1. 在空間中，如果兩條直線沒有交點，那么這兩條直線的位置關系是___________.
【正確答案】平行或異面
【分析】根據(jù)空間中兩直線的位置關系即可判斷.
【詳解】空間中的直線沒有公共點，則兩直線要么平行，要么是異面直線.
故平行或異面
2. 半徑為2的球的表面積為________.
【正確答案】
【分析】代入球的表面積公式:即可求得.
【詳解】，
由球的表面積公式可得,
,
故答案為:
本題考查球的表面積公式;屬于基礎題.
3. 已知長方體的棱，，則異面直線與所成角的余弦值為______．
【正確答案】##
【分析】由定義說明是異面直線與所成角或其補角，然后計算．
【詳解】因為，所以異面直線與所成角或其補角，
在直角中，，，
故．

4. 在四面體中，若底面的一個法向量為，且，則頂點到底面的距離為_____________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)點面距公式代入計算即可得.
【詳解】由點面距公式得.
故答案為.
5. 已知一圓錐側面展開圖是一半徑為2的半圓，則該圓錐的側面積為___________.
【正確答案】
【分析】根據(jù)圓錐側面展開圖與圓錐側面的關系求出圓錐底面圓半徑即可計算得解.
【詳解】設圓錐底面圓半徑為r，則該圓錐底面圓周長為，
因圓錐側面展開圖是一半徑為2的半圓，則半圓弧長為，
依題意，，解得，
顯然圓錐母線長，則圓錐側面積，
所以圓錐的側面積為.
故
6. 如圖，一個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是直角梯形，且，，，則該平面圖形的面積為_________.

【正確答案】
【分析】首先求出，再畫出平面圖形，從而求出其面積.
【詳解】因為，，所以，
由直觀圖可得如下平面圖形，則，，

所以.
故
7. 三棱錐中，三條側棱，則頂點在平面內的射影是的______．（填“內心”、“外心”、“重心”、“垂心”）
【正確答案】外心
【分析】由已知可得頂點在底面上的射影到底面三角形三個頂點的距離相等，即為的外心.
【詳解】如圖，設頂點在底面內的射影為，則平面，
連接，，，
，，在平面內，
，，，
，，都是直角三角形，
，
，和三個三角形全等，
從而有，
所以為的外心.
故外心.
8. 在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是邊AB，BC，CD，DA的中點，若四邊形對角線，對角線AC與BD所成的角為，則FH=______．
【正確答案】或
【分析】由題意可知四邊形為菱形，且知菱形相鄰的兩個角分別為，再由所給邊長即可求得的長.
【詳解】如圖，

