福建省龍巖市一級(jí)校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期11月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

命題人:漳平一中葉建誼連城一中陳益興上杭一中賴(lài)偉英
一、單選題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 設(shè)集合，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】化簡(jiǎn)兩集合，再求即可.
【詳解】解：因?yàn)?br>，
所以或，
所以.
故選：B
2. 命題“”為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】存在性命題為假等價(jià)于“”為真，應(yīng)用參變分離求解即可.
【詳解】解：因?yàn)槊}“”為假命題
等價(jià)于“”為真命題，
所以，
所以只需.
設(shè)，
則在上單增，所以.
所以，即.
故選：A
3. 設(shè)為等差數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，則的值為（）
A. 64B. 14C. 10D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可得，再由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，從而求得.
【詳解】由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，可知：，
所以，
由等差數(shù)列的性質(zhì)“當(dāng)時(shí)，”可知：，
所以.
故選：C.
4. 已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足，則的最小值為（）
A. 4B. 6C. D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由解出a，代入，進(jìn)行適當(dāng)變形，應(yīng)用基本不等式求最小值即可.
【詳解】解：因正數(shù)a，b滿(mǎn)足，
所以，所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.
故選：D
5. 人臉識(shí)別就是利用計(jì)算機(jī)檢測(cè)樣本之間的相似度，余弦距離是檢測(cè)相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，定義余弦相似度為，余弦距離為.已知點(diǎn)，若P，Q的余弦距離為，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先求出，根據(jù)所給定義可得，再由二倍角公式計(jì)算可得.
【詳解】因?yàn)?，?br>所以，，
所以，，，
所以，
則，的余弦距離為，所以，
所以.
故選：D
6. 已知等比數(shù)列的公比為，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充分必要條件D. 既不充分又不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與不等式的性質(zhì)，分析出成立的充要條件，進(jìn)而判斷即可.
【詳解】根據(jù)題意，成立時(shí)，有，
結(jié)合，得，即qn?1q2?1>0，
①當(dāng)時(shí)，可得，所以，即；
②當(dāng)時(shí)，為偶數(shù)時(shí)，，可得，所以，
為奇數(shù)時(shí)，，可得，所以，
因此不存在滿(mǎn)足成立，
綜上所述，成立的充要條件是，
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A.
7. 已知函數(shù)，若對(duì)任意，都有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】問(wèn)題等價(jià)于在單調(diào)遞增，根據(jù)分段函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增的等價(jià)條件求解即可.
【詳解】解：設(shè).
由對(duì)任意，都有，
即，也就是，
所以在單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以，所以；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以恒成立，即恒成立，
又因?yàn)?，所以?br>所以只需即可，
所以或，
所以.
在單調(diào)遞增，
還應(yīng)該滿(mǎn)足，
即或，又因?yàn)椋?br>所以.
故選：A
8. 已知，定義運(yùn)算@:，其中是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).若，設(shè)實(shí)數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則的最小值為（）
A. B. C. eD. 2e
【答案】B
【解析】
【分析】對(duì)目標(biāo)不等式進(jìn)行同構(gòu)轉(zhuǎn)化，得到“”.再構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，得到，再分離參數(shù)得到恒成立，只需即可，進(jìn)而求出的最小值.
【詳解】解：因?yàn)?br>所以，即，
所以，即對(duì)任意，恒成立.
設(shè)，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
因?yàn)閷?duì)任意，恒成立，
所以對(duì)任意，恒成立.
所以對(duì)任意，恒成立.即恒成立.
設(shè)，則，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，.
所以對(duì)任意，恒成立，只需即可.
故的最小值為.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題對(duì)目標(biāo)不等式進(jìn)行同構(gòu)轉(zhuǎn)化，得到“”是解題的關(guān)鍵.
再構(gòu)造函數(shù)，利用其單調(diào)性，使問(wèn)題迎刃而解.
