類型一：利潤問題（2018年22題，2017年22題，2013年22題）
類型二：拋物線形問題（2022年23題，2012年23題）
類型三：幾何圖形面積問題（2015年22題）
類型一：利潤問題
求實際問題中二次函數(shù)的最值問題需注意：若頂點在已知給定的自變量取值范圍內(nèi)，則二次函數(shù)在頂點處取最大值或最小值；若頂點不在已知給定的自變量取值范圍內(nèi)，則根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷所給自變量取值范圍的兩端點處對應的函數(shù)值大小，從而確定最值。
一．解答題（共9小題）
1．（2023?明光市一模）合肥市某公司投入40輛同型號汽車準備成立汽車租賃分公司．市運管所規(guī)定每輛汽車的日租金按10元的整數(shù)倍收取但不得超過250元．汽車租賃分公司試運營了一段時間后發(fā)現(xiàn)營運規(guī)律如下：當每輛汽車的日租金不超過150元時，40輛汽車可以全部租賃出去；當每輛汽車的日租金超過150元時，每增加10元，租賃出去的汽車數(shù)量將減少2輛．已知租賃出去的汽車每輛一天各項支出共需20元，沒有租賃出去的汽車每輛一天各項支出共需10元，另外公司每天還需支出的管理費及其他各項經(jīng)費共1800元．
（1）汽車租賃分公司正式運營的第一周實行優(yōu)惠活動，在40輛汽車能全部租出的前提下，要求保證每天總租金不低于總支出，則每輛汽車的日租金至少為多少元？
（2）每輛汽車的日租金定為多少元時，可使汽車租賃分公司每天的總利潤最大？這個最大利潤是多少？（總利潤＝總租金﹣總支出）
【分析】（1）設每輛汽車的日租金為x元，根據(jù)“40輛汽車能全部租出，且每天總租金不低于總支出”，即可得出關(guān)于x的一元一次不等式組，解之即可得出x的取值范圍，再結(jié)合x為10的整數(shù)倍即可得出結(jié)論；
（2）設每輛汽車的日租金為m元，該汽車租賃公司一天總利潤為w元，分m≤150及m＞150兩種情況考慮，當m≤150時，利用總利潤＝總租金﹣總支出，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可找出w的最大值；當m＞150時，每天可租出輛，利用總利潤＝總租金﹣總支出，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可找出w的最大值．再將兩個最大值比較后即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設每輛汽車的日租金為x元，
依題意得：{x≤15040x≥20×40+1800，
解得：65≤x≤150，
又∵x為10的整數(shù)倍，
∴x的最小值為70．
答：每輛汽車的日租金至少為70元；
（2）設每輛汽車的日租金為m元，該汽車租賃公司一天總利潤為w元，
當m≤150時，w＝40m﹣20×40﹣1800＝40m﹣2600，
∵40＞0，
∴w隨m的增大而增大，
∴當m＝150時，w取得最大值，最大值＝40×150﹣2600＝3400（元）；
當m＞150時，每天可租出輛，
∴
＝
＝，
∵，
∴當m＝180時，w取得最大值，最大值為3580．
又∵3400＜3580，
∴每輛汽車的日租金定為180元時，可使汽車租賃分公司每天的總利潤最大；這個最大利潤是3580元．
答：每輛汽車的日租金定為180元時，可使汽車租賃分公司每天的總利潤最大；這個最大利潤是3580元．
【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用、一次函數(shù)的應用以及二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組；（2）分m≤150及m＞150兩種情況，找出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式．
2．（2023?安慶一模）某公司生產(chǎn)的一種季節(jié)性產(chǎn)品，其單件成本與售價隨季節(jié)的變化而變化．據(jù)調(diào)查：
①該種產(chǎn)品一月份的單件成本為6.6元/件，且單件成本每月遞增0.2元/件；
②該種產(chǎn)品一月份的單件售價為5元/件，六月份的單件售價最高可達到10元/件，單件售價y（元/件）與時間x（月）的二次函數(shù)圖象如圖所示．
（1）求該產(chǎn)品在六月份的單件生產(chǎn)成本；
（2）該公司在哪個月生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品獲得的單件收益w最大？
（3）結(jié)合圖象，求在全年生產(chǎn)與銷售中一共有幾個月產(chǎn)品的單件收益不虧損？（注：單件收益＝單件售價﹣單件成本）
【分析】（1）由題意，可列出式子求出六月份的單件生產(chǎn)成本；
（2）先求出單件成本的函數(shù)（題意）和單件售價的函數(shù)（待定系數(shù)法），從而表示出單件收益W，進而由二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果；
（3）由題意列出W＞0解出x的范圍，進而得出全年生產(chǎn)與銷售中一共有幾個月產(chǎn)品的單件收益不虧損．
【解答】解析：（1）由題意知：該種產(chǎn)品的單件成本n與月份x之間的關(guān)系滿足：n＝0.2x+b，
當x＝1時，n＝6.6，可得b＝6.4．
∴六月份的單件生產(chǎn)成本為：0.2×6+6.4＝7.6（元/件）；
答L該產(chǎn)品在六月份的單件生產(chǎn)成本為7.6元/件．
（2）設單件售價y與月份x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝a（x﹣6）2+10，
∵x＝1時，y＝5，
∴a（1﹣6）2+10＝5，解得：．
所以單件收益，
配方得：w＝，
∴當x＝5或6時，w值最大，
答：該企業(yè)在5月份或6月份生產(chǎn)并銷售該產(chǎn)品獲得的單件收益最大；
（3）單件收益不虧損需滿足：，
由，得（x﹣2）（x﹣9）＝0，即x＝2或x＝9，
結(jié)合圖象可知：當x＝2，3，4，5，6，7，8，9時，w≥0，
即全年一共有8個月單件收益不虧損．
答：求在全年生產(chǎn)與銷售中一共有8個月產(chǎn)品的單件收益不虧損．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會構(gòu)建方程或函數(shù)解決問題，屬于中考?？碱}型．
3．（2023?蜀山區(qū)校級一模）某快餐店給顧客提供A，B兩種套餐．套餐A每份利潤8元，每天能賣90份；套餐B每份利潤10元，每天能賣70份．若每份套餐A價格提高1元，每天少賣出4份；每份套餐B價格提高1元，每天少賣出2份．（注：兩種套餐的成本不變）
（1）若每份套餐價格提高了x元，求銷售套餐A，B每天的總利潤wA元，wB元與x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）物件部門規(guī)定這兩種套餐提高的價格之和為10元，問套餐A提高多少元時，這兩種套餐每天利潤之和最大？
【分析】（1）根據(jù)每份A或B的利潤×銷售量＝每天銷售的A套餐或B套餐的利潤列出函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)每天的總利潤＝A，B套餐的利潤之和列出函數(shù)解析式，由函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：wA＝（8+x）×（90﹣4x）＝﹣4x2+58x+720；
wB＝（10+x）（70﹣2x）＝﹣2x2+50x+700；
∴銷售套餐A總利潤wA元與x之間的函數(shù)關(guān)系式為wA＝﹣4x2+58x+720；銷售套餐B總利潤wB元與x之間的函數(shù)關(guān)系式為wB＝﹣2x2+50x+700；
