由 常德市一中長沙市一中湖南師大附中雙峰縣一中
桑植縣一中武岡市一中湘潭市一中岳陽市一中株洲市二中 聯(lián)合命題
炎德文化審校、制作
命題學(xué)校:桑植縣一中審題學(xué)校:湖南師大附中
注意事項:
1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，
用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上
無效.
3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.
一、選擇題(本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項
是符合題目要求的)
1. 已知集合 ，則 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】化簡集合，即可根據(jù)交集的定義求解.
【詳解】
由于 ，故 ，
故選：C
2. 設(shè) 為虛數(shù)單位，則 （ ）
A. 5 B. C. D.
【答案】B
【解析】
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【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，即可利用模長公式求解.
【詳解】 ,
故選：B
3. 已知拋物線 ，則拋物線的焦點到準線的距離為（ ）
A. B. C. 8 D. 16
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)拋物線的標準方程可得 ，即可求解.
【詳解】由 可得 ，
故 ，故 ，
故拋物線的焦點到準線的距離為 ，
故選：C
4. 如圖，在 中，點 是線段 上靠近點 的三等分點，過點 的直線分別交直線 、 于點
、 .設(shè) ， ，則 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù) ，結(jié)合平面向量的減法可得出 ，結(jié)合 ， ，
可得出 ，利用 、 、 三點共線，可求出 的值.
【詳解】連接 ，因為點 是線段 上靠近點 的三等分點，則 ，
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即 ，所以， ，
又因為 ， ，則 ，
因為 、 、 三點共線，設(shè) ，則 ，
所以， ，且 、 不共線，
所以， ， ，故 ，因此， .
故選：C.
5. 在平面直角坐標系 中， 為角 的終邊上一點，將角 的終邊繞原點 按順時針方向旋轉(zhuǎn) 后
得到角 ，則 的值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合弦切互化和誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】由題意可知 ， ，
所以
故選：D
6. 歐拉函數(shù) 的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù) ，且與 互素的正整數(shù)的個數(shù)，例如：
， ，現(xiàn)將 、 、 、 、 的函數(shù)值排成一列，則組成的不同五位
數(shù)的個數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
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【解析】
【分析】求出 、 、 、 、 的值，結(jié)合倍縮法可求得結(jié)果.
【詳解】由題意可知， ， ， ， ， ，
所以，將 、 、 、 、 的函數(shù)值排成一列，
則組成不同的五位數(shù)的個數(shù)為 個.
故選：B.
7. 若直線 與圓 交于 、 兩點，則 取值不可能
為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出圖形，利用勾股定理求出 的取值范圍，即可得解.
【詳解】圓 的圓心為 ，半徑為 ，
直線 的方程可化為 ，
聯(lián)立 ，解得 ，即直線 過定點 ，且直線 不表示直線 ，
顯然當直線 過圓心時， 取最大值 ，
當直線 與 垂直時，圓心 到 的距離取最大值 ，
此時， 取最小值 ，
因為 ，則直線 斜率為 ，
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此時，直線 的方程為 ，即 ，不合乎題意，
因此， 的取值范圍是 .
故選：A.
8. 對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù) ，若存在一個點 ，使得 ，那么我們稱 為“不動點
”函數(shù).若存在 個點 ，滿足 ，則稱 為“ 型不動點”函數(shù)，則下列函數(shù)中為“3
型不動點”函數(shù)的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】結(jié)合“不動點”函數(shù)的概念，轉(zhuǎn)化為方程 有根或?qū)?yīng)函數(shù) 有零點的問題，依次
求解判斷各個選項.
【詳解】對于 A，令 ，即 ．
因為 均為 的單調(diào)遞增函數(shù)，所以 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，所以
不可能為“3 型不動點”函數(shù)，故 A 錯誤；
對于 B，令 ，即 ．
由于 均為 的單調(diào)遞增函數(shù)，所以 在區(qū)間 上單調(diào)
遞增，所以 不可能為“3 型不動點”函數(shù)，故 B 錯誤；
對于 C，由 ，得 ，
易 知 當 時 ， 單 調(diào) 遞 減 ， 且 ， 所 以 當 時 ，
的圖象與直線 有且只有一個交點；
當 時， 單調(diào)遞減，且 ；
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當 時， 單調(diào)遞增．令 ，得 ，解得 ，此時 ，
所以直線 與曲線 相切于點 ．
所以直線 與曲線 共有兩個交點，所以 為“2 型不動點”函數(shù)，故 C 錯誤；
對于 D， ，作出 的圖象，如圖所示．易知其與直線
有且只有三個不同的交點，
即 有三個不同的解，所以 為“3 型不動點”函數(shù)，故 D 正確．
故選：D.
