目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc23805" 【典型例題】 PAGEREF _Tc23805 \h 1
\l "_Tc8679" 【考點(diǎn)一 已知圓心角的度數(shù)，求弧長】 PAGEREF _Tc8679 \h 1
\l "_Tc31048" 【考點(diǎn)二 已知弧長，求圓心角的度數(shù)】 PAGEREF _Tc31048 \h 2
\l "_Tc184" 【考點(diǎn)三 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】 PAGEREF _Tc184 \h 3
\l "_Tc481" 【考點(diǎn)四 已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積】 PAGEREF _Tc481 \h 6
\l "_Tc14186" 【考點(diǎn)五 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】 PAGEREF _Tc14186 \h 7
\l "_Tc11633" 【考點(diǎn)六 求弓形的面積】 PAGEREF _Tc11633 \h 9
\l "_Tc614" 【考點(diǎn)七 求其他不規(guī)則圖形的面積】 PAGEREF _Tc614 \h 12
\l "_Tc11675" 【考點(diǎn)八 求圓錐的側(cè)面積與底面半徑】 PAGEREF _Tc11675 \h 15
\l "_Tc54" 【考點(diǎn)九 求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】 PAGEREF _Tc54 \h 17
\l "_Tc21605" 【考點(diǎn)十 圓錐側(cè)面上最短路徑問題】 PAGEREF _Tc21605 \h 18
\l "_Tc22981" 【過關(guān)檢測(cè)】 PAGEREF _Tc22981 \h 22
【典型例題】
【考點(diǎn)一 已知圓心角的度數(shù)，求弧長】
例題：（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）已知扇形的半徑為3cm，圓心角為，則該扇形的弧長為 cm．
【答案】/
【分析】直接利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：，扇形的半徑為3cm，圓心角為，
∴扇形的弧長，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了弧長公式的應(yīng)用，熟練掌握弧長公式：是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考一模）一個(gè)扇形的半徑為4，圓心角為，則此扇形的弧長為 ．
【答案】
【分析】利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：弧長為；
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查求弧長．熟練掌握弧長公式，是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）若扇形的圓心角為，半徑為，則它的弧長為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)弧長公式即可求解．
【詳解】解：扇形的圓心角為，半徑為，
∴它的弧長為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了求弧長，熟練掌握弧長公式是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)二 已知弧長，求圓心角的度數(shù)】
例題：（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考三模）一個(gè)扇形的面積為，弧長為，則該扇形的圓心角的度數(shù)為 ．
【答案】/100度
【分析】根據(jù)弧長和扇形面積關(guān)系可得，求出R，再根據(jù)扇形面積公式求解.
【詳解】∵一個(gè)扇形的弧長是，面積是，
∴，即，解得：，
∴，解得：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算；弧長的計(jì)算．熟記公式，理解公式間的關(guān)系是關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考二模）扇形的弧長為，半徑是12，該扇形的圓心角為 度．
【答案】90
【分析】設(shè)此扇形的圓心角為，代入弧長公式計(jì)算，得到答案．
【詳解】解：設(shè)此扇形的圓心角為，
由題意得，，
解得，，
故答案為：90．
【點(diǎn)睛】本題考查的是弧長的計(jì)算，掌握弧長的公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·浙江溫州·校考三模）若扇形半徑為4，弧長為，則該扇形的圓心角為 ．
【答案】/90度
【分析】設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為n，根據(jù)弧長公式即可得出結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)扇形圓心角的度數(shù)為n，
∵扇形的弧長為2π，
∴，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形的面積公式，熟記扇形的面積公式及弧長公式是解答此題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)三 求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑長度】
例題：（2023秋·云南昭通·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，其中點(diǎn)與點(diǎn)A對(duì)應(yīng)，點(diǎn)與點(diǎn)B對(duì)應(yīng)．如果，．則點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長度為 （含的式子表示）
【答案】
【分析】A點(diǎn)坐標(biāo)為已知，求出長度，再利用弧長公式求解即可．
【詳解】解：
如圖，由題意A點(diǎn)以原點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了
點(diǎn)A經(jīng)過的路徑的長度
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)、弧長等知識(shí)點(diǎn)，需要熟練掌握弧長計(jì)算公式．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，．將繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到，若點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在線段上，則點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路徑長是 cm（結(jié)果用含的式子表示）．

