1. 若集合，，則＝( )
A. B. C. D.
2. 已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
3. 已知向量，則的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
4. 已知函數(shù)，若對任意，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
5. 已知橢圓的一個焦點為，左頂點為A，上頂點為B，若 ，則該橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
6. 已知α是第四象限角，且，則
A 13B. C. D.
7. 已知平面向量和，則“”是“”（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
8. 已知，均為銳角，且滿足，則的最大值為（）
A. B. C. D.
二、選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得五分，部分選對的得兩分，有選錯的得零分.
9. 下列說法正確的有（）
A. 一組數(shù)據(jù)19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位數(shù)為34
B. 展開式中項的系數(shù)為1120
C. 相關(guān)系數(shù)，表明兩個變量相關(guān)性較弱
D. 若，則
10若，則（）
A. B.
C. D.
11. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是（）
A. B.
C. D.
12. 如果一個棱錐底面是正方形，且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，那么這樣的棱錐叫正四棱錐．若一正四棱錐的體積為18，則該正四棱錐的側(cè)面積最小時，以下結(jié)論正確的是（）．
A. 棱的高與底邊長的比為B. 側(cè)棱與底面所成的角為
C. 棱錐的高與底面邊長的比為D. 側(cè)棱與底面所成的角為
三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.
13. 為了保障疫情期間廣大市民基本生活需求，市政府準備了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、蘿卜、黃瓜、土豆八種蔬菜，并從中任選五種，以“蔬菜包”的形式發(fā)給市民．若一個“蔬菜包”中不同時含有土豆和蘿卜，且角瓜、黃瓜、辣椒最多只含有兩種，則可以組成___________種不同的“蔬菜包”．
14. 鼎是古代烹煮用的器物，它是我國青銅文化的代表，在古代被視為立國之器，是國家和權(quán)力的象征.圖①是一種方鼎，圖②是根據(jù)圖①繪制的方鼎簡易直觀圖，圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分，四邊形是矩形，其中、、，點到平面的距離為，則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為__________.(假定烹煮的食物全在四棱臺內(nèi))
15. 已知函數(shù)，若，是方程的兩不等實根，則的最小值是___________.
16. 已知點在線段上，是的角平分線，為上一點，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為__________．（結(jié)果用表示）．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效.
17. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求；
（2）點D在線段AC上，且，若的面積為，，求BD的長．
18. 直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，是側(cè)棱上一點，設(shè)．
(1) 若，求的值；
(2) 若，求直線與平面所成的角．
19. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，設(shè)導(dǎo)函數(shù)為，若在定義域范圍內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時，
20. 記數(shù)列的前項和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．
（1）求的通項公式：
（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：．
21. 高一年級某個班分成8個小組，利用假期參加社會公益服務(wù)活動每個小組必須全員參加，參加活動的次數(shù)記錄如下：
Ⅰ從這8個小組中隨機選出2個小組在全校進行活動匯報求“選出的2個小組參加社會公益服務(wù)活動次數(shù)相等”的概率；
Ⅱ記每個小組參加社會公益服務(wù)活動的次數(shù)為X．
求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；
至幾小組每組有4名同學(xué)，小組有5名同學(xué)記“該班學(xué)生參加社會公益服務(wù)活動的平均次數(shù)”為，寫出與EX的大小關(guān)系結(jié)論不要求證明．
22. 已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），.
（1）若在單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.組別
參加活動次數(shù)
3
2
4
3
2
4
1
3
烏魯木齊市第23中學(xué)高三月考
數(shù)學(xué)試卷
總分150分考試時間120分鐘
一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 若集合，，則＝( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由一元二次不等式的解法與交集的概念求解．
【詳解】，所以，
故選：D
2. 已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D(zhuǎn). 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運算得，結(jié)合相關(guān)概念：若則和可得結(jié)果．
【詳解】，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限
故選：A．
3. 已知向量，則的坐標(biāo)是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用向量的坐標(biāo)運算即可求得.
【詳解】因為向量，
所以.
故選：B
4. 已知函數(shù)，若對任意，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由題可得在上單調(diào)遞增，討論和兩種情況可求出.
【詳解】對任意，且，都有，
在上單調(diào)遞增，
的對稱軸為，
當(dāng)時，開口向下，單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時，開口向上，要在單調(diào)遞增，則，解得，
綜上，.
故選：C.
【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，解題的關(guān)鍵是判斷出在上單調(diào)遞增.
5. 已知橢圓的一個焦點為，左頂點為A，上頂點為B，若 ，則該橢圓的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，可得，利用，即可求得答案.
