A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】計算，再計算共軛復數(shù)得到答案.
【詳解】，則復數(shù)（為復數(shù)單位）的共軛復數(shù)是，
故選：A
2. 在跳水比賽中，有8名評委分別給出某選手原始分，在評定該選手的成績時，從8個原始分中去掉1個最高分和1個最低分（最高分和最低分不相等），得到6個有效分，這6個有效分與8個原始分相比較，下列說法正確的是（）
A. 中位數(shù)，平均分，方差均不變B. 中位數(shù)，平均分，方差均變小
C. 中位數(shù)不變，平均分可能不變，方差變小D. 中位數(shù)，平均分，方差都發(fā)生改變
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合中位數(shù)、平均數(shù)和方差的定義分析判斷.
【詳解】不妨設(shè)原始分為，且，則其中位數(shù)為，
則有效分為，則其中位數(shù)為，
兩者相等，所以中位數(shù)不變，
例如：原始分為，則其平均數(shù)為2，
則有效分為，則其平均數(shù)為2，
兩者相等，所以平均數(shù)可能不變，
因為從8個原始分中去掉1個最高分和1個最低分（最高分和最低分不相等），得到6個有效分，即把波動最大的兩個值去掉，
則有效分比原始分更集中，波動性減小，
根據(jù)方差的定義可知：有效分的方差小于原始分的方差，即方差變小.
故選：C.
3. 如圖，點為的邊上靠近點的三等分點，，設(shè)，，則（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面向量的線性運算可得出關(guān)于、的表達式.
【詳解】因為點為的邊上靠近點的三等分點，則，
所以，，
因為，所以，.
故選：A.
4. 《九章算術(shù)》是中國古代一部數(shù)學專著，其中“邪田”為直角梯形，上、下底稱為“畔”，高稱為“正廣”，非高腰邊稱為“邪”．如圖所示，邪長為，東畔長為，在A處測得C，D兩點處的俯角分別為49°和19°，則正廣長約為（注：）（）
A. 6.6B. 3.3C. 4D. 7
【答案】A
【解析】
【分析】由余弦定理即可求解.
【詳解】由題意知：，
在中，由余弦定理可得：，
代入得：，即，
因為，故，
故.
故選：A.
5. 已知空間中兩條不同的直線，其方向向量分別為，則“”是“直線相交”的（）
A. .充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】
兩條不同的直線的方向向量不共線，兩條不同的直線可能相交，可能異面；兩條直線相交，則兩條直線的方向向量一定不共線.
【詳解】由可知，與不共線，所以兩條不同的直線不平行，可能相交，也可能異面，所以“”不是“直線相交”的充分條件；
由兩條不同的直線相交可知，與不共線，所以，所以“”是“直線相交”的必要條件，
綜上所述：“”是“直線相交”的必要不充分條件.
故選：B.
【點睛】本題考查了空間兩條直線的位置關(guān)系，考查了空間直線的方向向量，考查了必要不充分條件，屬于基礎(chǔ)題.
6. 已知向量且，則等于（ ）
A. 5B. 4C. 3D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】由向量線性關(guān)系的坐標運算求，再用坐標表示向量的模列方程求參數(shù)即可.
【詳解】由題設(shè)，
由且，解得.
故選：C
7. 已知兩個圓錐有公共底面，且兩個圓錐的頂點和底面的圓周都在同一個球面上，若球的體積為，這兩個圓錐的體積之和為，則這兩個圓錐中，體積較小者的高與體積較大者的高的比值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】畫出圖形，根據(jù)底面半徑和球的半徑之間的關(guān)系，再求出底面與球心之間的距離，以此求出兩個圓錐的高即可.
【詳解】
如圖，設(shè)圓錐與圓錐公共底面圓心為，兩圓錐公共底面圓周上一點，底面半徑，
設(shè)球心為，球的半徑，
由已知球的體積為，則有
解得：，
又有兩個圓錐的體積之和為，則：，
解得：
∴在直角中，，
∵底面積相同的圓錐，高較大者體積較大，
∴體積較小圓錐的高，
體積較大圓錐的高，
∴體積較小者的高與體積較大者的高的比值為.
故選：D.
