湖北省武漢市第六中學2024-2025學年高二上學期12月月考數(shù)學試題（Word版附解析）-試卷下載-教習網(wǎng)

一、單選題
1. 已知等軸雙曲線過點，則該雙曲線方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】設等軸雙曲線的方程為，將點的坐標代入雙曲線的方程，求出的值，即可得出該雙曲線的方程.
【詳解】設等軸雙曲線的方程為，
將點的坐標代入等軸雙曲線的方程可得，
因此，該雙曲線的方程為.
故選：C.
2. 已知雙曲線的離心率為，則橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根據(jù)雙曲線離心率公式求得，再代入橢圓的離心率公式求解即可.
【詳解】∵雙曲線的離心率為，
，即.
∴橢圓的離心率為：.
故選：A.
3. 已知雙曲線的一條漸近線過點，則此雙曲線的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出雙曲線的漸近線方程，代入可得，然后計算離心率即可.
【詳解】因為雙曲線方程為，所以雙曲線的漸近線方程為，
所以點在上，所以，解得：，
所以.
故選：B.
4. 設橢圓的兩個焦點分別為，，，P是C上一點，若，且，則橢圓C的方程為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由題目中已知的焦距，可得的值，聯(lián)立焦半徑的性質與題目中的等式，可得焦半徑的表示，利用余弦定理，可得答案.
【詳解】由，則，設，由題意可得，解得
，
由，則，
在中，由余弦定理可得，
代入可得，化簡可得，解得，
易知，所以橢圓.
故選：D.
5. 橢圓左右焦點分別為，，過垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點，且，求橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用通徑長求得三角形的面積，從而確定值，得出，然后求得離心率．
【詳解】由得，由題意，
∴，解得（負值舍去），
即，
∴離心率為，
故選：A．
6. 設是橢圓上的上頂點，點在上，則的最大值為（）
A. B. C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】設，則，把轉化成二次函數(shù)的最值問題求解.
【詳解】設，則，，.
易知，
所以，.
當時，有最大值，為：.
所以的最大值為：.
故選：A
7. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點，且線段的中點在C的漸近線上，當點P在C的右支上運動時，的最小值為6，則此雙曲線的焦距為（）
A. 8B. 6C. 4D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】結合雙曲線定義可得，進而可得，再由線段的中點在C的漸近線上得到，從而求得即可得解.
【詳解】依題意，，
當三點共線時，取等號，此時，即，
因為漸近線為，
又的中點坐標為，代入漸近線方程得，則，
所以，則，得，所以，
則此雙曲線的焦距為.
故選：C.
8. 已知為橢圓的右焦點，過點F的直線l與橢圓C交于A，B兩點，P為AB的中點，O為坐標原點，若△OFP是以OF為底邊的等腰三角形，且外接圓的面積為，則橢圓C的長軸長為（）
A. B. C. 4D. 6
【答案】B
【解析】
【分析】由外接圓面積求半徑，應用正弦定理求中的，結合已知有，根據(jù)中點弦，應用點差法有即可求橢圓的長軸長.
【詳解】由外接圓的面積為，則其外接圓半徑為.
∵是以為底邊的等腰三角形，設，則，
∴，得，
∴或.
不妨設點在軸下方，
由是以為底邊的等腰三角形，知：或
設，則
，，
所以，
所以，
因為四點共線，為線段的中點，
所以，，
所以，
所以或（此時焦點在軸上，舍去）
∵為橢圓的右焦點，
，
∴，故橢圓的長軸長為.

故選：B.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中解決弦的中點相關問題，經(jīng)常利用點差法解決.
二、多選題
9. 已知曲線的方程為（），則下列說法正確的是（）
A. 當時，曲線表示橢圓
B. “”是“曲線表示焦點在y軸上的雙曲線”的充分必要條件
C. 存在實數(shù)，使得曲線的離心率為
D. 存在實數(shù)，使得曲線表示漸近線方程為的雙曲線
【答案】BC
【解析】
【分析】當時可判斷A；根據(jù)充分條件和必要條件的定義以及表示雙曲線的等價條件可判斷B；根據(jù)曲線表示橢圓的條件可得的范圍，再討論橢圓焦點在軸和軸上，由離心率公式列方程求得的值可判斷C；根據(jù)曲線表示雙曲線的條件可得的范圍，再由焦點在軸和軸上由列方程求的值可判斷D，進而可得正確選項.
