由 常德市一中 長沙市一中 湖南師大附中 雙峰縣一中 桑植縣一中
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命題學(xué)校：株洲市二中 審題學(xué)校：武岡市一中
注意事項(xiàng)：
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一?選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1 已知集合，，則（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式可得與，從而進(jìn)行集合間的運(yùn)算.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以或，
所以，
故選：D.
2. 若（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡可得，即可得解.
【詳解】由，
得，即，
其虛部為，
故選：B
3. 圓的圓心到直線的距離為（ ）
A. B. 3C. 2D.
【答案】A
【解析】
【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心，然后代入點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.
【詳解】化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程得，
則該圓圓心到直線的距離為.
故選：A
4. 某機(jī)器上有相互嚙合的大小兩個(gè)齒輪（如圖所示），大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，若大輪的半徑為，則大輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出大輪每分鐘轉(zhuǎn)的圈數(shù)，再借助弧長公式計(jì)算即得
【詳解】由大輪有50個(gè)齒，小輪有15個(gè)齒，小輪每分鐘轉(zhuǎn)10圈，得大輪每分鐘轉(zhuǎn)圈數(shù)為，因此大輪每秒鐘轉(zhuǎn)的弧度數(shù)為，所以大輪每秒轉(zhuǎn)過的弧長是.
故選：D
5. 已知平面向量滿足，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用模的平方求出向量的數(shù)量積，再利用投影向量公式求解即可.
【詳解】計(jì)算可得，由，兩邊平方化簡，得，
將代入，可得在上的投影向量為.
故選：B.
6. 甲?乙兩名乒乓球運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行一場比賽，采用7局4勝制（先勝4局者勝，比賽結(jié)束），已知每局比賽甲獲勝的概率為，則甲第一局獲勝并最終以獲勝的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用獨(dú)立重復(fù)事件，分析獲勝情況，即可求出概率.
【詳解】甲第一局獲勝并最終以獲勝，說明甲?乙兩人在5局比賽中，甲勝了4局，輸了1局，
并且輸?shù)舻倪@局為第二局或第三局或第四局，故概率為.
故選：C
7. 已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則（ ）
A. 4049B. 4047C. 2025D. 2024
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)計(jì)算化簡得出數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而得出通項(xiàng)公式即可求解.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，即，
由數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列可知，，又，即數(shù)列是首項(xiàng)為2，公差為1的等差數(shù)列，
即，則，
當(dāng)時(shí)，；
所以.
故選：A.
8. 已知函數(shù)，若實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先判斷與的關(guān)系，然后建立等式，最后利用基本不等式求解即可.
【詳解】根據(jù)題意，，
所以，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)0,1對稱，
又因?yàn)?，其中，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，
而，所以f′x>0，所以在R上單調(diào)遞增.
則由，可得，
記，則，
可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
故的最大值為.
故選：B
二?多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 一組數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)為13
B. 若樣本數(shù)據(jù)的方差為2，那么數(shù)據(jù)的方差為1
C. 已知隨機(jī)事件和互斥，且.則
D. 已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則
【答案】AC
【解析】
【分析】選項(xiàng)A,先將數(shù)據(jù)從小到大排列，然后計(jì)算百分位數(shù)即可；選項(xiàng)B，利用方差的性質(zhì)計(jì)算即可；選項(xiàng)C，利用獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式計(jì)算即可；選項(xiàng)D，利用正態(tài)分布的概念計(jì)算即可.
【詳解】A選項(xiàng)，數(shù)據(jù)從小到大排列為，由，故第5個(gè)數(shù)作為第70百分位數(shù)，即A正確；
B選項(xiàng)，樣本數(shù)據(jù)的方差為2，則數(shù)據(jù)的方差為，所以B選項(xiàng)錯(cuò)；
C選項(xiàng)，因?yàn)楹突コ猓瑒t，
可得，
所以，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)殛P(guān)于對稱，所以錯(cuò)誤.
故選：AC
10. 已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.
B.
C. 函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增
D. 當(dāng)時(shí)，函數(shù)有8個(gè)零點(diǎn)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)圖象的振幅、周期求出和的值，根據(jù)圖象的特殊點(diǎn)和的范圍求出的值，可判斷選項(xiàng)A、B是否正確；根據(jù)求出的解析式及整體替換思想求出的單調(diào)增區(qū)間可判斷C；化簡解析式，將一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)新函數(shù)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題可判斷D.
