1. 已知雙曲線過點(diǎn)，且與雙曲線：有相同的漸近線，則雙曲線的焦距為（ ）
A. 7B. 14C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先設(shè)出與共漸近線的雙曲線方程，再代入點(diǎn)，求出，從而求出的方程，進(jìn)而求解.
【詳解】設(shè)雙曲線：，將代入可得.故雙曲線：，則，則焦距.
故選：B
2. 已知雙曲線上一點(diǎn)P到它的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于5，那么點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F的距離等于（ ）
A. 3B. 3或7C. 5D. 7
【答案】D
【解析】
【分析】利用雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程和定義，求解到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離.
【詳解】由題意可知，,，
則，
所以或，
又因?yàn)?
所以，
故選：D.
3. 在等差數(shù)列中，，其前n項(xiàng)和為，若，則等于（ ）
A. 10B. 100C. 110D. 120
【答案】B
【解析】
【分析】利用結(jié)論：在等差數(shù)列中，其前n項(xiàng)和為，則數(shù)列也為等差數(shù)列，再求出的通項(xiàng)，代入即可.
【詳解】因?yàn)閿?shù)列是等差數(shù)列，則數(shù)列也為等差數(shù)列，設(shè)其公差為，
則，則，又因?yàn)椋?br>所以，所以，所以.
故選：B.
4. 已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，則（ ）
A. 60B. 120C. 180D. 240
【答案】C
【解析】
【分析】利用下標(biāo)和性質(zhì)求得，然后由等差數(shù)列求和公式和下標(biāo)和性質(zhì)可解.
詳解】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可知，得，
所以．
故選：C．
5. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，滿足，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作圖分析，不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，過點(diǎn)分別向準(zhǔn)線作垂線，設(shè)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，結(jié)合拋物線的定義，設(shè)，推出相關(guān)線段長，求出，再結(jié)合拋物線的對(duì)稱性，即可確定答案.
【詳解】如圖，當(dāng)點(diǎn)A在第一象限時(shí)，過點(diǎn)分別向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則軸，
設(shè)交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，
設(shè)，則，由拋物線的定義得
，
，
，在中，，
，而軸，則，
故，
當(dāng)點(diǎn)A在第四象限時(shí)，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可得斜率為，
故選：A.
6. 在等比數(shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的知識(shí)列方程，求得等比數(shù)列的公比，從而求得.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由于，，成等差數(shù)列，
所以，
所以.
故選：C
7. 已知橢圓：離心率為，左頂點(diǎn)是A，左、右焦點(diǎn)分別是，，是在第一象限上的一點(diǎn)，直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為.若，且的周長為，則直線的斜率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合橢圓定義，將題中所給的周長表示出來，得到，由，可得，即可將、計(jì)算出來，借助余弦定理，可計(jì)算出，再結(jié)合直線斜率與傾斜角的關(guān)系即可得.
【詳解】由該橢圓離心率為，故有，
則、，
則
，
故有，
由、，
則，
故，，
故，
則有，
解得，即有、，
則，
由是在第一象限上的一點(diǎn)，
故，
則，
直線的斜率為.
故選：D
8. 已知數(shù)列滿足，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列遞推式求得的表達(dá)式，即可得，結(jié)合其單調(diào)性推出恒成立，繼而判斷的單調(diào)性，求出其最大值，即可求得答案.
【詳解】由于數(shù)列滿足，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故，即，也適合，故，
則，
由于數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，
即，
則恒成立，令，
則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故是數(shù)列的最大值的項(xiàng)，
故時(shí)，取得最大值，故，
則的取值范圍為，
故選：C
二、多選題
9. 方程，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，方程表示橢圓
B. 當(dāng)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線
C. 當(dāng)時(shí)，方程表示圓
D. 當(dāng)或時(shí)，方程表示雙曲線
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)方程中分母的正負(fù)及是否相等可判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】當(dāng)時(shí)，由，且即時(shí)，此方程表示圓，故A不正確；
當(dāng)時(shí)，，，由方程可知表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，故B正確；
由A可知，當(dāng)時(shí)，方程表示圓，故C正確；
當(dāng)時(shí)，，，故方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，當(dāng)時(shí)，由B可知，方程表示雙曲線，故D正確.
