1. 等差數(shù)列中，若，則（）
A. 12B. 18C. 6D. 9
2. 若直線，平行，則實數(shù)的值為（）
A. B. 3C. 1或D. 或3
3. 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（）
A. 16B. C. 24D.
4. 已知直線與圓交于A，B兩點，則線段的垂直平分線方程為（）
A. B. C. D.
5. 空間中有三點，則點到直線的距離為（）
A. B. C. D.
6. 已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）
A. B. C. D.
7. 設(shè)拋物線的焦點為，點在上，，若，則（）
AB. 12C. D.
8. 數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項和為（）
A. 1640B. 1680C. 2100D. 2120
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9. 下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）
A. 數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個數(shù)列
B. 數(shù)列的通項公式為,則110是該數(shù)列的第10項
C. 在數(shù)列中,第8個數(shù)是
D. 數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為
10. 已知正三棱柱的各棱長都為1，為的中點，則（）
A. 直線與直線為異面直線
B. 平面
C. 二面角的正弦值為
D. 若棱柱的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為
11. 已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（）
A. 是遞減數(shù)列B. 是等差數(shù)列
C. D.
12. 已知橢圓：的左右焦點分別為、，點在橢圓內(nèi)部，點在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）
A. 離心率的取值范圍為
B. 當時，的最大值為
C. 存在點，使得
D. 的最小值為1
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填在答題卡中的橫線上.）
13. 若焦點在軸上的橢圓的焦距為，則實數(shù)的值為_________．
14. 已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項公式_________．
15. 已知數(shù)列滿足．則的通項公式為_________．
16. 已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．
三、解答題（本大題共6小題，共70分. 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 在平面直角坐標系中，點到，兩點的距離之和為4
（1）寫出點軌跡的方程；
（2）若直線與軌跡有兩個交點，求的取值范圍.
18. （1）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．求數(shù)列的通項公式；
（2）已知數(shù)列滿足，，求通項公式．
19. 已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點.
（1）求圓的標準方程；
（2）若直線l過點且被圓截得弦長為，求直線l的方程.
20. 已知數(shù)列中，，．
（1）證明數(shù)列等差數(shù)列，并求通項公式；
（2）若對任意，都有成立，求的取值范圍．
21. 已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，平面.
（1）求證：；
（2）若四棱錐的體積為2，求平面與平面夾角的余弦值.
22. 已知雙曲線經(jīng)過點，且離心率2.
（1）求的方程；
（2）過點作軸的垂線，交直線于點，交軸于點.設(shè)點為雙曲線上的兩個動點，直線的斜率分別為，若，求.
2023-2024學年第一學期高二年級12月月考數(shù)學學科試卷
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 在等差數(shù)列中，若，則（）
A. 12B. 18C. 6D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)轉(zhuǎn)化運算即可.
【詳解】因為等差數(shù)列中，
所以，所以.
故選：D.
2. 若直線，平行，則實數(shù)的值為（）
A. B. 3C. 1或D. 或3
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線平行列方程，由此求得.
【詳解】由于兩直線平行，所以，
解得或，
當時，，兩直線平行.
當時，，兩直線平行.
綜上所述，的值為或.
故選：D
3. 在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，則（）
A. 16B. C. 24D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)，，利用等比數(shù)列的通項公式求解.
【詳解】解：在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，，，
所以，
解得或（舍去）或（舍去），
此時，
所以，
故選：C
4. 已知直線與圓交于A，B兩點，則線段的垂直平分線方程為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)互相垂直兩直線斜率之間的關(guān)系、圓的幾何性質(zhì)進行求解即可.
【詳解】由，圓心坐標為，
由，所以直線的斜率為，
因此直線的垂直垂直平分線的斜率為，
所以直線的垂直垂直平分線方程為：，
故選：A
5. 空間中有三點，則點到直線的距離為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分別求出，即可得，，再根據(jù)點到直線的距離為即可得解.
