2025年廣東省中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 微專題特殊四邊形中的常見模型課件-課件下載-教習(xí)網(wǎng)

模型十字模型例1　【問題情境】(1)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AD，CD上的點(diǎn)，BE，AF交于點(diǎn)O.小亮根據(jù)圖形提出如下猜想：若BE⊥AF，則BE＝AF；小利根據(jù)圖形提出如下猜想：若AE＝DF，則BE⊥AF.請你從他們的猜想中任選一個進(jìn)行證明．
解：選擇證明小亮的猜想．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°.∴∠DAF＋∠BAO＝90°.
∵BE⊥AF，∴∠AOB＝90°.∴∠ABE＋∠BAO＝90°.∴∠ABE＝∠DAF.
[或選擇證明小利的猜想．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝DA，∠BAE＝∠D＝90°.
∵∠BAE＝∠DAF＋∠BAO＝90°，∴∠ABE＋∠BAO＝90°.∴∠AOB＝90°.∴BE⊥AF.]
【類比探究】(2)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，H，G分別為邊AD，CD，BC，AB上的點(diǎn)，連接EH，GF交于點(diǎn)O.若EH⊥GF，求證：EH＝GF.
證明：如答圖，過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)G作GN⊥CD于點(diǎn)N，交EH于點(diǎn)Q.
∴EM綉AB，GN綉AD，∠EMH＝∠GNF＝90°.∴EM⊥GN. ∴∠MEH＋∠GQE＝90°.
又EH⊥GF，∴∠NGF＋∠GQE＝90°.∴∠MEH＝∠NGF.
【拓展應(yīng)用】(3)如圖，在矩形ABCD中，E為邊AD上一點(diǎn)，BE，AC相交于點(diǎn)F，且BE⊥AC.若AB＝6，AD＝8，求BE的長．
解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAE＝∠D＝90°，CD＝AB＝6.∴∠BAC＋∠DAC＝90°.
基礎(chǔ)模型分析：E，F(xiàn)分別為正方形ABCD中邊AD，CD上的點(diǎn)．若AE＝DF，則AF＝BE，AF⊥BE，△ABE≌△DAF.注：知一可求其他三個．
模型變式：已知：在正方形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD，AD上的點(diǎn)，且EG⊥FH.結(jié)論：EG＝FH.
模型拓展：已知：在矩形ABCD中，E為邊AD上的點(diǎn)，AC⊥BE.結(jié)論：△ABE∽△DAC，即
　 1.如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD，AD上，BE與CF交于點(diǎn)G.若BC＝4，DE＝AF＝1，則CG的長為________．
2.如圖，BD是矩形ABCD的一條對角線，EF⊥BD于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F.若AB＝3，BC＝4，則EF的長為________．
例2　【初步感知】(1)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，連接EF，探究BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系．小明同學(xué)給出了如下思路：如圖，將△ABE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至△ADG的位置，使得AB與AD重合，然后證明△AGF≌△AEF，從而得出結(jié)論：____________________．請你按照這個思路寫出結(jié)論，并說明理由．
模型半角模型(2023廣東第23題考查)
解：EF＝BE＋DF.理由如下：
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得DG＝BE，∠DAG＝∠BAE，AG＝AE.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠BAE＋∠DAF＝45°.∴∠FAG＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝45°.∴∠FAG＝∠EAF.
【遷移應(yīng)用】(2)如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)G，H在邊AC上，且∠GBH＝45°.若AG＝2 ,CH＝2，求GH的長．
解：在等腰直角三角形ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，∴∠BAC＝∠C＝45°.
如答圖，將△BCH繞點(diǎn)B逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BAM，連接MG.由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得BM＝BH，AM＝CH＝2，∠BAM＝∠C＝45°，∠ABM＝∠CBH.
∴∠MAG＝∠BAM＋∠BAC＝90°.
∵∠HBG＝45°，∴∠ABG＋∠CBH＝45°.∴∠MBG＝∠ABG＋∠ABM＝∠ABG＋∠CBH＝45°.∴∠HBG＝∠MBG.
　 3.(2024重慶)如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長線上一點(diǎn)，連接AE，AF，AM平分∠EAF交CD于點(diǎn)M.若BE＝DF＝1，則DM的長度為(　　)A．2 B． C． D．
4．如圖，△ABC是邊長為4的等邊三角形，△DBC是頂角為120°的等腰三角形，動點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上．若∠EDF＝60°，則△AEF的周長為(　　)A．12 B．10 C．8 D．6
基礎(chǔ)模型分析：已知:E,F分別是正方形ABCD中邊BC，CD上的點(diǎn),且∠EAF＝45°.結(jié)論：①△AEF≌△AGF；②EF＝BE＋DF；(可進(jìn)一步推出△CEF的周長等于正方形邊長的2倍)③EA平分∠BEF.(可進(jìn)一步推出∠CEF＝2∠BAE，∠CFE＝2∠DAF)
模型變式：已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∠DAE＝45°.將AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到AF.結(jié)論：①△ADE≌△AFE；②CE⊥CF，DE2＝BD2＋CE2.