【答案】
【分析】由于旋轉(zhuǎn)到，故C的運(yùn)動(dòng)路徑長是的圓弧長度，根據(jù)弧長公式求解即可．
【詳解】以A為圓心作圓弧，如圖所示．

在直角中，，則，
則．
∴．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，，又，
∴是等邊三角形．
∴．
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知，．
故弧的長度為：；
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了含角直角三角形的性質(zhì)、勾股定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、弧長公式等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡．
2．（2023·廣東東莞·?？家荒＃┤鐖D，和是兩個(gè)完全重合的直角三角板，，斜邊長為．三角板繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，則點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的路徑長為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和和含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，于是可判斷為等邊三角形，所以，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算弧的長度即可．
【詳解】∵，
∴，
∵三角板繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)落在邊上，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
∴弧的長度，
即點(diǎn)所轉(zhuǎn)過的路徑長為．
答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了弧長公式．
【考點(diǎn)四 已知圓心角的度數(shù)或弧長，求扇形的面積】
例題：（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知扇形的圓心角為，半徑為，則這個(gè)扇形的面積是 ．
【答案】
【詳解】根據(jù)扇形的面積公式即可求解．
【分析】解：扇形的面積．
故答案是：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了扇形的面積公式，熟練掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第十七中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)扇形的弧長是，圓心角是144°，則此扇形的面積是 ．
【答案】
【分析】設(shè)該扇形的半徑為，然后根據(jù)弧長公式計(jì)算半徑，然后根據(jù)扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)該扇形的半徑為，由題意得：
，解得：，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查弧長計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式，熟練掌握弧長計(jì)算公式和扇形面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·海南?？凇ず煾街行？既＃┤鐖D，正五邊形的邊長為4，以頂點(diǎn)A為圓心，長為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積是 ．
【答案】
【分析】首先確定扇形的圓心角的度數(shù)，然后利用扇形的面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：正五邊形的外角和為，
每一個(gè)外角的度數(shù)為，
正五邊形的每個(gè)內(nèi)角為，
正五邊形的邊長為4，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形和圓及扇形的面積的計(jì)算的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求得正五邊形的內(nèi)角的度數(shù)并牢記扇形的面積計(jì)算公式，難度不大．
【考點(diǎn)五 求圖形旋轉(zhuǎn)后掃過的面積】
例題：（2023·河南安陽·統(tǒng)考一模）如圖，將半徑為，圓心角為的扇形繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到扇形，則掃過的區(qū)域（即圖中陰影部分）的面積為 ．

【答案】
【分析】結(jié)合已知條件及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，根據(jù)面積的和差可得，然后利用扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】∵，，
∴為等邊三角形，
∴，
由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得，，，
則，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了扇形的面積及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，結(jié)合已知條件將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022春·四川德陽·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，將繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，已知，則線段掃過的圖形（陰影部分）的面積為 ．
【答案】/
【分析】由于將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)得到可見，陰影部分面積為扇形減扇形，分別計(jì)算兩扇形面積，在計(jì)算其差即可．
【詳解】解：從圖中可以看出，線段掃過的圖形面積為一個(gè)環(huán)形，環(huán)形中的大圓半徑是，小圓半徑是，圓心角是，所以陰影面積大扇形面積小扇形面積
【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算和陰影部分的面積，將陰影部分面積轉(zhuǎn)化為兩扇形面積的查是解題的關(guān)鍵．
2．（2022秋·山東煙臺(tái)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在Rt中，，，，將繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置，使三點(diǎn)在同一條直線上，則直角邊掃過的圖形面積為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)題意可得：，，，因此直角邊掃過的圖形面積為，因?yàn)?，因此，代入?shù)值即可求得答案．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：，，，，
所以直角邊掃過的圖形面積為，
由于，
所以，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡問題，關(guān)鍵是根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出掃過的面積構(gòu)成，利用扇形的面積公式計(jì)算即可．
【考點(diǎn)六 求弓形的面積】
例題：（2023·云南昆明·昆明八中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在扇形中，，，則陰影部分的面積是 ．
【答案】
【分析】利用扇形的面積減去三角形的面積，即可得解．
【詳解】∵，，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求陰影部分的面積．熟練掌握割補(bǔ)法求面積，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）如圖C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點(diǎn)，，則陰影部分的面積是