（2）設每份套餐A提高x元，每份套餐B提高（10﹣x）元，兩種套餐每天利潤之和為w元，
根據(jù)題意得：w＝wA+wB
＝﹣4x2+58x+720﹣2（10﹣x）2+50（10﹣x）+700
＝﹣4x2+58x+720﹣200+40x﹣2x2+500﹣50x+700
＝﹣6x2+48x+1720
＝﹣6（x﹣4）2+1816，
∵﹣6＜0，
∴當x＝4時，w有最大值，最大值為1816，
答：套餐A提高4元時，這兩種套餐每天利潤之和最大．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是找到等量關(guān)系列出函數(shù)解析式．
4．（2023?蚌山區(qū)校級二模）某水果店一種水果的日銷售量y（千克）與銷售價格x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分數(shù)據(jù)如表．
（1）求這種水果日銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）若將這種水果每千克的價格限定在6元～12元的范圍，求這種水果日銷售量的范圍；
（3）已知這種水果購進的價格為4元/千克，求這種水果在日銷售量不超過10千克的條件下可獲得的最大毛利潤．（假設：毛利潤＝銷售額﹣購進成本）
【分析】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中函數(shù)解析式的性質(zhì)求出y的取值范圍；
（3）設毛利潤為w元，根據(jù)毛利潤＝銷售額﹣購進成本列出函數(shù)解析式，利用函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解答】解：（1）設這種水果日銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b（k≠0），
把x＝6，y＝20；x＝8，y＝18代入解析式，
則，
解得，
∴這種水果日銷售量y與銷售價格x之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣x+26；
（2）當x＝6時，y＝﹣6+26＝20，
當x＝12時，y＝﹣12+26＝14，
∵在y＝﹣x+26中，﹣1＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴14≤y≤20，
∴這種水果每千克的價格限定在6元～12元的范圍時，這種水果日銷售量的范圍為14千克～20千克；
（3）設毛利潤為w元，
根據(jù)題意得：w＝x（﹣x+26）﹣4（﹣x+26）＝﹣x2+30x﹣104＝﹣（x﹣15）2+121，
∵這種水果在日銷售量不超過10千克，
∴﹣x+26≤10，
解得x≥16，
∵﹣1＜0，
∴當x＞15時，y隨x的增大而減小，
∴當x＝16時，y有最大值，最大值為120元，
答：最大毛利潤為120元．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用和待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．
5．（2023春?蕭縣月考）某景區(qū)商店銷售一種紀念品，每件的進貨價為40元．經(jīng)市場調(diào)研，當該紀念品每件的銷售價為50元時，每天可銷售200件；當每件的銷售價每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件．
（1）當每件的銷售價為52元時，該紀念品每天的銷售數(shù)量為 180 件；
（2）物價部門規(guī)定，該紀念品每件的利潤不允許高于進貨價的35%，當每件的銷售價x為多少時，銷售該紀念品每天獲得的利潤y最大？并求出最大利潤．
【分析】（1）根據(jù)“當每件的銷售價每增加1元，每天的銷售數(shù)量將減少10件”即可解答；
（2）根據(jù)等量關(guān)系“利潤＝（售價﹣進價）×銷量”列出函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)該紀念品每件的利潤不允許高于進貨價的35%求出x的取值范圍，由二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答．
【解答】解：（1）由題意得：200﹣10×（52﹣50）＝200﹣20＝180（件），
故答案為：180；
（2）由題意得：
y＝（x﹣40）[200﹣10（x﹣50）]
＝﹣10x2+1100x﹣28000
＝﹣10（x﹣55）2+2250，
∵﹣10＜0，
∴當x＜55時，y隨x的增大而增大，
∵該紀念品每件的利潤不允許高于進貨價的35%，
∴≤35%，
解得x≤54，
∴當x＝54時，y最大，最大值為2240，
答：當每件的銷售價x為54元時，銷售該紀念品每天獲得的利潤y最大，最大利潤2240元．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用，根據(jù)已知得出二次函數(shù)的最值是中考中考查重點，同學們應重點掌握．
6．（2023?懷寧縣一模）懷寧縣為了“創(chuàng)建文明城市，建設美麗家園”，某社區(qū)將轄區(qū)內(nèi)的一塊面積為1000m2的空地進行綠化，一部分種草，剩余部分栽花．設種草部分的面積為x（m2），種草所需費用y1（元）與x（m2）的函數(shù)解析式為y1＝；栽花所需費用y2（元）與x（m2）的函數(shù)關(guān)系式為y2＝﹣0.01x2﹣32x+33400（0≤x≤1000）．
（1）設這塊1000m2空地的綠化總費用為W（元），請利用W與x的函數(shù)關(guān)系式，幫社區(qū)求出W的最大值；
（2）若種草部分的面積不少于700m2，栽花部分的面積不少于200m2，請求出W的最小值．
【分析】（1）分0≤x＜600和600≤x≤1000兩種情況，根據(jù)“綠化總費用＝種草所需總費用+種花所需總費用”列出函數(shù)解析式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案；
（2）先根據(jù)種草部分的面積不少于700m2，栽花部分的面積不少于200m2，求出x的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)解析式以及函數(shù)的性質(zhì)求最值．
【解答】解：（1）①當0≤x＜600時，
W＝40x+（﹣0.01x2﹣32x+33400）＝﹣0.01x2+8x+33400＝﹣0.01（x﹣400）2+35000，
∵﹣0.01＜0，
∴當x＝400時，W最大值，最大值為35000；
②當600≤x≤1000時，
W＝30x+3200+（﹣0.01x2﹣32x+33400）＝﹣0.01x2﹣2x+36600＝﹣0.01（x+100）2+36700，
∵﹣0.01＜0，
∴當600≤x≤1000時，W隨x的增大而減小，
∴當x＝600時，W最大，最大值為31800，
∵31800＜35000，
∴W的最大值為35000元；
（2）由題意，得 1000﹣x≥200，
解得x≤800，
又∵x≥700，
∴700≤x≤800，
此時W＝﹣0.01x2﹣2x+36600，
∴當700≤x≤800時，W隨x的增大而減小，
∴當x＝800時，W取得最小值，最小值為28600元．
答：W的最小值28600元．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，掌握分類討論依據(jù)相等關(guān)系列出函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
7．（2013?安徽）某大學生利用暑假40天社會實踐參與了一家網(wǎng)店的經(jīng)營，了解到一種成本為20元/件的新型商品在第x天銷售的相關(guān)信息如表所示．