故選：BCD
10. 首項(xiàng)為正數(shù)，公差不為0的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，現(xiàn)有下列4個(gè)命題中正確的有（ ）
A. 若，則
B. 若，則使的最大的n為15
C. 若，，則中最大
D. 若，則
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運(yùn)算計(jì)算可判斷A，再由求和公式，利用下標(biāo)性質(zhì)可判斷CD，再由可判斷D.
【詳解】對(duì)于A,若，則，
那么.故A不正確；
對(duì)于B,中若，則，
又因?yàn)?，所以?項(xiàng)為正，從第9項(xiàng)開始為負(fù)，
因?yàn)椋?br>所以使的最大的為15.故B正確；
對(duì)于C,中若，，
則，，則中最大.故C正確；
對(duì)于D，中若，則，而，不能判斷正負(fù)情況.故D不正確.
故選：BC
11. 如果一雙曲線的實(shí)軸及虛軸分別為另一雙曲線的虛軸及實(shí)軸，則此二雙曲線互為共軛雙曲線.已知雙曲線與互為共軛雙曲線，設(shè)的離心率為，的離心率為，則（ ）
A. 若，則B. 的最小值為4
C. 的最小值為4D. 的最大值為
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A：利用離心率的定義直接計(jì)算；對(duì)于B：利用基本不等式求出的最小值為，即可判斷；對(duì)于C：利用基本不等式直接計(jì)算；對(duì)于D：先求出.三角換元后利用三角函數(shù)求最值.
【詳解】不妨設(shè)雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為，則.
由共軛雙曲線的定義可得：雙曲線的實(shí)軸長為，虛軸長為，焦距為.
所以.
對(duì)于A：，即.所以，
所以.故A正確；
對(duì)于B：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立），
所以的最小值為.故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C：（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立）.
所以的最小值為4.故C正確；
對(duì)于D：因?yàn)椋?，所?
不妨設(shè)，則（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立）.故D正確.
故選：ACD
12. 已知是拋物線的焦點(diǎn)，過點(diǎn)作兩條互相垂直的直線、，與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，為，中點(diǎn)，為，中點(diǎn)，直線為拋物線的準(zhǔn)線，則（ ）
A. 有可能為銳角B. 以為直徑的圓與相切
C. 的最小值為32D. 和面積之和最小值為32
【答案】BCD
【解析】
【分析】設(shè)出直線、，與拋物線聯(lián)立后消去，得到與縱坐標(biāo)有關(guān)的韋達(dá)定理備用，對(duì)A，將角度的銳鈍問題可轉(zhuǎn)換為向量數(shù)量積的正負(fù)，計(jì)算即可得；對(duì)B，求出該圓圓心及半徑，借助切線的性質(zhì)判定即可得；對(duì)C，表示出、的長度后結(jié)合基本不等式即可得；對(duì)D，表示出兩三角形面積之和后，借助坐標(biāo)之間的關(guān)系，結(jié)合基本不等式求解即可得.
【詳解】
由，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
設(shè)，、、、，
則，
聯(lián)立，消去得：，，
有，，
則，
故為鈍角，故A錯(cuò)誤；
此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，
，
故，
，
則為直徑的圓以為圓心，為半徑，
圓心到的距離為，
與半徑相等，故以為直徑的圓與相切，即B正確；
由，
同理可得，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C正確；
，
由，則，
同理可得，，
即
，
當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
當(dāng)時(shí)，由拋物線的對(duì)稱性及直線的對(duì)稱性可得，，
即，可同時(shí)取等，故D正確.
故選：BCD.
三、填空題
13. 若等差數(shù)列的前m項(xiàng)的和為20，前3m項(xiàng)的和為90，則它的前2m項(xiàng)的和為____________.
【答案】50
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列片段和性質(zhì)有為等差數(shù)列，應(yīng)用等差中項(xiàng)的性質(zhì)求即可.
【詳解】由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知：為等差數(shù)列，
所以，則，
所以.
故答案：
14. 設(shè)等差數(shù)列，的前項(xiàng)和分別為，，都有，則的值為____________ .
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式及前n項(xiàng)和與項(xiàng)的關(guān)系求解.
