總分150分考試時間120分鐘
一、單項選擇題（8小題每題5分共40分）
1. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出．
【詳解】復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點位于第二象限．
故選：B．
2. 已知集合，集合.若，則實數(shù)的取值集合為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)是的子集列方程，由此求得的取值集合.
【詳解】由于，所以，
所以實數(shù)m的取值集合為.
故選：C
3. 從6名女生、4名男生中，按性別采用分層抽樣的方法抽取5名學(xué)生組成課外小組，則不同的抽取方法種數(shù)為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用分層抽樣的特點得到男女生應(yīng)該抽取的人數(shù)后，再根據(jù)分步計數(shù)原理可得結(jié)果.
【詳解】根據(jù)分層抽樣的特點可知，女生抽3人，男生抽2人，
所以不同的抽取方法種數(shù)為.
故選：D.
【點睛】本題考查了分層抽樣，考查了分步計數(shù)原理，屬于基礎(chǔ)題.
4. 設(shè)偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合單調(diào)性分析即可.
【詳解】由題意，偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可得，故.
故選：C
5. 已知，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，是該橢圓上不同于，的一點，若直線的斜率的取值范圍為，則直線的斜率的取值范圍為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)點，，，求出，由把用表示，從而上的范圍得的取值范圍．
【詳解】設(shè)點，，，則，∴.又∵，∴，
故選：B.
【點睛】結(jié)論點睛：本題考查直線與橢圓位置關(guān)系。在橢圓中，是橢圓上關(guān)于原點對稱的兩點，是橢圓上不同于的點，則（斜率存在時）．
6. 若函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，則b的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)條件，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)有2個變號零點，即可求解.
【詳解】，因為函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間，所以，
解得：.
故選：A
7. 已知，，則等于
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)余弦的半角公式化簡、運(yùn)算，即可求解，得到答案．
【詳解】由題意，可知，則，
又由半角公式可得，故選B．
【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的化簡、求值問題，其中解答中熟練應(yīng)用余弦函數(shù)的半角公式，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．
8. 已知遞增等比數(shù)列的前n項和為，，且，則與的關(guān)系是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，由已知列式求得，再由等比數(shù)列的通項公式與前項和求解.
【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由，得，
所以，
又，所以，
所以，，
所以
即
故選：D
二、多選題（共4小題每題五分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9. 已知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為，高為的一個圓錐（球與圓錐的側(cè)面、底面都相切），則下列說法正確的是（）
A. B. 圓錐的體積與表面積之比為定值
C. 圓錐表面積的最小值是D. 當(dāng)圓錐的表面積最小時，圓錐的頂角為60°
【答案】BC
【解析】
【分析】由圓錐的半徑和高，表示出母線長，利用球內(nèi)切于圓錐，求出與的關(guān)系驗證選項A；表示出圓錐的體積與表面積，驗證選項B；利用基本不等式求圓錐表面積的最小值，并求此時母線長，驗證選項CD.
【詳解】如圖所示，圓錐的高，底面半徑，母線，
，，，
∽，，，，
，得，所以，A選項錯誤；
圓錐的體積，圓錐的表面積，
圓錐的體積與表面積之比為，為定值，B選項正確；
，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
圓錐的表面積，則時圓錐表面積有最小值，C選項正確；
當(dāng)圓錐的表面積最小時，，，，，圓錐的頂角不是60°，D選項錯誤.
故選：BC
10. 在棱長為1的正方體中，在側(cè)面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動，在底面（含邊界）內(nèi)運(yùn)動，則下列說法正確的是（）
A. 若直線與直線所成角為30°，則點的軌跡為圓弧
B. 若直線與平面所成角為30°，則點的軌跡為雙曲線的一部分
C. 若，則點的軌跡為線段
D. 若到直線的距離等于到平面的距離，則點的軌跡為拋物線的一部分
【答案】ABD
【解析】
【分析】畫出正方體，根據(jù)各選項的不同條件對圖形進(jìn)行分析并運(yùn)算即可得出軌跡問題的結(jié)論.
【詳解】直線與直線所成角即為，在中，，∴，故在以為圓心，為半徑的圓落在側(cè)面內(nèi)的圓弧上，A正確；
過作于點（如圖），設(shè)，，直線與平面所成角即為，
在中，，從而，故點的軌跡為雙曲線的一部分，故B正確；
在中，，從而，故在以為圓心，為半徑的圓落在底面內(nèi)的圓弧上，C錯誤；
到直線的距離等于到平面的距離，即到點的距離等于到直線的距離，故點的軌跡為拋物線的一部分，故D正確.
故選：ABD.