（1）請計算第幾天該商品的銷售單價為35元/件？
（2）求該網(wǎng)店第x天獲得的利潤y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）這40天中該網(wǎng)店第幾天獲得的利潤最大？最大的利潤是多少？
【分析】（1）在每個x的取值范圍內(nèi)，令q＝35，分別解出x的值即可；
（2）利用利潤＝售價﹣成本，分別求出在1≤x≤20和21≤x≤40時，y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（3）當1≤x≤20時，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，求出一個最大值y1，當21≤x≤40時，求出一個最大值y2，然后比較兩者的大?。?br>【解答】解：（1）當1≤x≤20時，令30+x＝35，得x＝10，
當21≤x≤40時，令20+＝35，得x＝35，經(jīng)檢驗得x＝35是原方程的解且符合題意
即第10天或者第35天該商品的銷售單價為35元/件．
（2）當1≤x≤20時，y＝（30+x﹣20）（50﹣x）＝﹣x2+15x+500，
當21≤x≤40時，y＝（20+﹣20）（50﹣x）＝﹣525，
即y＝，
（3）當1≤x≤20時，y＝﹣x2+15x+500＝﹣（x﹣15）2+612.5，
∵﹣＜0，
∴當x＝15時，y有最大值y1，且y1＝612.5，
當21≤x≤40時，∵26250＞0，
∴隨x的增大而減小，
當x＝21時，最大，
于是，x＝21時，y＝﹣525有最大值y2，且y2＝﹣525＝725，
∵y1＜y2，
∴這40天中第21天時該網(wǎng)店獲得利潤最大，最大利潤為725元．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和反比例函數(shù)的性質(zhì)以及最值得求法，此題難度不大．
8．（2023?懷遠縣二模）某網(wǎng)店銷售一種兒童玩具，進價為每件30元，物價部規(guī)定每件兒童玩具的銷售利潤不高于進價的50%．在銷售過程中發(fā)現(xiàn)：當銷售單價為35元時，每天可售出350件，若銷售單價每提高5元，則每天銷售量減少50件．設銷售單價為x元（銷售單價不低于35元）
（1）求這種兒童玩具每天獲得的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)表達式；
（2）當銷售單價為多少元時，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是多少元？
【分析】（1）根據(jù)兒童玩具進價為每件30元，每件兒童玩具的銷售利潤不高于進價的50%，求出x的取值范圍；根據(jù)總利潤＝每件利潤×銷售量列出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)（1）中解析式，由函數(shù)的性質(zhì)和x的取值范圍求出最大值．
【解答】解：（1）∵x≤30×（1+50%）＝45，
∴x≤45，
當x＝45時，每天的銷售量為350﹣50×＝250（件），
∴當這種兒童玩具以每件最高價出售時，每天的銷售量為250件；
根據(jù)題意得，w＝（350﹣×50）（x﹣30）＝（﹣10x+700）（x﹣30）＝﹣10x2+1000x﹣21000，
∴這種兒童玩具每天獲得的利潤w（元）與銷售單價x（元）之間的函數(shù)表達式為
w＝﹣10x2+1000x﹣21000；
（2）∵w＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000，
∵a＝﹣10＜0，對稱軸x＝50，
∵x≤45，
∴當x＝45時，w最大＝﹣10×（45﹣50）2+4000＝3750，
答：當銷售單價為45元時，該網(wǎng)店銷售這種兒童玩具每天獲得的利潤最大，最大利潤是3750元．
【點評】本題考查二次函數(shù)的實際應用，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件．
9．（2018?安徽）小明大學畢業(yè)回家鄉(xiāng)創(chuàng)業(yè)，第一期培植盆景與花卉各50盆．售后統(tǒng)計，盆景的平均每盆利潤是160元，花卉的平均每盆利潤是19元．調(diào)研發(fā)現(xiàn)：
①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利潤減少2元；每減少1盆，盆景的平均每盆利潤增加2元；
②花卉的平均每盆利潤始終不變．
小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆，設培植的盆景比第一期增加x盆，第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為w1，w2（單位：元）．
（1）用含x的代數(shù)式分別表示w1，w2；
（2）當x取何值時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤w最大，最大總利潤是多少？
【分析】（1）設培植的盆景比第一期增加x盆，則第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，根據(jù)“總利潤＝盆數(shù)×每盆的利潤”可得函數(shù)解析式；
（2）將盆景的利潤加上花卉的利潤可得總利潤關(guān)于x的函數(shù)解析式，配方成頂點式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解可得．
【解答】解：（1）設培植的盆景比第一期增加x盆，
則第二期盆景有（50+x）盆，花卉有（50﹣x）盆，
所以w1＝（50+x）（160﹣2x）＝﹣2x2+60x+8000，
w2＝19（50﹣x）＝﹣19x+950；
（2）根據(jù)題意，得：
w＝w1+w2
＝﹣2x2+60x+8000﹣19x+950
＝﹣2x2+41x+8950
＝﹣2（x﹣）2+，
∵﹣2＜0，且x為整數(shù)，
∴當x＝10時，w最大值為9160，
當x＝11時，w最大值為9159，
9159＜9160，
∴當x＝10時，w取得最大值，最大值為9160，
答：當x＝10時，第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤w最大，最大總利潤是9160元．
【點評】本題主要考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是理解題意，找到題目蘊含的相等關(guān)系，據(jù)此列出函數(shù)解析式及二次函數(shù)的性質(zhì)．
類型二：拋物線形問題
一．解答題（共10小題）
1．（2023?安徽二模）某校為了豐富校園生活，提高學生身體素質(zhì)特舉行定點投籃比賽．某學生站在與籃框水平距離6米的A處進行定點站立投籃比賽，學校利用激光跟蹤測高儀測量籃球運動中的高度．已知籃圈中心B到地面的距離為3.05米，籃球每一次投出時離地面的距離都為2.05米．圖中所示拋物線的一部分是某次投籃訓練中籃球飛行的部分軌跡，當籃球與籃框水平距離為3米時離地面最高，最大高度為3.55米．
（1）建立如圖所示的直角坐標系，求拋物線的表達式；
（2）判斷本次訓練籃球能否直接投中籃圈中心B？若能，請說明理由；若不能，那么在保持投籃力度和方向（即籃球飛行的拋物線形狀不變）的情況下，求該球員只要向前或向后移動多少米，就能使籃球直接投中籃圈中心B．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；
（2）先根據(jù)對稱軸求出原拋物線與y軸的交點，即可判斷出本次訓練不能投中籃圈中心；設移動后的拋物線的表達式為，把B（0，3.05）代入求出h的值即可得到答案．
【解答】解：（1）由題意得，拋物線的頂點坐標是（﹣3，3.55），
