1. 已知集合，，則______
【正確答案】
【分析】根據(jù)一元二次不等式求解集合元素，結(jié)合交集
【詳解】由，則.
故答案為.
2. 已知向量，則在方向上的數(shù)量投影為 _________________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)數(shù)量投影的定義及計算公式直接可得解.
【詳解】由已知，，
則
則在方向上數(shù)量投影為，
故答案.
3. 曲線在點處的切線方程是 __________．
【正確答案】
【分析】直接求導得，代入求得斜率即可.
【詳解】由，則，所以，
所以在點0,1處的切線方程為，即．
故答案為.
4. 某老年健康活動中心隨機抽取了6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)，分別為120，96，153，146，112，136，則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為______
【正確答案】120
【分析】先將6個數(shù)據(jù)從小到大進行排列，再根據(jù)百分位數(shù)的定義和求解步驟即可求解.
【詳解】6位老年人的收縮壓數(shù)據(jù)從小到大排列為：96，112，120，136，146，153，
因為，所以這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)為120.
故120.
5. 二項式的展開式中，常數(shù)項為______
【正確答案】
【分析】先求出二項式的通項公式，令x的指數(shù)為0即可求解.
【詳解】由題得二項式通項公式為：，
令，
所以二項式的展開式中，常數(shù)項為.
故答案為.
6. 關(guān)于x的方程的解集為______
【正確答案】
【分析】分類討論的范圍，去絕對值解方程即可.
【詳解】關(guān)于x的方程，
若，則，
可得，解得，不合題意；
若，則，
可得，解得，不合題意；
若，則，
可得，解得，符合題意；
若，則，
可得，解得，不合題意；
綜上所述：方程的解集為.
故答案為.
7. 已知，，，則的最小值為______
【正確答案】9
【分析】將轉(zhuǎn)化為，再由展開后利用基本不等式，即可求出的最小值.
【詳解】因為，，，則，
所以，
當且僅當，即時，等號成立，
所以的最小值為9.
故9.
8. 《九章算術(shù)》卷第五《商功》中，有“假令芻童，上廣一尺，袤二尺，下廣三尺，袤四尺，高一尺”，意思是：“假設(shè)一個芻童，上底面寬1尺，長2尺：下底面寬3尺，長4尺，高1尺（如圖，芻童為上下底面為相互平行的不相似長方形，兩底面的中心連線與底面垂直的幾何體）”.若該幾何體所有頂點在一球體的表面上，則該球體的表面積為_______.
【正確答案】
【分析】
根據(jù)題意可得球心在幾何體的外部，設(shè)球心到幾何體下底面的距離為，從而可得，解方程可得，再利用球的面積公式即可求解.
【詳解】由已知得球心在幾何體的外部，
設(shè)球心到幾何體下底面的距離為，
則，解得，
，該球體表面積.
故
本題考查了幾何體的外接球問題，需熟記球的表面積公式，屬于基礎(chǔ)題.
9. 意大利著名畫家、自然科學家、工程師達芬奇在繪制作品《抱銀貂的女人》時，曾仔細思索女人脖子上黑色項鏈的形狀，這就是著名的懸鏈線形狀問題.后續(xù)的數(shù)學家對這一問題不斷研究，得到了一類與三角函數(shù)性質(zhì)相似的函數(shù)：雙曲函數(shù).其中雙曲正弦函數(shù)為，并且雙曲正弦函數(shù)為奇函數(shù)，若將雙曲正弦函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移2個單位，得到函數(shù)的圖象，并且數(shù)列滿足條件，則數(shù)列的前2024項和______
【正確答案】4048
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移的性質(zhì)可得的圖象關(guān)于對稱，即，即可求解.
【詳解】由于為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故的圖象關(guān)于對稱，即，
因此，,
因此,
故
10. 已知橢圓，點和分別是橢圓的左、右焦點，點P是橢圓上一點，則內(nèi)切圓半徑的最大值為______
【正確答案】
【分析】利用等面積法即可求解，根據(jù)取時最大求解.
【詳解】
如圖所示，由橢圓定義，，，
則，故，
要使最大，則，
故
故
11. 在中，，，分別是角，，的對邊，若，則的值為______.
【正確答案】2023
【分析】由已知可利用余弦定理轉(zhuǎn)化為新的關(guān)系式，再由已知可用切化弦思想及正弦定理的邊角互化思想就可得到結(jié)果.
【詳解】因為，
由余弦定理得，
所以，
所以
，
故2023.
12. 已知關(guān)于的方程在上有兩個不相等的實很，則實數(shù)的取值范圍是________.
【正確答案】
【分析】原方程可化為，令，，即得在有兩個不相等的實根，再轉(zhuǎn)化為和，有兩個不同的交點，利用導數(shù)研究函數(shù)圖象，并結(jié)合圖象得到結(jié)果即可.
詳解】由，可得方程
可化為，
令，，
因為在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
故時，值域為.
方程可化為，
當時，方程可化為，不成立，
故，故原方程可化為，
由已知在有兩個不相等的實根，
即和，有兩個不同的交點.
，
當和時，，
即在上遞減，在上遞減；
當時，，在遞增.
另外，時，；時，；
，當時，，
當，且時，，
當，且時，，
根據(jù)以上信息，函數(shù)，大致圖象如下，
當時，和，的圖象有兩個不同的交點.
所以的取值范圍是.
故答案為.
方法點睛：已知函數(shù)有零點(方程有根)或已知零點個數(shù)(方程根的個數(shù))求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；
（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；
（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.
二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13、14題每題4分，第15、16題每題5分.）
13. 設(shè)，則是的（ ）條件
A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要
【正確答案】B
【分析】由“”不能推出“”， “”能推出“”，據(jù)此可判斷選項.
【詳解】令，則，但，故“”不能推出“”.
設(shè)，由得，
，
故“”能推出“”.
綜上得，是的必要非充分條件.
故選：B.
14. 在中，，為中點，，則（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】A
【分析】由題意作圖，根據(jù)圖象，利用平面向量的線性運算，結(jié)合數(shù)量積的運算律，可得答案.
【詳解】由題意可作圖如下：
則，，由為的中點，則，
.
故選：A.
15. 已知定義在R上的函數(shù)，其導數(shù)為，記，且，，則下列說法中正確的個數(shù)為（ ）
①；②的圖象關(guān)于對稱；③；④.
A. 1個B. 2個C. 3個D. 4個
【正確答案】B
【分析】對于①，根據(jù)求導運算，利用賦值法，可得答案；