8. 已知正方體的棱長為，為棱的中點，為側(cè)面的中心，過點的平面垂直于，則平面截正方體所得的截面周長為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】取的中點，由，證得，再由平面，證得，從而得到平面，同理證得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，得到平面截正方體的截面為，進而求得截面的周長，得到答案.
【詳解】如圖所示，取的中點，分別連接，
在正方形中，因為分別為的中點，可得，
所以，，
因為，所以，所以，即，
又因為分別為的中點，所以，
因為平面，平面，所以，所以，
又因為且平面，所以平面，
因為平面，所以，同理可證：，
又因為且平面，所以平面，
即平面截正方體的截面為，
由正方體的棱長為，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
在直角中，可得，
所以截面的周長為.
故選：A.
二．多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
9. 已知復數(shù)滿足，以下說法正確的有（）
A. B. 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限
C. D. 若是方程的一個根，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算化簡復數(shù)，進而根據(jù)選項即可判斷ABC，將其代入中，根據(jù)復數(shù)相等的充要條件即可判斷D.
【詳解】由可得，
則，對應(yīng)的點為，，故BC正確，A錯誤，
將代入得，
故，故D正確，
故選：BCD
10. 設(shè)為古典概率模型中的兩個隨機事件，以下命題正確的為（）
A. 若，，則當且僅當時，是互斥事件
B. 若，，則是必然事件
C. 若，，則時是獨立事件
D. 若，且，則是獨立事件
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)互斥事件，獨立事件和必然事件的定義逐個分析判斷
【詳解】對于A，因為，所以是互斥事件，所以A正確，
對于B，若事件為“拋骰子點數(shù)出現(xiàn)1或2”，則，若事件為“拋骰子點數(shù)出現(xiàn)的是小于等于4”，則，
而此時不是必然事件，所以B錯誤，
對于C，因為，，，，
所以，得，
所以，所以是獨立事件，所以C正確，
對于D，因為，所以，
因為，，所以，
所以是獨立事件，則也是獨立事件，所以D正確，
故選：ACD
11. 已知是平面單位向量，且，若該平面內(nèi)的向量滿足，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算可判斷A；根據(jù)可判斷B；設(shè),由可求出，從而可判斷CD.
【詳解】因為是平面單位向量，且，
所以.
因為，所以，故A錯誤；
因為，所以，即，故B錯誤；
設(shè)，
因，所以，解得，
所以，故C正確；
因為，
所以，故D正確.
故選：BCD.
12. 如圖，在邊長為2的正方形中，是的中點，將沿翻折到，連接PB，PC，F(xiàn)是線段PB的中點，在翻折到的過程中，下列說法正確的是（）
A. 存在某個位置，使得B. 的長度為定值
C. 四棱錐的體積的最大值為D. 直線與平面所成角的正切值的最大值為
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用反證法說明A，取的中點，連接，，即可判斷B，當平面平面時，四棱錐的體積最大，過作的垂線，垂足為，根據(jù)錐體的體積公式計算即可判斷C，當平面平面時，直線與平面所成角的正切值取得最大值，即可判斷D.
【詳解】因為，假設(shè)，又，平面，
所以平面，又平面，所以．
在中，，所以與不可能垂直，故A錯誤；
取的中點，連接，，如圖所示，因為F是線段PB的中點，G是PA的中點，
所以，，又，，所以，，
所以四邊形是平行四邊形，所以，故B正確；
當平面平面時，四棱錐的體積最大，
過作的垂線，垂足為，所以，，，，
所以，
因為平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，即是四棱錐的高，
所以，故C正確；
當平面平面時，直線與平面所成角的正切值取得最大值，
此時，所以，故D正確．
故選：BCD．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分
13. 從，，三個數(shù)中任選個，分別作為圓柱的高和底面半徑，則此圓柱的體積大于的概率為______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用樣本空間、古典概型概率公式、圓柱體積公式運算即可得解.
【詳解】解：從，，三個數(shù)中任選個，分別作為圓柱高和底面半徑，
有、、、、、，共個樣本點，
由題意，圓柱的體積，即，
滿足條件的樣本點有、、，共3個樣本點，
所以此圓柱的體積大于的概率為.
故答案為：.
