首項(xiàng)為的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，且，則數(shù)列的前23項(xiàng)和為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】借助與的關(guān)系，結(jié)合，可消去，計(jì)算出，從而得到，再用裂項(xiàng)相消法求和即可得.
【詳解】由，，
當(dāng)時(shí)，，所以，
可得，
又，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)、為公差的等差數(shù)列，
所以，得，
于是，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.
故選：D.
7．已知點(diǎn)是橢圓的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于平分線的對(duì)稱點(diǎn)也在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)角平分線的對(duì)稱性以及橢圓的性質(zhì)，建立方程，表示出焦半徑，利用余弦定理，結(jié)合齊次方程的思想，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
由圖可知：，
由平分，則，所以，
由，則解得，
由是關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則共線，，，，
所以，在中，，
可得，解得，，
在中，由余弦定理，可得，
代入可得：，化簡(jiǎn)可得：，
所以其離心率.
故選：C.
8．對(duì)于兩個(gè)函數(shù)與，若這兩個(gè)函數(shù)值相等時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量分別為，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)，由兩函數(shù)值域得，然后用表示出，計(jì)算，用導(dǎo)數(shù)求其最小值．
【詳解】，，，的值域是，
設(shè)，則，
，，，，
所以，
設(shè)，
，
設(shè)，則，是增函數(shù)，
又，因此時(shí)，，遞減，時(shí)，，遞增，
所以，
所以的最小值是，
故選：B．
二、多選題
9．已知，，直線：，：，且，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】由，得，利用基本不等式和二次函數(shù)的性質(zhì)，判斷各選項(xiàng)中的不等式是否成立.
【詳解】由，得，即，
，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以有，A選項(xiàng)正確；
由，有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以有，B選項(xiàng)成立；
由，有，，，則，
，由二次函數(shù)性質(zhì)可知，時(shí)，有最小值，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由，有，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，D選項(xiàng)正確.
故選：ABD.
10．下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若雙曲線的一條漸近線方程為，則雙曲線的離心率為
B．表示雙曲線
C．設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為.若為鈍角，則離心率的取值范圍是
D．等軸雙曲線的中心為O，焦點(diǎn)為為上的任意一點(diǎn)，則恒成立.
【答案】BD
【分析】結(jié)合雙曲線的漸近線方程求解即可判斷A；結(jié)合判斷，的范圍，進(jìn)而判斷方程表示何種曲線，即可判斷B；由題意可得，進(jìn)而求解判斷C；不妨設(shè)等軸雙曲線的方程為，設(shè)，進(jìn)而結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式驗(yàn)證即可判斷D.
【詳解】對(duì)于A，由題意，雙曲線的一條漸近線方程為，即，
則或，即或，
整理得或，所以雙曲線的離心率為或，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋瑒t，，
即，，
則方程，即表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故B正確；
對(duì)于C，因?yàn)闉殁g角，則，
又，則，即離心率的取值范圍是，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，不妨設(shè)等軸雙曲線的方程為，則，
則，，設(shè)，則，即，
所以，
，
，
所以，
因?yàn)椋矗?，即?br>所以，故D正確.
故選：BD.
11．下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．等比數(shù)列的公比為，則其前項(xiàng)和為
B．已知為等差數(shù)列，若（其中），則
C．若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則其前項(xiàng)和
D．若數(shù)列的首項(xiàng)為1，其前項(xiàng)和為，且，則
【答案】BC
【分析】由等比數(shù)列前項(xiàng)和公式可得當(dāng)時(shí)，才成立，即A錯(cuò)誤；利用等差數(shù)列性質(zhì)可知B正確，將數(shù)列通過(guò)放縮裂項(xiàng)求和即可求得，即C正確；根據(jù)和的關(guān)系式可求得其通項(xiàng)公式，可得D錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)公比時(shí)，公式不成立，只有當(dāng)時(shí)，該式才成立，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，
則可得，
，
當(dāng)時(shí)，可得，所以B正確；
對(duì)于C，易知，
當(dāng)時(shí)，，
所以可得，
即可得C正確；
對(duì)于D，由可得；
兩式相減可得，即，可得，
所以，即D錯(cuò)誤.
故選：BC
12．已知為圓柱的母線，為圓柱底面圓的直徑，且，O為的中點(diǎn)，點(diǎn)在底面圓周上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)重合），則（ ）
A．平面平面
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)沿圓柱表面到點(diǎn)的最短距離是
C．三棱錐的體積最大值是
D．與平面所成角的正切值的最大值是
【答案】AB
【分析】根據(jù)面面垂直的判定定理即可證明判斷A，化立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何，利用勾股定理即可計(jì)算判斷B，由三棱錐體積易求最大值判斷C，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解線面角的正弦值即可求解正切值判斷D.
【詳解】在以為直徑的圓上，，又，
平面，平面，平面，又平面，
平面平面，A對(duì)；
時(shí)，為半圓中點(diǎn)，展開(kāi)后，，B對(duì)；

