類型1：數(shù)式規(guī)律探究（2022年18題，2020年17題，2019年18題，2018年年18題，2015年13題，2014年16題）
類型2：圖形與等式關(guān)系的規(guī)律探究（2017年19題，2016年18題）
類型3：圖形規(guī)律探究（2021年18題，2013年18題）
類型1：數(shù)式規(guī)律探究
1．（2022?安徽）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個(gè)等式： （2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2 ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出第5個(gè)等式；
（2）根據(jù)題目中等式的特點(diǎn)，可以寫出猜想，然后將等式左邊和右邊展開，看是否相等，即可證明猜想．
【解答】解：（1）因?yàn)榈?個(gè)等式：（2×1+1）2＝（2×2+1）2﹣（2×2）2，
第2個(gè)等式：（2×2+1）2＝（3×4+1）2﹣（3×4）2，
第3個(gè)等式：（2×3+1）2＝（4×6+1）2﹣（4×6）2，
第4個(gè)等式：（2×4+1）2＝（5×8+1）2﹣（5×8）2，
第5個(gè)等式：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2，
故答案為：（2×5+1）2＝（6×10+1）2﹣（6×10）2；
（2）第n個(gè)等式：（2n+1）2＝[（n+1）×2n+1]2﹣[（n+1）×2n]2，
證明：左邊＝4n2+4n+1，
右邊＝[（n+1）×2n]2+2×（n+1）×2n+12﹣[（n+1）×2n]2
＝4n2+4n+1，
∴左邊＝右邊．
∴等式成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類、列代數(shù)式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的等式和猜想，并證明．
2．（2020?安徽）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，
第2個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，
第3個(gè)等式：×（1+）＝2﹣，
第4個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．
第5個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個(gè)等式： ×（1+）＝2﹣ ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式： ×（1+）＝2﹣ （用含n的等式表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)題目中前5個(gè)等式，可以發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，從而可以寫出第6個(gè)等式；
（2）把上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律用字母n表示出來(lái)，并運(yùn)用分式的混合運(yùn)算法則計(jì)算等號(hào)的右邊的值，進(jìn)而得到左右相等便可．
【解答】解：（1）第6個(gè)等式：×（1+）＝2﹣；
（2）猜想的第n個(gè)等式：×（1+）＝2﹣．
證明：∵左邊＝×＝＝2﹣＝右邊，
∴等式成立．
故答案為：×（1+）＝2﹣；×（1+）＝2﹣．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化類，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)式子的變化特點(diǎn)，寫出相應(yīng)的等式，并證明猜想的正確性．
3．（2019?安徽）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：＝+，
第2個(gè)等式：＝+，
第3個(gè)等式：＝+，
第4個(gè)等式：＝+，
第5個(gè)等式：＝+，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的等式表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)已知等式即可得；
（2）根據(jù)已知等式得出規(guī)律，再利用分式的混合運(yùn)算法則驗(yàn)證即可．
【解答】解：（1）第6個(gè)等式為：，
