關(guān)于中點(diǎn)的聯(lián)想（10年8考，常在幾何題目中涉及考察）
類型1：多個(gè)中點(diǎn)——（聯(lián)想）三角形的中位線
類型2：直角三角形+斜邊中點(diǎn)——（聯(lián)想）斜邊中線
類型3：等腰三角形+底邊中點(diǎn)——（聯(lián)想）三線合一
類型4：一邊中點(diǎn)——（聯(lián)想）倍長(zhǎng)中線構(gòu)造“8”字全等
命題規(guī)律與備考策略
【安徽最新模擬練】
一．選擇題（共3小題）
1．（2022?蚌埠二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是線段BC，AB，BD，AD的中點(diǎn)，設(shè)四邊形EFDG的面積為S，則△ABC的面積為（ ）
A．2SB．3SC．4SD．6S
【分析】連接ED，由三角形中線的性質(zhì)可得S△ABC＝2S△ABD，S△ABD＝2S△AED＝2S△BED，S△BED＝2S△EFD，S△AED＝2S△EDG，進(jìn)而可得S△ABC＝4S四邊形EFDG即可求解．
【解答】解：連接ED，
∵點(diǎn)D，E，F(xiàn)，G分別是線段BC，AB，BD，AD的中點(diǎn)，
∴S△ABC＝2S△ABD，S△ABD＝2S△AED＝2S△BED，S△BED＝2S△EFD，S△AED＝2S△EDG，
∵S四邊形EFDG＝S△EFD+S△EDG，
∴S△ABC＝4S四邊形EFDG＝4S，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的面積，三角形的中線，靈活運(yùn)用三角形中線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
2．（2023?包頭一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＜BC，連接AC，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．下列結(jié)論：
①四邊形AECF是菱形；
②∠AFB＝2∠ACB；
③AC?EF＝CF?CD；
④若AF平分∠BAC，則CF＝2BF．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】根據(jù)題意分別證明各個(gè)結(jié)論來(lái)判斷即可．
【解答】解：根據(jù)題意知，EF垂直平分AC，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴OE＝OF，
∴AE＝AF＝CF＝CE，
即四邊形AECF是菱形，
故①結(jié)論正確；
∵∠AFB＝∠FAO+∠ACB，AF＝FC，
∴∠FAO＝∠ACB，
∴∠AFB＝2∠ACB，
故②結(jié)論正確；
∵S四邊形AECF＝CF?CD＝AC?OE×2＝AC?EF，
故③結(jié)論不正確；
若AF平分∠BAC，則∠BAF＝∠FAC＝∠CAD＝90°＝30°，
∴AF＝2BF，
∵CF＝AF，
∴CF＝2BF，
故④結(jié)論正確；
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查長(zhǎng)方形的綜合題，熟練掌握長(zhǎng)方形的性質(zhì)，基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
3．（2023?開(kāi)原市一模）如圖，在四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，CA的中點(diǎn)，若四邊形EFGH是矩形，則四邊形ABCD需滿足的條件是（ ）
A．AB⊥DCB．AC＝BDC．AC⊥BDD．AB＝DC
【分析】根據(jù)“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”來(lái)推斷．由三角形中位線定理和平行四邊形的判定定理易推知四邊形EFGH是平行四邊形，若FE⊥EH或者EG＝FH就可以判定四邊形EFGH是矩形．
【解答】解：延長(zhǎng)BA，CD交于點(diǎn)M，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是AD，BD，BC，CA的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，EH∥CD，
∴∠AEF+∠BAD＝180°，∠HED+∠ADC＝180°，
∴∠AEF+∠BAD+∠HED+∠ADC＝360°，
又∵四邊形EFGH是矩形，
∴∠FEH＝90°，
∴∠AEF+∠DEH＝90°．
∴∠BAD+∠ADC＝270°．
∴∠MAD+∠MDA＝90°，即∠AMD＝90°，
∴AB⊥DC，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形的中位線定理和平行四邊形的判定和矩形的判定等知識(shí)，熟練掌握中點(diǎn)四邊形的判定是解題關(guān)鍵．
二．填空題（共1小題）
4．（2023?長(zhǎng)春一模）如圖，在Rt△ABC中，點(diǎn)D是斜邊AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，連接CD，過(guò)點(diǎn)E作CD的平行線，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．若AB＝10，則EF的長(zhǎng)為 5 ．
【分析】根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)求解即可．
【解答】∵DE⊥AC，∠ACB＝90°，
∴∠AED＝90°＝∠ACB，
∴DE∥CF，
又∵DC∥EF，
∴四邊形EDCF為平行四邊形，
∴EF＝DC，
又∵DC為直角三角形斜邊中線，
∴，
∴EF＝DC＝5．
故答案為：5．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行四邊形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊中線為斜邊一半，掌握以上知識(shí)是解題關(guān)鍵．
三．解答題（共14小題）
5．（2020?道里區(qū)校級(jí)模擬）已知：點(diǎn)D是△ABC的邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，且BE＝CF．
（1）如圖1，求證：AE＝AF；
（2）如圖2，若∠BAC＝90°，連接AD交EF于M，連接BM、CM，在不添加任何輔助線的情況下，直接寫(xiě)出圖中所有與△AEF面積相等的等腰三角形．
【分析】（1）由△DBE≌△DCF得∠B＝∠C，根據(jù)等角對(duì)等邊得AB＝AC，由此即可證明；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得到ABC是等腰直角三角形，求得∠ABC＝∠ACB＝45°，推出△BED與△CFD是等腰直角三角形，證得四邊形AEDF是正方形，于是得到結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵DF⊥AC，DE⊥AB，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