【詳解】因?yàn)榈炔顢?shù)列，中，，
所以可設(shè)，
所以，
故答案為：
15. 已知橢圓上存在相異兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【解析】
【分析】
設(shè)對(duì)稱的兩點(diǎn)為，，直線的方程為與聯(lián)立可得利用根與系數(shù)的關(guān)系以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求的中點(diǎn)，利用判別式以及在直線上即可求解.
【詳解】設(shè)橢圓存在關(guān)于直線對(duì)稱的兩點(diǎn)為，，
根據(jù)對(duì)稱性可知線段被直線直平分，
且的中點(diǎn)在直線上，且，
故可設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立方程，整理可得，
∴，，
由，可得，
∴，，
∵的中點(diǎn)在直線上，
∴，可得，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是利用直線與直線垂直可得直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，代入可得關(guān)于的一元二次方程，利用判別式，可以求出的范圍，利用韋達(dá)定理可得的中點(diǎn)再代入即可與的關(guān)系，即可求解.
16. 如圖，，分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線與圓在第二象限的一個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且，則雙曲線的離心率為___________.
【答案】##
【解析】
【分析】聯(lián)立圓和雙曲線方程，求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得到點(diǎn)坐標(biāo)，將點(diǎn)代入雙曲線方程中，化簡得到即，方程兩邊同除以得到關(guān)于離心率的方程，求出答案.
【詳解】，解得，
故，將其代入得，，
故，
因?yàn)椋O(shè)，
所以，
故，，
將代入雙曲線中得，
，
化簡得，
兩邊平方得，
即，方程兩邊同除以得
，解得或1（舍去），
故.
故答案為：
四、解答題
17. 在數(shù)列中，．求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；
【答案】證明見解析；
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義證明，然后利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求解．
【詳解】
，
且所以，數(shù)列是等差數(shù)列，且首項(xiàng)為1，公差為1，
．
18. 設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和，，.
（1）求；
（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）代入及計(jì)算即可得；
（2）借助與的關(guān)系，消去計(jì)算出的通項(xiàng)，再由計(jì)算出即可得.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，又，故，
當(dāng)時(shí)，，
即，解得或，
又，故；
【小問2詳解】
對(duì)任意的，，則，
當(dāng)時(shí)，，
即，
又，即，
所以，數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，
所以，，則，
故當(dāng)時(shí)，，
也滿足，
故對(duì)任意的，.
19. 已知直線與雙曲線的右支交于不同的兩點(diǎn)和，與軸交于點(diǎn)，且直線上存在一點(diǎn)滿足（不與重合）．
（1）求實(shí)數(shù)取值范圍；
（2）證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值．
【答案】（1）；
（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）由直線方程聯(lián)立雙曲線方程，結(jié)合條件可得不等式組，進(jìn)而即得；
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)韋達(dá)定理結(jié)合條件可得的橫坐標(biāo)，進(jìn)而可得縱坐標(biāo).
【小問1詳解】
將直線方程代入雙曲線方程，化簡整理得，，
要使直線與雙曲線的右支有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，則應(yīng)滿足
，
解得；
【小問2詳解】
設(shè)，

則由（1）知：.
由，得：，
所以.
又，
所以點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為定值.
20. 已知圓C：．
（1）設(shè)點(diǎn)，過點(diǎn)M作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程；
（2）設(shè)P是直線上的點(diǎn)，過P點(diǎn)作圓C的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，求證：經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，并求出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】（1）或
（2）證明見解析，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為.
【解析】
【分析】（1）求出圓C的圓心和半徑，分直線l的斜率不存在和存在兩種情況，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式求出直線方程；
（2）設(shè)，根據(jù)切線性質(zhì)得到經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓即為以PC為直徑的圓，求出圓心和半徑，寫出圓的方程，整理后得到，求出定點(diǎn)坐標(biāo).