故答案為：；
（2）
證明：∵右邊＝＝左邊．
∴等式成立，
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知等式得出的規(guī)律，并熟練加以運(yùn)用．
4．（2018?安徽）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：++×＝1，
第2個(gè)等式：++×＝1，
第3個(gè)等式：++×＝1，
第4個(gè)等式：++×＝1，
第5個(gè)等式：++×＝1，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式： （用含n的等式表示），并證明．
【分析】以序號(hào)n為前提，依此觀察每個(gè)分?jǐn)?shù)，可以用發(fā)現(xiàn)，每個(gè)分母在n的基礎(chǔ)上依次加1，每個(gè)分子分別是1和n﹣1
【解答】解：（1）根據(jù)已知規(guī)律，第6個(gè)分式分母為6和7，分子分別為1和5
故應(yīng)填：
（2）根據(jù)題意，第n個(gè)分式分母為n和n+1，分子分別為1和n﹣1
故應(yīng)填：
證明：＝
∴等式成立
【點(diǎn)評(píng)】本題是規(guī)律探究題，同時(shí)考查分式計(jì)算．解答過(guò)程中，要注意各式中相同位置數(shù)字的變化規(guī)律，并將其用代數(shù)式表示出來(lái)．
5．（2017?安徽）【閱讀理解】
我們知道，1+2+3+…+n＝，那么12+22+32+…+n2結(jié)果等于多少呢？
在圖1所示三角形數(shù)陣中，第1行圓圈中的數(shù)為1，即12，第2行兩個(gè)圓圈中數(shù)的和為2+2，即22，…；第n行n個(gè)圓圈中數(shù)的和為，即n2，這樣，該三角形數(shù)陣中共有個(gè)圓圈，所有圓圈中數(shù)的和為12+22+32+…+n2．
【規(guī)律探究】
將三角形數(shù)陣經(jīng)兩次旋轉(zhuǎn)可得如圖2所示的三角形數(shù)陣，觀察這三個(gè)三角形數(shù)陣各行同一位置圓圈中的數(shù)（如第n﹣1行的第一個(gè)圓圈中的數(shù)分別為n﹣1，2，n），發(fā)現(xiàn)每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為 2n+1 ，由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：3（12+22+32+…+n2）＝ ，因此，12+22+32+…+n2＝ ．
【解決問題】
根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，計(jì)算：的結(jié)果為 1345 ．
【分析】【規(guī)律探究】將同一位置圓圈中的數(shù)相加即可，所有圈中的數(shù)的和應(yīng)等于同一位置圓圈中的數(shù)的和乘以圓圈個(gè)數(shù)，據(jù)此可得，每個(gè)三角形數(shù)陣和即為三個(gè)三角形數(shù)陣和的，從而得出答案；
【解決問題】運(yùn)用以上結(jié)論，將原式變形為，化簡(jiǎn)計(jì)算即可得．
【解答】解：【規(guī)律探究】
由題意知，每個(gè)位置上三個(gè)圓圈中數(shù)的和均為n﹣1+2+n＝2n+1，
由此可得，這三個(gè)三角形數(shù)陣所有圓圈中數(shù)的總和為：
3（12+22+32+…+n2）＝（2n+1）×（1+2+3+…+n）＝（2n+1）×，
因此，12+22+32+…+n2＝；
故答案為：2n+1，，；
【解決問題】
原式＝＝×（2017×2+1）＝1345，
故答案為：1345．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化類，閱讀材料、理解數(shù)列求和的具體方法得出規(guī)律，并運(yùn)用規(guī)律解決實(shí)際問題是解題的關(guān)鍵．
6．（2014?安徽）觀察下列關(guān)于自然數(shù)的等式：
32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
根據(jù)上述規(guī)律解決下列問題：
（1）完成第四個(gè)等式：92﹣4× 4 2＝ 17 ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并驗(yàn)證其正確性．
【分析】由①②③三個(gè)等式可得，被減數(shù)是從3開始連續(xù)奇數(shù)的平方，減數(shù)是從1開始連續(xù)自然數(shù)的平方的4倍，計(jì)算的結(jié)果是被減數(shù)的底數(shù)的2倍減1，由此規(guī)律得出答案即可．