由分別是的中點，得，
，則四邊形為菱形，又與所成的角為，
于是直線與所成角為，即菱形的邊長為1，相鄰兩個內角分別為，
即或，當時，,
當時，，
所以或.
故或
9. 如圖，在圓柱O1 O2 內有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切．記圓柱O1 O2 的體積為V1 ,球O的體積為V2 ，則 的值是_____
【正確答案】
【詳解】設球半徑為，則V1V2=πr2×2r43πr3=32．故答案為．
點睛:空間幾何體體積問題的常見類型及解題策略：①若給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺體，則可直接利用公式進行求解；②若所給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉換法、分割法、補形法等方法進行求解．
10. 已知二面角為30°，P是半平面內一點，點P到平面的距離是1，則點P在平面內的投影到的距離是_________．
【正確答案】
【分析】設點P在平面內的投影為點，作于點，連接，證明即為二面角的平面角，再解即可.
【詳解】如圖，設點P在平面內的投影為點，則，，
作于點，連接，
因為，，所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以即為二面角的平面角，
所以，
在中，，
所以，
即點P在平面內的投影到的距離是.
故答案為.
11. 如圖是底面半徑為3的圓錐，將其放倒在一平面上，使圓錐在此平面內繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，則圓錐的母線長為_____
【正確答案】12
【分析】設圓錐的母線長為l,求出以S為圓心，SA為半徑的圓的面積以及圓錐的側面積，根據(jù)題意，列出方程即可求得答案.
【詳解】設圓錐的母線長為l,則以S為圓心，SA為半徑的圓的面積為，
又圓錐的側面積為，
因為當這個圓錐在平面內轉回原位置時，圓錐本身恰好滾動了4周，
所以，解得，
故12
12. 如圖，正方體的棱長為4，點P在正方形的邊界及其內部運動.平面區(qū)域W由所有滿足的點P組成，則四面體的體積的取值范圍_________.
【正確答案】
【分析】連接，由線面垂直的性質得到，再由勾股定理求出，即可得到以為圓心2為半徑的圓面上，再根據(jù)得到當在邊上時四面體的體積最大，當在邊的中點時四面體的體積最小，再根據(jù)面體的體積公式計算可得取值范圍.
【詳解】連接，如圖所示，
因為平面，平面，所以，
∵，由，，則；
所以在以為圓心2為半徑的圓面上，由題意可知，，
所以當在邊上時，四面體的體積的最大值是.
所以當在邊的中點時，的面積取得最小值，此時，
所以四面體的體積的最小值是，所以，
故答案為.
思路點睛：
求解三棱錐體積的最值問題，要找準突破口，也即是按三棱錐的體積公式，
通常會有以下兩種：
①如果底面積固定，則通過找高的最值來進行求解；
②如果高已知確定，則求底面積的最值來進行求解（如本題）.
二、選擇題（共4小題，第13、14題每題4分，15、16題每題5分）
13. 已知直線和平面，則“垂直于內的兩條直線”是“”的（ ）．
A. 充分非必要條件B. 必要非充分條件C. 充要條件D. 非充分非必要條件
【正確答案】B
【分析】利用直線與平面垂直的判定定理，即可得出結論.
【詳解】根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知：
如果一條直線垂直于平面內的兩條相交直線，那么這條直線垂直于這個平面.
而“垂直于內的兩條直線”，沒有滿足相交，
所以不一定能推出直線與平面垂直，
但是如果一條直線與平面垂直，一定能推出這條直線垂直于平面內的所有直線，
即可得：“垂直于內的兩條直線”是“”的必要不充分條件.
故選：B.
14. 把一個圓錐截成圓臺，已知圓臺的上、下底面半徑的比為1:4，母線（原圓錐母線在圓臺中的部分）長為12，則原圓錐的母線長為（ ）
A. 16B. 18C. 20D. 22
【正確答案】A
【分析】根據(jù)圓臺的幾何特征利用三角形相似即可求得結果.
【詳解】由題意可得，幾何體如下圖所示：
取軸截面可知，圓臺的上、下底面半徑的比為，且，
設圓錐的母線長為，根據(jù)相似比可得，解得，
即原圓錐的母線長為.
故選：A.
15. 為空間中兩條直線，為空間中兩個不同平面，下列命題中正確的個數(shù)為（ ）
①二面角的范圍是；
②經(jīng)過3個點有且只有一個平面；
③若為兩條異面直線，，則．
④若兩條異面直線，且，則．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【正確答案】B
【分析】利用二面角的取值范圍可判斷①，當三點共線時可判斷②，利用線面平行的判定方法可判斷③，利用線面平行的性質以及面面平行的判定定理可判斷④
【詳解】對于①，二面角的范圍是，①錯；
對于②，若三點共線，則經(jīng)過這個點有無數(shù)個平面，②錯
對于③，若為兩條異面直線，，則與可能平行也可能相交，故③錯誤；
對于④，因，過直線m作平面，使得，
由線面平行的性質定理可得，則，
因為，則，
因為，過直線n作平面，使得，
由線面平行的性質定理可得，則，
因，則，
若，則，這與為兩條異面直線矛盾，故相交，
又因為，所以，故④對，
故選：B
16. 《九章算術》中將底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉臑”.如圖，在塹堵中，，且.下列說法錯誤的是（ ）
A. 四棱錐為“陽馬”
B. 四面體為“鱉臑”
C. 四棱錐體積的最大值為
D. 過A點作于點E，過E點作于點F，則面AEF
【正確答案】C
【分析】根據(jù)“陽馬”和“鱉膈”的定義，可判斷A，B的正誤；當且僅當時，四棱錐體積有最大值，求值可判斷C的正誤；根據(jù)題意可證平面，進而判斷D的正誤.
【詳解】底面為直角三角形且側棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”，
∴在塹堵中，，側棱平面，
A選項，∴，又，且，則平面，
∴ 四棱錐為“陽馬”，故A正確；
B選項，由，即，又且，
∴平面，∴，則為直角三角形，
又由平面，得為直角三角形，由“塹堵”的定義可得為直角三角形，為直角三角形，∴ 四面體為“鱉膈”，故B正確；
C選項，在底面有，即，當且僅當時取等號，
，最大值為，故C錯誤；
D選項，因為，，，所以平面，故D正確；
故選：C
三、解答題（本題滿分78分，共5小題）
17. 如圖，棱長為2的正方體中，分別是的中點．
（1）證明：平面．
（2）求異面直線與所成角的大?。ńY果用反三角表示）
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
【分析】（1）構造線線平行，根據(jù)線面平行的判定定理證明線面平行.
（2）根據(jù)線線平行，找出異面直線所成的角，在三角形中，利用余弦定理求角的余弦.
【小問1詳解】
如圖：連接，.
因為為正方體，所以.
又，、分別是、的中點，所以，
所以，平面，平面，所以平面.
【小問2詳解】
如圖：連接、
因為，所以即為異面直線與所成的角，設為.
在中，，，.
所以.
所以異面直線與所成的角為.
18. 如圖，已知PA＝AC＝PC＝AB＝a，，，M為AC的中點．
（1）求證：平面ABC；
（2）求直線PB與平面ABC所成角的大?。?br>【正確答案】（1）見解析 （2）
【分析】（1）推導出，，由此能證明平面ABC；
（2）連結BM，則是直線PB和平面ABC所成的角，由此能求出直線PB和平面ABC所成的角．
【小問1詳解】
證明：因為為等邊三角形，且為的中點，
所以．
又，，且，
所以平面．
又在平面內，所以．
因為，且，，
所以平面．
【小問2詳解】
解：連結，由（1）知平面，
所以是直線和平面所成的角．
因為為等邊三角形，所以.
又為等腰直角三角形，且，
所以．
因為，所以，
則
所以直線和平面所成的角的大小等于．
19. 現(xiàn)需要設計一個倉庫，由上、下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐，下部的形狀是正四棱柱 (如圖所示)，并要求正四棱柱的高是正四棱錐的高的4倍.