到平面的距離為2，，，C錯(cuò)；
如圖，中點(diǎn)M，則，所以平面，故以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，
過(guò)M與垂直的線為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

易知平面的法向量的，，設(shè)，
則，設(shè)與平面所成的角為，
則
，
令，則，，
，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)的單調(diào)性知，
此時(shí)取最大，但正切值不是，D錯(cuò).
故選：AB.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線面角，一般有如下幾種方法：
（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進(jìn)而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；
（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長(zhǎng)度，從而不必作出線面角，則線面角滿足（為斜線段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線面角；
（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線的方向向量，為平面的法向量，則線面角的正弦值為.
三、填空題
13．若展開(kāi)式中的系數(shù)為，則 .
【答案】
【分析】由題意得，結(jié)合二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式建立方程，解之即可求解.
【詳解】由題意知，，
展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，
所以含的項(xiàng)的系數(shù)為，
則，即，解得.
故答案為：2.
14．2020年12月8日，中國(guó)和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測(cè)量法是珠峰高程測(cè)量方法之一.如圖，為了測(cè)量山頂處的海拔高度，從山腳處沿斜坡到達(dá)處，在處測(cè)得山頂?shù)难鼋菫?5°，山腳的俯角為15°.已知兩地的海拔高度分別為100m和200m.記在水平面的射影分別為，則山頂?shù)暮０胃叨葹? m.

【答案】
【分析】通過(guò)作輔助線將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為到三角形中，正確理解仰角、俯角和射影的概念，利用正弦定理和三角函數(shù)定義計(jì)算即得.
【詳解】
如圖，過(guò)點(diǎn)作于，由題意知，在中，，，則.
在中，由正弦定理，.
在中，,則.
則山頂?shù)暮０胃叨葹?
故答案為：.
15．如圖，在四棱錐中，平面，，，，點(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)，且異面直線CE與AB所成的角為，則三棱錐外接球的表面積為 ．
【答案】
【分析】先取PA的中點(diǎn)F，連接BF，EF，通過(guò)證明四邊形BCEF為平行四邊形得到，進(jìn)而得到，即異面直線CE與AB所成的角，從而得，再根據(jù)已知條件，結(jié)合正、余弦定理求得外接圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑、截面圓半徑和球心到截面的距離之間的關(guān)系求出外接球的半徑，最后利用球的表面積公式即可得解．
【詳解】如圖，取PA的中點(diǎn)F，連接BF，EF，因?yàn)辄c(diǎn)E為棱PD的中點(diǎn)，所以，且，因?yàn)椋?，所以，，則四邊形BCEF為平行四邊形，所以.
于是即異面直線CE與AB所成的角，則．
因?yàn)槠矫鍭BCD，所以，所以，得.
又．
由，，，易得，
則，則．
設(shè)外接圓的半徑為r，則，得．
設(shè)三棱錐外接球的半徑為，則，
則三棱錐外接球的表面積．
故答案為：.
16．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，且，則的取值范圍是 .
【答案】
【分析】確定，設(shè)，求導(dǎo)得到單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最值，畫(huà)出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知有兩根，，且，，計(jì)算得到答案.
【詳解】，，故，
設(shè)，，，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
，畫(huà)出函數(shù)圖像，如圖所示：
故有兩根，，，解得或，
①滿足，，只需且，
解得.
②滿足，，將代入方程解得，，不滿足；
綜上所述：
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中，利用換元的方法，將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問(wèn)題，是解題的關(guān)鍵，結(jié)合函數(shù)圖像可以快速得到答案.
四、解答題
17．如圖，多面體中，四邊形為正方形，平面平面，，，，，與交于點(diǎn)．

(1)若是中點(diǎn)，求證：；
(2)求直線和平面所成角的正弦值．
【答案】(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)，線面垂直的判定與性質(zhì)，勾股定理逆定理即可證明；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，由線面夾角的向量公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅螢檎叫危?br>所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以，
連接，則，
在中，，
所以，
因?yàn)?，，平面，且?br>從而平面，
又平面，
所以，
因?yàn)?，，平面，且?br>所以平面，
又平面，
所以，
又因?yàn)椋裕?br>又是中點(diǎn)，，所以，
因?yàn)椋?，平面，且?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以．

