一、單選題
1．（2022·上海市青浦區(qū)教育局二模）在中，，的余弦是（ ）
A．B．C．D．
2．（2021·上海·九年級(jí)期末）在Rt△ABC中，∠C=90o，那么等于（ ）
A．B．C．D．
3．（2021·上海金山·九年級(jí)期末）在中，，那么銳角的正弦等于（ ）
A．B．C．D．．
4．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）已知中，，CD是AB上的高，則 =（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）如圖，已知Rt是斜邊邊上的高，那么下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·上海市文來(lái)中學(xué)九年級(jí)期中）在中，，，，那么邊的長(zhǎng)為（ ）
A．B．C．D．
7．（2022·上海嘉定·九年級(jí)期末）在中，，，那么的長(zhǎng)是（ ）
A．B．C．D．
8．（2021·上海楊浦·一模）在中，如果，，那么這個(gè)三角形一定是（ ）
A．等腰三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形
9．（2019·上?！ぞ拍昙?jí)期中）在中，，下列等式中正確的是( )
A．B．C．D．
10．（2019·上海浦東新·九年級(jí)期中）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=，則tanA等于( )
A．B．C．D．
11．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）在Rt中，，，，那么等于（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
12．（2022·上?！とA東師范大學(xué)第四附屬中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，△ABC在邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的方格紙中，它的頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)位置，那么ctB的值為___________
13．（2022·上海青浦·九年級(jí)期末）在△ABC中，∠C=90°，如果tan∠A=2，AC=3，那么BC=______．
14．（2022·上海市徐匯中學(xué)九年級(jí)期中）的________值等于．
15．（2021··九年級(jí)專題練習(xí)）△ABC中，，，則△ABC的形狀是___________．
三、解答題
16．（2022·上?！つM預(yù)測(cè)）計(jì)算：
（1）sin260°-tan30°?cs30°+tan45°； （2）．
17．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）圖1是一款平板電腦支架，由托板、支撐板和底座構(gòu)成．工作時(shí)，可將平板電腦吸附在托板上，底座放置在桌面上，圖2是其側(cè)面結(jié)構(gòu)示意圖，已知托板AB長(zhǎng)200mm，支撐板CB長(zhǎng)80mm，當(dāng)，時(shí)，求托板頂點(diǎn)A到底座CD所在平面的距離（結(jié)果精確到1mm）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，）
18．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)D是BC邊上的一點(diǎn)，，，．
（1）求AC和AB的長(zhǎng)；
（2）求的值．
【?？肌?br>一．選擇題（共4小題）
1．（2021?上海模擬）在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么∠A的余切值等于 （ ）
A．B．C．D．
2．（2021秋?徐匯區(qū)校級(jí)期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，則csA的值為（ ）
A．B．C．D．
3．（2020秋?浦東新區(qū)期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝2，那么AB的長(zhǎng)等于（ ）
A．B．2sinαC．D．2csα
4．（2020秋?徐匯區(qū)期末）已知海面上一艘貨輪A在燈塔B的北偏東30°方向，海監(jiān)船C在燈塔B的正東方向5海里處，此時(shí)海監(jiān)船C發(fā)現(xiàn)貨輪A在它的正北方向，那么海監(jiān)船C與貨輪A的距離是（ ）
A．10海里B．5海里C．5海里D．海里
二．填空題（共9小題）
5．（2022春?嘉定區(qū)校級(jí)期中）為了測(cè)量樓房BC的高度，在距離樓房30米的A處，測(cè)得樓頂B的仰角為α，那么樓房BC的高為 ．
6．（2020秋?松江區(qū)期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，csA＝，那么AB的長(zhǎng)為 ．
7．（2020秋?寶山區(qū)期末）如圖，某堤壩的壩高為12米，如果迎水坡的坡度為1：0.75，那么該大壩迎水坡AB的長(zhǎng)度為 米．
8．（2022春?青浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，當(dāng)小明沿坡度i＝1：3的坡面由A到B行走了100米，那么小明行走的水平距離AC＝ 米．（結(jié)果可以用根號(hào)表示）．
9．（2020秋?黃浦區(qū)期末）已知一個(gè)銳角的正切值比余切值大，且兩者之和是3，則這個(gè)銳角的正切值為 ．
10．（2020秋?浦東新區(qū)期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，交AC于E，若＝，則tan∠A＝ ．
11．（2020秋?虹口區(qū)校級(jí)期末）如圖，港口A在觀測(cè)站O的正東方向，OA＝4km，某船從港口A出發(fā)，沿北偏東15°方向航行一段距離后到達(dá)B處，此時(shí)從觀測(cè)站O處測(cè)得該船位于北偏東60°的方向，則該船與觀測(cè)站之間的距離（即OB的長(zhǎng)）為 km．