在Rt△DBF和Rt△DCF中，，
∴Rt△DBE≌Rt△DCF，（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC，∵BE＝CF，
∴AE＝AF；
（2）由（1）證得，AB＝AC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴△BED與△CFD是等腰直角三角形，
∵∠AED＝∠AFC＝∠EAF＝90°，AE＝AF，
∴四邊形AEDF是正方形，
∴AE＝DE＝DF＝AF，
∴圖中所有與△AEF面積相等的等腰三角形是△AED，△AFD，△EDF，△BED，△CFD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．
6．（2021?安徽模擬）如圖，E、F、G、H為四邊形ABCD各邊的中點(diǎn)，對(duì)角線AC＝BD．求證：四邊形EFGH為菱形．
【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF＝AC，EF∥AC，GH＝AC，GH∥AC，F(xiàn)G＝BD，根據(jù)菱形的判定定理證明結(jié)論．
【解答】證明：∵E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF＝AC，EF∥AC，
同理，GH＝AC，GH∥AC，F(xiàn)G＝BD，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四邊形EFGH為平行四邊形，
∵AC＝BD，
∴EF＝FG，
∴四邊形EFGH為菱形．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中點(diǎn)四邊形的知識(shí)，掌握三角形中位線定理、菱形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
7．（2023?東城區(qū)一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
【分析】方法一，先證明△AED≌△CEF（ASA），推出CF＝AD＝BD，CF∥AB，得到四邊形BDFC為平行四邊形，得到DF∥BC，DF＝BC，即可得證．
方法二，證明△AED≌△CEF（SAS），推出CF＝AD＝BD，CF∥AB，得到四邊形BDFC為平行四邊形，得到DF∥BC，DF＝BC，即可得證．
【解答】方法一：
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
點(diǎn)E是△ABC的邊AC的中點(diǎn)，
∴AE＝EC，∠AED＝∠CEF，∠DEA＝∠FEC，
∴△AED≌△CEF（ASA），
∴CF＝AD，EF＝DE，
∵點(diǎn)D是△ABC的邊AB的中點(diǎn)，
∴AD＝DB＝CF，
∴四邊形BDFC為平行四邊形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵，
∴DE∥BC且 ．
方法二
證明：如圖，延長(zhǎng)DE到F，使EF＝DE，連接FC、DC、AF，
∵點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴AD＝BD，AE＝EC，
又∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴CF＝AD＝BD，∠EFC＝∠ADE，
∴CF∥AD，
∴四邊形BDFC為平行四邊形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵，
∴DE∥BC且 ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明四邊形BDFC為平行四邊形．
8．（2023?北京一模）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
【分析】證明△AED≌△CEF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CF＝AD，∠DAE＝∠FCE，再證明四邊形DBCF為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)證明即可．
【解答】解：選擇方法一，
證明如下：在△AED和△CEF中，
，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴CF＝AD，∠DAE＝∠FCE，
∴CF∥AB，
∵AD＝DB，
∴CF＝DB，
∴四邊形DBCF為平行四邊形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∵DE＝DF，
∴DE＝BC，DE∥BC；
方法二，證明△AEF≌△CEG，
得到四邊形ABGF為平行四邊形，仿照方法一證明．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握平行四邊形的判定定理是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?東城區(qū)校級(jí)模擬）證明下面是三角形中位線定理添加輔助線的方法，請(qǐng)你完成證明．
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半．
已知：如圖，點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)．
求證：DE∥BC且．
證明：如圖，延長(zhǎng)DE到F，使EF＝DE，連接FC、DC、AF．
【分析】證明△AED≌△CEF，推出CF＝AD＝BD，CF∥AB，得到四邊形BDFC為平行四邊形，得到DF∥BC，DF＝BC，即可得證．
【解答】證明：如圖，延長(zhǎng)DE到F，使EF＝DE，連接FC、DC、AF，
∵點(diǎn)D、E分別是△ABC的邊AB、AC的中點(diǎn)，
∴AD＝BD，AE＝EC，
又∠AED＝∠CEF，
∴△AED≌△CEF（SAS），
∴CF＝AD＝BD，∠EFC＝∠ADE，
∴CF∥AD，
∴四邊形BDFC為平行四邊形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∵，
∴DE∥BC且 ．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是證明四邊形BDFC為平行四邊形．
10．（2023?海淀區(qū)校級(jí)模擬）下面是證明三角形中位線定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．
【分析】選擇方法一：根據(jù)題意，先證明△ADE≌△CFE，然后證明四邊形DBCF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．
【解答】解：選擇方法一，證明如下：
根據(jù)題意，如圖：
AB∥CF，
∴∠DAE＝∠ECF
∵E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝EC．
在△ADE與△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（ASA）．