對于②，取關(guān)于已知對稱中心的兩個點，代入函數(shù)解析式建立方程組，整理等式，結(jié)合題意，可得答案；
對于③，根據(jù)求導運算，結(jié)合題目中的等式，可得答案；
對于④，根據(jù)等式可得函數(shù)的對稱性，結(jié)合對稱性可得點的坐標，可得等差數(shù)列，可得答案.
【詳解】對于①，由等式，兩邊求導可得，
則，令，則，解得，故①錯誤；
對于②，取點在函數(shù)的圖象上，
易知點關(guān)于0,2的對稱點為，假設(shè)該點也在函數(shù)的圖象上，
可得，消去可得，
整理可得，故②正確；
對于③，由等式，兩邊求導可得，
則，顯然與題意不符，故③錯誤；
對于④，由等式，可得函數(shù)的對稱中心為0,2，
由等式，可得函數(shù)的對稱中心為1,0，
點0,2關(guān)于1,0的對稱點為也是對稱中心，點1,0關(guān)于的對稱點為3,?4也是對稱中心，
歸納可得函數(shù)圖象的對稱中心為，
當時，，成立；
假設(shè)當時，成立；
當時，
，
由數(shù)學歸納法，則，
所以函數(shù)圖象對稱點為，則，
易知數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
則，故④正確.
故選：B.
16. 已知正項數(shù)列滿足，下列說法正確的是（ ）
A. 當時，數(shù)列單調(diào)遞減
B. 當時，數(shù)列單調(diào)遞增
C. 當時，存在正整數(shù)，當時，
D. 當時，存在正整數(shù)，當時，
【正確答案】D
【分析】構(gòu)建，結(jié)合導數(shù)分析fx,gx的單調(diào)性和大小關(guān)系，利用遞推法分析數(shù)列的單調(diào)性和取值范圍，結(jié)合選項即可判斷.
【詳解】設(shè)，可知fx,gx在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增，
構(gòu)建，則，
可知Fx在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，且
當時，則，可得；
當時，則，可得；
當時，則，可得；
可得fx,gx的函數(shù)圖象，如圖所示：
對于選項AC：若，則，
且，可得，
若，則，
且，可得，
依此類推，可得，
可知數(shù)列單調(diào)遞增，且，
即不存在正整數(shù)，當時，，故AC錯誤；
對于選項BD：若，則，
且，可得，
若，則，
且，可得，
依此類推，可得，
可知數(shù)列單調(diào)遞減，且，
所以存在正整數(shù)，當時，（只需即可），故B錯誤，D正確；
故選：D.
關(guān)鍵點點睛：構(gòu)建，分析兩個函數(shù)的單調(diào)性哈大小關(guān)系，結(jié)合圖象分析數(shù)列性質(zhì).
三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）
17. 某市數(shù)學競賽初賽結(jié)束后，為了解競賽成績情況，從所有學生中隨機抽取名學生，得到他們的成績，將數(shù)據(jù)分成五組：，，，，，并繪制成如圖所示的頻率分布直方圖：
（1）若只有前的學生能進決賽，則入圍分數(shù)應(yīng)設(shè)為多少分？
（2）采用分層隨機抽樣的方法從成績?yōu)榈膶W生中抽取容量為的樣本，再從該樣本中隨機抽取名學生進行問卷調(diào)查，設(shè)為其中達到分及以上的學生的人數(shù)，求的概率分布及數(shù)學期望.
【正確答案】（1）分
（2）分布列見解析，
【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖，可得答案；
（2）寫出變量的可能取值，分別求得概率，寫出分布列，利用期望公式，可得答案.
【小問1詳解】
成績在區(qū)間的比例為：；
成績在區(qū)間的比例為：，
因此分位數(shù)位于區(qū)間；
因此入圍分數(shù)為：，因此入圍分數(shù)應(yīng)設(shè)為分.
【小問2詳解】
在這六個人中，有兩人的分數(shù)在分及以上，因此，
，，，
變量的分布列為：
所以的數(shù)學期望為.
18. 已知函數(shù)y=fx是定義在?1,1上的奇函數(shù)，并且當時，.
（1）求函數(shù)y=fx的表達式；
（2）求關(guān)于x的不等式的解集.
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）當時，化簡，再根據(jù)為奇函數(shù)求解當時，函數(shù)的解析式；
（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)解不等式即可.
【小問1詳解】
當時，函數(shù)
.
當時，；
當時，，
即；
因為，
所以.
因此；
【小問2詳解】
當時，，
因此有在上嚴格單調(diào)遞增；
而當時，
因此有在上嚴格單調(diào)遞增；
原不等式可化為：；
而是定義在上的嚴格增函數(shù)，
所以；
因此不等式的解集為.
19. 如圖，在三棱錐中，，平面平面，，，，分別是，的中點，記平面與平面的交線為直線．
（1）求證：直線平面；
（2）若直線上存在一點（與都在的同側(cè)），且直線與直線所成的角為，求平面與平面所成的銳二面角的余弦值．
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）先證明，再證明平面，從而得到平面；
（2）建立空間直角坐標系，然后再求出相關(guān)平面的法向量，最后用夾角公式計算即可.
【小問1詳解】
證明：∵，分別是，的中點，∴，
又平面，平面，
∴平面，又平面，平面平面，∴，
又，平面平面，平面平面，平面，
∴平面，則平面．
【小問2詳解】
以為坐標原點，為軸正方向，為軸正方向，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標系，
由題意得：A2,0,0，，，，，
∴，，設(shè)，則．
依題意可得：，即：
又與都在的同側(cè)，所以，即
于是：，
設(shè)平面的法向量為
則，取，可得
再設(shè)平面的法向量為m=x,y,z，
則，取，得
于是
所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為．
20. 已知點G是圓T:上一動點（T為圓心），點H的坐標為，線段的垂直平分線交線段于點R，動點R的軌跡為曲線C.
（1）求曲線C的方程；
（2）M，N是曲線C上的兩個動點，O是坐標原點，直線、的斜率分別為和，且，則的面積是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，請說明理由；
（3）設(shè)P為曲線C上任意一點，延長至Q，使，點Q的軌跡為曲線E，過點P的直線l交曲線E于A、B兩點，求面積的最大值.
【正確答案】（1）
（2）為定值，
（3）
【分析】（1）由已知得，可得動點的軌跡為橢圓，然后求出即可得解；
（2）設(shè)兩點的坐標，表示出△的面積，利用橢圓的參數(shù)方程結(jié)合三角函數(shù)的運算，求△的面積；
（3）求出點的軌跡方程曲線，，分類討論設(shè)直線方程，利用韋達定理表示，由直線與曲線有交點確定參數(shù)范圍，求面積最大值．
【小問1詳解】
，則，
則曲線C是以和1,0為焦點，4為長軸的橢圓；
設(shè)橢圓方程為，則，，，曲線.
【小問2詳解】
設(shè)
所以
則
化簡得：，則，
又，
直線
則到直線的距離，
所以為定值；
【小問3詳解】
設(shè)點，則點，代入橢圓方程得到曲線；
當直線l的斜率不存在時：設(shè)，
代入E中有，則