【詳解】對于選項(xiàng)A，由圖知，，得到，
則，選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B，，又因?yàn)椋?br>所以，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
對于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D，，
整理得，，
令，得
觀察圖象知，和在上共8個(gè)交點(diǎn)，
所以Fx在上共有8個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)D正確.
故選：ACD
11. 已知矩形中，，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成一個(gè)幾何體，則（ ）
A. 該幾何體的體積為
B. 將該幾何體放入一個(gè)球內(nèi)，當(dāng)球的半徑最小時(shí)，球的表面積為
C. 將該幾何體削成一個(gè)球，則球的半徑的最大值為
D. 將該幾何體削成以為軸的圓柱，則圓柱的最大體積為
【答案】BCD
【解析】
【分析】把立體圖形利用軸截面思想轉(zhuǎn)化為平面圖形來研究，比如求體積的高，求最大圓的半徑，求內(nèi)切圓的半徑，求最大矩形.
【詳解】如圖1，以所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周形成兩個(gè)共底面的圓錐，
旋轉(zhuǎn)一周形成一個(gè)倒立的相同的幾何體，將其體積記為，
這兩個(gè)幾何體重疊部分是以圓為底面，為頂點(diǎn)的兩個(gè)小圓錐，其體積記為，
則所求幾何體體積故A錯(cuò)誤；
該幾何體可以放入的最小的球是以為直徑的球，該球的表面積為，故B正確；
C選項(xiàng)中削成的最大的球的軸截面如圖2，設(shè)球的半徑為，
則，中，，解得（舍）或，故C正確；
D選項(xiàng)中，軸截面圖如圖3，設(shè)，
則圓柱的體積為，
故時(shí)，體積有最大值，故D正確.
故選：BCD.
三?填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）
12. 已知滿足，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系及兩角差正弦公式化簡求出，最后應(yīng)用兩角和正弦即可求解.
【詳解】，
.
故答案為：23.
13. 已知分別為雙曲線右支與漸近線上的動(dòng)點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，則的最小值為__________.
【答案】4
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線的定義得出，再結(jié)合距離和最小及點(diǎn)到直線距離計(jì)算得出最小值.
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線為，
則，
，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，，
的最小值為垂直于漸近線時(shí)，
所以的最小值為.
故答案為：4.
14. 從中任意選取四元數(shù)組，滿足，則這樣的四元數(shù)組的個(gè)數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）
【答案】70
【解析】
【分析】根據(jù)題意得到，從而得到四元數(shù)組的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從8個(gè)元素中選取4個(gè)，即可得到答案.
【詳解】由題意得，
將連同右邊的3個(gè)空位捆綁，連同右邊的4個(gè)空位捆綁，連同右邊的5個(gè)空位捆綁，
分別看作一個(gè)元素，還剩個(gè)元素.
四元數(shù)組的個(gè)數(shù)相當(dāng)于從8個(gè)元素中選取4個(gè)，
故這樣的四元數(shù)組的個(gè)數(shù)是.
故答案為：70
四?解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟）
15. 在中，分別為角的對邊，.
（1）求的值；
（2）若的周長為，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）通過正弦定理將角的關(guān)系化為邊的關(guān)系，根據(jù)兩角和正弦公式即可得解；
（2）由（1）得，通過正弦定理將邊的關(guān)系化為角的關(guān)系，可得，令，則，結(jié)合的周長為，可得，最后根據(jù)三角形面積公式得結(jié)果.
【小問1詳解】
由正弦定理得，
，，
，
，
又.
由得，，所以.
【小問2詳解】
，
由正弦定理，得，
令，則，
則，解得，
的面積.
16. 如圖，在四面體中，平面為的重心，點(diǎn)在線段上，.
（1）證明：；
（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用線面垂直去證明線線垂直，中間借助線面平行和線線平行即可；
（2）利用空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量運(yùn)算來求兩平面夾角的余弦值即可.
【小問1詳解】
如圖，連接并延長交于，連接.
為的重心，，
又.
平面，
又，且平面，
平面，又平面，
.
【小問2詳解】
如圖，以為軸，為軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，
.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則取，則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則取，則，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面與平面的夾角的余弦值為.