【詳解】對于A，當時，曲線為，曲線表示圓，故選項A不正確；
對于B，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，則，可得，
若，則，曲線表示焦點在軸上的雙曲線，所以 “”是“曲線表示焦點在軸上的雙曲線”的充分必要條件，故選項B正確；
對于C，假設存在實數(shù)，使得曲線的離心率為，
曲線表示橢圓，則，可得：，
若橢圓焦點在軸上，
由，可得，可得符合題意，
若橢圓焦點在軸上，
由，可得，可得符合題意，
所以存在或，使得曲線的離心率為，故選項C正確；
對于D，假設存在實數(shù)，使得曲線表示漸近線方程為的雙曲線，
此時有，得或，
當時，，無解；當時，，無解，
所以滿足題意的實數(shù)不存在，故選項D不正確．
故選：BC.
10. 設橢圓的左、右焦點分別為，，坐標原點為O.若橢圓C上存在一點P，使得，則下列說法正確的有（）
A. B. 的面積為2
C. D. 的內切圓半徑為
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)已知求出P點坐標，根據(jù)兩點間距離公式分布求出，在中利用余弦定理可判定A，三角形面積公式可判定B，利用向量數(shù)量積公式可判定C，根據(jù)等面積法可判定D.
【詳解】由題意得，，則，．
由對稱性可設（，），，，，
由，解得，又，，
所以，，
所以．
由橢圓的定義得，
對于A，在中，設，由余弦定理，得，
即，
解得，故A正確；
對于B，的面積為，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，設的內切圓半徑為r，由的面積相等，得，
即，解得，故D正確．
故選：ABD．
11. 已知雙曲線的焦距為4，，為左右焦點，A，B，D為雙曲線上不同的三點，其中A，B兩點關于原點對稱，直線DA與DB斜率的乘積為1，則下列說法正確的是（）
A. 若過點F2直線l與C的右半支交于兩點，則直線l的傾斜角的取值范圍為
B. 若P為雙曲線C上一點，且，則
C. 若N為雙曲線C上任意一點，則
D. 若M為雙曲線右支上一點，延長MF2交雙曲線右支于點Q，設與的內切圓半徑分別為，，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)和焦距可求得雙曲線的方程；根據(jù)直線與雙曲線交點情況可確定其斜率與漸近線斜率之間的關系，由斜率和傾斜角的關系可判斷A；結合雙曲線定義和余弦定理可判斷B；利用雙曲線方程化簡與，可判斷C；根據(jù)雙曲線焦點三角形內心在軸投影為雙曲線的頂點，結合可判斷D.
【詳解】設，，則，
，
又，，，，
雙曲線的方程為：；
對于A，由雙曲線方程可得漸近線方程為：，
過點的直線與的右半支交于兩點，或，
直線的傾斜角的取值范圍為，A正確；
對于B，由雙曲線定義知：，，
，B錯誤；
對于C，設，則，
，，，，
，
，，，
，即，C正確；
對于D，設的內切圓與分別相切于點，
則，，，
，又，
，，即，
在直線上，同理可知：的內切圓圓心在直線上；
平分，平分，，
，即，又軸，
，即，D正確.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：本題求解焦點三角形相關問題的關鍵是，能夠熟練應用雙曲線的定義對長度關系進行轉化，同時能夠熟練掌握焦點三角形內心的位置特征.
三、填空題
12. 已知雙曲線過點，且與雙曲線有相同的漸近線，則雙曲線的方程為________.
【答案】
【解析】
【分析】首先設出與共漸近線的雙曲線方程，再代入點，求出，從而求出的方程.
【詳解】設雙曲線：，
將代入可得，
故雙曲線：.
故答案為：.
13. 已知橢圓的焦距為2c，若直線恒與橢圓有兩個不同的公共點，則橢圓的離心率范圍是________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)橢圓焦點坐標以及直線過定點可得點在橢圓內部，整理不等式，可得離心率.
【詳解】將直線整理可得，
易知該直線恒過定點，
若直線恒與橢圓有兩個不同的公共點，
可知點在橢圓內部，
易知橢圓上的點當其橫坐標為時，縱坐標為，即可得，
整理可得，即，
解得，.
故答案為：.
14. 已知雙曲線的左，右焦點分別為，，過作一條漸近線的垂線，垂足為A，延長與另一條漸近線交于點，若（為坐標原點），則該雙曲線的漸近線方程為________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知條件求出點坐標，求出點到漸近線的距離，結合可以得到點到漸近線的距離為，進而利用點到直線的距離公式求出與的關系，然后求解該雙曲線的漸近線方程即可.
【詳解】
由題意知，雙曲線兩條漸近線方程分別為：與，
過點且與漸近線垂直的直線方程為，
聯(lián)立，可解得，
點到漸近線的距離，
因為，所以點到漸近線的距離為，
所以，即，所以，
即雙曲線的漸近線方程為：.