∴AD＝CF，DE＝EF＝DF，
∵D是AB的中點(diǎn)，
∴BD＝AD，
∴BD＝CF，
∴四邊形DBCF是平行四邊形，
∴DF∥BC，DF＝BC，
∴DE∥BC，DE＝BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?西城區(qū)校級(jí)模擬）下面是證明三角形中位線定理的兩種方法，選擇其中一種，完成證明過(guò)程．
【分析】方法一：由中點(diǎn)可得AD＝BD，AE＝CE，利用SAS可證得△ADE≌△CFE，則有∠ADE＝∠F，AD＝CF，從而有CF∥AB，CF＝BD，可判定四邊形BCFD是平行四邊形，即有DF＝BC，DF∥BC，從而可求證DE＝BC；
方法二：如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線AM∥BC，過(guò)點(diǎn)D作直線MN∥AC交直線AM于M，交BC于N，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AM＝CN，MN＝AC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM＝BN，DM＝DN，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DE＝CN，DE∥CN，于是得到結(jié)論．
【解答】證明：方法一：∵D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，
∴AD＝BD，AE＝CE，
在△ADE與△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴∠ADE＝∠F，AD＝CF，
∴CF∥AB，CF＝BD，
∴四邊形BCFD是平行四邊形，
∴DF＝BC，DF∥BC，
∴DE＝DF＝BC；
方法二：證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線AM∥BC，過(guò)點(diǎn)D作直線MN∥AC交直線AM于M，交BC于N，
∵AM∥BC，MN∥AC，
∴四邊形AMND是平行四邊形，
∴AM＝CN，MN＝AC，
∵AM∥CN，
∴∠M＝BND，
∵點(diǎn) D是AB邊的中點(diǎn)，
∴AD＝BD，
在△AMD與△BND中，
，
∴△AMD≌△BND（AAS），
∴AM＝BN，DM＝DN，
∴DN＝MN，AM＝BC，
∵CE＝AC，
∴DN＝CE，
∴四邊形DNCE是平行四邊形，
∴DE＝CN，DE∥CN，
∴DE＝BC，DE∥BC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角形的中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是作出正確的輔助線．
12．（2020?石家莊模擬）在證明定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，小明給出如下部分證明過(guò)程．
已知：在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)．
求證：
證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，
……
（1）補(bǔ)全求證：
（2）請(qǐng)根據(jù)添加的輔助線，寫(xiě)出完整的證明過(guò)程；
（3）若CE＝3，DF＝8，求邊AB的取值范圍．
【分析】（1）根據(jù)已知條件寫(xiě)出求證即可；
（2）根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到AE＝CE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AD＝CF，∠A＝∠ECF，求得AD＝BD，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到DE∥BC，DF＝BC，于是得到結(jié)論；
（3）根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得到結(jié)論．
【解答】解：（1）DE∥BC，且；
（2）∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，
∴AE＝CE，
又∵EF＝ED，∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△CFE（SAS），
∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，
∴AD∥CF，
∴AB∥CF，
∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，
∴AD＝BD，
∴BD＝CF，
∴四邊形BDFC是平行四邊形，
∴DE∥BC，DF＝BC，
∵DE＝FE，
∴；
（3）∵DF＝8，
∴BC＝8，
∵CE＝3，
∴AC＝6，
∴BC﹣AC＜AB＜BC+AC，
即2＜AB＜14．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形中位線定理的證明、平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．
13．（2020?徐州模擬）（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝5，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
可以用如下方法：將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷中線AD的取值范圍是 1.5＜AD＜6.5 ；
（2）問(wèn)題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝100°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)50°的角，角的兩邊分別交AB、AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【分析】（1）將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，得到△ACD≌△EBD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到BE＝AC，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；
（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H，使BH＝DF，連接CH，證出∠HBC＝∠D，證明△HBC≌△FDC，得出CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，證出∠ECH＝50°＝∠ECF，再證明△HCE≌△FCE，得出EH＝EF，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：如圖①，將△ACD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD，則△ACD≌△EBD，
