此模型的特征是有一組邊共線或部分重合,另兩組邊分別平行,常要在移動方向上加(減)公共線段,構(gòu)造線段相等,或利用平行線性質(zhì)找到對應(yīng)角相等.
① (2024·內(nèi)江)如圖,點A,D,B,E在同一條直線上,AD=BE,AC=DF,BC=EF.(1)求證:△ABC≌△DEF.(2)若∠A=55°,∠E=45°,求∠F的度數(shù).
此模型的特征是所給圖形可沿某一直線折疊,直線兩旁的部分能完全重合,重合的頂點就是全等三角形的對應(yīng)頂點,解題時要注意其隱含條件,即公共邊或公共角相等.
② (2024·滄州南皮縣二模)如圖,已知射線BR平分∠MBN.點A,P,C分別在射線BM,BR,BN上,且PA=PC.則下列說法正確的是(　　)A.△BPA≌△BPCB.△ABC是等腰三角形C.∠BAP=∠BCP=90°D.∠BAP=∠BCP或∠BAP+∠BCP=180°
解析:由題意知,當(dāng)PA=PC時,分圖1,圖2兩種情況.①如圖1,過點P作PE⊥BM于點E,PF⊥BN于點F,∵BR平分∠MBN,∴PE=PF.∵PA=PC,PE=PF,∴Rt△EPA≌Rt△FPC(HL),∴∠EAP=∠FCP,∴∠BAP=∠BCP.∵∠ABP=∠CBP,∠BAP=∠BCP,BP=BP,∴△BPA≌△BPC(AAS),∴∠BAP=∠BCP≠90°,AB=BC,△ABC是等腰三角形.
②如圖2,過點P作PE⊥BM于點E,PF⊥BN于點F,同理①,Rt△EPA≌Rt△FPC(HL),∴∠EAP=∠FCP,∴∠BAP+∠BCP=∠180°-∠EAP+∠FCP=180°,即∠BAP+∠BCP=180°,此時△BPA與△BPC不全等,AB≠BC,△ABC不是等腰三角形.∴A,B,C,錯誤,故不符合要求;D正確,故符合要求.故選D.
③ (2024·樂山)如圖,AB是∠CAD的平分線,AC=AD,求證:∠C=∠D.
利用“同角(或等角)的余角相等”轉(zhuǎn)化找等角(∠1=∠2).
④ (2024·廊坊廣陽區(qū)一模)如圖,直線l上有三個正方形a,b,c,若a,c的面積分別為6和8,則b的面積為(　　)A.6　　　B.8　　　C.10　　　D.14
解析:如圖,∵a,b,c都是正方形,∴AC=CE,∠ACE=90°.∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DCE.∵∠ABC=∠CDE=90°,AC=CE,∴△ACB≌△CED(AAS),∴AB=CD,BC=DE.在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2=AB2+BC2=AB2+DE2,即Sb=Sa+Sc=6+8=14.故選D.
⑤ (2023·重慶A卷)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,點D為BC上一點,連接AD.過點B作BE⊥AD于點E,過點C作CF⊥AD交AD的延長線于點F.若BE=4,CF=1,則EF的長度為　　　　.
此模型可看成是將三角形繞著公共頂點旋轉(zhuǎn)一定角度構(gòu)成的,旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形之間存在兩種情況:(1)無重疊:兩個三角形有公共頂點,無重疊部分.
(2)有重疊:兩個三角形含有一部分公共角,運用角的和差關(guān)系可得到等角.
⑥ (2024·秦皇島三模)如圖,已知△ABC和△ADE都是等腰三角形,∠BAC =∠DAE=90°,BD,CE交于點F,連接AF,下列結(jié)論:①BD=CE;②BF⊥CF;③AF平分∠CAD;④∠AFE=45°,其中正確結(jié)論的個數(shù)有(　　)A.4個B.3個C.2個D.1個
解析:如圖,過點A作AM⊥BD于點M,AN⊥EC于點N,設(shè)AD交EF于點O.∵△BAC,△DAE都是等腰直角三角形,∴∠BAC=∠DAE=90°,∴∠BAD=∠CAE,∵AB=AC,AD=AE,∴△BAD≌△CAE(SAS),∴CE=BD,故①正確;
由△BAD≌△CAE,知∠BDA=∠CEA.∵∠DOF=∠AOE,∴∠DFO=∠EAO=90°,∴BD⊥EC,故②正確;∵△BAD≌△CAE,AM⊥BD,AN⊥EC,∴AM=AN,∴FA平分∠EFB,∴∠AFE=45°,故④正確;
若③成立,則∠EAF=∠BAF,∵∠AFE=∠AFB,∴∠AEF=∠ABD=∠ADB,推出AB=AD,由題意知,AB不一定等于AD,∴AF不一定平分∠CAD,故③錯誤,故選B.

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