設拋物線的表達式為y＝a（x+3）2+3.55，
∵點（﹣6，2.05）在拋物線上，
∴a（﹣6+3）2+3.55＝2.05，
解得，
∴拋物線的表達式為；
（2）由（1）可知拋物線的對稱軸為直線x＝﹣3，
∵點（﹣6，2.05）在拋物線上，
∴拋物線與y軸的交點為（0，2.05），
∵籃圈中心B坐標為（0，3.05），
∴本次訓練不能投中，
設移動后的拋物線的表達式為，
∵籃球要直接投中籃圈中心B（0，3.05），
∴，
解得，（舍去），
∵．
∴，
∴該球員只要向前移動米．
【點評】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應用，正確求出對應的函數(shù)關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．
2．（2012?安徽）如圖，排球運動員站在點O處練習發(fā)球，將球從O點正上方2m的A處發(fā)出，把球看成點，其運行的高度y（m）與運行的水平距離x（m）滿足關(guān)系式y(tǒng)＝a（x﹣6）2+h．已知球網(wǎng)與O點的水平距離為9m，高度為2.43m，球場的邊界距O點的水平距離為18m．
（1）當h＝2.6時，求y與x的關(guān)系式（不要求寫出自變量x的取值范圍）
（2）當h＝2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；
（3）若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求h的取值范圍．
【分析】（1）利用h＝2.6將點（0，2），代入解析式求出即可；
（2）利用當x＝9時，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45，當y＝0時，，分別得出即可；
（3）根據(jù)當球正好過點（18，0）時，拋物線y＝a（x﹣6）2+h還過點（0，2），以及當球剛能過網(wǎng)，此時函數(shù)解析式過（9，2.43），拋物線y＝a（x﹣6）2+h還過點（0，2）時分別得出h的取值范圍，或根據(jù)不等式即可得出答案．
【解答】解：（1）∵h＝2.6，球從O點正上方2m的A處發(fā)出，
∴拋物線y＝a（x﹣6）2+h過點（0，2），
∴2＝a（0﹣6）2+2.6，
解得：a＝﹣，
故y與x的關(guān)系式為：y＝﹣（x﹣6）2+2.6，
（2）當x＝9時，y＝﹣（x﹣6）2+2.6＝2.45＞2.43，
所以球能過球網(wǎng)；
當y＝0時，，
解得：x1＝6+2＞18，x2＝6﹣2（舍去）
故會出界；
（3）當球正好過點（18，0）時，拋物線y＝a（x﹣6）2+h還過點（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此時二次函數(shù)解析式為：y＝﹣（x﹣6）2+，
此時球若不出邊界h≥，
當球剛能過網(wǎng)，此時函數(shù)解析式過（9，2.43），拋物線y＝a（x﹣6）2+h還過點（0，2），代入解析式得：
，
解得：，
此時球要過網(wǎng)h≥，
故若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，h的取值范圍是：h≥．
解法二：y＝a（x﹣6）2+h過點（0，2）點，代入解析式得：
2＝36a+h，
若球越過球網(wǎng)，則當x＝9時，y＞2.43，即9a+h＞2.43，
解得h＞
球若不出邊界，則當x＝18時，y≤0，解得h≥．
故若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，h的取值范圍是：h≥．
【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的應用題，求范圍的問題，可以利用臨界點法求出自變量的值，再根據(jù)題意確定范圍．
3．（2023?鳳陽縣二模）如圖是某隧道截面示意圖，它是由拋物線和長方形構(gòu)成，已知OA＝12米，OB＝4米，拋物線頂點D到地面OA的垂直距離為10米，以OA所在直線為x軸，以OB所在直線為y軸建立直角坐標系．
（1）求拋物線的解析式；
（2）一輛特殊貨運汽車載著一個長方體集裝箱，集裝箱寬為4米，最高處與地面距離為6米，隧道內(nèi)設雙向行車道，雙向行車道間隔距離為2米，交通部門規(guī)定，車載貨物頂部距離隧道壁的豎直距離不少于0.5米，才能安全通行，問這輛特殊貨車能否安全通過隧道？
【分析】（1）拋物線頂點坐標為D（6，10），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣6）2+10，把點B的坐標代入即可，
（2）由圖象結(jié)合題意可知，集裝箱與隧道最接近的位置在此坐標系中的縱坐標為x＝6.25+4，代入（1）所得解析式，判斷是夠大于6.5即可．
【解答】解：（1）根據(jù)題意，頂點D的坐標為（6，10），點B的坐標為（0，4），
設拋物線的解析式為y＝a（x﹣6）2+10，
把點B（0，4）代入得：36a+10＝4，
解得：a＝﹣，
即所求拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣6）2+10；
（2）根據(jù)題意，當x＝7+4＝11時，
y＝﹣（11﹣6）2+10＝＜6.5，
∴能安全通過隧道，
答：這輛特殊貨車能安全通過隧道．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是分析題意并結(jié)合圖象列式求解，難度較大，綜合程度較高．
4．（2023?全椒縣模擬）如圖（1），一塊鋼板余料截面的兩邊為線段OA，OB，另一邊曲線ACB為拋物線的一部分，其中C點為拋物線的頂點，CD⊥OA于D，以OA邊所在直線為x軸，OB邊所在直線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位代表1米．已知OD＝1米，DA＝2米，CD＝4米．
（1）求曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達式；
（2）若在該鋼板余料中截取一個一邊長為3米的矩形，設該矩形的另一邊長為h米，求h的取值范圍；
（3）如圖（2），若在該鋼板余料中截取一個△PBD，其中點P在拋物線ACB上，記△PBD的面積為S，求S的最大值．
【分析】（1）由OD＝1米，CD＝4米，設曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表示式為y＝a（x﹣1）2﹣4，將A（3，0），代入可得答案；
（2）在y＝（x﹣1）2﹣4中，得B（0，﹣3），若在該鋼板余料中截取其中一個邊長為3米的矩形，則OB必為此矩形的一邊，點B關(guān)于CD所在直線的對稱點B'一定在拋物線y＝（x﹣1）2﹣4上，根據(jù)拋物線y＝（x﹣1）2﹣4的對稱軸為直線x＝1，即可得該矩形的另一邊長h的取值范圍為0＜h≤2；
（3）設P（m，m2﹣2m﹣3），設直線BP的函數(shù)表達式為y＝kx﹣3，將P（m，m2﹣2m﹣3）代入得直線BP的函數(shù)表達式為y＝（m﹣2）x﹣3，設對稱軸x＝1與直線BP的交點為E，可得E（1，m﹣5），DE＝5﹣m，故S＝m（5﹣m）＝﹣（m﹣）2+，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）∵C點為拋物線ACB的頂點，CD⊥OA于D，
∴CD所在直線為拋物線ACB的對稱軸，
由OD＝1米，CD＝4米，設曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表示式為y＝a（x﹣1）2﹣4，
∵DA＝2米，
∴OA＝3米，A（3，0），
∴a（3﹣1）2﹣4＝0，
解得a＝1，
∴曲線ACB所在拋物線的函數(shù)表達式y(tǒng)＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3；
