1. 不等式的解集是________．（結(jié)果用區(qū)間表示）
【正確答案】
【分析】利用分解因式的方法求解不等式.
【詳解】不等式，解得，
所以不等式的解集為.
故
2. 已知全集，集合，；則________．（結(jié)果用區(qū)間表示）
【正確答案】
【分析】根據(jù)集合的運(yùn)算可求得結(jié)果.
詳解】由題可得，
則，
故答案為.
3. 已知函數(shù)，則______，
【正確答案】
【分析】推導(dǎo)出，從而，由此能求出結(jié)果．
【詳解】解：∵函數(shù)，
∴，
．
故答案為．
本題主要考查了函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查方程思想，是基礎(chǔ)題．
4. 函數(shù)的最小正周期為_______.
【正確答案】
【分析】將三角函數(shù)進(jìn)行降次，然后通過輔助角公式化為一個名稱，最后利用周期公式得到結(jié)果.
【詳解】，.
本題主要考查二倍角公式，及輔助角公式，周期的運(yùn)算，難度不大.
5. 已知向量，，若，則__________.
【正確答案】或
【分析】根據(jù)平面向量共線坐標(biāo)表示公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以有，或，
故或
6. 在二項(xiàng)式的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)依次成________數(shù)列．（填寫“等差”或“等比”）
【正確答案】等差
【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式寫出前三項(xiàng)的系數(shù)，再由等差數(shù)列的定義即可判斷.
【詳解】由二項(xiàng)展開式知，前三項(xiàng)的系數(shù)分別為，
所以前三項(xiàng)的系數(shù)依次成等差數(shù)列.
故等差.
7. 已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在，的部分圖像如圖所示，設(shè)是由曲線與直線，及軸圍成的平面圖形的面積，則在區(qū)間上，的最大值在________處取到.
【正確答案】
【分析】根據(jù)圖象，利用導(dǎo)數(shù)的定義可求得結(jié)果.
【詳解】由導(dǎo)數(shù)的定義得，，
所以的最大值就是的最大值，
從圖象上看，在處取得最大值，
故答案為.
8. 班級4名學(xué)生報名參加兩項(xiàng)區(qū)學(xué)科競賽，每人至少報一項(xiàng)，每項(xiàng)比賽參加的人數(shù)不限，則不同的報名結(jié)果有________種．（結(jié)果用具體數(shù)字表示）
【正確答案】
【分析】由分類計數(shù)原理、分步計數(shù)原理即可求解.
【詳解】每名學(xué)生可報一項(xiàng)或兩項(xiàng)，所以有,
所以4名學(xué)生共有種.
故
9. 過拋物線的焦點(diǎn)，傾斜角為的直線交拋物線于（），則的值__________．
【正確答案】
【分析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，直線與拋物線聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，利用焦半徑公式求出，的長，從而可得結(jié)果
【詳解】由得，直線，
直線與拋物線聯(lián)立可得，，
，
由拋物線定義轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離可得，
，，
，故答案為.
與焦點(diǎn)、準(zhǔn)線有關(guān)的問題一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)，解決這類問題一定要注意點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離的轉(zhuǎn)化：（1）將拋線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線距離轉(zhuǎn)化為該點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離；(2)將拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離，使問題得到解決.
10. 為了提升全民身體素質(zhì)，學(xué)校十分重視學(xué)生體育鍛煉，某校籃球運(yùn)動員進(jìn)行投籃練習(xí).如果他前一球投進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為；如果他前一球投不進(jìn)則后一球投進(jìn)的概率為.若他第2球投進(jìn)的概率為，則他第1球投進(jìn)的概率為__________.
【正確答案】##
【分析】記事件為“第1球投進(jìn)”，事件為“第2球投進(jìn)”，設(shè)，由全概率公式求解即可得出答案.
【詳解】記事件為“第1球投進(jìn)”，事件為“第2球投進(jìn)”，
，
由全概率公式可得.
解得.
故答案為.
11. 某沿海四個城市的位置如圖所示，其中，，mile， mile， mile，位于的北偏東方向.現(xiàn)在有一艘輪船從出發(fā)向直線航行，一段時間到達(dá)后，輪船收到指令改向城市直線航行，收到指令時城市對于輪船的方位角是南偏西度，則_________.
【正確答案】
【分析】求出，計算，利用正弦定理再計算，故而．
【詳解】解：連結(jié)，
在ΔABC中，由余弦定理得：，
，
由正弦定理得，即，
解得，，
，
在中，由正弦定理得，即，
解得，，
．
故．
12. 已知空間單位向量，，，，，則的最大值是________．
【正確答案】
【分析】根據(jù)題意在球中討論，結(jié)合空間向量數(shù)量積的應(yīng)用可求出最值.