【解答】解：（1）32﹣4×12＝5 ①
52﹣4×22＝9 ②
72﹣4×32＝13 ③
…
所以第四個(gè)等式：92﹣4×42＝17；
（2）第n個(gè)等式為：（2n+1）2﹣4n2＝4n+1，
左邊＝（2n+1）2﹣4n2＝4n2+4n+1﹣4n2＝4n+1，
右邊＝4n+1．
左邊＝右邊
∴（2n+1）2﹣4n2＝4n+1．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出數(shù)字之間的運(yùn)算規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
7．（2023?瑤海區(qū)二模）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：，
第2個(gè)等式：，
第3個(gè)等式：，
第4個(gè)等式：，
…
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的等式表示），并證明．
【分析】（1）觀察所給的四個(gè)等式，從中發(fā)現(xiàn)等式的左右兩邊，哪些沒有變化，哪些變化了，變化的部分與等式的序號(hào)有什么關(guān)系，從而根據(jù)序號(hào)5寫出第5個(gè)等式；
（2）同（1）方法，根據(jù)序號(hào)n寫出第n個(gè)等式，然后對(duì)等式左邊分式進(jìn)行計(jì)算，得出和右邊的式子一樣即可．
【解答】解：（1）根據(jù)所給的四個(gè)等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第5個(gè)等式為：，
故答案為：；
（2）根據(jù)所給的四個(gè)等式反映的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)，第n個(gè)等式為：，
證明：左邊＝
＝
＝
＝＝右邊，
∴．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)式規(guī)律探究，解答時(shí)涉及分式的運(yùn)算，理解題意，探究出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?太湖縣一模）觀察下列等式：
第1個(gè)等式：2+22＝23﹣2；
第2個(gè)等式：2+22+23＝24﹣2；
第3個(gè)等式：2+22+23+24＝25﹣2；
第4個(gè)等式：2+22+23+24+25＝26﹣2；
…
請(qǐng)根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題．
（1）試寫出第6個(gè)等式： 2+22+23+24+25+26+27＝28﹣2 ；
（2）請(qǐng)證明第4個(gè)等式．
【分析】（1）根據(jù)題意即可得出結(jié)果；
（2）方法一：設(shè)2+22+23+24+25＝x，可得2x＝22+23+24+25+26且2x＝x+2+22+23+24+25，得出x+2＝26，即可證明結(jié)論；
方法二：從右邊證明左邊即26﹣2＝2+22+23+24+25；
方法三：計(jì)算出左右兩邊算式的結(jié)果即可證明結(jié)論．
【解答】解：（1）由題意可知：2+22+23+24+25+26+27＝28﹣2，
故答案為：2+22+23+24+25+26+27＝28﹣2，
（2）證明：方法一：設(shè)2+22+23+24+25＝x，
∴2x＝22+23+24+25+26，
又∵2x＝x+2+22+23+24+25，
∴x+2+22+23+24+25＝22+23+24+25+26，
∴x+2＝26，
∴x＝26﹣2，即2+22+23+24+25＝26﹣2；
方法二：26﹣2＝2×25﹣2＝25+25﹣2＝25+2×24﹣2＝25+24+2×23﹣2，
＝25+24+23+2×22﹣2＝25+24+23+22+2×2﹣2＝25+24+23+22+2．
∴原等式成立；
方法三：右邊＝26﹣2＝64﹣2＝62，
左邊＝25+24+23+22+2＝32+16+8+4+2＝62，
∵左邊＝右邊，
∴原等式成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字規(guī)律類，觀察式子的變化，總結(jié)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
9．（2023?黃山一模）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：42﹣22＝3×4；
第2個(gè)等式：62﹣42＝5×4；
第3個(gè)等式：82﹣62＝7×4；
第4個(gè)等式：102﹣82＝9×4；
??????