【答案】
【分析】設(shè)的中點(diǎn)為，連接，用扇形的面積減去的面積即可得出結(jié)果．
【詳解】解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接，

∵C、D在直徑的半圓上，D為半圓弧的中點(diǎn)，，
∴，，
∴，
∴為等邊三角形，
∴，
過點(diǎn)作，則：，
∴，
∴陰影部分的面積；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求弓形的面積，同時(shí)考查了圓周角定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)．將陰影部分的面積轉(zhuǎn)化為扇形的面積減去三角形的面積，是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·河南周口·校聯(lián)考三模）如圖，在中，，，以中點(diǎn)D為圓心、長為半徑作半圓交線段于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】
【分析】連接，，然后根據(jù)已知條件求出，，從而得到，最后結(jié)合扇形的面積計(jì)算公式求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，．

∵為直徑，
∴．
∵，
∴，
∴，，，
∵，
∴是等邊三角形，
∴，
∴陰影部分的面積=
．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查陰影部分面積計(jì)算問題，涉及到扇形面積計(jì)算，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直徑所對(duì)的圓周為直角等，掌握扇形面積計(jì)算公式是解題關(guān)鍵．
【考點(diǎn)七 求其他不規(guī)則圖形的面積】
例題：（2023春·河南漯河·九年級(jí)校考階段練習(xí)）圖1是以為直徑的半圓形紙片，，沿著垂直于的半徑剪開，將扇形沿向右平移至扇形，如圖2，其中是的中點(diǎn)，交于點(diǎn)F，則圖中陰影部分的面積為 ．

【答案】
【分析】根據(jù)題意和圖形，利用勾股定理，可以求得的長，再根據(jù)圖形，可知陰影部分的面積扇形的面積的面積扇形的面積，計(jì)算即可．
【詳解】解：連接，

由題意可得，，，，
，
，
，
陰影部分的面積是：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形面積的計(jì)算、平移的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·河南信陽·統(tǒng)考一模）如圖，正五邊形的邊長為1，分別以點(diǎn)C，D為圓心，長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，圖中陰影部分的面積為 ．（結(jié)果保留）

【答案】
【分析】連接，，由，得，求出，根據(jù)公式求出，即可得到陰影面積．
【詳解】如圖，連接，，
由題意，得，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案為：．