【詳解】因?yàn)榭臻g向量，，，是單位向量，
所以把向量，，，平移到以為起點(diǎn)，終點(diǎn)在半徑為的球面上，如圖：
由，得，所以，同理，
令，則，，
根據(jù)，兩邊同時平方解得，，
所以繞向量所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的側(cè)面，繞向量所在直線旋轉(zhuǎn)一周得圓錐的側(cè)面，
因?yàn)椋?br>所以，則，
觀察圖形得當(dāng)旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)時，向量與的夾角最小，
令此最小角為，則，
則，
，
所以的最大值是，
故答案為.
本題考查了空間向量數(shù)量積的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵點(diǎn)是將這四個單位向量轉(zhuǎn)化到球中去，結(jié)合圖形更易判斷，求出向量間的夾角，最后結(jié)合兩角差的余弦值可求得最終結(jié)果.
二、選擇題（本大題共4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）．
13. 函數(shù)是（ ）
A. 偶函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)B. 偶函數(shù)，且有一個極值點(diǎn)
C. 奇函數(shù)，且沒有極值點(diǎn)D. 奇函數(shù)，且有一個極值點(diǎn)
【正確答案】B
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象結(jié)合極值點(diǎn)的定義即可得出結(jié)論.
【詳解】畫出的圖象，函數(shù)是偶函數(shù)，
且函數(shù)在上單調(diào)遞增，在0,+∞上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)有一個極大值點(diǎn).
故選：B.
14. 已知，，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【正確答案】B
【分析】通過舉例的方法，以及基本不等式，結(jié)合充分，必要條件的定義，即可判斷選項(xiàng).
【詳解】若，滿足，但，
若，，則，即，
所以“”是“”的必要不充分條件.
故選：B
15. 設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，若，，則符合條件的數(shù)列的個數(shù)是（ ）
A. B. C. D.
【正確答案】B
【分析】由等比數(shù)列的下標(biāo)性質(zhì)和前項(xiàng)和公式求解即可；
【詳解】當(dāng)時，由題意得解得；
當(dāng)時，，不滿足，不符合題意；
所以符合條件的數(shù)列的個數(shù)是，
故選：B.
16. 已知，則下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①存在實(shí)數(shù)解；
②共有個不同的復(fù)數(shù)解；
③復(fù)數(shù)解的模長都等于；
④存在模長大于的復(fù)數(shù)解．
A. B. C. D.
【正確答案】C
【分析】設(shè)，利用換元法可求得，從而可判斷的個復(fù)數(shù)解的模都是.
詳解】設(shè)，則，可得，
則，
于是，
這兩個的取值都在區(qū)間內(nèi)．
故有解，因此有個不同的復(fù)數(shù)解．
當(dāng)時，由于，
因此的復(fù)數(shù)解的模長都等于．
因此，②③正確，
故選：C.
三、解答題（滿分78分，共有5題）．
17. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求的值并直接寫出的單調(diào)性（無需說明理由）；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【正確答案】（1）單調(diào)遞減
（2）
【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的含義可求得的值，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義法可求得單調(diào)性；
（2）根據(jù)單調(diào)性以及奇函數(shù)性質(zhì)可得，從而得到不等式，求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，定義域?yàn)镽，則，
所以，即，
此時，滿足，即為奇函數(shù)，
，定義域?yàn)镽，對，且，
則，
因?yàn)?，所以，，?br>所以，即函數(shù)在R上單調(diào)遞減；
【小問2詳解】
由，則，
又因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，
又因?yàn)楹瘮?shù)在R上單調(diào)遞減，
所以，因?yàn)榇嬖趯?shí)數(shù)，使得，
所以，解得，
所以的取值范圍為.
18. 如圖所示，已知三棱臺中，，，，，．
（1）求二面角的余弦值；
（2）設(shè)E、F分別是棱、的中點(diǎn)，若平面，求棱臺的體積．
【正確答案】（1）
（2）
【分析】（1）由二面角定義可得二面角的平面角為，結(jié)合垂直關(guān)系及余弦定理求其余弦值即可；
（2）將棱臺補(bǔ)全為棱錐，利用垂直關(guān)系證明面，進(jìn)而得到相關(guān)線段垂直并求出線段的長度，根據(jù)求體積.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，所以二面角的平面角為?br>因?yàn)椋?，所以，?br>因?yàn)椋裕?br>因?yàn)椋?br>所以，故二面角余弦值為．
【小問2詳解】
因?yàn)槭侨馀_，所以直線、、共點(diǎn)，設(shè)其交點(diǎn)為O，
因?yàn)镋、F分別是棱、的中點(diǎn)，所以直線經(jīng)過點(diǎn)O．
因?yàn)?，，且面，所以面?br>又面，所以．
因?yàn)?，，所以?br>因?yàn)槠矫妫矫?，所以?br>所以，，故F為的中點(diǎn)．
三棱臺的體積．
19. 某市為提高市民對文明城市創(chuàng)建的認(rèn)識，舉辦了“創(chuàng)建文明城市”知識競賽，從所有答卷中隨機(jī)抽取100份作為樣本，將樣本的成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù)）分成六段：，得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求頻率分布直方圖中a的值；
（2）求樣本成績的；
（3）已知落在50,60的平均成績是54，方差是7，落在60,70的平均成績?yōu)?6，方差是4，求兩組成績的總平均數(shù)和總方差．
【正確答案】（1）；
（2）84； （3）總平均數(shù)是62，總方差是37．
【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1列式即可得解.