【詳解】解：，
則，，
則，
所以點到直線的距離為.
故選：A.
6. 已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】結(jié)合等差數(shù)列的前項和，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)判斷．
【詳解】是等差數(shù)列，∴，又，所以，公差，
因此中，當時遞減，是最小值，從開始，遞增，
又，，
所以使得的最大的為11，
故選：C．
7. 設(shè)拋物線的焦點為，點在上，，若，則（）
A. B. 12C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意，得到所以，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，得到軸，利用勾股定理，即可求解.
【詳解】由拋物線，可得，所以焦點，
因為，根據(jù)拋物線的定義，可得，
又因為，所以，
因為，即拋物線的通徑長為，所以軸，
所以.
故選：C.
8. 數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前80項和為（）
A. 1640B. 1680C. 2100D. 2120
【答案】A
【解析】
【分析】利用周期性以及等差數(shù)列進行求解.
【詳解】設(shè)，因為的周期為，
所以的周期為.
又，，所以當n為奇數(shù)時，，
所以當n為偶數(shù)時，.
又，所以，，
，于是得到，同理可求出
，…，
設(shè)，則數(shù)列是以6為首項，8為
公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列的前80項和為數(shù)列的前20項和
.故B，C，D錯誤.
故選：A.
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每個小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）
9. 下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（）
A. 數(shù)列-2023,0,4與數(shù)列4,0,-2023是同一個數(shù)列
B. 數(shù)列的通項公式為,則110是該數(shù)列的第10項
C. 在數(shù)列中,第8個數(shù)是
D. 數(shù)列3,5,9,17,33,…的一個通項公式為
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)數(shù)列概念即可得選項A正誤;利用數(shù)列的通項公式等于110,計算出結(jié)果,即可得選項B的正誤;根據(jù)數(shù)列的規(guī)律,即可得選項C、D的正誤.
【詳解】解:因為數(shù)列-2023,0,4的首項是-2023,而數(shù)列4,0,-2023的首項是4,
所以兩個數(shù)列不是同一個,故選項A錯誤;
當時,解得:或(舍),
即110是該數(shù)列的第10項,故選項B正確;
因為數(shù)列可寫為:,
所以第8個數(shù)是,故選項C正確;
因為
所以可以看做數(shù)列的一個通項公式,故選項D正確.
故選：BCD
10. 已知正三棱柱的各棱長都為1，為的中點，則（）
A. 直線與直線為異面直線
B. 平面
C. 二面角的正弦值為
D. 若棱柱的各頂點都在同一球面上，則該球的表面積為
【答案】ABD
【解析】
【分析】連接、交于點，連接，即可證明，從而得到平面，即可判斷A、B，建立空間中直角坐標系，利用空間向量法判斷C，求出外接圓的半徑，即可求出正三棱柱外接球的半徑，即可判斷D.
【詳解】連接、交于點，連接，則為的中點，
又為中點，所以，平面，平面，
所以平面，故B正確；
又，平面，所以與不平行且無公共點，
所以直線與直線為異面直線，故A正確；
取的中點，連接，則，又平面，則平面，又，
如圖建立空間直角坐標系，則，，，
所以，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
又平面的法向量可以為，
設(shè)二面角為，顯然為銳二面角，
則，所以，
即二面角的正弦值為，故C錯誤；
外接圓的半徑，
所以正三棱柱外接球的半徑，
所以該球的表面積，故D正確.
故選：ABD
11. 已知正項數(shù)列的前項和為，且，則（）
A. 是遞減數(shù)列B. 是等差數(shù)列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】根據(jù)題中的遞推公式，分別可求出，，，從而可對各項進行求解.
【詳解】因為，所以.因為，所以.
當時，因為，所以，
所以，所以是首項為1，公差為的等差數(shù)列，故D正確；
因為，所以，故B錯誤；
因為（也滿足），
所以，
所以是遞減數(shù)列，故A正確；
因為，即，所以C正確.
