類型1：與線段有關(guān)的問題（2021年22題，2019年22題）
類型2：與面積有關(guān)問題（2016年22題）
類型3：與函數(shù)圖象變換有關(guān)的問題（2020年22題）
類型1：與線段有關(guān)的問題
1．（2021?安徽）已知拋物線y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的對稱軸為直線x＝1．
（1）求a的值；
（2）若點M（x1，y1），N（x2，y2）都在此拋物線上，且﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2．比較y1與y2的大小，并說明理由；
（3）設(shè)直線y＝m（m＞0）與拋物線y＝ax2﹣2x+1交于點A、B，與拋物線y＝3（x﹣1）2交于點C，D，求線段AB與線段CD的長度之比．
2．（2019?安徽）一次函數(shù)y＝kx+4與二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象的一個交點坐標(biāo)為（1，2），另一個交點是該二次函數(shù)圖象的頂點．
（1）求k，a，c的值；
（2）過點A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y軸的直線與二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象相交于B，C兩點，點O為坐標(biāo)原點，記W＝OA2+BC2，求W關(guān)于m的函數(shù)解析式，并求W的最小值．
3．（2023?合肥模擬）已知關(guān)于x的拋物線y＝x2﹣2x+m2+4，其中m為實數(shù)．
（1）求證：該拋物線與x軸沒有交點；
（2）若與x軸平行的直線與這條拋物線相交于M，N兩點（點M在點N的左側(cè)），已知點M到y(tǒng)軸的距離為，求點N到y(tǒng)軸的距離；
（3）設(shè)這條拋物線的頂點的縱坐標(biāo)為p，當(dāng)﹣3≤m≤2時，求p的取值范圍．
4．（2023?滁州二模）如圖是某家具廠的拋物線型木板余料，其最大高度為9dm，最大寬度為12dm，現(xiàn)計劃將此余料進行切割．
（1）如圖1，根據(jù)已經(jīng)建立的平面直角坐標(biāo)系，求木板邊緣所對應(yīng)的拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周長；
（3）若切割成寬為2dm的矩形木板若干塊，然后拼接成一個寬為2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的長邊最長？請在備用圖上畫出切割方案，并求出拼接后的矩形的長邊長．（結(jié)果保留根號）
5．（2023?安徽模擬）如圖1，拋物線y＝﹣x2+kx+k+1（k≥1）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．
（1）求拋物線的頂點縱坐標(biāo)的最小值；
（2）若k＝2，點P為拋物線上一點，且在A、B兩點之間運動．
①是否存在點P使得S△PAB＝，若存在，求出點P坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
②如圖2，連接AP，BC相交于點M，當(dāng)S△PMB﹣S△AMC的值最大時，求直線BP的表達式．
6．（2023?黃山一模）如圖，國家會展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構(gòu)成．矩形OABC的邊米，OC＝9米，以O(shè)C所在的直線為x軸，以O(shè)A所在的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線頂點D的坐標(biāo)為．
（1）求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；
（2）近期需對大門進行粉刷，工人師傅搭建一木板OM，點M正好在拋物線上，支撐MN⊥x軸，ON＝7.5米，點E是OM上方拋物線上一動點，且點E的橫坐標(biāo)為m，過點E作x軸的垂線，交OM于點F．
①求EF的最大值．
②某工人師傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大門頂部的對應(yīng)點的橫坐標(biāo)的范圍．
類型2：與面積有關(guān)問題
7．（2016?安徽）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx的圖象經(jīng)過點A（2，4）與B（6，0）．
（1）求a，b的值；
（2）點C是該二次函數(shù)圖象上A，B兩點之間的一動點，橫坐標(biāo)為x（2＜x＜6），寫出四邊形OACB的面積S關(guān)于點C的橫坐標(biāo)x的函數(shù)表達式，并求S的最大值．
8．（2023?瑤海區(qū)二模）已知：拋物線y＝x2﹣2ax與x軸交于點A、B（點B在x軸正半軸），頂點為C，且AB＝4．
（1）求a的值；
（2）求△ABC的面積；
（3）若點P為拋物線上一點，PM∥y軸交直線于點M，求PM的最小值．
9．（2023?東至縣一模）如圖所示拋物線與x軸交于O，A兩點，OA＝6，其頂點與x軸的距離是6．
（1）求拋物線的解析式；
（2）設(shè)頂點為M，將直線MA繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90，得到的直線與拋物線交于點N，求點N的坐標(biāo)；
（3）點P在拋物線上，過點P的直線y＝x+m與拋物線的對稱軸交于點Q．當(dāng)△POQ與△PAQ的面積之比為1：3時，求m的值．
10．（2023?廬陽區(qū)校級模擬）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，點A的坐標(biāo)為（﹣1，0），點B的坐標(biāo)為（3，0）．
（1）求拋物線的表達式；
（2）當(dāng)a﹣2≤x≤a+1時，拋物線有最小值5，求a的值；
（3）若點P是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，連接PB、PC，求△PBC的面積S的最大值．
類型3：與函數(shù)圖象變換有關(guān)的問題
11．（2020?安徽）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，2），B（2，3），C（2，1），直線y＝x+m經(jīng)過點A，拋物線y＝ax2+bx+1恰好經(jīng)過A，B，C三點中的兩點．
（1）判斷點B是否在直線y＝x+m上，并說明理由；
（2）求a，b的值；
（3）平移拋物線y＝ax2+bx+1，使其頂點仍在直線y＝x+m上，求平移后所得拋物線與y軸交點縱坐標(biāo)的最大值．
12．（2023?花山區(qū)一模）已知拋物線y＝x2+ax+b的頂點坐標(biāo)為（1，2）．
（1）求a，b的值；
（2）將拋物線y＝x2+ax+b向下平移m個單位得到拋物線C1，存在點（c，1）在C1上，求m的取值范圍；
（3）拋物線C2：y＝（x﹣3）2+k經(jīng)過點（1，2），直線y＝n（n＞2）與拋物線y＝x2+ax+b相交于A、B（點A在點B的左側(cè)），與C2相交于點C、D（點C在點D的左側(cè)），求AD﹣BC的值．
13．（2021?安徽模擬）定義：如果兩個函數(shù)y1，y2存在x取同一個值，使得y1＝y(tǒng)2，那么稱y1，y2互為“等值函數(shù)”，對應(yīng)的x值為y1，y2的“等值根”．
（1）函數(shù)y1＝x+b與y2＝是否互為“等值函數(shù)”？如果是，求出當(dāng)b＝1時，兩函數(shù)的“等值根”；如果不是，請說明理由．
（2）如圖所示的是y＝﹣|x2+2x|的圖象，它是由二次函數(shù)y＝﹣x2﹣2x的圖象x軸上方的部分沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分保持不變得到的．若y1＝x+b與y2＝﹣|x2+2x|互為“等值函數(shù)”，且有兩個“等值根”，求b的取值范圍．
14．（2023?安徽模擬）如圖1，拋物線與x軸交于A，B．兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線y＝kx+b經(jīng)過點A，C．
（1）求直線AC的解析式；
（2）點P為直線AC上方拋物線上的一個動點，過點P作PD⊥AC于點D，過點P作PE∥AC交x軸于點E，求PD+AE的最大值及此時點P的坐標(biāo)；
（3）在（2）問PD+AE取得最大值的情況下，將該拋物線沿射線AC方向平移個單位后得到新拋物線，點M為新拋物線對稱軸上一點，在新拋物線上確定一點N，使得以點P，C，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形，寫出所有符合條件的點M的坐標(biāo)，并寫出求解點M的坐標(biāo)的其中一種情況的過程．

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