∴AD＝DE，BE＝AC＝5，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，即3＜AE＜13，
故答案為：1.5＜AE＜6.5；
（2）證明：如圖②，延長(zhǎng)FD至N，使DN＝DF，連接BN、EN，
在△FDC和△NDB中，
，
∴△FDC≌△NDB（SAS）
∴BN＝FC，
∵DF＝DN，DE⊥DF，
∴EF＝EN，
在△EBN中，BE+BN＞EN，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF，
理由如下：如圖③，延長(zhǎng)AB至點(diǎn)H，使BH＝DF，連接CH，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠HBC+∠ABC＝180°，
∴∠HBC＝∠D，
在△HBC和△FDC中，
，
∴△HBC≌△FDC（SAS）
∴CH＝CF，∠HCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝100°，∠ECF＝50°，
∴∠BCE+∠FCD＝50°，
∴∠ECH＝50°＝∠ECF，
在△HCE和△FCE中，
，
∴△HCE≌△FCE（SAS）
∴EH＝EF，
∴BE+DF＝EF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線、掌握全等三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
14．（2021??？悼h模擬）（1）閱讀理解：
如圖①，在△ABC中，若AB＝10，AC＝6，求BC邊上的中線AD的取值范圍．
解決此問(wèn)題可以用如下方法：延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E使DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三邊的關(guān)系即可判斷．
中線AD的取值范圍是 2＜AD＜8 ；
（2）問(wèn)題解決：
如圖②，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF于點(diǎn)D，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF，求證：BE+CF＞EF；
（3）問(wèn)題拓展：
如圖③，在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，CB＝CD，∠BCD＝140°，以C為頂點(diǎn)作一個(gè)70°角，角的兩邊分別交AB，AD于E、F兩點(diǎn)，連接EF，探索線段BE，DF，EF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以證明．
【分析】（1）延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，由SAS證明△ACD≌△EBD，得出BE＝AC＝6，在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系求出AE的取值范圍，即可得出AD的取值范圍；
（2）延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由線段垂直平分線的性質(zhì)得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得出BE+BM＞EM即可得出結(jié)論；
（3）延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN＝DF，連接CN，證出∠NBC＝∠D，由SAS證明△NBC≌△FDC，得出CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，證出∠ECN＝70°＝∠ECF，再由SAS證明△NCE≌△FCE，得出EN＝EF，即可得出結(jié)論．
【解答】（1）解：延長(zhǎng)AD至E，使DE＝AD，連接BE，如圖①所示：
∵AD是BC邊上的中線，
∴BD＝CD，
在△BDE和△CDA中，，
∴△BDE≌△CDA（SAS），
∴BE＝AC＝6，
在△ABE中，由三角形的三邊關(guān)系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，
∴2＜AD＜8；
故答案為：2＜AD＜8；
（2）證明：延長(zhǎng)FD至點(diǎn)M，使DM＝DF，連接BM、EM，如圖②所示：
同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），
∴BM＝CF，
∵DE⊥DF，DM＝DF，
∴EM＝EF，
在△BME中，由三角形的三邊關(guān)系得：BE+BM＞EM，
∴BE+CF＞EF；
（3）解：BE+DF＝EF；理由如下：
延長(zhǎng)AB至點(diǎn)N，使BN＝DF，連接CN，如圖3所示：
∵∠ABC+∠D＝180°，∠NBC+∠ABC＝180°，
∴∠NBC＝∠D，
在△NBC和△FDC中，，
∴△NBC≌△FDC（SAS），
∴CN＝CF，∠NCB＝∠FCD，
∵∠BCD＝140°，∠ECF＝70°，
∴∠BCE+∠FCD＝70°，
∴∠ECN＝70°＝∠ECF，
在△NCE和△FCE中，，
∴△NCE≌△FCE（SAS），
∴EN＝EF，
∵BE+BN＝EN，
∴BE+DF＝EF．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、全等三角形的判定與性質(zhì)、角的關(guān)系等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，通過(guò)作輔助線證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．
15．（2022?開(kāi)福區(qū)校級(jí)一模）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)BA到點(diǎn)D，使AB＝2AD，連接DE、DF、AE、EF，AF與DE交于點(diǎn)O．
（1）試說(shuō)明AF與DE互相平分；
（2）若AB＝8，BC＝12，求DO的長(zhǎng)．
【分析】（1）結(jié)合已知條件推知四邊形AEFD是平行四邊形，在該平行四邊形的兩條對(duì)角線互相平分；
（2）根據(jù)勾股定理求得AC的長(zhǎng)度，然后由平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理來(lái)求DO的長(zhǎng)度．
【解答】解：（1）∵E、F分別是BC、AC的中點(diǎn)，
∴EF是△ABC的中位線，
∴EF∥AB且EF＝AB．
又AB＝2AD，即AD＝AB，
∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
∴AF與DE互相平分；