【點睛】方法點睛：根據(jù)“不動點”函數(shù)的定義，轉(zhuǎn)化為方程 有解問題，可直接求方程的根，或者
利用零點存在性定理判斷，也可構(gòu)造新函數(shù)，把問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)的零點問題，有時還可以轉(zhuǎn)化為兩
函數(shù)交點問題.
二、選擇題(本大題共 3 小題，每小題 6 分，共 18 分.在每小題給出的選項中，有多項符合題
目要求.全部選對的得 6 分，部分選對的得部分分，有選錯的得 0 分)
9. 若 ，則下列結(jié)論正確的有（ ）
A.
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B. 數(shù)據(jù) 的 30%分位數(shù)為 5
C. 數(shù)據(jù) 的標準差為 3
D. 若 ，隨機變量 ，則
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用賦值法即可求解 A，根據(jù)二項式展開式的通項特征，可求解 ，根據(jù)百分位
數(shù)以及方差的計算公式即可求解 BC，根據(jù)正態(tài)分布的對稱性即可求解 D.
【詳解】對于 A，令 ，則 ，故 A 正確，
對于 B,
將其從小到大排列為 ，且 ，故 30%分位數(shù)為第 2 個數(shù) 1，B 錯誤，
對于 C， 分別為 ，則平均數(shù)為 ，
故方差為 ，故標準差為 3，C 正確，
對于 D， ，
故 ，故 D 正確，
故選：ACD
10. 閱讀材料:在空間直角坐標系 中，過點 且一個法向量為 （ 、 、 不
全為零）的平面 的方程為 .根據(jù)閱讀材料，解決問題：已知
、 、 、 、 ，則（ ）
A. 直線 與平面 所成角的正弦值為
B. 三棱錐 的體積為
C. 平面 的方程為
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D. 在 上的投影向量的坐標為
【答案】CD
【解析】
【分析】推導(dǎo)出 與平面 不垂直，可判斷 A 選項；利用錐體的體積公式可判斷 B 選項；求出平面
的一個法向量的坐標，結(jié)合平面向量的定義可判斷 C 選項；利用投影向量的定義可判斷 D 選項.
【詳解】對于 A 選項，若直線 與平面 所成角的正弦值為 ，則 平面 ，
由題意可得 ， ，則 ，
所以， 、 不垂直，A 錯；
對于 B 選項，易知 、 、 三點都在 平面上，
，
則 ，
所以， ，
點 到平面 的距離為 ，
故 ，B 錯；
對于 C 選項，因為 ， ，
設(shè)平面 的一個法向量為 ，則 ，
取 ，可得 ， ，即平面 的一個法向量為 ，
所以平面 的方程為 ，即 ，C 對；
對于 D 選項， 在 上的投影向量為
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，D 對.
故選：CD.
11. 已知函數(shù) 及其導(dǎo)函數(shù) 的定義域均為 ，設(shè) ， ，且 ，
若 ， ，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用賦值法求出 、 、 的值，可判斷 ABC 選項；利用函數(shù) 的對稱性可判斷 D
選項.
【詳解】令 ， ，可得 ，因為 ，則 ， ，
令 ，則 ，所以， 或 ，
若 ，則 ，② ，矛盾，故 ，A 對；
令 ， ，得 ，則 ，
令 ，得 ，即 ，
即函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 對稱，
在等式 兩邊求導(dǎo)得 ，即 ，
所以，函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱，
因為 ，即 ，可得出 （ 為常數(shù)），
無法判斷 圖象是否關(guān)于點 對稱，B 錯 C 對；
因為函數(shù) 的圖象關(guān)于點 對稱，
所以， ，
因此， ，D 對.
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故選：ACD.
