2025年廣西壯族自治區(qū)中考數學一輪復習考點突破微專題　十字模型課件-課件下載-教習網

例1.在正方形ABCD中：(1)已知：如圖①，點E，F分別在BC，CD上，且AE⊥BF，垂足為M，求證：AE＝BF.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥BF，∴∠ABC＝∠C＝90°，∠BAE＋∠ABM＝90°，∠CBF＋∠ABM＝90°.∴∠BAE＝∠CBF. 又AB＝BC， ∴△ABE≌△BCF(ASA).∴AE＝BF.
【模型分析】正方形的十字模型：如圖①，若AE⊥BF，則△ABE≌△BCF，AE＝BF.
(2)如圖②，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，CD延長線上一點，連接AE，BF交于點G，若AE⊥BF，求證：CE＝ DF.
證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠BCF＝∠ABG＋∠FBC＝90°，AB＝BC＝CD. ∵AE⊥BF，∴∠ABG＋∠EAB＝90°.∴∠FBC＝∠EAB. ∴△ABE≌△BCF(ASA).∴BE＝CF，即BC＋CE＝CD＋DF. ∴CE＝DF.
(3)如圖③，如果點E，F，G，H分別在BC，CD，DA，AB 上，且GE⊥HF，垂足為M，那么GE，HF相等嗎？證明你的結論.
解：GE＝HF. 證明如下：
如圖③，分別過點A，B作AP∥GE，BQ∥HF. ∵AD∥BC，AB∥DC，∴四邊形APEG、四邊形BQFH為平行四邊形.∴AP＝GE，BQ＝HF. ∵GE⊥HF，∴AP⊥BQ. 由(1)可得△ABP≌△BCQ. ∴AP＝BQ. ∴GE＝HF.
【模型分析】如圖③，若GE⊥HF，則GE＝HF.
(2021·梧州)如圖，在正方形ABCD中，點E，F分別為邊BC， CD上的點，且AE⊥BF于點P，G為AD的中點，連接GP，過點P作PH⊥GP交AB于點H，連接GH.
(1)求證：BE＝CF；
證明：∵四邊形ABCD是正方形，AE⊥BF，∴∠BAE＋∠ABF＝90°，∠ABE＝∠ABF＋∠CBF＝90°.∴∠BAE＝∠CBF. 又AB＝BC，∠ABC＝∠C＝90°， ∴△ABE≌△BCF(ASA).∴BE＝CF.
解：∵∠BAE＝∠CBF，∴∠GAE＝∠PBH. ∵PH⊥GP，∴∠GPH＝90°.∵∠APB＝90°，∴∠GPA＋∠APH＝∠APH＋∠HPB. ∴∠GPA＝∠HPB. ∴△GPA∽△HPB.