?銳角三角函數(shù)的定義 ?特殊角的三角函數(shù)值
?解直角三角形 ?解直角三角形的應(yīng)用
?解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題 ?有理數(shù)大小比較
?解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題
一．銳角三角函數(shù)的定義（共2小題）
1．（2024?閔行區(qū)）在中，，，，那么的值是
A．B．C．D．
2．（2023?松江區(qū)一模）已知中，，，，那么下列結(jié)論正確的是
A．B．C．D．
二．特殊角的三角函數(shù)值（共7小題）
3．（2023秋?寶山區(qū)期中）的值等于
A．2B．1C．D．
4．（2024?崇明區(qū)）計算：．
5．（2023秋?金山區(qū)期末）計算：．
6．（2023秋?閔行區(qū)期中）計算：．
7．（2023秋?黃浦區(qū)校級期中）計算：．
8．（2023秋?長寧區(qū)校級期中）計算：．
9．（2023秋?浦東新區(qū)校級期中）計算：
三．解直角三角形（共4小題）
10．（2023秋?長寧區(qū)校級月考）已知點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中，射線與軸正半軸的夾角為，那么的值為 ．
11．（2022秋?嘉定區(qū)校級期末）已知在中，，，那么 ．
12．（2022秋?金山區(qū)校級期末）如圖，在中，，，，則的長為 ．
13．（2022秋?奉賢區(qū)期中）已知：如圖，在中，，．
求：（1）；
（2）的余弦值．
四．解直角三角形的應(yīng)用（共4小題）
14．（2022?徐匯區(qū)模擬）激光電視的光源是激光，它運(yùn)用反射成像原理，屏幕不通電無輻射，降低了對消費(fèi)者眼睛的傷害．根據(jù)觀影標(biāo)準(zhǔn)，當(dāng)觀影水平視場角“”的度數(shù)處于到之間時（如圖，雙眼肌肉處于放松狀態(tài)，是最佳的感官體驗的觀影位．
（1）小麗家決定要買一個激光電視，她家客廳的觀影距離（人坐在沙發(fā)上眼睛到屏幕的距離）為3.5米，小佳家要選擇電視屏幕寬（圖2中的的長）在什么范圍內(nèi)的激光電視就能享受黃金觀看體驗？（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：，，，，，，，
（2）由于技術(shù)革新和成本降低，激光電視的價格逐漸下降，某電器商行經(jīng)營的某款激光電視今年每臺銷售價比去年降低4000元，在銷售量相同的情況下，今年銷售額在去年銷售總額100萬元的基礎(chǔ)上減少，今年這款激光電視每臺的售價是多少元？
15．（2022?長寧區(qū)模擬）冬至是一年中太陽光照射最少的日子，如果此時樓房最低層能采到陽光，一年四季整座樓均能受到陽光的照射，所以冬至是選房買房時確定陽光照射的最好時機(jī)．某居民小區(qū)有一朝向為正南方向的居民樓．該居民樓的一樓是高6米的小區(qū)超市，超市以上是居民住房，在該樓前面20米處要蓋一棟高25米的新樓．已知上海地區(qū)冬至正午的陽光與水平線夾角為（參考數(shù)據(jù)：；；
（1）冬至中午時，超市以上的居民住房采光是否有影響，為什么？
（2）若要使得超市全部采光不受影響，兩樓應(yīng)至少相距多少米？（結(jié)果保留整數(shù)）
16．（2023秋?靜安區(qū)期中）圖1是一種折疊式晾衣架．晾衣時，該晾衣架左右晾衣臂張開后示意圖如圖2所示，兩支腳分米，展開角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（參考數(shù)據(jù)：
（1）當(dāng)時，求點(diǎn)離地面的距離約為多少分米；（結(jié)果精確到
（2）當(dāng)從水平狀態(tài)旋轉(zhuǎn)到（在延長線上）時，點(diǎn)繞點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)至上的點(diǎn)處，求為多少分米．