12．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)月考）如圖是一斜坡的橫截面，某人沿著斜坡從P處出發(fā)，走了13米到達(dá)M處，此時(shí)在鉛垂方向上上升了5米，那么該斜坡的坡度是i＝1： ．
13．（2020秋?楊浦區(qū)期末）新定義：有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形，如圖，已知在對(duì)余四邊形ABCD中，AB＝10，BC＝12，CD＝5，tanB＝，那么邊AD的長(zhǎng)為 ．
三．解答題（共6小題）
14．（2022?楊浦區(qū)三模）已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝4，AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)E，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D．
（1）求∠D的正弦值；
（2）求點(diǎn)C到直線DE的距離．
15．（2022春?金山區(qū)月考）在一次課外活動(dòng)中，某數(shù)學(xué)興趣小組測(cè)量一棵樹CD的高度．如圖所示，測(cè)得斜坡BE的坡度i＝1：4，坡底AE的長(zhǎng)為8米，在B處測(cè)得樹CD頂部D的仰角為30°，在E處測(cè)得樹CD頂部D的仰角為60°，求樹高CD．（結(jié)果保留根號(hào)）
16．（2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期中）我國(guó)紙傘的制作工藝十分巧妙．如圖1，傘不管是張開還是收攏，傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的角∠BAC，且AB＝AC，從而保證傘圈D能沿著傘柄滑動(dòng)．如圖2是傘完全收攏時(shí)傘骨的示意圖，此時(shí)傘圈D已滑動(dòng)到點(diǎn)D'的位置，且A，B，D′三點(diǎn)共線，AD′＝40cm，B為AD′中點(diǎn)．當(dāng)∠BAC＝140°時(shí)，傘完全張開．
（1）求AB的長(zhǎng)．
（2）當(dāng)傘從完全張開到完全收攏，求傘圈D沿著傘柄向下滑動(dòng)的距離．
（參考數(shù)據(jù)：sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75）
17．（2020秋?松江區(qū)期末）如圖，垂直于水平面的5G信號(hào)塔AB建在垂直于水平面的懸崖邊B點(diǎn)處（點(diǎn)A、B、C在同一直線上）．某測(cè)量員從懸崖底C點(diǎn)出發(fā)沿水平方向前行60米到D點(diǎn)，再沿斜坡DE方向前行65米到E點(diǎn)（點(diǎn)A、B、C、D、E在同一平面內(nèi)），在點(diǎn)E處測(cè)得5G信號(hào)塔頂端A的仰角為37°，懸崖BC的高為92米，斜坡DE的坡度i＝1：2.4．
（1）求斜坡DE的高EH的長(zhǎng)；
（2）求信號(hào)塔AB的高度．
（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75．）
18．（2022?徐匯區(qū)校級(jí)模擬）某商場(chǎng)準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由原來(lái)的40°減至35°．已知原樓梯AB長(zhǎng)為5m，調(diào)整后的樓梯所占地面CD有多長(zhǎng)？（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin40°≈0.64，cs40°≈0.77，sin35°≈0.57，tan35°≈0.70）
19．（2022?松江區(qū)校級(jí)模擬）如圖，山區(qū)某教學(xué)樓后面緊鄰著一個(gè)土坡，坡面BC平行于地面AD，斜坡AB的坡比為i＝1：，且AB＝26米．為了防止山體滑坡，保障安全，學(xué)校決定對(duì)該土坡進(jìn)行改造．經(jīng)地質(zhì)人員勘測(cè)，當(dāng)坡角不超過(guò)53°時(shí)，可確保山體不滑坡．
（1）求改造前坡頂與地面的距離BE的長(zhǎng)．
（2）為了消除安全隱患，學(xué)校計(jì)劃將斜坡AB改造成AF（如圖所示），那么BF至少是多少米？（結(jié)果精確到1米）
（參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.8，cs53°≈0.6，tan53°≈1.33，ct53°≈0.75）．
【易錯(cuò)】
一．選擇題（共2小題）
1．（2021秋?閔行區(qū)校級(jí)期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是a、b、c，則下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（ ）
A．a(chǎn)＝btanAB．b＝ccsAC．a(chǎn)＝csinAD．c＝
2．（2020?南崗區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為α的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離AB為（ ）
A．5csαB．C．5sinαD．
二．解答題（共1小題）
3．（2022春?普陀區(qū)校級(jí)期中）如圖是一座人行天橋的引橋部分的示意圖，上橋通道由兩段互相平行并且與地面成37°角的樓梯AD、CE和一段水平平臺(tái)DE構(gòu)成．已知天橋高度BC＝5.4米，引橋水平跨度AB＝9米．
（1）求水平平臺(tái)DE的長(zhǎng)度；
（2）若與地面垂直的平臺(tái)立柱MN的高度為3米，求兩段樓梯AD、CE的長(zhǎng)度之比．（參考數(shù)據(jù)：取sin37°≈0.60，cs37°≈0.80，tan37°≈0.75）
【壓軸】
一、填空題