（2）由（1）知，平面，且，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在的直線為、、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，

則、、、，
則，，，
由得，，所以，
所以，，
設(shè)面的法向量為，由得，，取，則，
設(shè)直線和平面所成角為，
則，
所以直線和平面所成角的正弦值為．
18．已知等差數(shù)列的公差為2，且成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列的前項(xiàng)和；
(2)若數(shù)列的首項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，即可進(jìn)行基本量的計(jì)算求解；
（2）對(duì)數(shù)列進(jìn)行迭代相減，再累加計(jì)算，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【詳解】（1）因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，
又等差數(shù)列的公差為，
所以
可解得，
所以數(shù)列的前項(xiàng)和；
（2）①，
當(dāng)時(shí)，，可得，
可得②，
由②式減①式，得，
所以
，
且符合上式，所以.
19．已知拋物線的準(zhǔn)線為,焦點(diǎn)為.⊙M的圓心在軸的正半軸上,且與軸相切．過(guò)原點(diǎn)作傾斜角為的直線,交于點(diǎn), 交⊙M于另
一點(diǎn),且.
（1）求⊙M和拋物線的方程；
（2）過(guò)圓心的直線交拋物線于、兩點(diǎn),求的值
【答案】（1）拋物線 的方程為 ， 的方程為（ ；
（2）．
【分析】（1）根據(jù) 可求出 的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出的方程；
（2）分類討論，設(shè)出直線方程代入拋物線方程，利用韋達(dá)定理及向量的數(shù)量積公式，即可求得結(jié)論．
【詳解】（1）因?yàn)榧?，所以拋物線的方程為 設(shè)的半徑為，則
所以的方程為（ ；
（2）由（1）可知 ，設(shè)
1）當(dāng) 斜率不存在時(shí)，
則
2）當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為 消 得 所以
因?yàn)?所以 故 所以．
綜上可知.
20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足.

(1)求角B的大小；
(2)若，且，，求的面積；
(3)如圖，平面四邊形ABCP中，，，，動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段BC，CP上運(yùn)動(dòng)，且，，求的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由正弦定理及三角形的性質(zhì)即可求解；
（2）利用向量求出，利用余弦定理求出，代入面積公式求解即可；
（3）建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算表示，利用二次函數(shù)知識(shí)求出值域即可.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以由正弦定理得?br>所以，又，所以，
又，所以.
（2）因?yàn)?，且，，所以，?br>在中，由余弦定理得，
即，解得，或（舍），
所以的面積；
（3）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AP所在直線為x軸，垂直AP的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

則，，，由得，
因?yàn)椋?，，所以設(shè)，，
由得，
由得，
所以
，
當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，
當(dāng)或時(shí)，取得最大值，最大值為，
所以的取值范圍是.
21．已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若函數(shù)的極大值為4，求實(shí)數(shù)的值；
(3)在（2）的條件下，方程存在兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，，證明.
【答案】(1)答案見(jiàn)解析
(2)
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，然后分類討論求其單調(diào)區(qū)間，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由（1）中結(jié)論可得，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，將不等式轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造，求導(dǎo)即可證明.
【詳解】（1）因?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋?br>所以，
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，若，則，故在上單調(diào)遞增；
若，則，故在上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）因?yàn)榈臉O大值為4，所以由（1）得，所以，解得
（3）證明：由（2）得此時(shí)，即
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；
所以函數(shù)在時(shí)有極大值，極大值為4；
即若證明，即證，即；
令，則證明
令，，則
，
所以在上單調(diào)遞增，所以，所以
故.
22．如圖所示，橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)分別是和，離心率，，是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)求四邊形面積的最大值；
(3)試判斷直線與的斜率之積是否為定值，若是，求出定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)
(2)4
(3)是，定值為
【分析】（1）由題意求出b的值，根據(jù)離心率可求出，即得答案；
（2）設(shè)直線的方程，聯(lián)立橢圓方程可得根與系數(shù)的關(guān)系式，結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出的表達(dá)式，即可求得四邊形面積的表達(dá)式，利用三角代換，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得面積的最大值；
（3）求出直線與的斜率之積的表達(dá)式，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系化簡(jiǎn)，即可得結(jié)論.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以，又離心率為，所以，
即，，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為
（2）因?yàn)?，所以，所以?br>設(shè)直線的方程為，，，
由，得，
由得，
則，，故，
直線方程為，，所以，
直線與之間的距離為，
故四邊形的面積為，
令，則
，
令，則，，
所以，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，四邊形面積的最大值為4；
（3）由第（2）問(wèn)得，，
，
故直線與的斜率之積為定值，且定值為.

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