11. 下列四個命題是真命題的是（）
A. 若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為
B. 函數(shù)的值域為
C. 若函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間為內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為
D. 已知在上是增函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是
【答案】ACD
【解析】
【分析】選項A根據(jù)抽象函數(shù)的定義域可得；選項B運(yùn)用換元法可求函數(shù)的值域；
選項C根據(jù)二次函數(shù)區(qū)間根問題求參數(shù)可得；選項D根據(jù)分段函數(shù)在上增函數(shù)可得.
【詳解】選項A：函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的中，得，故A正確；
選項B：設(shè)，得，則，
對稱軸為，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，故B錯誤；
選項C：若函數(shù)的兩個零點都在區(qū)間為內(nèi)，則
，得，故C正確；
選項D：若在上是增函數(shù)，則
，得，故D正確.
故選：ACD
12. 已知事件與事件為互斥事件，是事件的對立事件，是事件的對立事件，若，，則（）
A. B.
C. D. 事件與事件不獨立
【答案】ABD
【解析】
【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件、獨立事件及交事件、和事件的定義，依次分析選項是否正確，即可得出答案.
詳解】對于A，，故A正確；
對于B，，故B正確；
對于C，因為事件與事件為互斥事件，事件不一定為互斥事件，則不一定成立，故C不正確；
對于D，，故事件與事件不獨立.所以D正確.
故選：ABD.
三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）
13. 在中，，，若點G是的重心，則__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)重心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得到答案.
【詳解】因為中，，，則，
.
故答案為：.
14. 已知正四棱臺上底邊長為2，下底邊長為4，側(cè)棱長為3.則四棱臺的高為______.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，求出正四棱臺的對角面等腰梯形的高即可作答.
【詳解】正四棱臺對角面等腰梯形的高即為該正四棱臺的高，
因為正四棱臺上底邊長為2，下底邊長為4，側(cè)棱長為3，
則該四棱臺對角面等腰梯形的上下底邊長分別為，腰長為3，
因此等腰梯形高為，
所以四棱臺的高為.
故答案為：
15. 平面直角坐標(biāo)系中,直線被圓截得的弦長為______.
【答案】
【解析】
【分析】先利用點線距離公式求得圓心到直線的距離，再利用弦長公式即可得解.
【詳解】因為可化為，
所以圓心到直線的距離為：，
所以直線=被圓=截得的弦長為=.
故答案為：.
16. “”是“”的______條件.（從“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”“既不充分也不必要”中選擇填空）
【答案】充分不必要
【解析】
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，以及三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.
【詳解】由，可得或，
所以或，
當(dāng)時，可得；
當(dāng)時，可得，
即由，可得；
反之：當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，此時，
所以是的充分不必要條件.
故答案為：充分不必要.
四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效.）
17. 在中，角的對邊分別為，且．
（1）判斷的形狀；
（2）若，點分別在邊上，且，求的面積．
【答案】（1）是直角三角形
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理化角為邊，整理即可得出結(jié)論；
（2）根據(jù)求解即可.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理得，
化簡得，
所以是直角三角形；
【小問2詳解】
由（1）得，
因為，所以，
則，
因為，
所以，
,
,
，
，
所以.
18. 已知數(shù)列是等差數(shù)列，其前n項和為，且，，數(shù)列為等比數(shù)列，且，．
（1）求數(shù)列和的通項公式；
（2）若，設(shè)數(shù)列的前n項和為，求證：．
【答案】（1），；（2）證明見解析.
【解析】
【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，由條件可得，可求出，，，結(jié)合等差數(shù)列的前n項和公式可求出.
（2）由（1）可得，利用錯位相減法可求和，從而可證結(jié)論.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，
由題意可得，即，解得，
.
，，解得，
因此，.
綜上所述，，；
（2），，①
，②
①②得，
，，
又，則數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則.
因此，.
【點睛】本題考查求等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，考查錯位相減法求和，屬于中檔題.
19. 我市某校為了解高一新生對物理科與歷史科方向的選擇意向，對1000名高一新生發(fā)放意向選擇調(diào)查表，統(tǒng)計知，有600名學(xué)生選擇物理科，400名學(xué)生選擇歷史科.分別從選擇物理科和歷史科的學(xué)生中隨機(jī)各抽取20名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績得如下累計表（下表）：
（1）利用表中數(shù)據(jù)，試分析數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇物理科或歷史科的影響，并繪制選擇物理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖（如圖）；
（2）從數(shù)學(xué)成績不低于70分的選擇物理科和歷史科的學(xué)生中各取一名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，求選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少高于選取歷史科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一個分?jǐn)?shù)段的概率.