14. 已知，一組數(shù)據(jù)4，2，，，7的方差為3.6，則________．
【答案】1
【解析】
【分析】求出組數(shù)據(jù)平均數(shù)和方差，令方差為3.6求出即可.
【詳解】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
所以這組數(shù)據(jù)的方差為，
得，解得舍去，或.
故答案為：1.
15. 設(shè)樣本空間含有等可能的樣本點，且事件，事件，事件，使得，且滿足兩兩不獨立，則______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)古典概型概率計算及相互獨立性推測即可.
【詳解】由題意，，所以，
所以是共同的唯一的樣本點，又兩兩不獨立，即，，，
可見不可以為或，所以為或，即.
故答案為：
16. 如圖，菱形的邊長為6，，，則的取值范圍為________．
【答案】
【解析】
【分析】設(shè)，則，然后根據(jù)平面向量基本定理把用基底表示，再利用向量數(shù)量積的運算律求解，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可求得答案.
【詳解】設(shè)，則，
因為，，
所以，
，
所以
，
因為，所以，
所以，
所以的取值范圍為，
故答案為：
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知空間中三點，，．
（1）若，，三點共線，求的值；
（2）若，的夾角是鈍角，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）且不同時成立.
【解析】
【分析】（1）由向量的坐標表示確定、，再由三點共線，存在使，進而求出m、n，即可得結(jié)果.
（2）由向量夾角的坐標表示求，再根據(jù)鈍角可得，討論的情況，即可求范圍.
【小問1詳解】
由題設(shè)，，又，，三點共線，
所以存在使，即，可得，
所以.
【小問2詳解】
由，
由（1）知：當時，有；
而，又，的夾角是鈍角，
所以，可得；
綜上，且不同時成立.
18. 已知復數(shù)（是虛數(shù)單位，），且為純虛數(shù)（是的共軛復數(shù)）
（1）求實數(shù)及；
（2）設(shè)復數(shù)，且復數(shù)對應(yīng)的點在第二象限，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)復數(shù)代數(shù)形式的乘法運算化簡，再根據(jù)復數(shù)的概念得到方程（不等式）組，求出的值，即可求出，從而求出其模；
（2）根據(jù)復數(shù)的乘方及代數(shù)形式的除法運算化簡，再根據(jù)復數(shù)的幾何意義得到不等式組，解得即可.
【小問1詳解】
∵，∴，
，
為純虛數(shù)，
，解得，
故，則
【小問2詳解】
，
，
復數(shù)所對應(yīng)的點在第二象限，
，解得，
故實數(shù)的取值范圍為.
19. 居民小區(qū)物業(yè)服務(wù)聯(lián)系著千家萬戶，關(guān)系著居民的“幸福指數(shù)”．某物業(yè)公司為了調(diào)查小區(qū)業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度，以便更好地為業(yè)主服務(wù)，隨機調(diào)查了100名業(yè)主，根據(jù)這100名業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分，分成[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）在這100名業(yè)主中，求評分在區(qū)間[70，80)的人數(shù)與評分在區(qū)間[50，60)的人數(shù)之差；
（2）估計業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的眾數(shù)和90%分位數(shù)；
（3）若小區(qū)物業(yè)服務(wù)滿意度（滿意度＝）低于0.8，則物業(yè)公司需要對物業(yè)服務(wù)人員進行再培訓．請根據(jù)你所學的統(tǒng)計知識，結(jié)合滿意度，判斷物業(yè)公司是否需要對物業(yè)服務(wù)人員進行再培訓，并說明理由．（同一組中的數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）
【答案】（1）24人；
（2）眾數(shù)：75分，90%分位數(shù)：84分；
（3）物業(yè)公司需要對物業(yè)服務(wù)人員進行再培訓，理由見解析.
【解析】
【分析】（1）本題考查頻率分布直方圖每個矩形的意義，即頻率，則每個區(qū)間人數(shù)即可求解；
（2）本問考查頻率分布直方圖的眾數(shù)與百分位數(shù)的求法，即最高矩形的組中值為眾數(shù)，左右兩邊頻率之和為0.9與0.1的為90%分位數(shù)；
（3）本問考查頻率分布直方圖平均數(shù)的求法，即組中值與頻率乘積之和，最后套入公式即可.