（2）在y＝（x﹣1）2﹣4中，令x＝0，得y＝（0﹣1）2﹣4＝﹣3，
∴B（0，﹣3），
∴OA＝OB＝3米，
若在該鋼板余料中截取其中一個邊長為3米的矩形，則OB必為此矩形的一邊，點B關(guān)于CD所在直線的對稱點B'一定在拋物線y＝（x﹣1）2﹣4上，
∵拋物線y＝（x﹣1）2﹣4的對稱軸為直線x＝1，
∴BB'＝2，
∴該矩形的另一邊長h的取值范圍為0＜h≤2；
（3∵拋物線y＝（x﹣1）2﹣4＝x2﹣2x﹣3，
∴B（0，﹣3）．
設P（m，m2﹣2m﹣3），
設直線BP的函數(shù)表達式為y＝kx﹣3，將P（m，m2﹣2m﹣3）代入得：
km﹣3＝m2﹣2m﹣3，
解得k＝m﹣2，
∴直線BP的函數(shù)表達式為y＝（m﹣2）x﹣3，
設對稱軸x＝1與直線BP的交點為E，
在y＝（m﹣2）x﹣3中，令x＝1得y＝m﹣5，
∴E（1，m﹣5），
∴DE＝5﹣m，
∴S＝m（5﹣m）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，
∴當m＝時，S取最大值，最大值為．
∴S的最大值為．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，求出二次函數(shù)的解析式．
5．（2022?安徽）如圖1，隧道截面由拋物線的一部分AED和矩形ABCD構(gòu)成，矩形的一邊BC為12米，另一邊AB為2米．以BC所在的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，規(guī)定一個單位長度代表1米．E（0，8）是拋物線的頂點．
（1）求此拋物線對應的函數(shù)表達式；
（2）在隧道截面內(nèi)（含邊界）修建“”型或“”型柵欄，如圖2、圖3中粗線段所示，點P1，P4在x軸上，MN與矩形P1P2P3P4的一邊平行且相等．柵欄總長l為圖中粗線段P1P2，P2P3，P3P4，MN長度之和，請解決以下問題：
（?。┬藿ㄒ粋€“”型柵欄，如圖2，點P2，P3在拋物線AED上．設點P1的橫坐標為m（0＜m≤6），求柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達式和l的最大值；
（ⅱ）現(xiàn)修建一個總長為18的柵欄，有如圖3所示的“”型和“”型兩種設計方案，請你從中選擇一種，求出該方案下矩形P1P2P3P4面積的最大值，及取最大值時點P1的橫坐標的取值范圍（P1在P4右側(cè)）．
【分析】（1）通過分析A點坐標，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；
（2）（?。┙Y(jié)合矩形性質(zhì)分析得出P2的坐標為（m，﹣m2+8），然后列出函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值；
（ⅱ）設P2P1＝n，分別表示出方案一和方案二的矩形面積，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分析最值，從而利用數(shù)形結(jié)合思想確定取值范圍．
【解答】解：（1）由題意可得：A（﹣6，2），D（6，2），
又∵E（0，8）是拋物線的頂點，
設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝ax2+8，將A（﹣6，2）代入，
（﹣6）2a+8＝2，
解得：a＝﹣，
∴拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝﹣x2+8；
（2）（?。唿cP1的橫坐標為m（0＜m≤6），且四邊形P1P2P3P4為矩形，點P2，P3在拋物線AED上，
∴P2的坐標為（m，﹣m2+8），
∴P1P2＝P3P4＝MN＝﹣m2+8，P2P3＝2m，
∴l(xiāng)＝3（﹣m2+8）+2m＝﹣m2+2m+24＝﹣（m﹣2）2+26，
∵﹣＜0，
∴當m＝2時，l有最大值為26，
即柵欄總長l與m之間的函數(shù)表達式為l＝﹣m2+2m+24，l的最大值為26；
（ⅱ）方案一：設P2P1＝n，則P2P3＝18﹣3n，
∴矩形P1P2P3P4面積為（18﹣3n）n＝﹣3n2+18n＝﹣3（n﹣3）2+27，
∵﹣3＜0，
∴當n＝3時，矩形面積有最大值為27，
此時P2P1＝3，P2P3＝9，
令﹣x2+8＝3，
解得：x＝±，
∴此時P1的橫坐標的取值范圍為﹣+9≤x≤，
方案二：設P2P1＝n，則P2P3＝＝9﹣n，
∴矩形P1P2P3P4面積為（9﹣n）n＝﹣n2+9n＝﹣（n﹣）2+，
∵﹣1＜0，
∴當n＝時，矩形面積有最大值為，
此時P2P1＝，P2P3＝，
令﹣x2+8＝，
解得：x＝±，
∴此時P1的橫坐標的取值范圍為﹣+≤x≤．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，準確識圖，確定關(guān)鍵點的坐標，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．
6．（2023?蕪湖模擬）某大型樂園包含多項主題演出與游樂項目，其中過山車“沖上云霄”是其經(jīng)典項目之一．如圖所示，A→B→C為過山車“沖上云霄”的一部分軌道（B為軌道最低點），它可以看成一段拋物線．其中米，米（軌道厚度忽略不計）．
（1）求拋物線A→B→C的函數(shù)關(guān)系式；
（2）在軌道距離地面5米處有兩個位置P和C，當過山車運動到C處時，又進入下坡段C→E（接口處軌道忽略不計）．已知軌道拋物線C→E→F的大小形狀與拋物線A→B→C完全相同，求OE的長度；
（3）現(xiàn)需要對軌道下坡段A→B進行安全加固，架設某種材料的水平支架和豎直支架GD、GM、HI、HN，且要求OM＝MN．如何設計支架，可使得所需用料最少？最少需要材料多少米？
【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）先求出P，C坐標，再求出PC長度，通過拋物線C→E→F的形狀與拋物線A→B→C完全相同，平移長度為PC，可得拋物線C→E→F解析式，可得結(jié)論；
（3）先設出M，N橫坐標，再代入解析式，分別求出G，H的縱坐標，然后求出GD、GM、HI、HN之和的最小值，從而求出最少所需材料．
【解答】解：（1）由圖象可設拋物線解析式為：y＝a（x﹣）2，
把A（0，）代入，得：＝a（0﹣）2，
解得：a＝，
∴拋物線A→B→C的函數(shù)關(guān)系式為y＝（x﹣）2；
（2）當y＝5時，5＝（x﹣）2，
解得：x1＝，x2＝，
∴P（，5），C（，5），
∴PC＝＝10，
∵拋物線C→E→F的形狀與拋物線A→B→C完全相同，
∴拋物線C→E→F由拋物線A→B→C右平移PC個單位，
∴拋物線C→E→F為：y＝，
當y＝0時，x＝，
∴OE＝；
（3）設OM＝MN＝m，M（m，0），N（2m，0），
yG＝，yH＝，
∴l(xiāng)＝GD+GM+HI+HN＝m+＝m2﹣12m+＝（m﹣6）2+，
∵a＝1＞0，
∴開口向上，
∴當m＝6時，l最短，最短為米，
即當OM＝MN＝6時用料最少，最少需要材料米．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用以及平移的性質(zhì)，關(guān)鍵用拋物線的性質(zhì)解決實際問題．
7．（2023?亳州二模）如圖1，灌溉車沿著平行于綠化帶底部邊線的方向行駛，為綠化帶澆水．噴水口H離地豎直高度為hm，如圖2，可以把灌溉車噴出水的上、下邊緣抽象為平面直角坐標系中兩條拋物線的部分圖象．把綠化帶橫截面抽象為矩形DEFG．下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移得到的，上邊緣拋物線最高點A離噴水口的水平距離為2m，高出噴水口0.5m．灌溉車到綠化帶的距離OD為dm．當OH＝1.5m，DE＝3m，EF＝0.5時，解答下列問題.