模型拓展：(1)已知：在等邊三角形ABC中，∠DAE＝30°.將AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AF.結(jié)論：①△ADE≌△AFE；②∠ECF＝120°.
(2)已知：在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，∠DAE＝60°.將AD繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到AF.結(jié)論：①△ADE≌△AFE；②∠ECF＝60°.
例3　(RJ八下P63實驗與探究改編)如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD交于點(diǎn)O，O又是正方形A1B1C1O的一個頂點(diǎn)，且這兩個正方形的邊長相等，OA1，OC1分別與正方形ABCD的邊AB，BC交于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)猜想線段OE，OF的數(shù)量關(guān)系，并進(jìn)行證明．
模型對角互補(bǔ)模型(2023廣東第23題考查)
解：OE＝OF.證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AO＝BO,∠AOB＝90°,∠OAB＝∠OBC＝45°.
∵四邊形A1B1C1O是正方形，∴∠A1OC1＝∠BOE＋∠BOF＝90°.
又∠AOB＝∠AOE＋∠BOE＝90°，∴∠AOE＝∠BOF.
(2)若AE＝2，CF＝4，則四邊形OEBF的面積為________．
變式1　在正方形A1B1C1O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，四邊形BEOF的面積________(填“會”或“不會”)發(fā)生變化．變式2　若正方形ABCD的面積為S1，四邊形BEOF的面積為S2，則S1與S2之間的數(shù)量關(guān)系為__________．
(3)連接EF.①若OE＝3，則EF的長為________，△OEF的面積為________．②若OE＝，AE＝，則正方形ABCD的邊長為________，正方形ABCD的面積為________．?
變式　如圖，在正方形ABCD中，M為對角線BD上任意一點(diǎn)(不與B，D重合)，連接CM，過點(diǎn)M作MN⊥CM，交線段AB于點(diǎn)N.(1)求證：MN＝MC；
證明:由正方形的性質(zhì),得∠MBC＝∠MBN＝45°.如答圖①，將線段BM繞點(diǎn)M逆時針旋轉(zhuǎn)得到線段PM，交BC的延長線于點(diǎn)P.
∴PM＝BM.∴∠P＝∠MBP＝45°.∴△BMP是等腰直角三角形，∠BMP＝90°.
∵M(jìn)N⊥CM，∴∠CMN＝90°.∴∠BMP－∠BMC＝∠CMN－∠BMC，即∠CMP＝∠NMB.
(2)若AD＝6，BD＝3DM，求BN的長．
[另一種解法：(1)證明：如答圖②，過點(diǎn)M分別作ME⊥BC于點(diǎn)E，MF⊥AB于點(diǎn)F.
又∠ABC＝90°，∴四邊形BEMF是矩形．∵四邊形ABCD是正方形，∴BD平分∠ABC.∴ME＝MF.
∴四邊形BEMF是正方形．∴∠EMF＝∠EMN＋∠NMF＝90°.
∵CM⊥MN，∴∠CMN＝∠CME＋∠EMN＝90°.∴∠NMF＝∠CME.
由(1)，得四邊形BEMF是正方形．∴BE＝BF＝4.∴CE＝BC－BE＝6－4＝2.∵△MFN≌△MEC，∴NF＝CE＝2.∴BN＝BF－NF＝4－2＝2.]
　 5. 5.如圖，正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，正方形A′B′C′O與正方形ABCD的邊長相等．在正方形A′B′C′O繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個正方形重疊部分的面積總是2，則AD的長為________．
6．如圖，在四邊形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AC＝4，則四邊形ABCD的面積為________.　
模型分析：已知：在正方形ABCD中，O為對角線AC，BD的交點(diǎn)，OE⊥OF.結(jié)論：①△COE≌△DOF，△BOE≌△COF；②OE＝OF，BE＝CF，CE＝DF；③△EOF是等腰直角三角形；④S四邊形CEOF＝S△COD＝ S正方形ABCD.
模型變式(90°對角互補(bǔ)模型)：已知：∠ABC＝∠ADC＝90°，BD平分∠ABC.結(jié)論：①AD＝CD；②AB＋BC＝ BD；③S四邊形ABCD＝ BD2.