1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
3 若，則( )
A. B. C. D.
4. 函數(shù)的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
5. 若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則與相交
6. 在中，a，b是∠A，∠B，所對的邊，已知，則的形狀是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
7. 下列三個(gè)關(guān)于函數(shù)的命題：
①只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位即可得到的圖象；
②函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；
③函數(shù)在上單調(diào)遞增．
其中，真命題的序號是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. 以上皆不對
8. 已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，則球的表面積為（ ）
A B. C. D.
9. 定義在R上的偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A B. C. D.
二、填空題
10. 復(fù)數(shù)__________.
11. 在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為____________．
12. ______．
13. 某公司有甲、乙兩家餐廳，小李第一天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐，如果第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為，如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為，則小李第二天去乙家餐廳的概率為 ________．
14. 如圖，六面體的一個(gè)面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于________，表面積等于______．
15. 在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則__________；若，的面積為，則當(dāng)__________時(shí)，取得最小值．
三、解答題
16. 已知的內(nèi)角所對的邊長分別為，，，且，，.
（1）求角的大?。?br>（2）求的面積；
（3）求的值.
17. 在如圖所示幾何體中，四邊形為正方形，，平面，且．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的大小；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
18. 已知函數(shù)，其圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且的最小值為．
（1）求的最小正周期和對稱中心坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍；
（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
19. 如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若，求平面ADF與平面BDF夾角余弦值；
（3）若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值．
20 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；
（3）若，證明對任意恒成立
2024-2025學(xué)年天津市西青區(qū)高三上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)檢測試卷
一、單選題
1. 已知集合，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】分別求出集合，結(jié)合補(bǔ)集以及集合的交集、并集運(yùn)算，一一判斷各選項(xiàng)，即得答案.
【詳解】由題意可得，，
故，A錯(cuò)誤;
由于，故，，所以B正確，C錯(cuò)誤；
，則不是A的子集，D錯(cuò)誤，
故選：B
2. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】A
【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及定義域，及條件間的推出關(guān)系判斷充分、必要性.
【詳解】由在上遞增，而，則，此時(shí)，充分性成立，
若，則，假設(shè)時(shí)，無意義，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
3. 若，則( )
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】依次判斷與1和2的大小關(guān)系得到答案.
【詳解】，即；；
，故
故選：
本題考查了數(shù)值大小比較，意在考查學(xué)生對于函數(shù)單調(diào)性的靈活運(yùn)用.
4. 函數(shù)的大致圖象為（ ）
A. B.
C. D.
【正確答案】B
【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再集合函數(shù)值的正負(fù)，以及取向，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋遥?br>所以函數(shù)是奇函數(shù)，故排除A，
且當(dāng)時(shí)，，故排除C，
，當(dāng)時(shí)，，故排除D，滿足條件的只有B.
故選：B
5. 若為兩條不同的直線，為一個(gè)平面，則下列結(jié)論中正確的是（ ）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則與相交
【正確答案】C
【分析】根據(jù)空間中線線、線面的位置關(guān)系判斷可得答案.
【詳解】對于A，若，，則，或與相交，或與異面，故A錯(cuò)誤；
對于B，若，，則或與相交，或與異面，故B錯(cuò)誤；
對于C，若，，則，故C正確；
對于D，若，，則與相交，或與異面，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
6. 在中，a，b是∠A，∠B，所對的邊，已知，則的形狀是（ ）
A. 直角三角形B. 等腰三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
【正確答案】D
【分析】利用正弦定理邊化角，再利用二倍角的正弦公式化簡求解即得.
【詳解】在中，由及正弦定理，得，
則，而，
因此或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形.
故選：D
7. 下列三個(gè)關(guān)于函數(shù)命題：
①只需將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位即可得到的圖象；
②函數(shù)的圖象關(guān)于對稱；
③函數(shù)在上單調(diào)遞增．
其中，真命題的序號是（ ）
A. ①B. ②C. ③D. 以上皆不對
【正確答案】C
【分析】對于①，利用三角恒等變換得到，利用左加右減得到平移后的解析式，得到①錯(cuò)誤；對于②，計(jì)算出，②錯(cuò)誤；對于③，求出，由于在上單調(diào)遞增，得到③正確.
【詳解】對于①，
，
的圖象向右平移個(gè)單位得到，①錯(cuò)誤；
對于②，，故圖象不關(guān)于對稱，②錯(cuò)誤；
對于③，時(shí)，，
由于在上單調(diào)遞增，
故在上單調(diào)遞增，③正確．
故選：C
8. 已知正三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，棱錐的底面是邊長為的正三角形，側(cè)棱長為，則球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】先判斷球心在三棱錐的高線上，由正弦定理求得，求得，借助于列方程，求出外接球半徑即得.