17．（2022?崇明區(qū)二模）為解決群眾“健身去哪兒”問題，某區(qū)2021年新建、改建90個市民益智健身苑點(diǎn)，圖1是某益智健身苑點(diǎn)中的“側(cè)擺器”．鍛煉方法：面對器械，雙手緊握扶手，雙腳站立于踏板上，腰部發(fā)力帶動下肢做左右擺式運(yùn)動．
（1）如圖2是側(cè)擺器的抽象圖，已知擺臂的長度為80厘米，在側(cè)擺運(yùn)動過程中，點(diǎn)為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動過程中的最低點(diǎn)位置，點(diǎn)為踏板中心在側(cè)擺運(yùn)動過程中的最高點(diǎn)位置，，求踏板中心點(diǎn)在最高位置與最低位置時的高度差．（精確到0.1厘米），，
（2）小杰在側(cè)擺器上進(jìn)行鍛煉，原計劃消耗400大卡的能量，由于小杰加快了運(yùn)動頻率，每小時能量消耗比原計劃增加了100大卡，結(jié)果比原計劃提早12分鐘完成任務(wù)，求小杰原計劃完成鍛煉需多少小時？
五．解直角三角形的應(yīng)用-坡度坡角問題（共5小題）
18．（2024?南崗區(qū)校級一模）如圖，先鋒村準(zhǔn)備在坡角為的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的水平距離為5米，那么這兩樹在坡面上的距離為
A．B．C．D．
19．（2022秋?黃浦區(qū)期末）如圖，某幢樓的樓梯每一級臺階的高度為20厘米，寬度為30厘米，那么斜面的坡度為 ．
20．（2023秋?楊浦區(qū)期末）小華沿著坡度的斜坡向上行走了米，那么他距離地面的垂直高度上升了 米．
21．（2023?普陀區(qū)二模）如圖，斜坡的坡度，現(xiàn)需要在不改變坡高的情況下將坡度變緩，調(diào)整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡 米．
22．（2022秋?靜安區(qū)校級期末）某大型購物中心為方便顧客地鐵換乘，準(zhǔn)備在底層至層之間安裝電梯，截面圖如圖所示，底層與層平行，層高為9米，、間的距離為6米，．
（1）請問身高1.9米的人在豎直站立的情況下搭乘電梯，在處會不會碰到頭？請說明理由．
（2）若采取中段平臺設(shè)計（如圖虛線所示）．已知平臺，且段和段的坡度，求平臺的長度．
【參考數(shù)據(jù)：，，】
六．解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共16小題）
23．（2023秋?嘉定區(qū)期末）一架飛機(jī)在離地面6000米的上空測得某一建筑物底部的俯角為，此時這架飛機(jī)與這一建筑物底部之間的距離是
A．6000米B．12000米C．米D．米
24．（2023?崇明區(qū)一模）飛機(jī)離水平地面的高度為3千米，在飛機(jī)上測得該水平地面上的目標(biāo)點(diǎn)的俯角為，那么此時飛機(jī)與目標(biāo)點(diǎn)的距離為 千米．（用的式子表示）
25．（2024?徐匯區(qū)校級三模）社團(tuán)活動課上，九年級學(xué)習(xí)小組測量學(xué)校旗桿的高度．如圖，他們在處測得旗桿頂部的仰角為，，則旗桿的高度為 ．
26．（2023秋?松江區(qū)期末）如圖，處有一垂直于地面的標(biāo)桿，熱氣球沿著與的夾角為的方向升空，到達(dá)處，這時在處的正東方向200米的處測得的仰角為、、在同一平面內(nèi)）．求、之間的距離．（結(jié)果精確到1米，
27．（2022秋?閔行區(qū)期末）2022年11月12日10時03分，搭載天舟五號貨運(yùn)飛船的長征七號遙六運(yùn)載火箭，在海南文昌航天發(fā)射場成功發(fā)射．天舟五號貨運(yùn)飛船重約13.6噸，長度米，貨物倉的直徑可達(dá)3.35米，是世界現(xiàn)役貨物運(yùn)輸能力最大、在軌支持能力最全面的貨運(yùn)飛船，堪稱“在職最強(qiáng)快遞小哥”．已知飛船發(fā)射塔垂直于地面，某人在地面處測得飛船底部處的仰角，頂部處的仰角為，求此時觀測點(diǎn)到發(fā)射塔的水平距離（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，