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個(gè)等式： 122﹣102＝11×4 ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)題目的規(guī)律可得第5個(gè)等式；
（2）根據(jù)題目的規(guī)律猜想得到等式，再利用因式分解證明左邊等于右邊即可．
【解答】（1）解：由題意可得，122﹣102＝11×4，
故答案為：122﹣102＝11×4；
（2）（2n+2）2﹣（2n）2＝4（2n+1），
證明：左邊＝（2n+2+2n）（2n+2﹣2n）＝（4n+2）×2＝4（2n+1）＝右邊；
∴猜想成立．
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算以及列代數(shù)式整式的規(guī)律題，熟練掌握平方差公式進(jìn)行因式分解是解題的關(guān)鍵．
10．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)一模）觀察以下等式：第1個(gè)等式：32﹣3＝2×1×3，第2個(gè)等式：52﹣5＝2×2×5，第3個(gè)等式：72﹣7＝2×3×7，……按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）按照此規(guī)律下去，第4個(gè)等式是： 92﹣9＝2×4×9 ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
【分析】（1）通過(guò)題干中的式子，進(jìn)行推理求解即可；
（2）通過(guò)題干中的式子進(jìn)行猜想，并計(jì)算證明．
【解答】解：（1）第4個(gè)等式是：92﹣9＝2×4×9，
故答案為：92﹣9＝2×4×9；
（2）第n個(gè)等式：（2n+1）2﹣（2n+1）＝2n（2n+1），
證明：（2n+1）2﹣（2n+1）＝4n2+4n+1﹣2n﹣1＝4n2+2n＝2n（2n+1），
即（2n+1）2﹣（2n+1）＝2n（2n+1）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，完全平方公式，根據(jù)題干的式子找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
11．（2023?包河區(qū)一模）觀察以下等式：
第1個(gè)等式：，
第2個(gè)等式：，
第3個(gè)等式：，
第4個(gè)等式：，
第5個(gè)等式：，
……
按照以上規(guī)律．解決下列問題：
（1）寫出第6個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行解答即可；
（2）分析所給的等式的形式，再進(jìn)行總結(jié)，對(duì)等式左邊的式子進(jìn)行整理即可求證．
【解答】解：（1）第6個(gè)等式為：．
故答案為：；
（2）猜想：第n個(gè)等式為：＝1，
證明：等式左邊＝
＝
＝
＝
＝1
＝右邊，
故猜想成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是分析清楚所給的等式中序號(hào)與相應(yīng)的數(shù)之間的關(guān)系．
12．（2023?安慶模擬）觀察下列式子：
①15×15＝（1×2）×100+25；
②25×25＝（2×3）×100+25；
③35×35＝（3×4）×100+25；
…
根據(jù)上述規(guī)律，回答下列問題：
（1）請(qǐng)把第4個(gè)式子補(bǔ)充完整：45×45＝ （4×5）×100+25 ；
（2）通過(guò)以上算式，我們發(fā)現(xiàn)若用（10a+5）來(lái)表示個(gè)位數(shù)字是5的兩位數(shù)，它的平方有一定的規(guī)律，請(qǐng)寫出猜想并證明．
【分析】（1）根據(jù)數(shù)字變化規(guī)律得出個(gè)位是5的兩個(gè)相同的數(shù)的乘積等于這個(gè)數(shù)的十位數(shù)字乘以十位數(shù)字加1再乘以100再加25，進(jìn)而得出答案；
（2）根據(jù)觀察，寫出猜想，并通過(guò)計(jì)算得到左邊＝右邊即可．
【解答】解：（1）根據(jù)數(shù)字變化規(guī)律得：45×45＝（4×5）×100+25；
故答案為：（4×5）×100+25；
（2）猜想：（10a+5）×（10a+5）＝100a（a+1）+25．
證明：左邊＝（10a+5）×（10a+5）＝100a2+100a+25＝100a（a+1）+25，
右邊＝100a（a+1）+25，
∴左邊＝右邊，
∴（10a+5）×（10a+5）＝100a（a+1）+25．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了規(guī)律型﹣數(shù)字的變化類，根據(jù)提供的這個(gè)數(shù)字的個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字的變化規(guī)律找出答案，主要培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和推理能力．
13．（2023?蚌山區(qū)校級(jí)二模）觀察下列等式：
第1個(gè)等式：；
第2個(gè)等式：；
第3個(gè)等式：；
第4個(gè)等式：；
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個(gè)等式： ；