故選：ACD
12. 已知橢圓：的左右焦點分別為、，點在橢圓內(nèi)部，點在橢圓上，橢圓的離心率為，則以下說法正確的是（）
A. 離心率的取值范圍為
B. 當時，的最大值為
C. 存在點，使得
D. 的最小值為1
【答案】ABD
【解析】
【分析】A項中需先解出的范圍，然后利用離心率的定義進行判斷；
B項中根據(jù)橢圓定義轉(zhuǎn)化為求的最大值，從而進而判斷；
C項中先求出點的軌跡方程，再判斷該軌跡圖形與橢圓是否有交點，從而進行判斷；
D項中根據(jù)橢圓定義得，并結(jié)合基本不等式判斷.
【詳解】對于A項：因為點在橢圓內(nèi)部，所以，得，
所以得：，故A項正確；
對于B項：由橢圓定義知，
當在軸下方時，且，，三點共線時，有最大值，
由，得，，所以得，
所以最大值，故B項正確；
對于C項：設(shè)，若，即：，
則得，即點在以原點為圓心，半徑為的圓上，
又由A項知：，得，
又因為，得，
所以得：，所以該圓與橢圓無交點，故C項錯誤；
對于D項：由橢圓定義得，
所以
，
當且僅當時取等號，故D項正確.
故選：ABD.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．請將答案填在答題卡中的橫線上.）
13. 若焦點在軸上的橢圓的焦距為，則實數(shù)的值為_________．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)焦距求得，結(jié)合橢圓的方程求得.
【詳解】由于橢圓焦距為，所以，
由于橢圓的焦點在軸上，，
所以，
解得.
故答案為：
14. 已知為等比數(shù)列，公比，，且成等差數(shù)列，則通項公式_________．
【答案】
【解析】
分析】由成等差數(shù)列，得，然后利用等比數(shù)列通項公式，代入求出公比即可.
【詳解】由成等差數(shù)列，且，
得，解得或，
又，所以，所以，
故答案為：.
15. 已知數(shù)列滿足．則的通項公式為_________．
【答案】
【解析】
【分析】利用數(shù)列通項和前n項和間的關(guān)系求解.
【詳解】解：當時，，
，
時，，
兩式相減可得，，
，當時，適合上式，
，
故答案為：
16. 已知圓與雙曲線，若在雙曲線上存在一點P，使得過點P所作的圓的兩條切線，切點為A、B，且，則雙曲線的離心率的取值范圍是______．
【答案】
【解析】
【分析】連接，則，設(shè)點，則，分析可得，可得范圍，進而可得離心率的范圍.
【詳解】連接，則，
由切線長定理可得，又，，
所以
所以，
則
設(shè)點，則，且，
所以
所以，
故.
故答案為：.
三、解答題（本大題共6小題，共70分. 解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 在平面直角坐標系中，點到，兩點的距離之和為4
（1）寫出點軌跡的方程；
（2）若直線與軌跡有兩個交點，求的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用定義法求橢圓方程即可；
（2）利用橢圓與直線位置關(guān)系的判斷方法即可.
【小問1詳解】
由橢圓定義可知，軌跡是以，為焦點，長半軸長為2的橢圓，
故，，，其方程為.
【小問2詳解】
聯(lián)立得，
因為有兩個交點，所以，
解得，所以的取值范圍為.
18. （1）已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．求數(shù)列的通項公式；
（2）已知數(shù)列滿足，，求通項公式．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）利用等差數(shù)列通項公式和求和公式列方程求解即可；
（2）利用累乘法求解通項公式.
【詳解】（1）依題意，設(shè)數(shù)列公差為，
因為，所以，解得：，
所以；
（2），
，
．
19. 已知圓的圓心在直線上且與y軸相切于點.