（2）∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，BC＝12，
∴由勾股定理得 AC＝＝＝4
又由（1）知，OA＝OF，且AF＝CF，
∴OA＝AC＝．
∴在△AOD中，∠DAO＝90°，AD＝AB＝4，OA＝，
∴由勾股定理得 DO＝＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形中位線定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)．三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半．
16．（2022?淮安二模）【問(wèn)題情境】
學(xué)完《探索全等三角形的條件》后，老師提出如下問(wèn)題：如圖①，△ABC中，若AB＝12，AC＝8，求BC邊上中線AD的取值范圍．通過(guò)分析、思考，小麗同學(xué)形成兩種解題思路．
思路1：將△ADC繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180°，使得CD和BD重合，得到△EDB…
思路2：延長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，連接BE，根據(jù)SAS可證得△ADC≌△EDB…
根據(jù)上面任意一種解題思路，再結(jié)合三角形三邊關(guān)系，我們都可以得到AD的取值范圍為 2＜AD＜10 ．
【類比探究】
如圖②，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，DF是△ADE的邊AE上的中線，試探索DF與BC的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
【遷移應(yīng)用】
【應(yīng)用1】如圖③，已知⊙O的半徑為6，四邊形ABCD是⊙O的圓內(nèi)接四邊形．AD＝8，∠AOD+∠BOC＝180°，求BC的長(zhǎng)．
【應(yīng)用2】如圖④，DB＝DE，DC＝DA，∠BDC+∠ADE＝180°，BD⊥DE，AE＝a，BC＝b（a＞b），AB、CE相交于點(diǎn)G，連接DG，若∠BDC的度數(shù)發(fā)生改變，請(qǐng)問(wèn)DG是否存在最小值？如果存在，則直接寫(xiě)出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】【問(wèn)題情境】延長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，連接BE，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系定理解答即可；
【類比探究】延長(zhǎng)DF至點(diǎn)G，使FG＝DF，連接AG，利用全等三角形的判定與性質(zhì)解答即可；
【應(yīng)用1】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AD于點(diǎn)F，利用全等三角形的判定與性質(zhì)，垂徑定理和勾股定理解答即可；
【應(yīng)用2】取AE的中點(diǎn)F，連接FG，延長(zhǎng)DF至點(diǎn)H，使FH＝DF，連接EH，AH，利用全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)解答即可．
【解答】解：【問(wèn)題情境】延長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，連接BE，如圖①，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC＝8．
∵AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴12﹣8＜2AD＜12+8，
∴2＜AD＜10．
故答案為：2＜AD＜10；
【類比探究】DF與BC的數(shù)量關(guān)系為：BC＝2DF．理由：
延長(zhǎng)DF至點(diǎn)G，使FG＝DF，連接AG，如圖，
則DG＝2DF．
∵DF是△ADE的邊AE上的中線，
∴EF＝AF，
在△DEF和△GAF中，
，
∴△DEF≌△GAF（SAS），
∴DE＝AG，∠E＝∠GAF，
∴DE∥AG，
∴∠EDA+∠DAG＝180°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠BDC＝∠GAD．
∵DB＝DE，
∴DB＝AG．
在△BDC和△GAD中，
，
∴△BDC≌△GAD（SAS），
∴BC＝DG．
∴BC＝2DF．
【應(yīng)用1】過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E，OF⊥AD于點(diǎn)F，如圖，
則BE＝EC＝BC，AF＝DF＝AD＝4．
∵OB＝OC，OE⊥BC，
∴∠BOE＝∠BOC，
∵OA＝OD，OF⊥AD，
∴∠AOF＝∠AOD．
∵∠AOD+∠BOC＝180°，
∴∠AOF+∠BOE＝90°．
∵∠OBE+∠OBE＝90°
∴∠OBE＝∠AOF．
在△BOE和△OAF中，
，
∴△BOE≌△OAF（AAS），
∴OE＝AF＝4，
∴BE＝＝2．
∴BC＝2BE＝4；
【應(yīng)用2】DG存在最小值，其最小值為a﹣b，理由：
取AE的中點(diǎn)F，連接FG，延長(zhǎng)DF至點(diǎn)H，使FH＝DF，連接EH，AH，如圖，
∵BD⊥DE，
∴∠BDE＝90°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠ADC+BDE＝180°，
∴∠BDE＝∠ADC＝90°，
∴∠BDE+∠BDC＝∠ADC+∠BDC，
即∠EDC＝∠BDA．
在△EDC和△BDA中，
，
∴△EDC≌△BDA（SAS），
∴∠DEC＝∠DBA，
∴點(diǎn)E，D，GB四點(diǎn)共圓，
∴∠EGB＝∠EDB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∵F為AE的中點(diǎn)，
∴GF＝AE＝a．
∵AF＝FE，DF＝FH，
∴四邊形ADEH為平行四邊形，
∴AD＝EH，AD∥EH，
∴∠HED+∠ADE＝180°．
∵∠BDC+∠ADE＝180°，
∴∠HED＝∠BDC．
∵DA＝DC，
∴EH＝DC．
在△EHD和△DCB中，
，
∴△EHD≌△DCB（SAS），
∴DH＝BC＝b，
∴DF＝DH＝b．
若∠BDC的度數(shù)發(fā)生改變，當(dāng)點(diǎn)G，D，F(xiàn)三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，DG的值最小為：FG﹣FD＝a﹣b．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系定理，勾股定理，垂徑定理，平行四邊形的判定與性質(zhì)，本題是閱讀型，探究型題目，利用題干中的方法和解題思想解答是解題的關(guān)鍵．
17．（2021?臺(tái)兒莊區(qū)模擬）問(wèn)題探究：