【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)在底面的射影為點(diǎn)，
因底面邊長均為，側(cè)棱長均為，故球心在上，
連接，設(shè)球的半徑為，則，
由正弦定理，解得，
在中，，則，
在中，由，解得，
則球的表面積為.
故選：B.
9. 定義在R上偶函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個(gè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】根據(jù)題意畫出示意圖，根據(jù)數(shù)形結(jié)合解題即可.
【詳解】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)滿足，
所以，從而函數(shù)的周期為4，
根據(jù)函數(shù)性質(zhì)畫出函數(shù)的示意圖，
關(guān)于x的不等式的整數(shù)解有且僅有9個(gè)，
從而滿足 ，解得實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故選：C.
本題主要考查函數(shù)的對稱性，奇偶性，周期性等函數(shù)性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行解題，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)思想方法中非常重要的一個(gè)思想方法，平時(shí)在學(xué)習(xí)中注意理解消化吸收.
二、填空題
10. 復(fù)數(shù)__________.
【正確答案】
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算即得.
【詳解】依題意，.
故
11. 在的展開式中，含的項(xiàng)的系數(shù)為____________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式可得，從而可求解.
【詳解】由題意可得的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為，
令，可得，所以，故含的項(xiàng)的系數(shù)為80.
故80.
12. ______．
【正確答案】1
【分析】結(jié)合指數(shù)、對數(shù)運(yùn)算求得正確答案.
【詳解】
.
故
13. 某公司有甲、乙兩家餐廳，小李第一天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐，如果第一天去甲餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為，如果第一天去乙餐廳，那么第二天去甲餐廳的概率為，則小李第二天去乙家餐廳的概率為 ________．
【正確答案】##0.3
【分析】先將事件用字母表示出來，再利用條件概率和全概率公式即可解決.
【詳解】解：設(shè)A1＝“第1天去甲餐廳用餐“，B1＝“第1天去乙餐廳用餐”，A2＝“第2天去甲餐廳用餐”，B 2＝“第2天去乙餐廳用餐”，
根據(jù)題意得，,.
則，，則，
則，則.
由全概率公式得：，
即
∴小李第二天去乙家餐廳的概率為．
故．
14. 如圖，六面體的一個(gè)面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則該六面體的體積等于________，表面積等于______．
【正確答案】 ①. 6 ②. 22
【分析】根據(jù)，，均垂直于平面，所以，在上取，連接，從而根據(jù)線線平行可得故為三棱柱，為三棱柱，根據(jù)柱體體積公式即可得該六面體的體積，根據(jù)幾何體外表面的線線關(guān)系結(jié)合勾股定理、余弦定理、三角形面積公式、梯形面積公式、正方形面積公式，即可得幾何體的表面積.
【詳解】如圖，在上取，連接，
因?yàn)?，，均垂直于平面，所以?br>則，因?yàn)檎叫?，所以?br>又平面，所以平面，
由可得四邊形為平行四邊形，所以，
因?yàn)槊鏋檎叫危瑒t，所以，
則四邊形為平行四邊形，所以，
又平面，平面，所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，則，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
故為三棱柱，為三棱柱，
則該六面體的體積；
如圖，連接，
又，，
所以，
則在四邊形中，由余弦定理得，
所以，則，
該六面體的表面積
.
故；.
關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵是確定六面體的線線關(guān)系.關(guān)于求幾何體的體積，要注意分割與補(bǔ)形．將不規(guī)則的幾何體通過分割或補(bǔ)形將其轉(zhuǎn)化為規(guī)則的幾何體求解．
15. 在中，M是邊BC的中點(diǎn)，N是線段BM的中點(diǎn)．設(shè)，，記，則__________；若，的面積為，則當(dāng)__________時(shí)，取得最小值．
【正確答案】 ①. ##0.5 ②. 2
【分析】利用平面向量基本定理得到，得到，求出；由三角形面積公式得到，結(jié)合和平面向量數(shù)量積公式，基本不等式得到的最小值，此時(shí)，由余弦定理得到.
【詳解】由題意得
，
故，故；
由三角形面積公式得，
故，
其中，
故
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，
此時(shí)
，
故.
故，2
三、解答題
16. 已知的內(nèi)角所對的邊長分別為，，，且，，.
（1）求角的大?。?br>（2）求的面積；
（3）求的值.
【正確答案】（1）
（2）5 （3）
【分析】（1）根據(jù)題意利用余弦定理運(yùn)算求解即可；
（2）利用面積公式運(yùn)算求解即可；
（3）利用余弦定理先求，利用倍角公式以及兩角和差公式運(yùn)算求解.
【小問1詳解】
因?yàn)椋?，?br>由余弦定理可得，
且，所以.