（2）寫出你猜想的第n個(gè)等式（用含n的式子表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；
（2）分析所求的等式的形式，再進(jìn)行總結(jié)即可，并對(duì)等式的左邊進(jìn)行整理，即可驗(yàn)證．
【解答】解：（1）第5個(gè)等式為：，
故答案為：；
（2）猜想：，
證明：等式左邊＝
＝
＝
＝
＝
＝右邊．
故猜想成立．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．
類型2：圖形與等式關(guān)系的規(guī)律探究
14．（2016?安徽）（1）觀察下列圖形與等式的關(guān)系，并填空
（2）觀察下圖，根據(jù)（1）中結(jié)論，計(jì)算圖中黑球的個(gè)數(shù)，用含有n的代數(shù)式填空：
1+3+5+…+（2n﹣1）+（ 2n+1 ）+（2n﹣1）+…+5+3+1＝ 2n2+2n+1 ．
【分析】（1）根據(jù)1+3+5+7＝16可得出16＝42；設(shè)第n幅圖中球的個(gè)數(shù)為an，列出部分an的值，根據(jù)數(shù)據(jù)的變化找出變化規(guī)律“an﹣1＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2”，依此規(guī)律即可解決問題；
（2）觀察（1）可將（2）圖中得黑球分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，再結(jié)合（1）的規(guī)律即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）1+3+5+7＝16＝42，
設(shè)第n幅圖中球的個(gè)數(shù)為an，
觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a1＝1+3＝22，a2＝1+3+5＝32，a3＝1+3+5+7＝42，…，
∴an﹣1＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2．
故答案為：42；n2．
（2）觀察圖形發(fā)現(xiàn)：
圖中黑球可分三部分，1到n行，第n+1行，n+2行到2n+1行，
即1+3+5+…+（2n﹣1）+[2（n+1）﹣1]+（2n﹣1）+…+5+3+1，
＝1+3+5+…+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+…+5+3+1，
＝an﹣1+（2n+1）+an﹣1，
＝n2+2n+1+n2，
＝2n2+2n+1．
故答案為：2n+1；2n2+2n+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型中圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖中小球數(shù)量的變化找出變化規(guī)律“an﹣1＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n2”．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，羅列出部分圖中球的數(shù)量，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律是關(guān)鍵．
15．（2023?長(zhǎng)豐縣二模）[觀察思考]用同樣大小的圓形棋子按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形中有6個(gè)棋子，第2個(gè)圖形中有9個(gè)棋子，第3個(gè)圖形中有12個(gè)棋子，第4個(gè)圖形中有15個(gè)棋子，以此類推．
[規(guī)律總結(jié)]
（1）第5個(gè)圖形中有 18 個(gè)圓形棋子．
（2）第n個(gè)圖形中有 （3n+3） 個(gè)圓形棋子．（用含n的代數(shù)式表示）
[問題解決]
（3）現(xiàn)有2025個(gè)圓形棋子，若將這些棋子按照題中的規(guī)律一次性擺放，且棋子全部用完，則可擺放出第幾個(gè)圖形，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【分析】（1）每一個(gè)圖形中的棋子數(shù)比前一個(gè)圖形多3個(gè)，即可得出答案；
（2）仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)圖形中的棋子數(shù)比前一個(gè)圖形多3個(gè)，根據(jù)這一規(guī)律得出第n個(gè)圖形中的棋子數(shù)為
（3n+3），據(jù)此計(jì)算即可得解；
（3）由（2）中的規(guī)律可知，3n+3＝2025，解方程即可．
【解答】解：（1）第5個(gè)圖形中有3×5+3＝18個(gè)圓形棋子，
故答案為：18；
（2）仔細(xì)觀察可以發(fā)現(xiàn)，每一個(gè)圖形中的棋子數(shù)比前一個(gè)圖形多3個(gè)，根據(jù)這一規(guī)律得出第n個(gè)圖形中的棋子數(shù)為（3n+3），
故答案為：（3n+3）；
（3）由（2）中的規(guī)律可知，3n+3＝2025，
解得：n＝674，
故可擺出第674個(gè)圖形．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查數(shù)與形結(jié)合的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)每一個(gè)圖形中的棋子數(shù)比前一個(gè)圖形多3個(gè)是解本題的關(guān)鍵．