（1）①求上邊緣拋物線的函數(shù)解析式，并求噴出水的最大射程OC；
②求出點B的坐標；
（2）要使灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，試求出d的取值范圍．
【分析】（1）①由頂點A（2，2）得，設y＝a（x﹣2）2+2，再根據(jù)拋物線過點（0，1.5），可得a的值，從而解決問題；
②由對稱軸知點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），則下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4cm得到的，可得點B的坐標；
（2）根據(jù)EF＝0.5，求出點F的坐標，利用增減性可得d的最大值為最小值，從而得出答案．
【解答】解：（1）①如圖1，由題意得A（2，2）是上邊緣拋物線的頂點，
設y＝a（x﹣2）2+2，
又∵拋物線過點（0，1.5），
∴1.5＝4a+2，
∴a＝﹣，
∴上邊緣拋物線的函數(shù)解析式為y＝﹣（x﹣2）2+2，
當y＝0時，0＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x1＝6，x2＝﹣2（舍去），
∴噴出水的最大射程OC為6m；
②∵對稱軸為直線x＝2，
∴點（0，1.5）的對稱點為（4，1.5），
∴下邊緣拋物線是由上邊緣拋物線向左平移4m得到的，
∴點B的坐標為（2，0）；
（2）∵EF＝0.5，
∴點F的縱坐標為0.5，
∴0.5＝﹣（x﹣2）2+2，
解得x＝2±2，
∵x＞0，
∴x＝2+2，
當x＞2時，y隨x的增大而減小，
∴當2≤x≤6時，要使y≥0.5，
則x≤2+2，
∵當0≤x≤2時，y隨x的增大而增大，且x＝0時，y＝1.5＞0.5，
∴當0≤x≤6時，要使y≥0.5，則0≤x≤2+2，
∵DE＝3，灌溉車行駛時噴出的水能澆灌到整個綠化帶，
∴d的最大值為2+2﹣3＝2﹣1，
再看下邊緣拋物線，噴出的水能澆灌到綠化帶底部的條件是d≥OB，
∴d的最小值為2，
綜上所述，d的取值范圍是2≤d≤2﹣1．
【點評】本題是二次函數(shù)的實際應用，主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與方程的關(guān)系等知識，讀懂題意，建立二次函數(shù)模型是解題的關(guān)鍵．
8．（2023?廬陽區(qū)校級二模）某公園要在小廣場建造一個噴泉景觀．在小廣場中央O處垂直于地面安裝一個高為1.25米的花形柱子OA，安置在柱子頂端A處的噴頭向外噴水，水流在各個方向上沿形狀相同的拋物線路徑落下，且在過OA的任一平面上拋物線路徑如圖1所示，為使水流形狀較為美觀，設計成水流在距OA的水平距離為1米時達到最大高度，此時離地面2.25米．
（1）以點O為原點建立如圖2所示的平面直角坐標系，水流到OA水平距離為x米，水流噴出的高度為y米，求出在第一象限內(nèi)的拋物線解析式（不要求寫出自變量的取值范圍）；
（2）張師傅正在噴泉景觀內(nèi)維修設備期間，噴水管意外噴水，但是身高1.76米的張師傅卻沒有被水淋到，此時他離花形柱子OA的距離為d米，求d的取值范圍；
（3）為了美觀，在離花形柱子4米處的地面B、C處安裝射燈，射燈射出的光線與地面成45°角，如圖3所示，光線交匯點P在花形柱子OA的正上方，其中光線BP所在的直線解析式為y＝﹣x+4，求光線與拋物線水流之間的最小垂直距離．
【分析】（1）根據(jù)題意得到第一象限內(nèi)的拋物線的頂點坐標，將拋物線設成頂點式，再將點A坐標代入即可求出第一象限內(nèi)的拋物線解析式；
（2）直接令y＝1.76，解方程求出x的值，再根據(jù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出y＞1.76時x的取值范圍即可；
（3）先作輔助線，作出直線BP的平行線l，使它與拋物線相切于點D，然后設出直線l的解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，利用相切，方程只有一個解，解出直線l的解析式，從而得到直線與x軸交點，最后利用銳角三角函數(shù)求出直線l與直線BP之間的距離．
【解答】解：（1）根據(jù)題意第一象限內(nèi)的拋物線的頂點坐標為（1，2.25），A（0，1.25），
設第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y＝a（x﹣1）2+2.25，
將點A（0，1.25）代入物線解析式，
1.25＝a（0﹣1）2+2.25，
解得α＝﹣1，
∴第一象限內(nèi)的拋物線解析式為y＝﹣（x﹣1）2+2.25；
（2）根據(jù)題意，令y＝1.76，
即﹣（x﹣1）2+2.25＝1.76，
解得x1＝0.3，x2＝1.7，
∵﹣1＜0，拋物線開口向下，
∴當0.3＜x＜1.4時，y＞1.76，
∴d的取值范圍為0.3＜x＜1.7；
（3）作直線BP的平行線l，使它與拋物線相切于點D，分別交x軸，y軸于點E，F(xiàn)，過點E，作EG⊥PB，垂足為G，如圖所示，
∵l∥PB，
設直線l的解析式為y＝﹣x+m，
聯(lián)立直線與拋物線解析式，
，
整理得x2﹣3x+m﹣1.25＝0，
∵直線l與拋物線相切，
∴方程只有一個根，
∴Δ＝32﹣4×1×（m﹣1.25）＝0，
解得m＝3.5，
∴直線l的解析式為y＝﹣x+3.5，
令y＝0，則x＝3.5，
∴E（3.5，0），
∴BE＝4﹣3.5＝0.5，
即EB＝，
∵射燈射出的光線與地面成45°角，
∴∠EBG45°，
∵∠EGB＝90°，
sin∠EBG＝＝，
∴EG＝×＝，
∴光線與拋物線水流之間的最小垂直距離為米．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，直線的平移，直線和拋物線相切等知識，關(guān)鍵是求拋物線解析式．
9．（2023?滁州二模）如圖是某家具廠的拋物線型木板余料，其最大高度為9dm，最大寬度為12dm，現(xiàn)計劃將此余料進行切割．
（1）如圖1，根據(jù)已經(jīng)建立的平面直角坐標系，求木板邊緣所對應的拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，若切割成矩形HGNM，求此矩形的最大周長；
（3）若切割成寬為2dm的矩形木板若干塊，然后拼接成一個寬為2dm的矩形，如何切割才能使拼接后的矩形的長邊最長？請在備用圖上畫出切割方案，并求出拼接后的矩形的長邊長．（結(jié)果保留根號）
【分析】（1）根據(jù)已知可得拋物線頂點坐標為（0，9），A（﹣6，0），B（6，0），再設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝ax2+9，把B（6，0）代入，可求出a，即可得出拋物線的函數(shù)表達式；
（2）在矩形HGNM中，設，由拋物線的對稱性可知，所以矩形HGNM的周長為，由于，且0＜m＜6，當m＝4時，矩形HGNM的周長有最大值，最大值為26；
（3）如圖是畫出的切割方案，分別令y＝2，y＝4，y＝6，y＝8，即可求出，，，再加起來即為拼接后的矩形的長邊長．
【解答】解：（1）根據(jù)已知可得，拋物線頂點坐標為（0，9），A（﹣6，0），B（6，0），
設拋物線對應的函數(shù)表達式為y＝ax2+9，
把B（6，0）代入，得0＝36a+9，解得，
∴木板邊緣所對應的拋物線的函數(shù)表達式為．
（2）在矩形HGNM中，設，
由拋物線的對稱性可知，
∴矩形HGNM的周長為．
∵，且0＜m＜6，
∴當m＝4時，矩形HGNM的周長有最大值，最大值為26，
即矩形HGNM的最大周長為26dm．
（3）如圖是畫出的切割方案：
在中，令y＝2，解得，
∴；
在中，令y＝4，解得，
∴；
