1. 已知集合，下列選項正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用元素與集合的關系和集合的基本關系判斷.
【詳解】因為集合，
所以，故A錯誤；，故B錯誤；
，故C錯誤，，故D正確；
故選：D
2. 設集合，，若，則（）．
A. 2B. 1C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據包含關系分和兩種情況討論，運算求解即可.
【詳解】因，則有：
若，解得，此時，，不符合題意；
若，解得，此時，，符合題意；
綜上所述：.
故選：B.
3. 命題“，”的否定是
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【詳解】特稱命題的否定是全稱命題，改量詞，且否定結論，
故命題的否定是“”.
本題選擇C選項.
4. 已知條件，條件，則p是q的（）
A. 充分非必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可；
【詳解】解：因，所以推不出，即充分性不成立，即必要性成立，
所以是的必要不充分條件，
故選：B
5. 集合，，將集合A，B分別用如圖中的兩個圓表示，則圓中陰影部分表示的集合中元素個數恰好為4的是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】記，然后分析每個選項對應的集合的運算并求解出結果進行判斷即可.
【詳解】因為，，所以，
記，
對于A選項，其表示，不滿足；
對于B選項，其表示，不滿足；
對于C選項，其表示，滿足；
對于D選項，其表示，不滿足；
故選：C.
6. 關于的方程的根為則的最小值是（ ）
A. 4B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】應用韋達定理得，代入目標式并應用基本不等式求最小值，注意取值條件.
【詳解】由題設，則，
當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值是.
故選：B
7. 已知命題“，使”是假命題，則實數的取值范圍是（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由題可得恒成立，由即可求出.
【詳解】因為命題“，使”是假命題，
所以恒成立，所以，解得，
故實數的取值范圍是．
故選：B．
8. 關于的不等式 的解集中恰有個整數，則實數的取值范圍是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分類討論一元二次不等式的解，根據解集中只有一個整數，即可求解.
【詳解】由得 ，
若，則不等式無解．
若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有個整數解，則此時個整數解為，則．
若，則不等式的解為，此時要使不等式的解集中恰有個整數解，則此時個整數解為，則．
綜上，滿足條件的的取值范圍是
故選：C．
二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. 下面命題為真命題的是（）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】CD
【解析】
【分析】利用特殊值判斷A、B，利用不等式性質判斷C、D.
【詳解】對于A：當時，故A錯誤；
對于B：取，則，故B錯誤；
對于C：由，則，，所以，故C正確；
對于D：由，所以，所以，故D正確.
故選：CD
10. 已知全集，集合，，則（）
A. 的子集有個B. C. D. 中的元素個數為
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據已知條件求出集合，利用子集的定義及集合的并集，結合補集的定義即可求解.
【詳解】因為，所以，
因為中的元素個數為，所以的子集有個，故A正確；
由，，得，所以，故B不正確；
由，，所以，所以，故C正確；
由，得中的元素個數為，故D正確.
故選：ACD.
11. 不等式的解集是，則下列結論正確的是（）
A. B. C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】根據二次函數圖像與性質，以及二次不等式關系，列出不等式組，即可求解.
【詳解】因為不等式的解集是，
可得，且，所以，所以，
所以A、C正確，D錯誤．
因為二次函數的兩個零點為，且圖像開口向下，
所以當時，，所以B正確．
故選：ABC．
12. 下列說法正確的是（）
A. 若，且，求的最小值是9.
B.
C. 則
D. 已知集合，，若，則實數m組成的集合為
【答案】ABC
【解析】
【分析】A選項，根據基本不等式求最值即可；B選項利用作差法比較大小；C選項，根據不等式的性質判斷即可；D選項，考慮的情況進行排除即可.
【詳解】A.，且，，，，
當且僅當，即時，等號成立.故當時，的最小值為9，故A正確；
B.因為，所以，所以，故B正確；
C.不妨設，所以，所以，即，
所以，即，故C正確；
D.當時，，此時滿足，故D錯誤.
故選：ABC
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 用列舉法表示集合_____________.
【答案】
【解析】
【分析】根據以及的范圍即可求解.
【詳解】因為，，
知，故.
故答案為：.