【詳解】由題意知橢圓的一個焦點為，左頂點為A，上頂點為B，
若，則 ，即，
設(shè)橢圓的離心率為,則，
故選：D
6. 已知α是第四象限角，且，則
A. 13B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根據(jù)平方關(guān)系解得，再根據(jù)半角公式得值.
【詳解】因為,所以，因為α是第四象限角， 所以，
因此.
故選:B.
【點睛】三角函數(shù)求值的三種類型
(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).
(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.
①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；
②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達到解題的目的.
(3)給值求角：實質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.
7. 已知平面向量和，則“”是“”的（ ）
A. 充分而不必要條件B. 必要而不充分條件
C. 充分必要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】C
【解析】
【分析】
兩邊平方得出，展開等價變形得出，根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.
【詳解】
則“”是“”的充分必要條件
故選：C
【點睛】本題主要考查了充要條件的證明，涉及了向量運算律的應(yīng)用，屬于中檔題.
8. 已知，均為銳角，且滿足，則的最大值為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】已知等式利用兩角差的正弦公式和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系化簡得，結(jié)合基本不等式可得，由正切函數(shù)的單調(diào)性可得的最大值.
【詳解】由，得，
即，化簡得，
則，
所以，
由為銳角，，則有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
，
由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以的最大值為.
故選：B
二、選擇題：本題共4小題，每題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得五分，部分選對的得兩分，有選錯的得零分.
9. 下列說法正確的有（）
A. 一組數(shù)據(jù)19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位數(shù)為34
B. 展開式中項的系數(shù)為1120
C. 相關(guān)系數(shù)，表明兩個變量相關(guān)性較弱
D. 若，則
【答案】ABD
【解析】
【分析】一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列由中位數(shù)定義可判斷A；利用展開式的通項可判斷B；根據(jù)相關(guān)系數(shù)定義及意義可判斷C；根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可判斷D.
【詳解】對于A，一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列可得19，24，25，28，32，36，43，45，45，57，
所以中位數(shù)為，故A正確；
對于B，設(shè)展開式的通項為，令，可得
展開式中項的系數(shù)為，故B正確；
對于C，相關(guān)系數(shù)取值一般在~1之間，絕對值越接近1說明變量之間的線性關(guān)系越強，絕對值越接近0說明變量間線性關(guān)系越弱，相關(guān)系數(shù)r的絕對值一般在0.8以上，認為兩個變量有強的相關(guān)性，0.3到0.8之間，可以認為有弱的相關(guān)性，0.3以下,認為沒有相關(guān)性，所以相關(guān)系數(shù)表明兩個變量相關(guān)性較強，故C錯誤；
對于D，若，則，則，故D正確.
故選：ABD.
10. 若，則（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根據(jù)題意結(jié)合指數(shù)冪運算和對數(shù)運算，可得，再對，，三種情況進行分類討論，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意，原式，可變換為，即；
當(dāng)時，，所以，即，與相矛盾，故不符合題意；
當(dāng)時，，所以，所以，即；
當(dāng)時，，所以，所以，即，與相矛盾，故不符合題意；
綜上：.
故選：BC.
11. 下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增函數(shù)是（）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】使用定義判斷每個函數(shù)的奇偶性，并利用常見函數(shù)的單調(diào)性判斷每個函數(shù)的單調(diào)性.
【詳解】對于A：，故為奇函數(shù)，在均為增函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以A正確；
對于B：，，故在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，故B錯誤；
對于C：故為奇函數(shù)，在均為增函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以C正確；
對于D：，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以也是遞減，故D錯誤；
故選：AC.
12. 如果一個棱錐的底面是正方形，且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，那么這樣的棱錐叫正四棱錐．若一正四棱錐的體積為18，則該正四棱錐的側(cè)面積最小時，以下結(jié)論正確的是（）．
A. 棱的高與底邊長的比為B. 側(cè)棱與底面所成的角為
C. 棱錐的高與底面邊長的比為D. 側(cè)棱與底面所成的角為
【答案】AB
【解析】
【分析】設(shè)四棱錐的高為，底面邊長為，由得，然后可得側(cè)面積為，運用導(dǎo)數(shù)可求出當(dāng)時側(cè)面積取得最小值，此時，然后求出棱錐的高與底面邊長的比和即可選出答案.
【詳解】
設(shè)四棱錐的高為，底面邊長為
可得，即
所以其側(cè)面積為
令，則
令得
當(dāng)時，單調(diào)遞減
當(dāng)時，單調(diào)遞增
所以當(dāng)時取得最小值，即四棱錐的側(cè)面積最小
此時
所以棱錐的高與底面邊長的比為，故A正確，C錯誤
側(cè)棱與底面所成的角為，由，可得
所以，故B正確，D錯誤
故選：AB
【點睛】本題考查的知識點有空間幾何體的體積和表面積、線面角及利用導(dǎo)數(shù)求最值，屬于綜合題.