16．（2023?合肥模擬）豐艷花卉市場(chǎng)將深色和淺色兩種花齊擺成如圖所示的排列圖案，第1個(gè)圖案需要5盆花卉，第2個(gè)圖案需要13盆花卉，第3個(gè)圖案需要25盆花卉，以此類推．
??按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）第4個(gè)圖案需要花卉 41 盆；
（2）第n個(gè)圖案需要花卉 [n2+（n+1）2] 盆（用含n的代數(shù)式表示）；
（3）已知豐艷花卉市場(chǎng)春節(jié)期間所擺的花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，求該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)．
【分析】（1）第1個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：5＝1+4＝12+22，第2個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：13＝2×2+3×3＝22+32，第3個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：25＝3×3+4×4＝32+42，…，據(jù)此可求解；
（2）根據(jù)（1）進(jìn)行總結(jié)即可；
（3）可設(shè)第m個(gè)花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，結(jié)合（2）進(jìn)行求解即可．
【解答】解：（1）第1個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：5＝1+4＝12+22，
第2個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：13＝2×2+3×3＝22+32，
第3個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：25＝3×3+4×4＝32+42，
第4個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：4×4+5×5＝42+52＝16+25＝41，
故答案為：41；
（ 2）由（1）可得：第n個(gè)圖案需要花卉的盆數(shù)為：n2+（n+1）2；
故答案為：[n2+（n+1）2]；
（3）設(shè)第m個(gè)花卉圖案中深色花卉比淺色花卉多101盆，
由題意得：（m+1）2﹣m2＝101，
解得：m＝50，
512＝2601，
答：該花卉圖案中深色花卉的盆數(shù)為2601．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．
17．（2023?蕪湖模擬）將若干枚黑白棋子按照一定規(guī)律擺放成三角形陣，前5次擺放的情況如圖所示．如果按照此規(guī)律繼續(xù)擺放三角形陣，請(qǐng)解決下列問題：
（1）第6個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為 15 ，白棋子的個(gè)數(shù)為 21 ；
（2）第n個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為 ，白棋子的個(gè)數(shù)為 3n+3 ；（用含n的式子表示）
（3）當(dāng)擺放到第 8 個(gè)三角形陣時(shí)，該三角形陣中的黑棋子數(shù)第一次比白棋子多．
【分析】（1）根據(jù)圖形查出黑棋子和白棋子的個(gè)數(shù)即可；
（2）根據(jù)圖形分別表示各個(gè)圖案中黑白棋子的變化規(guī)律，可得第n個(gè)圖案的規(guī)律；
（3）建立方程和不等式求解即可．
【解答】解：（1）第6個(gè)圖案中，黑棋子的個(gè)數(shù)為15，白棋子的個(gè)數(shù)為21；
故答案為：15，21；
（2）由圖可知，白棋子的變化規(guī)律為每次增加3個(gè)，
則第n個(gè)圖案中白棋子的個(gè)數(shù)為3n+3，
黑棋子的變化為：
n＝1時(shí)，0個(gè)；
n＝2時(shí)，0+1＝1個(gè)；
n＝3時(shí)，0+1+2＝3個(gè)；
n＝4時(shí)，0+1+2+3＝6個(gè)；
故第n個(gè)圖案中黑棋子個(gè)數(shù)為0+1+2+3+...+（n﹣1）＝?（n﹣1）＝；
故答案為：，3n+3；
（3）＝3n+3，
n2﹣7n﹣6＝0，
解得：n＝，n＝（不符題意，舍去），
∴＞3n+3，
n＞，
∵n取正整數(shù)，且黑棋子第一次比白棋子多，
∴n＝8．
當(dāng)擺放到第8個(gè)三角形陣時(shí)，該三角形陣中的黑棋子數(shù)第一次比白棋子多．
故答案為：8．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形變化類的規(guī)律問題，解題關(guān)鍵在于求出黑白棋子各自的變化規(guī)律．
18．（2023?廬江縣二模）觀察下列圖形和其對(duì)應(yīng)的等式：
根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第5個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式是 52+62＝1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1 ．