當直線l斜率存在時：設(shè)，Ax1,y1，Bx2,y2，
代入E的方程：，
則，，
；
而l與橢圓C有公共點，代入得：，
由有，記，則，
綜上，面積的最大值為.
方法點睛：設(shè)而不求結(jié)合換元是解決圓錐曲線解答題最常用的方法，也是本題核心解題思路.
21. 已知函數(shù)的表達式為.
（1）當時，求的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若當時，恒成立，求a的取值范圍；
（3）證明.
【正確答案】（1）
（2）
（3）證明見解析
【分析】（1）將代入函數(shù)解析式，對函數(shù)二次求導，判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）分、、三種情況，對函數(shù)二次求導，借助函數(shù)單調(diào)性判斷不等式是否成立即可求解；
（3）借助（2）中結(jié)論，化為，取，得到，兩邊求和化簡即可求解.
【小問1詳解】
時，，
則，
令，則，
則在上嚴格減，上嚴格增，
則，即在上嚴格增，
因此函數(shù)的增區(qū)間為；
【小問2詳解】
，
記，則，
令，解得；
若，則，即時，
在上嚴格增，，滿足要求；
若，則，時，
則在上嚴格減，故當時，，不滿足要求；
若，則，在上嚴格減，
則，不滿足要求；
綜上，a的取值范圍是.
【小問3詳解】
由（2）可知時，
則，取，
則，即；
，
即.
關(guān)鍵點點睛：
本體關(guān)鍵在于能夠?qū)ⅲ?）中結(jié)論整理變形并應(yīng)用到不等式的證明中.