【點睛】方法點睛：函數(shù)的三個性質(zhì)：單調(diào)性、奇偶性和周期性，在高考中一般不會單獨命題，而是常將
它們綜合在一起考查，其中單調(diào)性與奇偶性結(jié)合、周期性與抽象函數(shù)相結(jié)合，并結(jié)合奇偶性求函數(shù)值，多
以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，且主要有以下幾種命題角度；
（1）函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性相結(jié)合，注意函數(shù)的單調(diào)性及奇偶性的定義，以及奇、偶函數(shù)圖象的對稱性．
（2）周期性與奇偶性相結(jié)合，此類問題多考查求值問題，常利用奇偶性及周期性進行交換，將所求函數(shù)值
的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi)求解；
（3）周期性、奇偶性與單調(diào)性相結(jié)合，解決此類問題通常先利用周期性轉(zhuǎn)化自變量所在的區(qū)間，然后利用
奇偶性和單調(diào)性求解.
三、填空題(本大題共 3 小題，每小題 5 分，共 15 分)
12. 已知 為等差數(shù)列 的前 項和，若 ，則 _________________.
【答案】590
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可得公差，即可由求和公式求解.
【詳解】設(shè)公差為 ，
由 可得 解得 ，
故 ，
故答案為：590
13. 蒙日是法國著名的數(shù)學(xué)家，他首先發(fā)現(xiàn)橢圓 的兩條相互垂直的切線的交點的軌
跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，且其方程為 .已知橢圓 的焦點在 軸
上， 、 為橢圓 上任意兩點，動點 在直線 上.若 恒為銳角，根據(jù)蒙日圓的相
關(guān)知識，則橢圓 離心率的取值范圍為________.
【答案】
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【解析】
【分析】分析可知，直線 與圓 相離，利用直線與圓的位置關(guān)系可求出 的
取值范圍，再結(jié)合橢圓離心率公式可求得橢圓 的離心率.
【詳解】由題意可知 ，圓 即為橢圓 蒙日圓，
因為 、 為橢圓 上任意兩點，動點 滿足 恒為銳角，
則點 在圓 外，
又因為動點 在直線 上，則直線 與圓 相離，
所以， ，解得 ，
則 ，即 ，
因此，橢圓 的離心率的取值范圍是 .
故答案為： .
14. 2021 年小米重新設(shè)計了自己的品牌形象.新舊圖像如圖所示，舊 lg 是一個正方形，新 lg 可看作一個
直徑為邊長的一半的圓在原正方形中運動，保留它運動過程覆蓋的區(qū)域就是新 lg.類比推理，現(xiàn)有一個棱
長為 2 的正方體，一個直徑為 1 的球在正方體內(nèi)部滾動，將該球可到達的區(qū)域保留，不可到達的區(qū)域割去，
得到一個幾何體，我們稱之為“小米正方體”，則“小米正方體”的體積為_______.
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【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)類比，即可根據(jù)圓柱的體積公式即可求解.
【詳解】根據(jù)類比可知：小球在正方體內(nèi)部運動，“小米正方體”的 8 個角合在一起剛好是一個直徑為正方體
棱長一半的球體，
12 條棱除開小球部分，余下的剛好可以組成與球半徑相同且高為正方體棱長一半的三個圓柱體.
剩余部分是個類似十字的幾何體，可得該幾何體的體積為 4，
所以“小米正方體”的體積為
故答案為： .
【點睛】關(guān)鍵點點睛：“小米正方體”的 8 個角合在一起剛好是一個直徑為正方體棱長一半的球體，12 條棱除
開小球部分，余下的剛好可以組成與球半徑相同且高為正方體棱長一半的三個圓柱體.
四、解答題(本大題共 5 小題，共 77 分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
15. 在 中，角 所對的邊分別為 ，且滿足 .
（1）求角 的大??；
（2）若 ，且 的面積為 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊角互化，結(jié)合三角恒等變換即可求解，
（2）根據(jù)面積公式可得 ，由余弦定理可得 ，進而可得 ，即可根據(jù)正弦定理求
解.
【小問 1 詳解】
由 ，根據(jù)正弦定理可得
，
由于 ，
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故 ，
由于 所以
由于 故
小問 2 詳解】
因為 ，可得 ，
由余弦定理得 ，即 ，故 ，
，
由正弦定理可得 ，
所以 ，
故
16. 如圖，四邊形 是邊長為 的正方形，半圓面 平面 ，點 為半圓弧 上一動點
（點 與點 、 不重合）.