（2）第n個(gè)圖形對(duì)應(yīng)的等式是 n2+（n+1）2＝1+3+5+?+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+?+5+3+1 （用含n的等式表示），并證明．
【分析】（1）根據(jù)題中圖形及對(duì)應(yīng)等式，找出規(guī)律，再代入求解；
（1）根據(jù)題中圖形及對(duì)應(yīng)等式，找出規(guī)律，寫出通式，并根號(hào)完全平方公式進(jìn)行證明．
【解答】解：（1）52+62＝1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1；
故答案為：52+62＝1+3+5+7+9+11+9+7+5+3+1；
（2）n2+（n+1）2＝1+3+5+?+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+?+5+3+1；
證明：右邊＝（2n﹣1+1）n+2n+1＝2n2+2n+1＝n2+（n+1）2＝左邊，
所以等式成立．
故答案為：n2+（n+1）2＝1+3+5+?+（2n﹣1）+（2n+1）+（2n﹣1）+?+5+3+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圖形的變換類，找到變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
19．（2023?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）圖是黎錦上的圖案，每個(gè)圖案都是由相同菱形構(gòu)成的，若按照第1個(gè)圖至第4個(gè)圖中的規(guī)律編織圖案．
（1）第5個(gè)圖中有多少個(gè)菱形；
（2）第n個(gè)圖中有多少個(gè)菱形（用含n的代數(shù)式表示）．
【分析】（1）第5個(gè)圖中菱形的個(gè)數(shù)為序數(shù)5的平方與序數(shù)5減1的平方的和，據(jù)此求解可得；
（2）根據(jù)已知圖形得出圖形中菱形的個(gè)數(shù)為序數(shù)的平方與序數(shù)減一的平方的和，據(jù)此求解可得．
【解答】解：（1）∵第1個(gè)圖中菱形的個(gè)數(shù)1＝12+02，
第2個(gè)圖中菱形的個(gè)數(shù)5＝22+12，
第3個(gè)圖中菱形的個(gè)數(shù)13＝32+22，
第4個(gè)圖中菱形的個(gè)數(shù)25＝42+32，
∴第5個(gè)圖中菱形的個(gè)數(shù)為：52+42＝41；
（2）第n個(gè)圖中菱形的個(gè)數(shù)為n2+（n﹣1）2＝n2+n2﹣2n+1＝2n2﹣2n+1．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查圖形的變化類，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知圖形得出第n個(gè)圖中菱形的個(gè)數(shù)為n2+（n﹣1）2的規(guī)律．
類型3：圖形規(guī)律探究
20．（2021?安徽）某矩形人行道由相同的灰色正方形地磚與相同的白色等腰直角三角形地磚排列而成，圖1表示此人行道的地磚排列方式，其中正方形地磚為連續(xù)排列．
[觀察思考]
當(dāng)正方形地磚只有1塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有6塊（如圖2）；當(dāng)正方形地磚有2塊時(shí)，等腰直角三角形地磚有8塊（如圖3）；以此類推．
[規(guī)律總結(jié)]
（1）若人行道上每增加1塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚增加 2 塊；
（2）若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為 2n+4 （用含n的代數(shù)式表示）．
[問題解決]
（3）現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，若按此規(guī)律再建一條人行道，要求等腰直角三角形地磚剩余最少，則需要正方形地磚多少塊？
【分析】（1）觀察圖形1可知：中間的每個(gè)正方形都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)等腰直角三角形，即可得出答案；
（2）觀察圖形2可知：中間一個(gè)正方形的左上、左邊、左下共有3個(gè)等腰直角三角形，它右上和右下各對(duì)應(yīng)了一個(gè)等腰直角三角形，右邊還有1個(gè)等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1；圖3和圖1中間正方形右上和右下都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)等腰直角三角形，均有圖2一樣的規(guī)律，圖3：8＝3+2×2+1＝4+2×2；圖1：4+2n（即2n+4）；
（3）由于等腰直角三角形地磚塊數(shù)2n+4是偶數(shù)，根據(jù)現(xiàn)有2021塊等腰直角三角形地磚，剩余最少，可得：2n+4＝2020，即可求得答案．