在中，令y＝6，解得，
∴；
在中，令y＝8，解得x＝±2，
∴KI＝4，
∴拼接后的矩形的長邊長為．
【點評】本題考查了求二次函數(shù)的表達式和二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練應用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
10．（2023?黃山一模）如圖，國家會展中心大門的截面圖是由拋物線ADB和矩形OABC構(gòu)成．矩形OABC的邊米，OC＝9米，以OC所在的直線為x軸，以OA所在的直線為y軸建立平面直角坐標系，拋物線頂點D的坐標為．
（1）求此拋物線對應的函數(shù)表達式；
（2）近期需對大門進行粉刷，工人師傅搭建一木板OM，點M正好在拋物線上，支撐MN⊥x軸，ON＝7.5米，點E是OM上方拋物線上一動點，且點E的橫坐標為m，過點E作x軸的垂線，交OM于點F．
①求EF的最大值．
②某工人師傅站在木板OM上，他能刷到的最大垂直高度是米，求他不能刷到大門頂部的對應點的橫坐標的范圍．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)表達式；
（2）①先求出點M坐標為，再求出直線OM的解析式為，進而求出EF＝＝，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)即可求出當時，EF有最大值；
②根據(jù)師傅能刷到的最大垂直高度是米，得到當時，他就不能刷到大門頂部，令，得到，解得，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可得到他不能刷到大門頂部的對應點的橫坐標m的范圍是．
【解答】解：（1）由題意知，拋物線頂點D的坐標為，
設拋物線的表達式為，
將點代入拋物線解析式得，
解得，
∴拋物線對應的函數(shù)的表達式為；
（2）①將x＝7.5代入中，得y＝3，
∴點，∴設直線OM的解析式為y＝kx（k≠0），
將點代入得，
∴，
∴直線OM的解析式為，
∴＝＝，∵，
∴當時，EF有最大值，為；
②∵師傅能刷到的最大垂直高度是米，
∴當時，他就不能刷到大門頂部，
令，即，
解得，
又∵EF是關(guān)于m的二次函數(shù)，且圖象開口向下，
∴他不能刷到大門頂部的對應點的橫坐標m的范圍是．
【點評】本題主要考查的是二次函數(shù)的實際應用，同時考查了待定系數(shù)法求解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)、應用等知識，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)并靈活應用是解題關(guān)鍵．
類型三：幾何圖形面積問題
一．解答題（共6小題）
1．（2023?蜀山區(qū)校級模擬）春回大地，萬物復蘇，又是一年花季到．某花圃基地計劃將如圖所示的一塊長40m，寬20m的矩形空地劃分成五塊小矩形區(qū)域．其中一塊正方形空地為育苗區(qū)，另一塊空地為活動區(qū)，其余空地為種植區(qū)，分別種植A，B，C三種花卉．活動區(qū)一邊與育苗區(qū)等寬，另一邊長是10m．A，B，C三種花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元、4百元．
（1）設育苗區(qū)的邊長為xm，用含x的代數(shù)式表示下列各量：花卉A的種植面積是 （x2﹣60x+800） m2，花卉B的種植面積是 （﹣x2+30x） m2，花卉C的種植面積是 （﹣x2+20x） m2．
（2）育苗區(qū)的邊長為多少時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等？
（3）若花卉A與B的種植面積之和不超過560m2，求A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值．
【分析】（1）根據(jù)正方形和長方形的面積計算公式可直接得到答案；
（2）根據(jù)A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；
（3）先根據(jù)花卉A與B的種植面積之和不超過560m2建立不等式，得到x≥8，再設A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，得到y(tǒng)關(guān)于x的二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖形性質(zhì)即可得到答案．
【解答】解：（1）∵育苗區(qū)的邊長為x m，活動區(qū)的邊長為10m，
∴花卉A的面積為：（40﹣x）（20﹣x）＝（x2﹣60x+800）m2，
花卉B的面積為：x（40﹣x﹣10）＝（﹣x2+30x）m2，
花卉C的面積為：x（20﹣x）＝（﹣x2+20x）m2，
故答案為：（x2﹣60x+800）；（﹣x2+30x）；（﹣x2+20x）；
（2）∵A，B花卉每平方米的產(chǎn)值分別是2百元、3百元，
∴A，B兩種花卉的總產(chǎn)值分別為2×（x2﹣60x+800）百元和3×（﹣x2+30x）百元，
∵A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等，
∴200×（x2﹣60x+800）＝300×（﹣x2+30x），
∴x2﹣42x+320＝0，
解方程得x＝32（舍去）或x＝10，
∴當育苗區(qū)的邊長為10m時，A，B兩種花卉的總產(chǎn)值相等；
（3）∵花卉A與B的種植面積之和為：x2﹣60x+800+（﹣x2+30x）＝（﹣30x+800）m2，
∴﹣30x+800≤560，
∴x≥8，
∵設A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和y百元，
∴y＝2（x2﹣60x+800）+3（﹣x2+30x）+4（﹣x2+20x），
∴y＝﹣5x2+50x+1600，
∴y＝﹣5（x﹣5）2+1725，
∴當x≥8時，y隨x的增加而減小，
∴當x＝8時，y最大，且y＝﹣5（8﹣5）2+1725＝1680（百元），
故A，B，C三種花卉的總產(chǎn)值之和的最大值168000元．
【點評】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意建立正確的方程和函數(shù)表達式．
2．（2022?安徽三模）小明將小球從斜坡O點處拋出，球的拋出路線可以用二次函數(shù)y＝﹣+bx刻畫，斜坡可以用一次函數(shù)y＝x刻畫，如圖建立直角坐標系，小球能達到的最高點的坐標（3，n）．
（1）請求出b和n的值；
（2）小球在斜坡上的落點為M，求點M的坐標；
（3）點P是小球從起點到落點拋物線上的動點，連接PO，PM，當點P的坐標為何值時？△POM的面積最大，最大面積是多少？
【分析】（1）根據(jù)對稱軸為x＝3可得b的值，再根據(jù)關(guān)系式可得n的值；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的解析式和一次函數(shù)的解析式，列出一元二次方程，求得的方程的解就是點M的坐標；
（3）作PN⊥x軸，交OM于點N，設P（a，﹣a2+3a），則N（a，a），可得△POM的面積S關(guān)于a的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案．
【解答】解：（1）∵﹣＝3，
∴b＝3，即關(guān)系式為y＝﹣+3x，
當x＝3時，n＝﹣×9+9＝，
∴b＝3，n＝；
（2）由題意得﹣+3x＝x，
解得x＝5或0（舍去），
即點M的坐標為（5，）；
（3）作PN⊥x軸，交OM于點N，