28．（2022秋?閔行區(qū)期中）如圖，在電線桿上的處引拉線和固定電線桿．在離電線桿6米的處安置測角儀（點(diǎn)、、在同一直線上），在點(diǎn)處測得電線桿上處的仰角為．已知測角儀的高為米，拉線的長為6米，求測角儀底端（點(diǎn)與拉線固定點(diǎn)（E）之間的距離．
29．（2024?上海模擬）如圖，某處有一座塔，塔的正前方有一平臺，平臺的高米，斜坡的坡度，點(diǎn)，，，在同一條水平直線上．某數(shù)學(xué)興趣小組為測量該塔的高度，在斜坡處測得塔頂部的仰角為，在斜坡處測得塔頂部的仰角為，求塔高．（精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
30．（2024?崇明區(qū)）如圖，某校九年級興趣小組在學(xué)習(xí)了解直角三角形知識后，開展了測量山坡上某棵大樹高度的活動．已知小山的斜坡的坡度，在坡面處有一棵樹（假設(shè)樹垂直水平線，在坡底處測得樹梢的仰角為，沿坡面方向前行30米到達(dá)處，測得樹梢的仰角為．（點(diǎn)、、在一直線上）
（1）求、兩點(diǎn)的距離；
（2）求樹的高度（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：
31．（2023秋?黃浦區(qū)期末）在世紀(jì)公園的小山坡上有一棵松樹，初三（3）班的雛鷹小隊帶著工具對這棵松樹進(jìn)行測量，并試圖利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識與方法推算出這棵松樹的高度．他們選好位置架設(shè)測角儀先測出了這棵松樹的根部與頂端的仰角，并繪制了如下示意圖：測角儀為，樹根部為、樹頂端為，其中，視線的仰角為（已知，視線的仰角為（已知．
（1）測得這兩個數(shù)據(jù)后，小明說：“我可以算出這棵松樹的高度了．”小聰接著說：“不對吧，只知道這兩個角度，這個示意圖顯然是可以進(jìn)行放大或縮小的，高度一定是確定不了的．如果還能測出測角儀到松樹的垂直距離，即圖示中的長度，就可以了．”設(shè)，請你用含有的代數(shù)式表示松樹的高度．
（2）小明又反問道：“雖然我們帶了尺，是一把刻度精確到1分米，長為2米的直尺，但也沒有辦法量出的長度，我們總不能把坡給挖平了吧？”請你想一個測量辦法，利用現(xiàn)有的工具，測量出有關(guān)數(shù)據(jù)（數(shù)據(jù)可以用字母常數(shù)表示），并用含有這些字母常數(shù)的表達(dá)式表示出松樹的高度．
32．（2023秋?長寧區(qū)期末）小明為測量河對岸大樓的高度，利用量角器和鉛錘自制了一個簡易測角儀，如圖1所示．
測量方法：如圖2，人眼在點(diǎn)觀察所測物體最高點(diǎn)，量角器零刻度線上、兩點(diǎn)均在視線上，將鉛錘懸掛在量角器的中心點(diǎn)．當(dāng)鉛錘靜止時，測得視線與鉛垂線所夾的角為，且此時的仰角為．
實(shí)踐操作：如圖3，小明利用上述工具測量河對岸垂直于水平地面的大樓的高度．他先站在水平地面的點(diǎn)處，視線為，此時測角儀上視線與鉛垂線的夾角為；然后他向前走10米靠近大樓站在水平地面的點(diǎn)處，視線為，此時測角儀上視線與鉛垂線的夾角為．
問題解決：（1）請用含的代數(shù)式表示仰角；
（2）如果、、在同一平面內(nèi)，小明的眼睛到水平地面的距離為1.6米，求大樓的高度．（結(jié)果保留根號）
33．（2023秋?靜安區(qū)期末）如圖，某建筑物高為200米，某人乘熱氣球來到距地面400米的處（即長為400米）．此時測得建筑物頂部的俯角為，當(dāng)乘坐的熱氣球垂直上升到達(dá)處后，再次測得建筑物頂部的俯角為．
（1）請在圖中標(biāo)出俯角、，并用計算器求、的大?。? ， ；（精確到“1”
（2）求熱氣球上升的垂直高度（即的長）．