【解答】解：（1）觀察圖1可知：中間的每個(gè)正方形都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)等腰直角三角形，所以每增加一塊正方形地磚，等腰直角三角形地磚就增加2塊；
故答案為：2；
（2）觀察圖形2可知：中間一個(gè)正方形的左上、左邊、左下共有3個(gè)等腰直角三角形，它右上和右下各對(duì)應(yīng)了一個(gè)等腰直角三角形，右邊還有1個(gè)等腰直角三角形，即6＝3+2×1+1＝4+2×1；圖3和圖1中間正方形右上和右下都對(duì)應(yīng)了兩個(gè)等腰直角三角形，均有圖2一樣的規(guī)律，圖3：8＝3+2×2+1＝4+2×2；歸納得：4+2n（即2n+4）；
∴若一條這樣的人行道一共有n（n為正整數(shù)）塊正方形地磚，則等腰直角三角形地磚的塊數(shù)為 2n+4塊；
故答案為：2n+4；
（3）由規(guī)律知：等腰直角三角形地磚塊數(shù)2n+4是偶數(shù)，
∴用2021﹣1＝2020塊，
再由題意得：2n+4＝2020，
解得：n＝1008，
∴等腰直角三角形地磚剩余最少為1塊，則需要正方形地磚1008塊．
【點(diǎn)評(píng)】本題以等腰直角三角形和正方形的拼圖為背景，關(guān)鍵是考查規(guī)律性問題的解決方法，探究規(guī)律要認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，善用聯(lián)想來(lái)解決這類問題．
21．（2013?安徽）我們把正六邊形的頂點(diǎn)及其對(duì)稱中心稱作如圖1所示基本圖的特征點(diǎn)，顯然這樣的基本圖共有7個(gè)特征點(diǎn)，將此基本圖不斷復(fù)制并平移，使得相鄰兩個(gè)基本圖的一邊重合，這樣得到圖2，圖3，…
（1）觀察以上圖形并完成下表：
猜想：在圖（n）中，特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 5n+2 （用n表示）；
（2）如圖，將圖（n）放在直角坐標(biāo)系中，設(shè)其中第一個(gè)基本圖的對(duì)稱中心O1的坐標(biāo)為（x1，2），則x1＝ ；圖（2013）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為 2013 ．
【分析】（1）觀察圖形，結(jié)合已知條件，得出將基本圖每復(fù)制并平移一次，特征點(diǎn)增加5個(gè)，由此得出圖4中特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為17+5＝22個(gè)，進(jìn)一步猜想出：在圖（n）中，特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：7+5（n﹣1）＝5n+2；
（2）過(guò)點(diǎn)O1作O1M⊥y軸于點(diǎn)M，根據(jù)正六邊形、等腰三角形的性質(zhì)得出∠BO1M＝30°，再由余弦函數(shù)的定義求出O1M＝，即x1＝；然后結(jié)合圖形分別得出圖（2）、圖（3）、圖（4）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，找到規(guī)律，進(jìn)而得出圖（2013）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)．
【解答】解：（1）由題意，可知圖1中特征點(diǎn)有7個(gè)；
圖2中特征點(diǎn)有12個(gè)，12＝7+5×1；
圖3中特征點(diǎn)有17個(gè)，17＝7+5×2；
所以圖4中特征點(diǎn)有7+5×3＝22個(gè)；
由以上猜想：在圖（n）中，特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)為：7+5（n﹣1）＝5n+2；
（2）如圖，過(guò)點(diǎn)O1作O1M⊥y軸于點(diǎn)M，
又∵正六邊形的中心角＝60°，O1C＝O1B＝O1A＝2，
∴∠BO1M＝30°，
∴O1M＝O1B?cs∠BO1M＝2×＝，
∴x1＝；
由題意，可得圖（2）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為2，
圖（3）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為3，
圖（4）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為4，
…
∴圖（2013）的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)為2013．
故答案為：22，5n+2；，2013．
【點(diǎn)評(píng)】本題借助正六邊形考查了規(guī)律型：圖形的變化類問題，難度適中．關(guān)鍵是通過(guò)觀察、歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律；（2）要注意求的是整個(gè)圖形的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，而不是第2013個(gè)正六邊形的對(duì)稱中心的橫坐標(biāo)，這也是本題容易出錯(cuò)的地方．
圖形的名稱
基本圖的個(gè)數(shù)
特征點(diǎn)的個(gè)數(shù)
圖1
1
7
圖2
2
12
圖3
3
17
圖4
4
22
…
…
…

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