【點(diǎn)睛】此題考查了求不規(guī)則圖形的面積，扇形面積公式，正多邊形的性質(zhì)，正確理解圖形面積的計(jì)算方法連接輔助線是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·河南南陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，以D為圓心，以長為半徑畫弧，以C為圓心，以長為半徑畫弧，兩弧恰好交于上的點(diǎn)E處，則陰影部分的面積為 ．
【答案】
【分析】如圖，連接，根據(jù)勾股定理，得，根據(jù)陰影部分的面積為：扇形的面積減去，根據(jù)的等于扇形的面積減去，即可求解．
【詳解】解：連接，如圖：
四邊形是矩形，
，，
，
，
，
扇形的面積為：，
∵，
陰影部分的面積為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，扇形的面積，三角形面積，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的面積公式，矩形的性質(zhì)．
【考點(diǎn)八 求圓錐的側(cè)面積與底面半徑】
例題：（2023·全國·九年級(jí)專題練習(xí)）若圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，則該圓錐的側(cè)面積是 ．（結(jié)果保留）
【答案】
【分析】根據(jù)圓錐的底面圓半徑為2，母線長為5，直接利用圓錐的側(cè)面積公式求出即可．
【詳解】解：根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式：，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐側(cè)面面積的計(jì)算，熟練記憶圓錐的側(cè)面積公式是解決問題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·云南昭通·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若圓雉的側(cè)面積為，底面圓半徑為3，則該圓雉的母線長是 ．
【答案】4
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積，列出方程求解即可．
【詳解】解：∵圓錐的側(cè)面積為，底面半徑為3，
．
解得：，
故答案為：4．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積，解題關(guān)鍵是熟記圓錐的側(cè)面積公式，列出方程進(jìn)行求解．
2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）若圓錐的底面半徑為3cm，母線長為4cm，則圓錐的側(cè)面積為 ．（結(jié)果保留π）
【答案】
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式計(jì)算即可．
【詳解】解：∵圓錐的底面半徑為3cm，母線長為4cm，
∴圓錐的側(cè)面積為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的側(cè)面積，屬于簡(jiǎn)單題，熟練掌握扇形面積公式是解題關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)是120°，母線長為3，則圓錐的底面圓的半徑是 ．
【答案】1
【分析】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到，然后解關(guān)于r的方程即可．
【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑為r，根據(jù)題意得，
解得．
故答案為1．
【點(diǎn)睛】本題考查圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是知道圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長．
4．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考二模）某個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，則這個(gè)圓錐的底面半徑為 cm．
【答案】2
【分析】把扇形的弧長等于圓錐底面周長作為相等關(guān)系，列方程求解．
【詳解】解：設(shè)此圓錐的底面半徑為，
根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖扇形的弧長等于圓錐底面周長可得，
，
故答案為．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓的周長和圓弧長的計(jì)算，熟練掌握它們的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)九 求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角】
例題：（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知圓錐的底面圓半徑是，母線長是，則圓錐側(cè)面展開的扇形圓心角是 ．
【答案】/度
【分析】根據(jù)圓錐的底面周長，就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，利用弧長公式可得圓錐側(cè)面展開圖的角度，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】解：∵圓錐底面半徑是，
∴圓錐的底面周長為，
設(shè)圓錐的側(cè)面展開的扇形圓心角為，
∴，
解得：，
∴圓錐側(cè)面展開的扇形圓心角是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐側(cè)面展開圖的圓心角．掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖的弧長等于圓錐的底面周長是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）已知圓錐的母線長5，底面半徑為3，則圓錐的側(cè)面積為 ，圓錐側(cè)面展開圖形的圓心角是 度．
【答案】 216
【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式即可求解該圓錐的側(cè)面積；結(jié)合弧長公式求出圓錐側(cè)面展開圖形的圓心角即可．
【詳解】解：圓錐的側(cè)面積，
圓錐的底面周長，
扇形圓心角．
故答案為：，216．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓錐的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是弄清圓錐的側(cè)面積的計(jì)算方法，特別是圓錐的底面周長等于圓錐的側(cè)面扇形的弧長．
2．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）若要制作一個(gè)母線長為，底面圓的半徑為的圓錐，則這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是 ．
【答案】/160度
【分析】利用圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系計(jì)算，即可求解．
【詳解】解：設(shè)這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)是n，
根據(jù)題意得：，
解得，
即這個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖，扇形圓心角與母線和底面圓半徑的關(guān)系，明確圓錐的底面圓的周長＝扇形的弧長是解答本題的關(guān)鍵．
【考點(diǎn)十 圓錐側(cè)面上最短路徑問題】
例題：（2023秋·山東東營·九年級(jí)東營市勝利第一初級(jí)中學(xué)校考期末）如圖，已知圓錐底面半徑為，母線長為，一只螞蟻從處出發(fā)繞圓錐側(cè)面一周（回到原來的位置）所爬行的最短路徑為 ．（結(jié)果保留根號(hào)）

【答案】
【分析】把圓錐的側(cè)面展開得到圓心角為120°，半徑為60的扇形，求出扇形中120°的圓心角所對(duì)的弦長即為最短路徑．
【詳解】解：圓錐的側(cè)面展開如圖：過作,
∴