（1）求證： ；
（2）當點 為半圓弧 上靠近點 的三等分點時，求二面角 的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)可得出 平面 ，可得出 ，由圓的幾何性質(zhì)可得出
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，利用線面垂直的判定定理可得出 平面 ，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）以點 為坐標原點， 、 所在直線分別為 、 軸，平面 內(nèi)過點 且垂直于 的直線
為 軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可求得二面角 的正弦值.
【小問 1 詳解】
因為點 為半圓弧 上一動點（點 與點 、 不重合），則 ，
因為四邊形 為正方形，則 ，
因為平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因為 平面 ，則 ，
因 ， ， 、 平面 ，
所以 平面 ，
因為 平面 ，所以 .
【小問 2 詳解】
因為 平面 ， ，則 平面 ，
以點 為坐標原點， 、 所在直線分別為 、 軸，
平面 內(nèi)過點 且垂直于 的直線為 軸建立如下圖所示的空間直角坐標系，
當點 為半圓弧 上靠近點 的三等分點時， ，
由于四邊形 是邊長為 的正方形 ，則 、 、 、 ，
所以， ， ，
易知平面 的一個法向量為 ，
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設(shè)平面 的一個法向量為 ，則 ，
取 ，可得 ，所以， ，
故 ，
因此，二面角 的正弦值為 .
17. 高三某班為緩解學(xué)生高考壓力，班委會決定在周班會課上進行“聽音樂、猜歌名”的趣味游戲比賽，現(xiàn)
將全班學(xué)生分為 組，每組 人，剩余的學(xué)生做裁判.比賽規(guī)則如下:比賽共分為兩輪，第一輪比賽中 個小
組分三場進行比賽，每場比賽有 個小組參加，在規(guī)定的時間內(nèi)猜對歌名最多的小組獲勝，獲勝的三個小組
進入第二輪比賽，第二輪進行一場比賽，選出獲勝隊伍.已知甲、乙、丙 個小組的學(xué)生能成功猜對歌名的
概率分別為 、 、 .
（1）現(xiàn)從乙組中任選一名學(xué)生進行歌曲試猜，記 首歌曲中猜對的歌曲數(shù)為 ，求隨機變量 的數(shù)學(xué)期
望；
（2）若從甲、乙、丙 個小組中任選一名學(xué)生參加猜歌游戲，求該學(xué)生猜對歌曲的概率；
（3）若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一，則設(shè)置以下游戲決定最終獲勝的小組，游戲規(guī)則如下：從丁、
戊小組中任選一名代表，從裝有 個白球和 個紅球的不透明的盒子中有放回地隨機摸出一個球，摸出白球
記 分，摸出紅球記 分，以 分開始計分，恰好獲得 分或 分則結(jié)束摸球.若該代表獲得 分，則該代
表所在小組獲得勝利，否則另外一組獲得勝利.若該代表來自丁組，試估計丁組獲勝的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）分析可知 ，由二項分布的期望公式可得出 的值；
（2）記事件 、 、 分別表示該學(xué)生來自甲、乙、丙組，事件 表示該同學(xué)能猜對，利用全概率公式
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可求得 的值；
（3）記得分為 的概率為 ，求得 ，推導(dǎo)出數(shù)列 為等比數(shù)
列，確定該數(shù)列的首項和公比，可求出數(shù)列 的通項公式，利用累加法可求得 的值，即為所求
.
【小問 1 詳解】
由題意可知， ，由二項分布的期望公式可得 .
【小問 2 詳解】
記事件 、 、 分別表示該學(xué)生來自甲、乙、丙組，事件 表示該同學(xué)能猜對，
所以， ， ， ， ，
由全概率公式可得 .
所以，該學(xué)生能猜對的概率為 .
【小問 3 詳解】
由題意可知，積分增加 分的概率為 ，增加 分的概率為 ，
記得分為 的概率為 ，且 ， ，
，
所以， ，且 ，
所以，數(shù)列 是首項為 ，公比為 的等比數(shù)列，
則 ，
由累加法可得
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.
因此，丁組獲勝的概率為 .
18. 已知直線 與雙曲線 及其漸近線分別交于點 和點 .
（1）求實數(shù) 的取值范圍；
（2）證明: ；
（3）若 ，過雙曲線 上一點 向雙曲線 作切線 ，其斜率分別為 ， ，問是
否存在這樣的 ，使得 為定值?若存在，求出 的值及定值 ;若不存在，請說明理由.