三、填空題：本題共4小題，每題5分，共20分.
13. 為了保障疫情期間廣大市民基本生活需求，市政府準備了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、蘿卜、黃瓜、土豆八種蔬菜，并從中任選五種，以“蔬菜包”的形式發(fā)給市民．若一個“蔬菜包”中不同時含有土豆和蘿卜，且角瓜、黃瓜、辣椒最多只含有兩種，則可以組成___________種不同的“蔬菜包”．
【答案】27
【解析】
【分析】運用加法分類計數(shù)原理，結(jié)合組合的定義進行求解即可.
【詳解】當(dāng)土豆和蘿卜都不含有時，蔬菜包的種數(shù)為；
當(dāng)土豆和蘿卜中只含有一種時，蔬菜包的種數(shù)為，
所以可以組成種不同“蔬菜包”種數(shù)為，
故答案為：27
14. 鼎是古代烹煮用的器物，它是我國青銅文化的代表，在古代被視為立國之器，是國家和權(quán)力的象征.圖①是一種方鼎，圖②是根據(jù)圖①繪制的方鼎簡易直觀圖，圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分，四邊形是矩形，其中、、，點到平面的距離為，則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為__________.(假定烹煮的食物全在四棱臺內(nèi))
【答案】
【解析】
【分析】延長、、、必交于一點，該點記為，過點作平面于，作面于，則與所在直線重合，根據(jù)比例關(guān)系即可求出、OG、OH，根據(jù)即可求得答案．
【詳解】∵幾何體為四棱臺，則延長、、、必交于一點，該點記為，
由得：．
過點作平面于，作面于，則與所在直線重合，可得，
又，解得，，
∴．
故答案為：．
15. 已知函數(shù)，若，是方程的兩不等實根，則的最小值是___________.
【答案】##
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，可得，且設(shè)，.將用表示出來，可得，借助導(dǎo)函數(shù)求出，的最小值即可.
【詳解】與函數(shù)均是單調(diào)函數(shù).
作出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng)時，方程有兩不等實根.不妨設(shè)，.
則，，即，.
則.
令，，則.
當(dāng)時，有，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，有，單調(diào)遞增.
所以，在時，取得唯一極小值，也是最小值.
故答案為：.
16. 已知點在線段上，是的角平分線，為上一點，且滿足，設(shè)則在上的投影向量為__________．（結(jié)果用表示）．
【答案】
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合三角形內(nèi)心的向量表達式、切線長定理、投影向量的定義進行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
由，可設(shè)，，
得點的軌跡是以為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點）．
因為是的角平分線，
且，
所以也為的角平分線，為的內(nèi)心．
如圖，設(shè)，
則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，
又，所以，，在上的投影長為，則在上的投影向量為，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是識別三角形內(nèi)心的表達式，利用切線長定理進行求解.
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效.
17. 在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．
（1）求；
（2）點D在線段AC上，且，若的面積為，，求BD的長．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用正弦定理化邊為角，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理結(jié)合兩角和得正弦公式化簡即可得解；
（2）先根據(jù)三角形的面積公式及已知求出，再利用余弦定理即可得解.
【小問1詳解】
因為，
由正弦定理得，
即，
即，
又，所以，
又，所以；
【小問2詳解】
由，得，
又，則，
則，解得，所以，
則，
所以，
所以.
18. 直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，是側(cè)棱上一點，設(shè)．
(1) 若，求的值；
(2) 若，求直線與平面所成的角．
【答案】（1）（2）
【解析】
【詳解】試題分析：（1）以為坐標(biāo)原點，以射線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出，，利用，求出的值；（2）求出直線的方向向量與平面的法向量，求出向量的夾角的余弦值可得結(jié)果.
試題解析：（1）以為坐標(biāo)原點，以射線、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則,，，
，
由得，即
解得．
(2) 解法一：此時
設(shè)平面一個法向量為
由得
所以
設(shè)直線與平面所成的角為
則
所以直線與平面所成的角為
解法二：聯(lián)結(jié)，則，
，平面
平面
所以是直線與平面所成的角；
在中，
所以
所以
所以直線與平面所成的角為
點睛：本題主要考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用之利用空間向量的數(shù)量積證明垂直關(guān)系，利用空間向量求直線與平面所成的角角；兩直線垂直等價于直線的方向向量互相垂直即數(shù)量積為0，直線與平面所成的角與直線的方向向量與平面的法向量之間所成的角相加為或相減為，且滿足.