（1）若，，則倉庫的容積是多少？
（2）若正四棱錐的側棱長為，當為多少時，下部的正四棱柱側面積最大，最大面積是多少？
【正確答案】（1）
（2），
【分析】（1）明確柱體與錐體積公式的區(qū)別，分別代入對應公式求解；
（2）先根據(jù)面積關系建立函數(shù)解析式，，然后利用二次函數(shù)性質求其最值.
【小問1詳解】
由知.
因為，
所以正四棱錐的體積
正四棱柱的體積
所以倉庫的容積.
【小問2詳解】
設，下部分的側面積為，
則，，
，
設，
當，即時，，.
即當為時，下部分正四棱柱側面積最大，最大面積是.
20. 如圖，是圓柱的底面直徑，，是圓柱的母線且，點是圓柱底面圓周上的點．
（1）求圓柱的表面積；
（2）證明：平面平面；
（3）若，是的中點，點在線段上，求的最小值．
【正確答案】（1）
（2）證明見解析 （3）
【分析】（1）根據(jù)圓柱求表面積公式即可求解.
（2）先證平面，再利用面面垂直的判定定理判定即可.
（3）先分析得將繞著旋轉到，使其與共面，且在的反向延長線上，當，，三點共線時，的最小值為，通過解三角形求即可.
【小問1詳解】
根據(jù)題意，圓柱的底面半徑，圓柱的高，
圓柱的上下底面積和為，圓柱的側面積為，
所以圓柱的表面積為
【小問2詳解】
由題意可知，底面，底面，則，
由直徑所對的圓周角為直角，可得，
又，平面，平面，
所以平面，又因為平面，
所以平面平面
【小問3詳解】
將繞著旋轉到，使其與共面，
且在的反向延長線上，當，，三點共線時，
的最小值為，
因為，，，，
，所以，，，所以在三角形中，
由余弦定理可得，
所以的最小值為.
21. 已知點是邊長為2的菱形所在平面外一點，且點在底面上的射影是與的交點，已知，是等邊三角形.
（1）求證：；
（2）求點到平面的距離；
（3）若點是線段上的動點，問：點在何處時，直線與平面所成的角最大？求出最大角的正弦值，并說明點此時所在的位置.
【正確答案】（1）證明見解析
（2）
（3）在線段上靠近點的處，
【分析】（1）由題可得平面，故.根據(jù)菱形的性質可得，再根據(jù)線面垂直的判定定理與性質定理即可證明；
（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)結合即可求解；
（3）由線面平行的判定定理可得平面，可得到平面的距離即為到平面的距離，過作垂線平面交于點，要使最大，則需使最小，此時，從而可求解.
【小問1詳解】
因為點在底面上的射影是與的交點，所以平面.
因為平面，所以.
因為四邊形為菱形，所以.
因為平面，
所以平面.
因為平面，所以.
【小問2詳解】
由題意可得、與都是邊長為2的等邊三角形，
所以，.
所以.
因為，所以.
設點到平面的距離為，
由得，
即，解得.
故點到平面的距離為.
【小問3詳解】
設直線與平面所成的角為，平面，
∴到平面的距離即為到平面的距離.
過作垂線平面交于點，則，
此時，要使最大，則需使最小，此時.
由題意可知：，因為平面，且，
所以，，
在中，由余弦定理可得：，
所以，
由面積相等，
即，經(jīng)計算得，
，則，
此時在線段上靠近點的處.

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