【答案】（1） 或 ，
（2）證明見解析 （3）不存在，理由見解析
【解析】
【分析】（1）聯(lián)立方程，利用判別式即可求解，
（2）根據(jù)韋達定理和中點坐標公式得 ，進而聯(lián)立直線方程可得 坐標，即可得 與
的中點重合，即可求解，
（3）根據(jù)相切可利用判別式為 0 得 為方程 的兩個根，進而根據(jù)韋
達定理化簡，結(jié)合假設(shè)法即可求解.
【小問 1 詳解】
聯(lián)立 ，得 ，
故 ，解得 或 ，
【小問 2 詳解】
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設(shè) ,則 ，
設(shè) 的中點為 ，則 ，從而 ，即 ，
又雙曲線的漸近線方程為 ，聯(lián)立 ，可得 ，
所以 ，同理可得 ，
從而可得 的中點為 ，故 與 的中點重合，
則 ，即
【小問 3 詳解】
設(shè)過 且與雙曲線 相切的直線方程為 ，即 ，
聯(lián)立 可得 ，
由題意可知,
化簡可得 即 ，
由題意可知 為方程 的兩個根，
則 ， ，
故 ，
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若 為定值，則有 ，化簡得 ，此時 ，
但此時 ，
故不存在 ，使得 為定值.
【點睛】方法點睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
19. 若函數(shù) 的圖象有公共點，且在公共點處的切線相同，則稱該公共點為函數(shù) 與 的
一個“公切點”.
（1）若函數(shù) 與 存在“公切點”，求實數(shù) 的值；
（2）設(shè)函數(shù) ，直線 是曲線 在點 處的切線.求證:直線
不經(jīng)過點(1,0);
（3）已知函數(shù) ，對任意 ，判斷是否存在 ，使函數(shù) 與 在區(qū)
間 內(nèi)存在“公切點”?并說明理由.
【答案】（1）
（2）證明見解析 （3）存在，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）設(shè)出切點，根據(jù) 且 ，即可求解 ，進而可求解，
（2）求導(dǎo)，寫出直線 的方程，代入(1,0)化簡后構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)的單
調(diào)性即可求解，
（ 3） 根 據(jù) 且 ， 得 ， 構(gòu) 造 函 數(shù)
，根據(jù)零點存在性定理即可求解.
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【小問 1 詳解】
設(shè) 是 的“共切點”，
則由 且 ，
由于 ，所以 ，解得 ，
所以 ，
當 時， 滿足題意，
故
【小問 2 詳解】
由于 ，所以 ，
故直線 的斜率為 ，則直線 的方程為 ，
將點 代入可得 ，故 ，
即 ，故 ，
，即 ，
令 ，
假設(shè)直線 經(jīng)過點 ，則 在 上存在零點，
由 ，所以 在 上單調(diào)遞增，
所以 ，故 在 上無零點，這與假設(shè)矛盾，故直線 不經(jīng)過點 ，
【小問 3 詳解】
因為 ，所以 ，
第 20頁/共 21頁
由 且 ，得 ，
兩式相除可得 ，
設(shè) ，
由于 ，且 的圖象連續(xù)不斷，所以存在 使得 ，
則 ，將其代入 可得 ，
此時 滿足方程組，即 是函數(shù) 與 在區(qū)間 內(nèi)的一個“公切點”，
因此，對任意 ，存在 ，使得 與 在區(qū)間 內(nèi)存在“公切線”.
【點睛】方法點睛：新定義問題的求解過程可以模型化，一般解題步驟如下：
第一步：提取信息 — 對新定義進行信息提取，明確新定義的名稱和符號，
第二步：加工信息 — 細細品味新定義的概念、法則，對所提取的信息進行加工，探求解決方法，有時
可以用學(xué)過的或熟悉的相近知識進行類比，明確它們的共同點和不同點
第三步：遷移轉(zhuǎn)化 — 如果是新定義的運算法則，直接按照運算法則計算即可，如果是新定義的性質(zhì)，
一般需要理解和轉(zhuǎn)化性質(zhì)的含義，得到性質(zhì)的等價條件（如等量關(guān)系、圖形的位置關(guān)系等）
第四步：計算，得結(jié)論 — 結(jié)合題意進行嚴密的邏輯推理、計算，得結(jié)論
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