【答案】（1）答案見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）從統(tǒng)計表看出選擇理科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績高于選擇文科的學(xué)生的數(shù)學(xué)平均成績 , 反映了數(shù)學(xué)成績對學(xué)生選擇文理科有一定的影響，然后根據(jù)數(shù)據(jù)繪制出直方圖即可；
( 2 ) 利用互斥事件的加法公式，即可得出結(jié)論.
【小問1詳解】
解：由表格數(shù)據(jù)知，隨著數(shù)學(xué)成績分?jǐn)?shù)的提升，選擇物理方向?qū)W生的占比有明顯的提升.
所以數(shù)學(xué)成績越好，其選擇物理科方向的概率越大.
頻率分布直方圖如下：
【小問2詳解】
解：設(shè)“選取物理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績至少高于選取歷史科的學(xué)生的數(shù)學(xué)成績一個分?jǐn)?shù)段”為事件C
選擇物理科的學(xué)生考分在，，分別事件，，，
選擇歷史科的學(xué)生考分在，，的事件分別為，，
由表得?，，
因為“選擇物理科的學(xué)生考分在何分?jǐn)?shù)段”與“選擇歷史科的學(xué)生考分在何分?jǐn)?shù)段”相互獨立，
，，，，，也明顯互斥
所以
.
20. 如圖，在四棱錐中，平面，∥，，，分別是棱的中點．
（1）求證：∥平面.
（2）求證：平面⊥平面.
【答案】（1）見解析；
（2）見解析；
【解析】
【分析】（1）、設(shè),連接,,利用三角形中位線可證明∥,利用線面平行的判斷即可證明；
（2）、（方法一）證明平面;（方法二）證明平面;然后利用線面垂直證明平面與平面垂直.
【小問1詳解】
設(shè),連接,,
∥，,是棱的中點,∥，,
四邊形為平行四邊形，是棱的中點,∥,
又平面,平面,∥平面.
【小問2詳解】
(方法一)⊥平面,平面,.
∥，,是棱的中點,∥，,
四邊形為平行四邊形，∥，.
,四邊形為菱形，,
平面,平面,平面,
又平面，平面⊥平面.
（方法二）連接,
平面,平面,
∥,,
平面,平面,,
是棱的中點,,
由（1）可知，,
又是棱的中點,,
平面,平面,平面.
又平面,平面⊥平面.
21. 有一塊直角三角形的板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點是三角形內(nèi)一點，現(xiàn)在由于三角板中陰影部分受到損壞，為把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點的一條直線，將三角板鋁成，問：應(yīng)該如何鋸法，即直線斜率為多少時，可使三角板的面積最大？
【答案】,
【解析】
【分析】由已知及直線的斜截式方程求、坐標(biāo)，再由三角形面積公式寫出△的面積S，并指出k的取值范圍由面積S的解析式構(gòu)造函數(shù)，并研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求S的最值．
【詳解】依題意，直線MN過點且斜率存在，則MN的方程為，
，，
直線OA的方程為，直線AB的方程為，
由知：且，可得或，
由知：且，可得，
，故，，
，
∴，且.
設(shè)，，
當(dāng)時，，
∵，
，，，則，即，
在是增函數(shù)，
當(dāng)時，，即時，．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用直線的斜截式方程及三角形面積公式寫出面積S及k的范圍，利用函數(shù)的單調(diào)性求S的最值.
22. 已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若函數(shù)在上不單調(diào)，求實數(shù)a的取值范圍．
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（2）
【解析】
【分析】（1）當(dāng)時，確定函數(shù)解析式，求出定義域，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由的解析式求出導(dǎo)數(shù)，無法直接判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，構(gòu)造新函數(shù)再求導(dǎo)，分類討論的單調(diào)性，求出實數(shù)a的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時，函數(shù)，定義域為，
易知，
令，得，令，得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
【小問2詳解】
由題意知，
則，令，，
則．
①當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，不符合題意．
②當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，不符合題意．
③當(dāng)時，由，得，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．
易知，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，則當(dāng)時，，即．
所以當(dāng)x＞0時，．
取，則，且．
又，所以存在，使得，
所以當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，符合題意．
綜上，實數(shù)a的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：
由函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值求參數(shù)的值（或取值范圍），往往需要對參數(shù)進(jìn)行分類討論，如何劃分討論的區(qū)間成為難點．由于這類問題涉及函數(shù)的單調(diào)性，因此分類的標(biāo)準(zhǔn)是使函數(shù)在指定的區(qū)間內(nèi)其導(dǎo)數(shù)的符號能夠確定正負(fù)．
分?jǐn)?shù)段
物理人數(shù)
歷史人數(shù)

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