小紅遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD是中線，求AD的取值范圍．她的做法是：延長(zhǎng)AD到E，使DE＝AD，連接BE，證明△BED≌△CAD，經(jīng)過(guò)推理和計(jì)算使問(wèn)題得到解決．
請(qǐng)回答：（1）小紅證明△BED≌△CAD的判定定理是： SAS ；
（2）AD的取值范圍是 1＜AD＜5 ；
方法運(yùn)用：
（3）如圖2，AD是△ABC的中線，在AD上取一點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)E，使AE＝EF，求證：BF＝AC．
（4）如圖3，在矩形ABCD中，＝，在BD上取一點(diǎn)F，以BF為斜邊作Rt△BEF，且＝，點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，連接EG，CG，求證：EG＝CG．
【分析】（1）由“SAS”可證△BED≌△CAD；
（2）由全等三角形的性質(zhì)可得AC＝BE＝4，由三角形的三邊關(guān)系可求解；
（3）延長(zhǎng)AD至H，使AD＝DH，連接BH，由“SAS”可證△BHD≌△CAD，可得AC＝BH，∠CAD＝∠H，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠H＝∠BFH，可得BF＝BH＝AC；
（4）延長(zhǎng)CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，由“SAS”可證△NGF≌△CGD，可得CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，通過(guò)證明△BEC∽△FEN，可得∠BEC＝∠FEN，可得∠BEF＝∠NEC＝90°，由直角三角形的性質(zhì)可得結(jié)論．
【解答】解：（1）∵AD是中線，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDE，AD＝DE，
∴△BED≌△CAD（SAS），
故答案為：SAS；
（2）∵△BED≌△CAD，
∴AC＝BE＝4，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∴2＜2AD＜10，
∴1＜AD＜5，
故答案為：1＜AD＜5；
（3）如圖2，延長(zhǎng)AD至H，使AD＝DH，連接BH，
∵AD是△ABC的中線，
∴BD＝CD，
又∵∠ADC＝∠BDH，AD＝DH，
∴△ADC≌△HDB（SAS），
∴AC＝BH，∠CAD＝∠H，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝∠AFE，
∴∠H＝∠BFH，
∴BF＝BH，
∴AC＝BF；
（4）方法一、如圖3，延長(zhǎng)CG至N，使NG＝CG，連接EN，CE，NF，
∵點(diǎn)G是DF的中點(diǎn)，
∴DG＝GF，
又∵∠NGF＝∠DGC，CG＝NG，
∴△NGF≌△CGD（SAS），
∴CD＝NF，∠CDB＝∠NFG，
∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴∠EBC＝2∠DBC，
∵∠EBF+∠EFB＝90°，∠DBC+∠BDC＝90°，
∴∠EFB＝∠BDC＝∠NFG，∠EBF+∠EFB+∠DBC+∠BDC＝180°，
∴2∠DBC+∠EFB+∠NFG＝180°，
又∵∠NFG+∠BFE+∠EFN＝180°，
∴∠EFN＝2∠DBC，
∴∠EBC＝∠EFN，
∵＝，且CD＝NF，
∴
∴△BEC∽△FEN，
∴∠BEC＝∠FEN，
∴∠BEF＝∠NEC＝90°，
又∵CG＝NG，
∴EG＝NC，
∴EG＝GC．
方法二、過(guò)點(diǎn)F作FM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)GN⊥BC于N，
∵＝，＝，
∴tan∠ADB＝，tan∠EBF＝，
∴∠ADB＝∠EBF，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC，
∴∠EBF＝∠DBC，
∴BF平分∠EBC，
∵EF⊥BE，F(xiàn)M⊥BC，
∴EF＝FM，
∴E，M關(guān)于BD對(duì)稱，
∴EG＝MG，
∵FM⊥BC，GN⊥BC，DC⊥BC，
∴FM∥GN∥CD，
∴＝1，
∴MN＝NC，
又∵GN⊥BC，
∴GC＝GM，
∴EG＝GC．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，相似三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是本題的關(guān)鍵．
18．（2021?新泰市模擬）（1）（教材呈現(xiàn)）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是AB與AC的中點(diǎn)，結(jié)論：DE∥BC．DE＝BC．
（2）（結(jié)論應(yīng)用）如圖1，四邊形ABCD中，AD＝BC，E、F、G分別是AB、DC、AC的中點(diǎn)，若∠ACB＝80°，∠DAC＝20°，求∠EFG的度數(shù)．
（3）如圖2，在△ABC外分別作正方形ACEF和BCGH．D是AB的中點(diǎn)，M，N分別是正方形的中心，AC＝3，BC＝2，則△DMN的面積最大值為多少？
【分析】（1）證△DAE∽△BAC，再由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由三角形的中位線定理可得GF＝AD，GF∥AD，GE∥BC，GE＝BC，再由平行線的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)可求解；
（3）由“SAS”證△ACG≌△ECB，得BE＝AG，∠CEB＝∠CAG，再由三角形中位線定理證△MDN是等腰直角三角形，得△DMN的面積＝DM2，則當(dāng)DM有最大值時(shí)，△DMN的面積有最大值，即可求解．
【解答】（1）證明：∵D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，
∴＝＝，
∵∠A＝∠A，
∴△DAE∽△BAC，
∴∠ADE＝∠B，＝＝，
∴DE∥BC且DE＝BC；
（2）解：∵E、F、G分別是AB、DC、AC的中點(diǎn)，
∴GF＝AD，GF∥AD，GE∥BC，GE＝BC，
∴∠DAC＝∠FGC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝80°，
∴∠CGE＝180°﹣80°＝100°，
∴∠EGF＝∠FGC+∠CGE＝20°+100°＝120°，
∵AD＝BC，
∴GF＝GE，
∴∠EFG＝∠FEG＝（180°﹣∠EGF）＝×（180°﹣120°）＝30°；
（3）解：如圖2，連接BE，AG交于點(diǎn)P，BE與AC與點(diǎn)O，連接AE，GB，
在正方形ACEF和正方形BCGH中，AC＝EC，BC＝CG，∠ACE＝∠BCG＝90°，
∴∠BCG+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
即∠ACG＝∠ECB，
∴△ACG≌△ECB（SAS），
∴BE＝AG，∠CEB＝∠CAG，
∵∠APO+∠CAG＝∠OCE+∠CEB（八字模型），
∴∠APO＝∠OCE＝90°，