【小問1詳解】
評分在區(qū)間的人數(shù)為100×0.04×10＝40（人），
評分在區(qū)間的人數(shù)為100×0.016×10＝16（人），
故評分在區(qū)間的人數(shù)與評分在區(qū)間的人數(shù)之差為40－16＝24（人）；
【小問2詳解】
業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的眾數(shù)為75分，
由，，
設(shè)業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的90%分位數(shù)為x，
有，解得x＝84，
故業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的眾數(shù)和90%分位數(shù)分別為75分和84分；
【小問3詳解】
業(yè)主對物業(yè)服務(wù)的滿意程度給出評分的平均分為
55×0.016×10＋65×0.03×10＋75×0.04×10＋85×0.01×10＋95×0.004×10＝70.6，
由，
故物業(yè)公司需要對物業(yè)服務(wù)人員進行再培訓．
20. 全國執(zhí)業(yè)醫(yī)師證考試分實踐技能考試與醫(yī)學綜合筆試兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考試都“合格”者，則執(zhí)業(yè)醫(yī)師考試“合格”，并頒發(fā)執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書.甲、乙、丙三人在醫(yī)學綜合筆試中“合格”的概率依次為，，，在實踐技能考試中“合格”的概率依次為，，，所有考試是否合格互不影響.
（1）假設(shè)甲、乙、丙三人同時進行實踐技能考試與醫(yī)學綜合筆試兩項考試，誰獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的可能性最大？
（2）這三人進行實踐技能考試與醫(yī)學綜合理論考試兩項考試后，求恰有兩人獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的概率.
【答案】（1）乙的可能性最大
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)獨立事件的乘法公式，計算甲乙丙獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的概率，比較大小，即得結(jié)論；
（2）分三種情況，結(jié)合互斥事件的概率加法公式以及獨立事件的乘法公式，即可求得答案.
【小問1詳解】
記甲乙丙三人在醫(yī)學綜合筆試中合格依次為事件，，，
在實踐考試中合格依次為，，，
則甲乙丙獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書依次為，，，
并且與，與，與相互獨立，
則，，
由于，故乙獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書的可能性最大.
【小問2詳解】
由于事件，，彼此相互獨立，
“恰有兩人獲得執(zhí)業(yè)醫(yī)師證書”即為事件：，
概率為.
21. 在三棱臺中,平面,,,,.
（1）證明:.
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)平面,結(jié)合計算得,即,又,,由線面垂直的判定定理得平面,得到,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明;
（2）作于,先根據(jù)已知條件求出的長,再利用等面積法求出到平面的距離即可得到結(jié)果.
【小問1詳解】
∵平面,平面,
,
平面平面,
平面,
平面,
∴
∴,
∵,
∴,
∴,
即,
又,,,平面,平面,
∴平面,
∴,
∵,平面,平面,
∴平面,
∵平面,
∴.
【小問2詳解】
如圖,作于,
在直角梯形中,得,
同理可得,
在等腰梯形中,,
則,
∴,
設(shè)到平面的距離為,
由,
得,
則,
又,
所以直線與平面所成角的正弦值為.
22. 如圖所示，某市有一塊正三角形狀空地，其中測得千米.當?shù)卣媱潓⑦@塊空地改造成旅游景點，擬在中間挖一個人工湖，其中點在邊上，點在邊上，點在邊上，，，剩余部分需做綠化，設(shè).
（1）若，求的長；
（2）當變化時，的面積是否有最小值？若有則求出最小值，若無請說明理由.
【答案】（1）千米；（2）有，.
【解析】
【分析】（1）設(shè)千米，時，為等邊三角形，得，中，，，由可得答案；
（2）中，由正弦定理得；中，由正弦定理得；由得，由
利用可得答案.
【詳解】（1）設(shè)千米，當時，為等邊三角形，
所以，由，，得，
中，，，所以，
所以，
所以，解得，所以千米；
（2）中，，由正弦定理得，
解得；
中，，由正弦定理得，
解得；
由，得，
即，
，
解得；
由，
因為，所以當時取得最小值，
所以的面積有最小值，最小值為.

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