（2）根據(jù)頻率分布直方圖先明確樣本成績的所在的范圍，再結(jié)合已知數(shù)據(jù)即可求解.
（3）先分別求出成績落在和內(nèi)的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)定義和分層隨機(jī)抽樣的方差公式即可求解.
【小問1詳解】
由頻率之和為1得，
解得．
【小問2詳解】
因?yàn)槌煽兟湓趦?nèi)的頻率為
落在內(nèi)的頻率為
所以樣本成績落在范圍內(nèi)，
設(shè)為m，則，解得，
故為84.
【小問3詳解】
由圖可知，成績在內(nèi)的市民人數(shù)為，
成績在內(nèi)的市民人數(shù)為，
故．
，
所以兩組市民成績的總平均數(shù)是62，總方差是37．
20. 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，該點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓作兩條切線分別與橢圓交于點(diǎn)，，直線、的斜率分別記為，.
（1）若圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，求圓的方程；
（2）若，求證為定值并求出該定值；
（3）在（2）的情況下，求的最大值.
【正確答案】（1）
（2）證明見解析，
（3）2.5
【分析】（1）求出橢圓的右焦點(diǎn)，將橫坐標(biāo)代入橢圓方程可得相應(yīng)的縱坐標(biāo)，繼而可得圓的圓心，圓的方程；
（2）因?yàn)橹本€，與圓相切，可得是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系推出，再由點(diǎn)在橢圓上，得出.
（3）分直線不落在坐標(biāo)軸上和直線落在坐標(biāo)軸上兩種情況，推出，即可得出的最大值.
【小問1詳解】
橢圓的右焦點(diǎn)是，代入，可得，
圓的方程.
【小問2詳解】
因?yàn)橹本€，與圓相切，所以直線，
與圓聯(lián)立，
可得，
由，
即，
同理，
由，
即，
可得是方程的兩個不相等的實(shí)數(shù)根，
，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以，
所以.
【小問3詳解】
當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時，設(shè)，，
因?yàn)?，所以，即?br>因?yàn)樵跈E圓上，所以，
整理得，所以，
所以，
當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時，顯然有，綜上：
所以，所以的最大值為2.5.
方法點(diǎn)睛：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系中的定點(diǎn)、定值、最值問題，一般可通過聯(lián)立方程組并消元得到關(guān)于或的一元二次方程，再把要求解的目標(biāo)代數(shù)式化為關(guān)于兩個的交點(diǎn)橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)的關(guān)系式，該關(guān)系中含有，或，最后利用韋達(dá)定理把關(guān)系式轉(zhuǎn)化為若干變量的方程（或函數(shù)），從而可求定點(diǎn)、定值、最值問題.
21. 已知，函數(shù).
（1）當(dāng)時，證明：；
（2）若恒成立，求a的取值范圍；
（3）設(shè)集合，對于正整數(shù)m，集合，記中元素的個數(shù)為，求數(shù)列的通項(xiàng)公式.
【正確答案】（1）證明見詳解
（2）
（3）
【分析】（1）令，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值即可證明；
（2）對的值分類討論，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，求最小值，判斷能否滿足；
（3）利用（1）中結(jié)論，，通過放縮并用裂項(xiàng)相消法求，有，可得.
【小問1詳解】
令，
若，則，
又因?yàn)?，?br>設(shè)，，
則，可知?x在上單調(diào)遞增，
可得，
即，所以.
【小問2詳解】
因?yàn)椋?br>由（1）可知：，，
原題意等價于對任意恒成立，
則，
當(dāng)時，
注意到，則，
可得，
由（1）得，則，
可知Fx在上單調(diào)遞增，則，滿足題意；
當(dāng)時，令，，
則，
因?yàn)?，可知存在，使得?br>當(dāng)時，，，
可知φx在上單調(diào)遞減，則，
即在上恒成立，
可知Fx在上單調(diào)遞減，則，不合題意；
綜上所述：a取值范圍為．
所以a的取值范圍為.
【小問3詳解】
由（1）可知時，，
則，
時，；
時，，
時，，
，則，即，
，則，
得，
又，
時，，時，，
所以時，都有，
，則時，集合A在每個區(qū)間都有且只有一個元素，
對于正整數(shù)m，集合，記中元素的個數(shù)為，
由，所以.
方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：
一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；
二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理，利用導(dǎo)數(shù)解決含參函數(shù)的單調(diào)性問題時，一般將其轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，解題過程中要注意分類討論和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，不等式問題，構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用它的單調(diào)性進(jìn)行解題，是一種常用技巧.許多問題，如果運(yùn)用這種思想去解決，往往能獲得簡潔明快的思路，有著非凡的功效.

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