【小問1詳解】
根據(jù)題意，圓C的方程為，其圓心C為（2，0），半徑，
若直線l的斜率不存在，即，代入圓方程得，，即，成立；
若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，
若，則圓心C到直線l的距離，則，
解得，
即直線l的方程為，化簡得
綜上所述，直線l的方程為或．
【小問2詳解】
由于P是直線上的點(diǎn)，設(shè)，由切線的性質(zhì)得AC⊥PA，BC⊥PB，
經(jīng)過A，P，C，的三點(diǎn)的圓，即為以PC為直徑的圓，
PC的中點(diǎn)坐標(biāo)為，
且，
所以圓的方程為，
整理得，
令，解得或．
則經(jīng)過A，P，C三點(diǎn)的圓必過定點(diǎn)，所有定點(diǎn)的坐標(biāo)為．
21. 已知點(diǎn)F為拋物線E：的焦點(diǎn)，點(diǎn)，， 若過點(diǎn)P作直線與拋物線E順次交于A，B兩點(diǎn)， 過點(diǎn)A作斜率為1的直線與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C.
（1）求證：直線BC過定點(diǎn)；
（2）若直線BC所過定點(diǎn)為點(diǎn)Q，，的面積分別為，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先求出拋物線的方程，直曲聯(lián)立通過韋達(dá)定理分別表示兩點(diǎn)關(guān)系，和兩點(diǎn)關(guān)系，寫出方程，根據(jù)兩個(gè)關(guān)系式消去點(diǎn)，即可得到結(jié)果.
（2）將，用兩點(diǎn)表示出來，再利用第（1）問結(jié)論和韋達(dá)定理用直線的斜率通過化簡，借助換元法即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
由已知：，
解得，所以拋物線方程為：
易知直線斜率存在，設(shè)直線方程為：
得：，其中，
設(shè)，，所以，.
所以①，直線方程為：，
得：，
設(shè)，則②，由①②可知
，所以③
（1）若直線斜率不存在時(shí)，則，又因?yàn)?br>所以，，所以直線方程為
（2）若直線斜率存在時(shí)，，
直線方程為：，即
，將③代入得
，所以
故當(dāng)直線斜率存在時(shí)過定點(diǎn)
綜上所述：由（1）（2）可知直線過定點(diǎn).
【小問2詳解】

由（1）知，.
所以.
由，且，可得且，
所以
令， ，所以
又因?yàn)榍?，所?br>，所以的取值范圍為
【點(diǎn)睛】（1）直曲聯(lián)立是解決直線與曲線相交問題行之有效的方法.
（2）韋達(dá)定理和換元法可以減少運(yùn)算量，提高解題效率.
（3）不要遺忘了斜率不存在的情況，避免造成丟分.
22. 橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖所示，記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線，分別交橢圓于兩點(diǎn)，.
（i）證明：點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）求四邊形面積的最大值.
【答案】（1）
（2）（i）證明見解析；（ii）6
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出橢圓方程，用待定系數(shù)法求解即可得解；
（2）（i）根據(jù)題意只要證為鈍角即即可，求出坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積運(yùn)算即可得證；（ii）求出四邊形的面積，對(duì)面積的表達(dá)式變形利用基本不等式和對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性求出最大值得解.
【小問1詳解】
由題知，橢圓的焦點(diǎn)為，，
故可設(shè)橢圓的方程為，將點(diǎn)代入可得，
解得，
所以橢圓得方程為.
【小問2詳解】
（i）易知，由橢圓對(duì)稱性可知，不妨設(shè)，；
根據(jù)題意可知直線斜率均存在，且，；
所以直線的方程為，的方程為；
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達(dá)定理可得，解得，則；
聯(lián)立直線和橢圓方程，消去可得；
由韋達(dá)定理可得，解得，則；
則，；
所以；
即可知為鈍角，所以點(diǎn)B在以為直徑的圓內(nèi)；
（ii）易知四邊形的面積為，
設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立；
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知在上單調(diào)遞增，
所以，可得，
所以時(shí)，四邊形的面積最大為6，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
由對(duì)稱性可知，即當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，
四邊形的面積最大，最大值為6.

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重慶市楊家坪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份重慶市楊家坪中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共23頁。試卷主要包含了考試結(jié)束后，將答題卡交回， 若實(shí)數(shù)、滿足條件，則的范圍是， 已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為， 已知直線，則下列結(jié)論正確的是等內(nèi)容，歡迎下載使用。

湖北省武漢市第六中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析）：

這是一份湖北省武漢市第六中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（Word版附解析），共18頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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