二、多選題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 已知向量，則（）
A. B. 當(dāng)時(shí)，
C. 當(dāng)時(shí)，D. 在上的投影向量的坐標(biāo)為
【答案】ABD
【解析】
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求差向量的模；應(yīng)用兩向量垂直等價(jià)于數(shù)量積為0化簡(jiǎn)；應(yīng)用向量平行的條件求解；應(yīng)用坐標(biāo)形式求投影向量即可.
【詳解】解：因?yàn)椋?br>所以，所以，故A正確；
因?yàn)?，且?br>所以，即，故B正確；
因?yàn)?，所以，即，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)樵谏系耐队跋蛄繛?，所以D正確.
故選：ABD
10. 已知函數(shù)的定義域?yàn)?，?duì)任意都有，且，，則（）
A. 的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)B. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C. D. 為偶函數(shù)
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、奇偶性、周期性逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】∵，則的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，故A正確，B錯(cuò)誤；
∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，又，
∴，則，
即，∴函數(shù)的周期為8，
則，故C正確；
∵，
所以為奇函數(shù)，故D錯(cuò)誤．
故選：AC.
11. 已知函數(shù)，則（）
A. 是以為周期的函數(shù)
B. 存在無(wú)窮多個(gè)零點(diǎn)
C. 的值域?yàn)?br>D. 至少存在三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得為偶函數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)即可判斷A,根據(jù)周期，考慮在區(qū)間上的正負(fù)，分別考率和，即可判斷在上無(wú)零點(diǎn)，可判斷BC，結(jié)合函數(shù)的周期性，分別考慮即可求解D.
【詳解】對(duì)于A, ，則是以為周期的函數(shù)，故A正確.
對(duì)于B，C，因?yàn)榈闹芷跒椋灾恍柩芯吭趨^(qū)間上的正負(fù)，
當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，且，所以在上恒成?
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
則，
當(dāng)時(shí)，有最大值1，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，故的最小值為.
綜上所述，在上的取值均大于沒(méi)有零點(diǎn).
故在上沒(méi)有實(shí)數(shù)根，即在上沒(méi)有零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤，C正確.
對(duì)于D，由，可得的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，
當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，此時(shí)為偶函數(shù).由是的周期，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).
又因?yàn)椋?br>所以的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，可知當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，至少存在這三個(gè)值，使得為偶函數(shù)，故D正確.
故選：ACD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)時(shí)，，得在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，利用換元法
得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.
三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)除法的法則計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念得到結(jié)果.
【詳解】由題意得，，
∴.
故答案為：.
13. 已知函數(shù).曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為，則____________
【答案】
【解析】
【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出斜率，結(jié)合切點(diǎn)，切線(xiàn)方程即可求出參數(shù)，；
【詳解】由于，
故，
，，
，，解得，．
，
故答案：
14. 黎曼猜想由數(shù)學(xué)家波恩哈德黎曼于1859年提出，是至今仍未解決的世界難題.黎曼猜想研究的是無(wú)窮級(jí)數(shù)，我們經(jīng)常從無(wú)窮級(jí)數(shù)的部分和入手.已知正項(xiàng)數(shù)列an的前項(xiàng)和為，且滿(mǎn)足，則______.（其中表示不超過(guò)的最大整數(shù)）
【答案】88
【解析】
【分析】根據(jù)的關(guān)系可得，即可得，利用放縮法可得，結(jié)合裂項(xiàng)求和即可求解.
【詳解】由題意可得，
當(dāng)時(shí)，，化簡(jiǎn)得，
又當(dāng)時(shí)，，解得或（舍去），
所以，
所以數(shù)列是首項(xiàng)、公差均為1的等差數(shù)列，
所以，即.故
當(dāng)時(shí)，①，
所以當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
由①可得，S>1+2×(3?2+4?3+?+2025?2024)=1+2×(2025?2)=1+245?2>88，且.
所以.
故答案為：88
四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間;
（2）將的圖象先向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，求在上的最大值和最小值.
【答案】（1）；
（2）最大值為，最小值為
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用二倍角公式與輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)為的形式，利用公式法求最小正周期，利用整體代換求單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）結(jié)合圖象變換規(guī)律求出解析式，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出的最大值與最小值.