相關(guān)試卷

2024-2025學年上海市楊浦區(qū)高三上冊期中考試數(shù)學檢測試題（附解析）：

這是一份2024-2025學年上海市楊浦區(qū)高三上冊期中考試數(shù)學檢測試題（附解析），共20頁。試卷主要包含了填空題，選擇題．，解答題．等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學年上海市松江區(qū)高三上冊11月期中考試數(shù)學檢測試卷：

這是一份2024-2025學年上海市松江區(qū)高三上冊11月期中考試數(shù)學檢測試卷，共4頁。試卷主要包含了選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2024-2025學年上海市松江區(qū)高三上冊11月期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析）：

這是一份2024-2025學年上海市松江區(qū)高三上冊11月期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析），共26頁。試卷主要包含了選擇題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期11月期中數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期11月期中數(shù)學檢測試題（附解析）
2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析）

2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（含解析）
2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）

2024-2025學年上海市松江區(qū)高一上學期期中考試數(shù)學檢測試卷（附解析）
2024-2025學年上海市松江區(qū)高三上學期期中數(shù)學質(zhì)量調(diào)研測試試卷（含解析）

2024-2025學年上海市松江區(qū)高三上學期期中數(shù)學質(zhì)量調(diào)研測試試卷（含解析）
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
期中專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部