∴BE⊥AG，
∵M(jìn)，N分別是正方形的中心，
∴點(diǎn)M在AE上，點(diǎn)N在BG上，
∴AM＝EM，BN＝NG，
又∵AD＝BD，
∴MD＝BE，DN＝AG，MD∥BE，DN∥AG，
∴MD＝DN，MD⊥DN，
∴△MDN是等腰直角三角形，
∴△DMN的面積＝DM2，
∴當(dāng)DM有最大值時(shí)，△DMN的面積有最大值，
∵M(jìn)D＝BE，
∴當(dāng)BE有最大值時(shí)，MD有最大值，
∵BE≤BC+CE，
∴BE≤5，
∴MD≤，
∴△DMN的面積的最大值為××＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及三角形面積等知識(shí)，本題綜合性強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問(wèn)題，屬于中考常考題型．
【安徽實(shí)戰(zhàn)真題練】
一．解答題（共4小題）
1．（2019?安徽）如圖，點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，AF∥BE，DF∥CE．
（1）求證：△BCE≌△ADF；
（2）設(shè)?ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T(mén)，求的值．
【分析】（1）根據(jù)ASA證明：△BCE≌△ADF；
（2）根據(jù)點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，可知：S△BEC+S△AED＝S?ABCD，可得結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABC+∠BAD＝180°，
∵AF∥BE，
∴∠EBA+∠BAF＝180°，
∴∠CBE＝∠DAF，
同理得∠BCE＝∠ADF，
在△BCE和△ADF中，
∵，
∴△BCE≌△ADF（ASA）；
（2）解：∵點(diǎn)E在?ABCD內(nèi)部，
∴S△BEC+S△AED＝S?ABCD，
由（1）知：△BCE≌△ADF，
∴S△BCE＝S△ADF，
∴S四邊形AEDF＝S△ADF+S△AED＝S△BEC+S△AED＝S?ABCD，
∵?ABCD的面積為S，四邊形AEDF的面積為T(mén)，
∴＝＝2．
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練利用三角形和平行四邊形邊的關(guān)系得出面積關(guān)系是解題關(guān)鍵．
2．（2022?安徽）已知四邊形ABCD中，BC＝CD，連接BD，過(guò)點(diǎn)C作BD的垂線交AB于點(diǎn)E，連接DE．
（1）如圖1，若DE∥BC，求證：四邊形BCDE是菱形；
（2）如圖2，連接AC，設(shè)BD，AC相交于點(diǎn)F，DE垂直平分線段AC．
（?。┣蟆螩ED的大??；
（ⅱ）若AF＝AE，求證：BE＝CF．
【分析】（1）利用AAS證明△DOE≌△BOC，得DE＝BC，從而得出四邊形BCDE是平行四邊形，再根據(jù)CD＝CB，即可證明結(jié)論；
（2）（i）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得，AE＝EC，ED＝EB，則∠AED＝∠CED＝∠BEC，再根據(jù)平角的定義，可得答案；
（ii）利用AAS證明△ABF≌△ACE，可得AC＝AB，由AE＝AF，利用等式的性質(zhì)，即可證明結(jié)論．
【解答】（1）證明：設(shè)CE與BD交于點(diǎn)O，
∵CB＝CD，CE⊥BD，
∴DO＝BO，
∵DE∥BC，
∴∠DEO＝∠BCO，
∵∠DOE＝∠BOC，
∴△DOE≌△BOC（AAS），
∴DE＝BC，
∴四邊形BCDE是平行四邊形，
∵CD＝CB，
∴平行四邊形BCDE是菱形；
（2）（i）解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝EC且DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CED，
又∵CD＝CB且CE⊥BD，
∴CE垂直平分DB，
∴DE＝BE，
∴∠DEC＝∠BEC，
∴∠AED＝∠CED＝∠BEC，
又∵∠AED+∠CED+∠BEC＝180°，
∴∠CED＝；
（ii）證明：由（i）得AE＝EC，
又∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝120°，
∴∠ACE＝30°，
同理可得，在等腰△DEB中，∠EBD＝30°，
∴∠ACE＝∠ABF＝30°，
在△ACE與△ABF中，
，
∴△ABF≌△ACE（AAS），
∴AC＝AB，
又∵AE＝AF，
∴AB﹣AE＝AC﹣AF，
即BE＝CF．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
3．（2020?安徽）如圖1，已知四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，AE＝AD．EC與BD相交于點(diǎn)G，與AD相交于點(diǎn)F，AF＝AB．
（1）求證：BD⊥EC；
（2）若AB＝1，求AE的長(zhǎng)；
（3）如圖2，連接AG，求證：EG﹣DG＝AG．
【分析】（1）證明△AEF≌△ADB（SAS），得出∠AEF＝∠ADB，證得∠EGB＝90°，則結(jié)論得出；
（2）證明△AEF∽△DCF，得出，即AE?DF＝AF?DC，設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a?（a﹣1）＝1，化簡(jiǎn)得a2﹣a﹣1＝0，解方程即可得出答案；
（3）在線段EG上取點(diǎn)P，使得EP＝DG，證明△AEP≌△ADG（SAS），得出AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，證得△PAG為等腰直角三角形，可得出結(jié)論．
【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在BA的延長(zhǎng)線上，
∴∠EAF＝∠DAB＝90°，
又∵AE＝AD，AF＝AB，
∴△AEF≌△ADB（SAS），
∴∠AEF＝∠ADB，
∴∠GEB+∠GBE＝∠ADB+∠ABD＝90°，
即∠EGB＝90°，
故BD⊥EC，
（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AE∥CD，
∴∠AEF＝∠DCF，∠EAF＝∠CDF，
∴△AEF∽△DCF，
∴，
即AE?DF＝AF?DC，
設(shè)AE＝AD＝a（a＞0），則有a?（a﹣1）＝1，化簡(jiǎn)得a2﹣a﹣1＝0，
解得或（舍去），
∴AE＝．
（3）證明：如圖，在線段EG上取點(diǎn)P，使得EP＝DG，
在△AEP與△ADG中，AE＝AD，∠AEP＝∠ADG，EP＝DG，
∴△AEP≌△ADG（SAS），
∴AP＝AG，∠EAP＝∠DAG，
∴∠PAG＝∠PAD+∠DAG＝∠PAD+∠EAP＝∠DAE＝90°，
∴△PAG為等腰直角三角形，
∴EG﹣DG＝EG﹣EP＝PG＝AG．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