17. 已知函數(shù)（）.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】（1）答案見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）先對函數(shù)求導(dǎo)，然后在函數(shù)的定義域內(nèi)討論導(dǎo)函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）當(dāng)時(shí)，先把問題轉(zhuǎn)化為.然后方法一：設(shè)（），通過求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極小值（也是最小值）可證結(jié)論成立.方法二：進(jìn)一步把問題轉(zhuǎn)化為：，設(shè)，證明即可.
【小問1詳解】
，
①當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；
②當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；
③當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；
④當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，
所以的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.
綜上，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是（），遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間為.
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，由題意可得，只需證明，
方法一：令，
則，
令，易知在上單調(diào)遞增，
，
故存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
故時(shí)，取得唯一的極小值，也是最小值.
，
所以，即當(dāng)時(shí)，.
方法二：不等式等價(jià)于，
只需證，
令，所以，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，
令代替得到，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
故存在，使得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號，
所以，即當(dāng)時(shí)，.
18. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，過作直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且的周長為.設(shè)的中點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn).
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.
（2）是否存在直線使得為等腰三角形？如果存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.
（3）求的正弦值的最大值.
【答案】（1）
（2）存在，或.
（3）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)離心率及橢圓定義列方程組計(jì)算得出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）先設(shè)直線方程，再聯(lián)立方程得出韋達(dá)定理，再結(jié)合弦長公式計(jì)算化簡求參即可；
（3）應(yīng)用，得出正切值，，最后應(yīng)用兩角和的正切公式計(jì)算求值即可
【小問1詳解】
由題意，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
顯然的斜率不為0，設(shè)的方程為，
聯(lián)立，得，
，
，
，直線的方程為，從而，
，
若為等腰三角形，則，
又，
存在直線使得為等腰三角形，此時(shí)的方程為或.
【小問3詳解】
由（2）知，，
，同理，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，最大值時(shí)，取最大值，
最大值時(shí)有，
，即的正弦值的最大值為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題關(guān)鍵點(diǎn)是結(jié)合兩角和的正切公式結(jié)合值域化簡得出最大值即可.
19. 若項(xiàng)數(shù)為的有窮數(shù)列滿足：，且對任意的或是數(shù)列中的項(xiàng)，則稱數(shù)列具有性質(zhì).
（1）判斷數(shù)列，，，與數(shù)列，，，是否具有性質(zhì)，并說明理由；
（2）設(shè)數(shù)列具有性質(zhì)，是中的任意一項(xiàng)，證明：一定是中的項(xiàng)；
（3）若數(shù)列具有性質(zhì)，證明：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是等比數(shù)列.
【答案】（1）數(shù)列，，，具有性質(zhì)，數(shù)列，，，不具有性質(zhì)，理由見解析
（2）證明見解析 （3）證明見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)性質(zhì)的定義直接判斷；
（2）由數(shù)列具有性質(zhì)，可得不是數(shù)列中的項(xiàng)，所以為數(shù)列中的項(xiàng)，由，所以是數(shù)列中的項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不是數(shù)列中的項(xiàng)，所以一定是數(shù)列中的項(xiàng)；
（3）由已知可得，結(jié)合（2）可得，所以（*），易知當(dāng)，是數(shù)列中的項(xiàng)，由，且，可得，因?yàn)?，由以上可知：且，所以且，所以，可得，即可得證.
【小問1詳解】
數(shù)列，，，，則，，，，，，，
所以數(shù)列，，，具有性質(zhì)；
數(shù)列，，，，，，都不是數(shù)列里的項(xiàng)，所以數(shù)列，，，不具有性質(zhì).
【小問2詳解】
由數(shù)列具有性質(zhì)，
由，可得，
即不是數(shù)列中項(xiàng)，所以為數(shù)列中的項(xiàng)，
由，所以是數(shù)列中的項(xiàng)，
當(dāng)時(shí)，則，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，
因?yàn)閿?shù)列具有性質(zhì)，所以一定是數(shù)列中的項(xiàng)；
綜上，一定是中的項(xiàng)；
【小問3詳解】
依題意，所以，
由（2）可知一定是中的項(xiàng)，
所以，，，，，，
所以（*）
當(dāng)，則，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，
所以是數(shù)列中的項(xiàng)，由，
又因?yàn)椋?br>可得，，，，
所以，
因?yàn)?，由以上可知：且?br>所以且，
所以，（**）
由（*）知，，
兩式相除，可得，
所以當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列.

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