14. 已知集合有且僅有兩個子集，則實數___________
【答案】0或1
【解析】
【分析】由集合有且僅有兩個子集可得集合只有1個元素，再對分類討論即可得出答案．
【詳解】解：∵集合有且僅有兩個子集，
∴集合只有1個元素，
∴方程只有1個實數根，
當時，方程化為，得，符合題意；
當時，由根的判別式有，得，
故答案為：0或1．
【點睛】本題主要考查方程集合的子集個數，考查方程解的個數，屬于基礎題．
15. 為凈化水質，向一個游泳池加入某種化學藥品，加藥后池水中該藥品的濃度（單位：）隨時間（單位：）的變化關系為，則經過_______后池水中藥品的濃度達到最大.
【答案】2
【解析】
【詳解】C＝＝5
當且僅當且t＞0，即t＝2時取等號
考點：基本不等式，實際應用
16. 已知，若恒成立，則m的最大值為____________
【答案】9
【解析】
【分析】利用參變分離，根據結合基本不等式求得結果.
【詳解】由，知，，，
由，得，
又，
，
當且僅當，即時，取得最小值9，
，的最大值為9．
故答案為：9.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17. 集合．
（1）求；
（2）求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】化簡集合B,根據集合的交并補運算直接求解.
【小問1詳解】
由得,所以,
因為,所以.
【小問2詳解】
因為或，
所以.
18. （1）已知，求的最小值.
（2）已知是不全相等的實數，求證：．
【答案】（1）5；（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求函數最小值，注意取值條件；
（2）由基本不等式可得，即可證結論.
【詳解】（1）因為，所以，
所以，
當且僅當且，即時取等號，
所以的最小值為.
（2）∵，，，
∵不全相等，上面三式不能同時取等號．
∴，
∴．
19. （1）已知，，，比較與的大?。?br>（2）已知，，，，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用作差比較法即可得出結果；
（2）先對乘以1結果保持不變，將看為一個整體代入得，展開運用基本不等式可求得最小值，得到結果.
【詳解】（1）.
∵，，，∴，，，
又，∴.∴.
（2）∵，，，∴，
當且僅當即當時等號成立.
故的取值范圍是.
【點睛】該題考查的是有關不等式的問題，涉及到的知識點應用作差法比較式子的大小，利用基本不等式求最值，屬于簡單題目.
20. 南京某學校設計如圖所示的環(huán)狀田徑場，該田徑場的內圈由兩條平行線段（圖中的，）和兩個半圓構成，設為，且.
（1）若圖中矩形的面積為，則當取何值時，內圈周長最??？
（2）若內圈的周長為，則當取何值時，矩形的面積最大？
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）先求得內圈周長的表達式，結合基本不等式求得內圈的周長取得最小值時的值.
（2）先求得矩形的面積的表達式，結合二次函數的性質求得矩形的面積取得最大值時的值.
【詳解】（1），
則，
則內圈周長為米，
當且僅當，
即時，取到最小值360米.
（2）內圈周長為400米，
則，
則
，
故當時，取最大值平方米.
21. 已知集合，.
（1）當時，集合滿足?，這樣的集合有幾個？
（2）若，求實數的取值范圍.
【答案】（1）3個；（2）.
【解析】
【分析】(1) 時化簡集合，并求，再按要求依次寫出，即得結果；
(2)先判斷子集關系，再根據中元素個數分類討論，結合判別式和韋達定理求解參數范圍即可.
【詳解】解：（1），
若，則.
此時，集合滿足?，則集合可以是：，，共3個；
（2）若，則，而，
①若中沒有元素，即，則，此時；
②若中只有一個元素，則，解得，此時集合，不符合題意，故舍去；
③若中有兩個元素，則，此時.
因為中也有兩個元素，且，則必有，
由韋達定理得，方程無解，故舍去.
綜上所述，當時，.
所以實數的取值范圍是.
22. （1）已知命題：或，命題：或.若是的充分非必要條件，求的取值范圍；
（2）已知集合，，若，求實數 的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）設或，或，由題意可得是的真子集，再分和兩種情況列不等式組即可求解；
（2）先計算時，實數的取值范圍，再求補集即可求解.
【詳解】（1）設或，或，
若是的充分非必要條件，則是的真子集，
①當即時，，是的充分非必要條件，滿足題意.
②當即，若是的真子集，則，解得.
經檢驗和都符合題意，
綜上所述，實數m的取值范圍是.
（2）假設，則①時，，解得，
②時，方程兩根都非負，設方程的兩根為，，
則解得，
綜上所述，時，.
所以時，，
即實數a的取值范圍是.

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