【小問2詳解】
由（1）可得的面積.
【小問3詳解】
因?yàn)椋?，?br>由余弦定理可得，
且，則，
可得，
所以.
17. 在如圖所示的幾何體中，四邊形為正方形，，平面，且．
（1）求證：平面；
（2）求直線與平面所成角的大小；
（3）求點(diǎn)到平面的距離．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）
【分析】（1）連結(jié)，設(shè)，設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出四邊形為平行四邊形，從而，由此能證明平面．
（2）以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線與平面所成角的大?。?br>（3）利用向量法可求點(diǎn)到平面距離
【小問1詳解】
連結(jié)，設(shè)，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫危詾橹悬c(diǎn)．設(shè)為的中點(diǎn)，連結(jié)，
則，且．
由已知，且，
所以，．所以四邊形為平行四邊形．
所以，即．
因平面DEF，平面，
所以平面．
【小問2詳解】
由已知平面，所以，，
因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以兩兩垂直?br>以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），
因?yàn)椋?br>所以A0,0,0，，，，，，
所以，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
由，得，取，得．
設(shè)直線與平面所成角為，則，
因?yàn)椋裕?br>即直線與平面所成角為．
【小問3詳解】
，平面的一個(gè)法向量為，
則點(diǎn)到平面的距離．
【點(diǎn)評】本題考查線面平行的證明，考查線面角大小的求法，考查點(diǎn)到面的距離的求法，屬中檔題．
18. 已知函數(shù)，其圖象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且的最小值為．
（1）求的最小正周期和對稱中心坐標(biāo)；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍；
（3）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
【正確答案】（1），
（2）
（3）
【分析】（1）由題意利用三角恒等變換化簡函數(shù)表達(dá)式，由題意得函數(shù)周期進(jìn)而得表達(dá)式，整體代入求解對稱中心即可.
（2）由題意得，由此即可得解.
（3）由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性令，即可得解.
【小問1詳解】
因?yàn)閳D象與直線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，且的最小值為，
所以函數(shù)的最小正周期為，得到．
則，
由，得，
所以圖象的對稱中心坐標(biāo)為．
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以，
所以
即的取值范圍為.
【小問3詳解】
由，得
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
19. 如圖，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是線段的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）若，求平面ADF與平面BDF夾角余弦值；
（3）若線段上總存在一點(diǎn)，使得，求的最大值．
【正確答案】（1）證明見解析；
（2）；
（3）．
【分析】（1）設(shè)，連結(jié)，，證明為平行四邊形，得，然后由線面平行的判定定理得證；
（2）以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角；
（3）設(shè)，利用，用表示出，根據(jù)的范圍得出的范圍，從而得的最大值．
【小問1詳解】
設(shè)，連結(jié)，，
矩形中是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，
所以，，所以為平行四邊形，故，
又平面，平面，所以平面；
【小問2詳解】
由題意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
面面，，面，所以面，
以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)?，，是線段的中點(diǎn)，
則，，，，
從而，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量是，
則，取，得，
易知平面的一個(gè)法向量是，,
所以平面ADF與平面BDF夾角余弦值是；
【小問3詳解】
在（2）的坐標(biāo)坐標(biāo)系中，，，，在上，設(shè)，，
從而，
因?yàn)?，所以?br>，又，則，即，
所以的最大值是．
結(jié)論點(diǎn)睛：若直線的方向向量分別為，平面的法向量分別為，則
①兩異面直線所成的角為，；
②直線與平面所成的角為，；
③二面角的大小為，.
20. 已知函數(shù)，其中．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處切線的方程；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；
（3）若，證明對任意恒成立．
【正確答案】（1）；（2）極大值為，極小值為；（3）證明見解析.
【分析】
（1）把代入函數(shù)解析式，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到曲線在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，再求出，代入直線方程的點(diǎn)斜式，求切線方程；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，利用導(dǎo)函數(shù)在各個(gè)區(qū)間段內(nèi)的符號，判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（3）當(dāng)，在內(nèi)是減函數(shù)，又，不妨設(shè)，則，于是等價(jià)于，即，構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)證明其為減函數(shù)得到答案.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，
，，
故切線方程為：，整理得；
（2）
令，解得或，
又，，
故當(dāng)時(shí)，取極大值為，
當(dāng)時(shí)，取極小值為.
（3），在內(nèi)是減函數(shù)，
又，不妨設(shè)，則，
于是等價(jià)于，
即，
令，
在內(nèi)是減函數(shù)，
故，
從而在內(nèi)是減函數(shù)，
對任意，有，
即，
當(dāng)，對任意恒成立．
導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，對導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行： (1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系． (2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)． (3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題． (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增

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