設(shè)∠ASB＝n°，
即：，
得：，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，特殊角的銳角三角函數(shù)值，將圓錐中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)到展開圖中是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】
1．（2023春·黑龍江齊齊哈爾·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，是圓錐底面的直徑，，母線．點(diǎn)為的中點(diǎn)，若一只螞蟻從點(diǎn)處出發(fā)，沿圓錐的側(cè)面爬行到點(diǎn)處，則螞蟻爬行的最短路程為 ．
【答案】/
【分析】先畫出圓錐側(cè)面展開圖（見解析），再利用弧長公式求出圓心角的度數(shù)，然后利用等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理可得，最后根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短即可得．
【詳解】畫出圓錐側(cè)面展開圖如下：
如圖，連接、，
設(shè)圓錐側(cè)面展開圖的圓心角的度數(shù)為，
因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形，扇形的弧長等于底面圓的周長，扇形的半徑等于母線長，
所以，
解得，
則，
又，
是等邊三角形，
點(diǎn)為的中點(diǎn)，
，，
在中，，
由兩點(diǎn)之間線段最短可知，螞蟻爬行的最短路程為，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖、弧長公式、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面展開圖是解題關(guān)鍵．
2．（2022秋·重慶沙坪壩·八年級(jí)重慶八中?？计谥校┤鐖D1，一只螞蟻從圓錐底端點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐表面爬行一周后回到點(diǎn)A，將圓錐沿母線OA剪開，其側(cè)面展開圖如圖2所示，若=120°，OA=，則螞蟻爬行的最短距離是 ．
【答案】3
【分析】連接，作于點(diǎn)，根據(jù)題意，結(jié)合兩點(diǎn)之間線段最短，得出即為螞蟻爬行的最短距離，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得出，再根據(jù)直角三角形中所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，得出，再根據(jù)勾股定理，得出，再根據(jù)三線合一的性質(zhì)，得出，再根據(jù)線段之間的數(shù)量關(guān)系，得出即可解答．
【詳解】解：如圖，連接，作于點(diǎn)，
∴即為螞蟻爬行的最短距離，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
∴螞蟻爬行的最短距離為3．
故答案為：3
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面上最短路徑問題、三角形的內(nèi)角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三線合一的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，正確作出輔助線、構(gòu)造等腰三角形和直角三角形是解題的關(guān)鍵．
【過關(guān)檢測(cè)】
一、單選題
1．（2023·黑龍江哈爾濱·哈爾濱市第四十七中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)扇形的半徑是，圓心角是，則此扇形的弧長是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：由題意得，扇形的半徑為，圓心角為，
故此扇形的弧長為，
故選：A．
【點(diǎn)睛】此題考查了扇形弧長的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握弧長計(jì)算公式，難度一般．
2．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）已知圓錐的底面半徑為4，母線長為5，則圓錐的側(cè)面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長，把相關(guān)數(shù)值代入即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意可得：
圓錐的側(cè)面積為：，
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積展開圖公式，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積的計(jì)算公式：圓錐的側(cè)面積＝×底面半徑×母線長．
3．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，一塊含有角的直角三角板，在水平桌面上繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置．若的長為，那么頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑長為（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】頂點(diǎn)從開始到結(jié)束所經(jīng)過的路徑是一段弧長是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，旋轉(zhuǎn)的角度是，所以根據(jù)弧長公式可得．
【詳解】解：在含有角的直角三角板中，，，
，，
，
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查弧長公式，解題的關(guān)鍵是弄準(zhǔn)弧長的半徑和圓心角的度數(shù)．
4．（2023秋·江蘇·九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在扇形中，，半徑，將扇形沿過點(diǎn)的直線折疊，使點(diǎn)恰好落在上的點(diǎn)處，折痕為，則陰影部分的面積為（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【分析】連接，由折疊的性質(zhì)可得，從而得到為等邊三角形，再求出，從而得出，進(jìn)行得出，最后由與面積相等及，進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．
【詳解】解：如圖，連接，
，
根據(jù)折疊的性質(zhì)，，
，
為等邊三角形，
，
，
，
，
，
與面積相等，
，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、扇形面積的計(jì)算—求不規(guī)則圖形的面積，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，得到是解題的關(guān)鍵．
5．（2023·遼寧撫順·統(tǒng)考一模）如圖1是一塊弘揚(yáng)“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”的扇面宜傳展板，該展板的部分示意圖如圖2所示，它是以為圓心，長分別為半徑，圓心角形成的扇面，若，則陰影部分的面愁為（ ）