故答案為：
四、解答題
15. 已知雙曲線的左、右焦點分別為，，C的右頂點D在圓上，且
（1）求C的方程；
（2）點P在C上，且軸，過點P作C的兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，B，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知可得，由可得，進而得到，即可確定雙曲線方程；
（2）由（1）有，令、漸近線為，應用點線距離公式求距離，即可得結果.
【小問1詳解】
由題意，即，又，
則，，
則，即，
則，即.
【小問2詳解】
由（1）知：，將代入雙曲線，得，
不妨令，又雙曲線漸近線為，如下圖示，
所以，，則.
16. 已知橢圓的焦點是，，且，離心率為.
（1）求橢圓C的方程；
（2）若橢圓C與直線交于M，N兩點，且，求實數(shù)的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由題意求出，進而得到，求出橢圓方程；
（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)根的判別式得到，得到兩根之和，兩根之積，利用弦長公式表達出弦長，得到方程，檢驗后求出答案
【小問1詳解】
由題意得：，，解得，
故，
故橢圓C的方程為；
【小問2詳解】
聯(lián)立與得，，
，解得，
設，則，
故
，
又，
所以，解得，滿足，
故實數(shù)的值為
17. 如圖，等腰梯形中，，，現(xiàn)以為折痕把折起，使點到達點的位置，且.
（1）證明：平面；
（2）若為上一點，且三棱錐的體積是三棱錐體積的2倍，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）在梯形中，取的中點，證明四邊形為平行四邊形，再根據(jù)圓的性質得出，利用線面垂直的判定定理證明即可；
（2）建立空間直角坐標系，由得出，利用向量法即可得出二面角的余弦值.
【小問1詳解】
在梯形ABCD中取AD中點N，連接CN，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，又因為，所以，
所以點在以為直徑的圓上，所以.
又因為，，平面
所以平面.
【小問2詳解】
取中點，連接，因為，所以，
由（1）得平面，又因為面，
所以平面面，因為為兩平面交線，
所以面，
以為原點，為軸，過且與垂直的直線為軸，為軸建立直角坐標系，
設，則，，，，
由，得，
所以，
設平面的法向量為，
所以，即，
取，則，，所以，
又因為平面的法向量，
所以,
因為二面角為銳二面角，所以其余弦值為.
18. 已知雙曲線的左、右頂點分別為，，直線與C的右支交于，兩點.
（1）求實數(shù)的取值范圍；
（2）若直線，的斜率分別為，，證明：是定值.
【答案】（1）
（2）是定值
【解析】
【分析】（1）設，，直線，聯(lián)立雙曲線方程，得到兩根之積小于即可求解；
（2）對進行配湊得，代入計算即可.
【小問1詳解】
設，，直線，
由，消元得：，
整理得：.
因為直線過定點且與雙曲線右支有兩個交點，
因為在軸上，且在雙曲線的內，
所以有：，，且，
則，解得：.
【小問2詳解】
，，，，
由（1）可知，直線與雙曲線聯(lián)立消元可得：，
所以，根據(jù)已知條件有：
，
所以是定值.
【點睛】方法點睛：求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關．
（2）直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
19. 在平面直角坐標系中，為直線上一動點，橢圓：的左右頂點分別為，，上、下頂點分別為，．若直線交于另一點，直線交于另一點．
（1）求證：直線過定點，并求出定點坐標；
（2）求四邊形面積的最大值．
【答案】（1）證明見解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）依題求出橢圓方程，設，由直線，方程分別與橢圓方程聯(lián)立，求出點的坐標，由對稱性知，定點在軸上，設為，由求出的值即得；
（2）根據(jù)圖形，可得四邊形的面積，代入和，經(jīng)過換元，運用基本不等式和函數(shù)的單調性即可求得面積最大值.
【小問1詳解】
由題意知，，橢圓：
如圖，設，
當時，直線方程為：，代入，
得，則，從而，點
又直線的方程為：，代入，
得則，從而，點
由對稱性知，定點在軸上，設為
由，即，化簡得，
因故得，解得.
即直線過定點，而當時，直線也過定點．
綜上，直線恒過定點．
【小問2詳解】
由圖可知四邊形的面積為
，
令，當且僅當時等號成立，
因在上單調遞增，而，
故當時，四邊形面積有最大值．
【點睛】方法點睛：本題主要考查直線過定點和四邊形面積的最值問題，數(shù)據(jù)計算較大.
求解直線過定點問題，一般是通過消參后將直線方程化成含一個參數(shù)的方程，再求定點；對于四邊形面積問題，常運用合理的拆分或拼接，使其表達式易于得到，再利用基本不等式，或函數(shù)的單調性求其范圍即可.

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