【小問(wèn)1詳解】
解：依題意得，
所以的最小正周期為
令，
得，
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
解：將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，
得到函數(shù)的圖象，
再將所得圖象上所有點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，
得到函數(shù)的圖象.
令，由，可得.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以在上的最大值為，最小值為.
16. 已知數(shù)列an的前項(xiàng)和為，等差數(shù)列bn的前項(xiàng)和為.
（1）求an和bn的通項(xiàng)公式;
（2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）利用的關(guān)系求出，利用等差數(shù)列的基本量求解；
（2）可分組求和，分別依據(jù)等差數(shù)列求和與錯(cuò)位相減求和.
【小問(wèn)1詳解】
解：因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
又，所以.
當(dāng)時(shí)，，②
①式減去②式得，
所以.
又，
所以，
所以an是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
所以.
設(shè)等差數(shù)列bn的公差為，
因?yàn)?，可得，解得?br>所以，即bn的通項(xiàng)公式為.
【小問(wèn)2詳解】
解：因可得
則數(shù)列的前2n項(xiàng)和，
令，
，
則，
所以，
，
.
17. 在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別是.

（1）求角;
（2）如圖，已知為平面內(nèi)一點(diǎn)，且四點(diǎn)共圓，，求四邊形ABCD周長(zhǎng)的最大值.
【答案】（1）
（2）最大值為
【解析】
【分析】（1）由正弦定理轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)，利用三角恒等變換求解；
（2）利用余弦定理及基本不等式求最值即可.
【小問(wèn)1詳解】
，
由正弦定理可得.
因?yàn)?，所以?br>則，
且，因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)?，則，可得，
所以.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)?，所以?br>又，所以由余弦定理可得，
所以，即.
因?yàn)樗狞c(diǎn)共圓，，
所以.
在中，由余弦定理可得，
所以，
所以.
由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
所以，則，
所以當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的周長(zhǎng)取得最大值，最大值為
18. 已知函數(shù).
（1）求fx的單調(diào)區(qū)間;
（2）設(shè)，若對(duì)任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分情況討論導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)情況及函數(shù)單調(diào)性；
（2）根據(jù)題意可得，分別求最大值即可得不等式，解不等式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由，，
得.
令，解得.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)閷?duì)任意，均存在，使得，
所以，
當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為0.
由（1）得，當(dāng)時(shí)，在]上單調(diào)遞增，
即當(dāng)時(shí)，取得最大值，
所以，解得，即.
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，取得最大值.
設(shè)，
則，單調(diào)遞增，
所以s(a)≥s12=ln4?1>0成立，所以無(wú)解.
綜上所述，的取值范圍為.
19. 南宋的數(shù)學(xué)家楊輝“善于把已知形狀、大小的幾何圖形的求面積，體積的連續(xù)量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求離散變量的垛積問(wèn)題”.在他的專(zhuān)著《詳解九章算法·商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體圖形作類(lèi)比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻薨垛、芻童垛等的公式. 如圖，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球……第層球數(shù)比第層球數(shù)多，設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列an.
（1）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；
（2）求的最小值；
（3）若數(shù)列bn滿(mǎn)足，對(duì)于，證明：.
【答案】（1）；
（2）0；（3）證明見(jiàn)解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得，再利用累加法計(jì)算即得.
（2）利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最小值.
（3）由（2）令即可得到，從而得到，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算可得.
【小問(wèn)1詳解】
依題意，，則有，
當(dāng)時(shí)，
，
又也滿(mǎn)足，所以.
【小問(wèn)2詳解】
函數(shù)定義域?yàn)椋?br>求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因此，
所以函數(shù)的最小值為0.
【小問(wèn)3詳解】
由（2）知，當(dāng)時(shí)，，令，則，
則，
因此，
令，
于是，
兩a式相減得，
因此，所以.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第三問(wèn)關(guān)鍵是結(jié)合（2）的結(jié)論，令得到，從而得到.

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