設P（a，﹣a2+3a），則N（a，a），
∴PN＝（﹣a2+3a）﹣a＝﹣a2+a，
∴S△POM＝?PN?5＝﹣a2+a＝﹣（a﹣）2+，
∵0＜a≤5，
∴當a＝時，S有最大值為，此時P（，）．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．
3．（2021?霍邱縣一模）一段長為30m的墻MN前有一塊矩形ABCD空地，用100m長的籬笆圍成如圖所示的圖形（靠墻的一邊不用籬笆，籬笆的厚度忽略不計），其中四邊形AEFH和四邊形CDHG是矩形，四邊形EBGF是邊長為10m的正方形，設CD＝xm．
（1）若矩形CDHG面積為125m2，求CD長；
（2）當CD長為多少m時，矩形ABCD的面積最大，最大面積是多少？
【分析】（1）由題意得：3x+20+GC＝100，可得CG＝（80﹣3x）m，根據(jù)矩形CDHG面積＝GC?CD＝（80﹣3x）x＝125，即可求解；
（2）設矩形ABCD的面積為s，則s＝BC?CD＝x（10+80﹣3x）＝﹣3（x﹣15）2+675，進而根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．
【解答】解：（1）由題意得：3x+20+GC＝100，
解得：GC＝（80﹣3x）m，
∵BC＝BG+GC＝10+80﹣3x，
而0＜BC≤30，即0＜10+80﹣3x≤30，解得20≤x＜30，
矩形CDHG面積＝GC?CD＝（80﹣3x）x＝125，解得x＝25或（舍去），
∴CD長為25m；
（2）設矩形ABCD的面積為s，則s＝BC?CD＝x（10+80﹣3x）＝﹣3x2+90x＝﹣3（x﹣15）2+675，
∵﹣3＜0，故拋物線開口向下，
而20≤x＜30，
當x＞15時，s隨x的增大而減小，
故當x＝20（m）時，s取得最大值為﹣3×（20﹣15）2+675＝600（m2）．
答：當CD長為20m時，矩形ABCD的面積最大，最大面積是600m2．
【點評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應用，確定GC的長度并求出x的取值范圍是本題的關(guān)鍵．
4．（2022?瑤海區(qū)三模）如圖1是一架菱形風箏，它的骨架由如圖2的4條竹棒AC，BD，EF，GH組成，其中E，F(xiàn)，G，H分別是菱形ABCD四邊的中點，現(xiàn)有一根長為80cm的竹棒，正好鋸成風箏的四條骨架，設AC＝xcm，菱形ABCD的面積為ycm2．
（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）為了使風箏在空中有較好的穩(wěn)定性，要求25cm≤AC≤BD，那么當骨架AC的長為多少時，這風箏即菱形ABCD的面積最大？此時最大面積為多少？
【分析】（1）E、F、G、H分別是菱形ABCD四邊的中點，得出BD＝40﹣x，根據(jù)菱形面積公式求出關(guān)于的畫數(shù)關(guān)系式；
（2）求出的取值范圍，整理y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣40）2+400，函數(shù)圖象開口向下，自變量的取值在對稱軸左側(cè)，所以x取最大值時，面積有最大值．
【解答】解：（1）∵E、F為AB、AD中點，
∴EF＝BD．
同理：GH＝BD，
∵EF+BD+GH+AC＝80，
∴BD＝40﹣x，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴y＝（40﹣x）x＝﹣x2+20x．
（2）∵AC≤BD，
∴x≤（40﹣x），
∴x≤32，
∴25≤x≤32，
∴y＝﹣x2+20x＝﹣（x﹣40）2+400．
又∵﹣＜0，
∴當x＝32即AC為32cm時面積最大，此時最大面積為384cm2．
【點評】本題考查二次函數(shù)的實際應用，主要用菱形面積公式（菱形的面積等于對角線乘積的一半）列出函數(shù)關(guān)系式，解題關(guān)鍵是判出取值范圍與對稱軸的關(guān)系，得出最值對應的自變量的取值．
5．（2015?安徽）為了節(jié)省材料，某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶利用水庫的岸堤（岸堤足夠長）為一邊，用總長為80m的圍網(wǎng)在水庫中圍成了如圖所示的①②③三塊矩形區(qū)域，而且這三塊矩形區(qū)域的面積相等．設BC的長度為xm，矩形區(qū)域ABCD的面積為ym2．
（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并注明自變量x的取值范圍；
（2）x為何值時，y有最大值？最大值是多少？
【分析】（1）根據(jù)三個矩形面積相等，得到矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，可得出AE＝2BE，設BE＝a，則有AE＝2a，表示出a與2a，進而表示出y與x的關(guān)系式，并求出x的范圍即可；
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出y的最大值，以及此時x的值即可．
【解答】解：（1）∵三塊矩形區(qū)域的面積相等，
∴矩形AEFD面積是矩形BCFE面積的2倍，
∴AE＝2BE，
設BE＝FC＝am，則AE＝HG＝DF＝2am，
∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，
∴a＝﹣x+10，3a＝﹣x+30，
∴y＝（﹣x+30）x＝﹣x2+30x，
∵a＝﹣x+10＞0，
∴x＜40，
則y＝﹣x2+30x（0＜x＜40）；
（2）∵y＝﹣x2+30x＝﹣（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次項系數(shù)為﹣＜0，
∴當x＝20時，y有最大值，最大值為300平方米．
【點評】此題考查了二次函數(shù)的應用，以及列代數(shù)式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
6．（2021?安徽模擬）如圖，某小區(qū)有一塊靠墻（墻的長度不限）的矩形ABCD，為美化環(huán)境，用總長為90m的籬笆圍成四塊矩形，其中S1＝S2＝S3＝S4（靠墻一側(cè)不用籬笆，籬笆的厚度不計）．
（1）若AE＝a，用含有a的式子表示BE的長，并直接寫出a的取值范圍；
（2）求矩形ABCD的面積y關(guān)于a的解析式，并求出面積的最大值．
【分析】（1）根據(jù)面積之間的關(guān)系得到線段之間的關(guān)系，設未知數(shù)，代入并整理即可；
（2）利用矩形的面積公式得到y(tǒng)關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)最值．
【解答】解：（1）∵，
∴NC＝2BH＝2NN，
設EG＝b米，則EF＝4b米，
∵S2＝S1，
∴BE?b＝a?4b，
∴BE＝4a（0＜a＜5）；
（2）由（1）知，AB+GH+MN+CD＝5a+4a+4a+5a＝18a，
∴BC＝＝45﹣9a，
∴y＝5a（45﹣9a）＝﹣45a2+225a＝﹣45，
∵﹣45＜0，
∴當a＝時，y有最大值，此時最大值為m2．
【點評】本題考查二次函數(shù)的應用，關(guān)鍵是根據(jù)矩形的面積公式列出函數(shù)關(guān)系式．
售價x（元/千克）
6
8
10
日銷售量y（千克）
20
18
16
銷售量p（件）
p＝50﹣x
銷售單價q（元/件）
當1≤x≤20時，q＝30+x
當21≤x≤40時，q＝20+

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