A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)計(jì)算即可．
【詳解】
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查的是扇形面積的計(jì)算，掌握扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
6．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）圓錐母線長，底面圓半徑，則圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是 ．
【答案】/90度
【分析】根據(jù)弧長公式，弧長與圓錐底面圓的周長相等，建立等式計(jì)算即可．
【詳解】∵圓錐母線長，底面圓半徑，圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，
∴，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面展開，弧長公式，熟練掌握展開的特點(diǎn)，牢記弧長公式是解題的關(guān)鍵．
7．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，半圓的直徑，弦，的長為，則的長為 ．

【答案】
【分析】由題意可知：是等邊三角形，從而可求出弧的長度，再求出半圓弧的長度后，即可求出弧的長度．
【詳解】解：連接、，

，
是等邊三角形，
，
的長，
又半圓弧的長度為：，
．
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查圓了弧長的計(jì)算，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中等題型．
8．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考中考真題）用半徑為，面積為的扇形紙片，圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為 ．
【答案】
【分析】應(yīng)為圓錐側(cè)面母線的長就是側(cè)面展開扇形的半徑，利用圓錐側(cè)面面積公式：，就可以求出圓錐的底面圓的半徑．
【詳解】解：設(shè)圓錐底面圓的半徑為，，
由扇形的面積：，
得：
故答案為：
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面面積的相關(guān)計(jì)算，熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面面積的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，注意用扇形圍成的圓錐，扇形的半徑就是圓錐的母線．
9．（2023·吉林長春·校聯(lián)考二模）如圖，是的直徑，，點(diǎn)在上（點(diǎn)不與、重合），過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，連接．若，則的長度是 （結(jié)果保留）
【答案】/
【分析】連接，根據(jù)切線的性質(zhì)，得出，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，得出，即，再根據(jù)圓的基本概念，得出，再根據(jù)弧長公式，計(jì)算即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵是的切線，
∴，
∴，
又∵，
∴，
即，
又∵是的直徑，，
∴，
∴的長度為：．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、弧長公式，解本題的關(guān)鍵在熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)定理．
10．（2023秋·河南開封·九年級(jí)開封市第十三中學(xué)?？计谀┤鐖D，在中，，，，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得，將線段繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后得線段，分別以，為圓心，，長為半徑畫和 ，連接，則圖中陰影部分面積是 ．

【答案】
【分析】作于點(diǎn)，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)面積和差計(jì)算即可．
【詳解】如圖，過作于，

∵，，，
∴由勾股定理得：，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】此題考查了扇形面積的計(jì)算、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握扇形的面積公式和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
三、解答題
11．（2023秋·河北張家口·七年級(jí)統(tǒng)考期末）一個(gè)圓被分成三個(gè)扇形，其中一個(gè)扇形的圓心角為，另外兩個(gè)扇形的圓心角度數(shù)的比為．
(1)求另外兩個(gè)扇形的圓心角；
(2)若圓的半徑是，求圓心角為的扇形的面積（結(jié)果保留）．
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）設(shè)另外兩個(gè)扇形的圓心角度數(shù)分別為度與度，根據(jù)周角為，即可求得x的值，從而求得另外兩個(gè)扇形圓心角度數(shù)；
（2）利用扇形面積公式計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：設(shè)另外兩個(gè)扇形的圓心角度數(shù)分別為度與度，
由題意得：，
解得：，
另外兩個(gè)扇形的圓心角分別為：
答：另外兩個(gè)扇形的圓心角分別為和．
（2）解：由扇形面積公式得：，
答：圓心角為的扇形的面積．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用、求扇形面積等知識(shí)，題目較簡(jiǎn)單，是基礎(chǔ)題，掌握這些知識(shí)是關(guān)鍵．
12．（2023春·湖南長沙·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在矩形中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑的與對(duì)角線相交于點(diǎn)，與邊相交于點(diǎn)，連接，且．

(1)求證：為的切線；
(2)若當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，的半徑為，求陰影部分的面積．
【答案】(1)見詳解；
(2)．
【分析】（1）連接，得到，利用等角代換證明，從而得到，即證為的切線；
（2）過點(diǎn)作，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，可證為正三角形，從而得到，，利用垂徑定理和含角的直角三角形的性質(zhì)可求得、的長，再利用三角形面積公式和扇形面積公式即可求陰影面積．
【詳解】（1）證明：連接，

∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在矩形中，，
∴，
∴，
∴，
∴為的切線，
（2）由題意，在中，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，且，
則為正三角形，即，
∴，
∴，
過點(diǎn)作于H，如圖所示；

∵的半徑為，
∴，
∴
∴，
∴，
，
=．
【點(diǎn)睛】本題考查圓的計(jì)算與證明——切線的證明與線段長的計(jì)算，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有切線的證明方法、垂徑定理、矩形的性質(zhì)、含30度的直角三角形的性質(zhì)與斜邊中線性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形面積與扇形面積公式、不規(guī)則圖形面積的求法、輔助線的應(yīng)用；掌握直角三角形的邊角關(guān)系以及矩形、等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
13．（2023·江蘇·九年級(jí)假期作業(yè)）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)A、B、C，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中進(jìn)行下列操作：
(1)請(qǐng)?jiān)趫D中確定該圓弧所在圓心D點(diǎn)的位置，D點(diǎn)坐標(biāo)為______；
(2)連接，則的半徑為______；扇形的圓心角度數(shù)為______；
(3)若扇形是某一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐的底面半徑．
【答案】(1)畫圖見解析，
(2)，
(3)
【分析】（1）找到的垂直平分線的交點(diǎn)D，設(shè)，由，利用兩點(diǎn)間距離公式解方程即可求出y的值，即可得到圓心坐標(biāo)；
（2）利用勾股定理求出得長，即可得到圓的半徑長，再根據(jù)勾股定理的逆定理證明是直角三角形，即，則扇形的圓心角度數(shù)為；
（3）先求得扇形弧長，除以即為圓錐的底面半徑．
【詳解】（1）解：作的垂直平分線相交于點(diǎn)D．
設(shè)．
∵，
∴，
解得：，
∴．
（2）解：如圖所示，連接，
由（1）得，
∴的半徑為；
∵，
∴，
∴是直角三角形，即，
∴扇形的圓心角度數(shù)為，
故答案為：，；
（3）解：由題意得，該圓錐的底面半徑為；
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的推論以及圓錐的有關(guān)計(jì)算，勾股定理和勾股定理得逆定理．用到的知識(shí)點(diǎn)為：非直徑的弦的垂直平分線經(jīng)過圓心；圓錐的側(cè)面展開圖的弧長等于底面圓周長．
14．（2023秋·河南周口·九年級(jí)?？计谀﹫D1中的某種冰激凌的外包裝可以視為圓錐（如圖2），制作這種外包裝雷要用如圖3所示的等腰三角形材料，其中，，將扇形EAF圍成圓錐時(shí)，AE，AF恰好重合，已知圓錐的底面圓直徑，母線長．
(1)求這種加工材料的頂角的大小．
(2)求加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積．（結(jié)果保留）
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的扇形面積公式，即可求解；
（2）分別求得和扇形的面積，進(jìn)而即可求解．
【詳解】（1）解：設(shè)，依題意，
∴，
∴；
（2）解：設(shè)加工材料剩余部分（圖中陰影部分）的面積為，
∵，是等腰直角三角形，
∴，
∴,
∴
【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積公式，扇形面積公式，掌握扇形面積公式是解題的關(guān)鍵．
15．（2023秋·江西贛州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖為的直徑，且，點(diǎn)是弧上的一動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接．

(1)若，求線段的長度；
(2)求證：是的切線；
(3)當(dāng)時(shí)，求圖中陰影部分面積．
【答案】(1)
(2)見解析
(3)
【分析】（1）連接，如圖，連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理得到，根據(jù)三角形的面積公式和勾股定理即可得到結(jié)論；
（2）連接，，由是的中點(diǎn)，可得，證明，得，則結(jié)論得證；
（3）陰影部分的面積即為四邊形的面積減去扇形的面積．
【詳解】（1）如圖，連接，

是的切線，
，
，
為的直徑，
，
，
；
（2）連接
為的直徑，
，在中，
，
，
，
是的切線，
，
為半徑，
是的切線；
（3）
，
，
，
．
四邊形的面積為，
陰影部分面積為．
【點(diǎn)睛】此題考查了圓的綜合題，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積的計(jì)算，直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、切線的判定方法、扇形的面積計(jì)算方法，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

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