19. 已知函數(shù)
（1）當(dāng)時，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若在定義域范圍內(nèi)恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時，
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【解析】
【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的最小值，令最小值大于等于0，求實數(shù)的取值范圍；（2）分類討論，和兩種情況，當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，證明不等式.
【詳解】（1） 令
， 在單減，在單增
的最小值，所以
（2）（ⅰ）當(dāng)時，
成立
（ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，則
設(shè)，則
，即在上單調(diào)遞增
即
在在單調(diào)遞增
即
綜上可知，時，
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問求函數(shù)的最小值時，需判斷函數(shù)的單調(diào)性，一般求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以后，不能判斷導(dǎo)數(shù)的正負時，需重新設(shè)影響正負那一部分為新的函數(shù)，再求導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性.
20. 記數(shù)列的前項和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列．
（1）求的通項公式：
（2）若，數(shù)列的前項和為，求證：．
【答案】（1）
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）由等差數(shù)列的通項公和數(shù)列的通項與前項和的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)果，
（2）討論時，不等式成立，證明時，，再利用錯位相減法求和與不等式性質(zhì)，可證得結(jié)論.
【小問1詳解】
當(dāng)時，，
因為是公差為2的等差數(shù)列，
所以，
當(dāng)時，，
所以，
所以，
所以，
所以數(shù)列是以3為公比，3為首項的等比數(shù)列，
所以，所以，
【小問2詳解】
證明：由（1）可得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
可用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，成立，
假設(shè)時，成立，
則當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
所以，
令，則
，
所以
，
所以，
所以，即
21. 高一年級某個班分成8個小組，利用假期參加社會公益服務(wù)活動每個小組必須全員參加，參加活動的次數(shù)記錄如下：
Ⅰ從這8個小組中隨機選出2個小組在全校進行活動匯報求“選出的2個小組參加社會公益服務(wù)活動次數(shù)相等”的概率；
Ⅱ記每個小組參加社會公益服務(wù)活動的次數(shù)為X．
求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX；
至幾小組每組有4名同學(xué)，小組有5名同學(xué)記“該班學(xué)生參加社會公益服務(wù)活動的平均次數(shù)”為，寫出與EX的大小關(guān)系結(jié)論不要求證明．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.
【解析】
【分析】Ⅰ根據(jù)題意知從8個小組中隨機選出2個小組的基本事件數(shù)，計算所求的概率值；
Ⅱ由題意知隨機變量X的可能取值，計算對應(yīng)的頻率值，寫出X的分布列，求出數(shù)學(xué)期望值；
由至幾小組每組的同學(xué)數(shù)，結(jié)合題意得出．
【詳解】解：Ⅰ從這8個小組中隨機選出2個小組在全校進行活動匯報，
基本事件總數(shù)為，
選出的2個小組參加社會公益服務(wù)活動次數(shù)相等包含的基本事件個數(shù)為，
“選出的2個小組參加社會公益服務(wù)活動次數(shù)相等”的概率為；
Ⅱ由題意知，隨機變量X的可能取值為1，2，3，4；
則，，
，，
所以X的分布列為：
數(shù)學(xué)期望為；
由至幾小組每組有4名同學(xué)，小組有5名同學(xué)，且每一組對應(yīng)的數(shù)據(jù)知，．
【點睛】本題考查了古典概型的概率求法問題，離散型隨機變量的分布列與期望，也考查了組合知識的應(yīng)用問題，是中檔題．
22. 已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），.
（1）若在單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由已知可將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，進而參變分離轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最值可得結(jié)果；
（2）由已知得到問題的等價不等式對一切恒成立，進而參變分離得到對一切恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，求最值即可.
【小問1詳解】
解：在單調(diào)遞減，
在上恒成立，即在上恒成立，
設(shè)，，需即可，
，，則，
在單調(diào)遞增，
，
故；
【小問2詳解】
由題意，不等式對恒成立，則對一切恒成立，
，所以，
原命題等價于對一切恒成立，
對一切恒成立，
令，，
，
令，則對恒成立，
上單增，
又，
使，即①，
當(dāng)時，，即在遞減，
當(dāng)時，，即在遞增，
，
由①，，
設(shè)，，則，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
即，
，
實數(shù)的取值范圍為.
【點睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問題，可對不等式進行轉(zhuǎn)化，然后利用構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等，從而求得參數(shù)的取值范圍.
組別
參加活動次數(shù)
3
2
4
3
2
4
1
3
X
1
2
3
4
P

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