1．（2022·上海普陀·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖， 已知在 Rt 中， ， 將 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 后得 ， 點(diǎn) 落在點(diǎn) 處， 點(diǎn) 落在點(diǎn) 處， 聯(lián)結(jié) ， 作 的平分線 ， 交線段 于點(diǎn) ， 交線 段 于點(diǎn) ， 那么 的值為____________．
2．（2022·上海崇明·九年級(jí)期末）定義：有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做“對(duì)等四邊形”，如圖，在中，，點(diǎn)A在邊BP上，點(diǎn)D在邊CP上，如果，，，四邊形ABCD為“對(duì)等四邊形”，那么CD的長(zhǎng)為_____________．
3．（2022·上?！ざ＃┤鐖D，已知Rt△ABC中，∠ABC＝90°，點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD．將△ABC繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B恰好落在射線BD上的點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)FD、FC．如果AB＝1，BC＝2時(shí)，那么∠CFD的正切值是____．
4．（2022·上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）新定義：有一組對(duì)角互余的凸四邊形稱為對(duì)余四邊形.如圖，已知在對(duì)余四邊形中，，，，，那么邊的長(zhǎng)為______．
二、解答題
5．（2021·上?！ぞ拍昙?jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，，點(diǎn)為邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)、點(diǎn)重合）．以為頂點(diǎn)作，射線交邊于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交射線于點(diǎn)．
（1）求證：；
（2）當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)；
（3）當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的長(zhǎng)．
6．（2022·上海市復(fù)旦初級(jí)中學(xué)九年級(jí)期中）如圖1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2BC，點(diǎn)D是AC邊上一點(diǎn)（不與端點(diǎn)A、C重合），過(guò)點(diǎn)C作CE垂直于射線BD，垂足為E，點(diǎn)F在射線BD上，且EF＝2EC，連接AF、CF、AE．
(1)求證：△ACF∽△BCE；
(2)如圖2，連接AE，點(diǎn)G、H、P分別為線段AB、AE、EF的中點(diǎn)，連接GH、HP、GP．求tan（∠HGP+∠HPG）及的值；
(3)在（2）的條件下，若BC＝1，BE＝x，S△PGH＝y(tǒng)，請(qǐng)寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
7．（2022·上?！y(cè)試·編輯教研五九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，已知AB＝5，AD＝4，AD∥BM，，點(diǎn)C、E分別為射線BM上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C、E都不與點(diǎn)B重合），聯(lián)結(jié)AC、AE使得∠DAE＝∠BAC，射線EA交射線CD于點(diǎn)F．設(shè)
(1)如圖1，當(dāng)x＝4時(shí)，求AF的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)C的右側(cè)時(shí)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；
(3)若AC⊥AE，求AF的長(zhǎng)．
8．（2022·上海虹口·九年級(jí)期末）已知：如圖，在中，，，，點(diǎn)D是邊BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，在射線AB上取一點(diǎn)E，使得，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)F．
(1)當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：；
(2)在（1）題的條件下，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；
(3)記DE交射線AC于點(diǎn)G，當(dāng)時(shí)，求CD的長(zhǎng)．
9．（2022·上海寶山·九年級(jí)期末）如圖，已知正方形ABCD，將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到AP的位置，分別過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為點(diǎn)、．
(1)求證：；
(2)聯(lián)結(jié)，如果，求的正切值；
(3)聯(lián)結(jié)，如果，求的值．
10．（2022·上海青浦·九年級(jí)期末）在四邊形ABCD中，ADBC，AB=，AD=2，DC=，tan∠ABC=2（如圖）．點(diǎn)E是射線AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BE、EF，且∠BEF=∠DCB．
(1)求線段BC的長(zhǎng)；
(2)當(dāng)FB=FE時(shí)，求線段BF的長(zhǎng)；
(3)當(dāng)點(diǎn)E在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，設(shè)DE=x，BF=y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出x的取值范圍．

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