4．（2021?安徽）如圖1，在四邊形ABCD中，∠ABC＝∠BCD，點(diǎn)E在邊BC上，且AE∥CD，DE∥AB，作CF∥AD交線段AE于點(diǎn)F，連接BF．
（1）求證：△ABF≌△EAD；
（2）如圖2．若AB＝9，CD＝5，∠ECF＝∠AED，求BE的長(zhǎng)；
（3）如圖3，若BF的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)AD的中點(diǎn)M，求的值．
【分析】（1）先根據(jù)題意得出AB＝AE，DE＝DC，再證四邊形ADCF是平行四邊形，得出AF＝CD，進(jìn)而得出AF＝DE，再由平行線性質(zhì)得∠AED＝∠BAF，進(jìn)而證得結(jié)論；
（2）先證明△EAD∽△CFE，得＝＝，根據(jù)四邊形ADCF是平行四邊形，得AD＝CF，AF＝CD，進(jìn)而可得＝＝，求得CF＝6，CE＝，再利用△ABE∽△DEC，求得答案；
（3）如圖3，延長(zhǎng)BM、ED交于點(diǎn)G，先證明△ABE∽△DCE，得出＝＝，設(shè)DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，則AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx，可得EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），再利用△ABF∽△EGF，列方程求解即可．
【解答】解：（1）如圖1，∵AE∥CD，
∴∠AEB＝∠BCD，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠ABC＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠ABC，∠AED＝∠BAF，
∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠DEC＝∠BCD，
∴DE＝DC，
∵CF∥AD，AE∥CD，
∴四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AF＝CD，
∴AF＝DE，
在△ABF和△EAD中，
，
∴△ABF≌△EAD（SAS）；
（2）方法①：∵CF∥AD，
∴∠EAD＝∠CFE，
∵∠ECF＝∠AED，
∴△EAD∽△CFE，
∴＝＝，
由（1）知：四邊形ADCF是平行四邊形，
∴AD＝CF，AF＝CD，
∵AB＝9，CD＝5，
∴AE＝9，DE＝5，
∴EF＝AE﹣AF＝9﹣5＝4，
∴＝＝，
∴CF2＝4×9＝36，即CF＝6，
∴CE＝，
∵∠ABC＝∠BCD＝∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DEC，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
方法②：由（1）知△ABF≌△EAD，
∴∠ABF＝∠EAD，
∵∠EAD＝∠CFE，
∴∠ABF＝∠CFE，
∵∠ABC＝∠AEB，∠ABC＝∠ABF+∠EBF，∠AEB＝∠CFE+∠ECF，
∴∠EBF＝∠ECF，
∵∠BAE＝∠AED＝∠ECF，
∴∠EBF＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠AEB，
∴△BEF∽△AEB，
∴＝，即＝，
∴BE＝6；
（3）如圖3，延長(zhǎng)BM、ED交于點(diǎn)G，
∵△ABE，△DCE均為等腰三角形，且∠ABC＝∠DCE，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝＝，
設(shè)DC＝DE＝a，CE＝b，＝＝＝x，
則AB＝AE＝ax，AF＝CD＝a，BE＝bx，
∴EF＝AE﹣AF＝ax﹣a＝a（x﹣1），
∵AB∥DG，
∴∠ABG＝∠G
∵AD的中點(diǎn)M，
∴AM＝DM，
∵∠AMB＝∠DMG，
∴△AMB≌△DMG（AAS），
∴DG＝AB＝ax，
∴EG＝DG+DE＝ax+a＝a（x+1），
∵AB∥DG（即AB∥EG），
∴△ABF∽△EGF，
∴＝，即＝，
∴x2﹣2x﹣1＝0，
解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），
∴＝x＝1+．
【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形綜合題，主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握全等三角形判定和性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，正確添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．
已知：如圖，點(diǎn)D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點(diǎn)．
求證：DE∥BC，且．
方法一
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥AB，交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
方法二
證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF＝DE，連接FC，DC，AF．
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半．
已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)．
求證：DE∥BC，且DE＝BC．
方法一：
證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接FC，DC，AF．
方法二：
證明：如圖，取BC中點(diǎn)G，連接GE并延長(zhǎng)到點(diǎn)F，使EF＝GE，連接AF．
已知：如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．
求證：DE∥BC，且．
方法一
證明：如圖，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF．
方法二
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB交BC于F．
三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊且等于第三邊的一半．
已知：如圖，在△ABC中，點(diǎn) D、E分別是AB、AC邊的中點(diǎn)．
求證：DE∥BC，DE＝BC.
方法一：
證明：如圖，延長(zhǎng)DE至點(diǎn)F，使得DE＝FE，連接CF．
方法二：
證明：如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線AM∥BC，過(guò)點(diǎn)D作直線MN∥AC交直線AM于M，交BC于N

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