（1）求圓的標準方程；
（2）若直線l過點且被圓截得的弦長為，求直線l的方程.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）設(shè)圓心坐標為，結(jié)合題意得到，求得圓心，再由，即可求得圓的方程；
（2）根據(jù)圓的弦長公式，化簡得到，分的斜率不存在和存在，結(jié)合點到直線的距離公式，列出方程，即可求解.
【小問1詳解】
解：圓的圓心在直線上且與軸切于點，
可設(shè)圓心坐標為，則，解得，.
所以圓心，半徑，
故圓的方程為.
【小問2詳解】
解：由直線l過點且被圓C截得的弦長為，
根據(jù)圓的弦長公式，可得，即，解得，
當?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，此時不滿足條件；
當?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)直線的斜率為，則方程為，即，
可得，解得或，
所以直線方程為或.
20. 已知數(shù)列中，，．
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項公式；
（2）若對任意，都有成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)已知可推出，又，即可得到，進而求出通項公式；
（2）經(jīng)化簡可得，.令，根據(jù)求出時，最大，即可得出的取值范圍．
【小問1詳解】
證明：由已知可得，，
又，所以，所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.
所以，所以，所以.
【小問2詳解】
由（1）知，.
所以，所以.
則由可得，對任意，都成立.
令，假設(shè)數(shù)列中第項最大，
當時則，有，即，整理可得，
解得，所以.
因為，所以，.
又，所以數(shù)列中第2項最大，即對任意，都成立.
所以由對任意，都成立，可得.
21. 已知四棱錐的底面為等腰梯形，，，，平面.
（1）求證：；
（2）若四棱錐的體積為2，求平面與平面夾角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)梯形的性質(zhì)求解可證，進而根據(jù)線線垂直即可求證，
（2）建立空間直角坐標系，利用法向量求解平面夾角，或者利用幾何法，結(jié)合線面垂直找到兩平面的夾角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求解.
【小問1詳解】
∵平面，平面，
∴，
過點作，由為等腰梯形，，
故，
所以，即，即，
平面，
∴平面，平面，
故.
小問2詳解】
方法一:，
∵,
，
∴.
如圖，建立空間直角坐標系，
，，，，
,
設(shè)平面法向量為，
則，，
取，得
同理，設(shè)面法向量為，則
，，
取，得，
由題意，.
設(shè)平面與平面夾角為，則，
方法二：，
∵,
，
∴.
∵平面，平面，∴平面平面，
過作，則平面垂足為，平面，則,
過作的垂線，垂足為，連，
由于平面,
所以平面,平面，故，
則為所求二面角夾角的平面角.
，所以,
,，，
.
22. 已知雙曲線經(jīng)過點，且離心率為2.
（1）求的方程；
（2）過點作軸的垂線，交直線于點，交軸于點.設(shè)點為雙曲線上的兩個動點，直線的斜率分別為，若，求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意求出即可得解；
（2）設(shè)，方法一：分直線斜率存在和不存在兩種情況討論，設(shè)直線方程為，聯(lián)立方程，利用韋達定理求得，再根據(jù)求出的關(guān)系，從而可得直線過定點，進而可得出答案.
方法二：可設(shè)直線方程為，由可得，再根據(jù)求出，從而可得直線過定點，進而可得出答案.
【小問1詳解】
由題意得，解得，
所以的方程為；
【小問2詳解】
由題意，點坐標為，點坐標為，設(shè)，
方法一：
①若直線斜率存在，設(shè)直線方程為，
，消去可得，
且，
且，
，
整理可得，
，
化簡得，
即，
因為直線不過點，所以，
所以，即，
所以直線的方程為，恒過定點，
②若直線斜率不存在，則，
，
解得，所以直線的方程為，過定點，
綜上，直線恒過定點，
設(shè)點到直線的距離為，點到直線的距離為，
.
方法二：
因為直線不過點，所以可設(shè)直線方程為，
由可得，
即，
，
得，
等式左右兩邊同時除以，
得，
，
，解得，
所以直線方程為，
即，恒過定點，
下同法一.
【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.

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