34．（2023秋?嘉定區(qū)期末）如圖，小山的頂部是一塊平地，在這塊平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度為，坡長為39米，在小山的坡底處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫?，在坡頂處測得該塔的塔頂?shù)难鼋菫椋?br>（1）求坡頂?shù)降孛娴木嚯x的長；
（2）求古塔的高度（結(jié)果精確到1米）．
（參考數(shù)據(jù)：，，
35．（2022秋?嘉定區(qū)期末）《海島算經(jīng)》是中國古代測量術(shù)的代表作，原名《重差》．這本著作建立起了從直接測量向間接測量的橋梁．直至近代，重差測量法仍有借鑒意義．
如圖2，為測量海島上一座山峰的高度，直立兩根高2米的標(biāo)桿和，兩桿間距相距6米，、、三點(diǎn)共線．從點(diǎn)處退行到點(diǎn)，觀察山頂，發(fā)現(xiàn)、、三點(diǎn)共線，且仰角為；從點(diǎn)處退行到點(diǎn)，觀察山頂，發(fā)現(xiàn)、、三點(diǎn)共線，且仰角為．（點(diǎn)、都在直線上）
（1）求的長（結(jié)果保留根號）；
（2）山峰高度的長（結(jié)果精確到0.1米）．（參考數(shù)據(jù)：，
36．（2023秋?青浦區(qū)期末）北淀浦河上的浦倉路橋是一座融合江南水鄉(xiāng)文化氣息的現(xiàn)代空間鋼結(jié)構(gòu)人行廊橋．某校九年級數(shù)學(xué)興趣小組開展了測量“浦倉路橋頂部到水面的距離”的實(shí)踐活動，他們的操作方法如下：如圖，在河的一側(cè)選取、兩點(diǎn)，在處測得浦倉路橋頂部點(diǎn)的仰角為，再往浦倉路橋橋頂所在的方向前進(jìn)17米至處，在處測得點(diǎn)的仰角為，在處測得地面到水面的距離為1.2米（點(diǎn)、、在一條直線上，，，，求浦倉路橋頂部到水面的距離．（精確到0.1米）
（參考數(shù)據(jù)：，，，，，
37．（2023?長寧區(qū)二模）為了測量某建筑物的高度，從與建筑物底端在同一水平線的點(diǎn)出發(fā)，沿著坡比為的斜坡行走一段路程至坡頂處，此時測得建筑物頂端的仰角為，再從處沿水平方向繼續(xù)行走100米后至點(diǎn)處，此時測得建筑物頂端的仰角為，建筑物底端的俯角為，如圖，已知點(diǎn)、、、、在同一平面內(nèi)，求建筑物的高度與的長．（參考數(shù)據(jù)：
38．（2023秋?靜安區(qū)校級期中）如圖1所示是一種太陽能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成．如圖2，是燈桿，是燈管支架，燈管支架與燈桿間的夾角．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架的長度，他們在地面的點(diǎn)處測得燈管支架底部的仰角為，在點(diǎn)處測得燈管支架頂部的仰角為，測得，，，在同一條直線上）．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，解答下列問題：
（1）求燈管支架底部距地面高度的長（結(jié)果保留根號）；
（2）求燈管支架的長度（結(jié)果精確到，參考數(shù)據(jù)：．
七．解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）
39．（2023秋?青浦區(qū)校級月考）如圖，某湖心島上有一亭子，在亭子的正東方向上的湖邊有一棵樹，在這個湖心島的湖邊處測得亭子在北偏西方向上，測得樹在北偏東方向上，又測得、之間的距離等于200米，求、之間的距離
（結(jié)果精確到1米）．（參考數(shù)據(jù)：，，，，
40．（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）如圖，湖心島上有一涼亭，在涼亭的正東湖邊有一棵大樹，在湖邊的處測得在北偏西方向上，測得在北偏東方向上，又測得、之間的距離為100米，則、之間的距離是 米（結(jié)果保留根號形式）．

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