A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由斜率直接求解傾斜角即可.
【詳解】設(shè)傾斜角為，則，則.
故選：C.
2. 已知空間向量，，，若三向量、、共面，則實(shí)數(shù)（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】設(shè)，其中、，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出關(guān)于、、的方程組，即可解得的值.
【詳解】因?yàn)槿蛄?、、共面，設(shè)，其中、，
則，解得.
故選：B.
3. 已知直線：，和直線：垂直，則（）．
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)兩直線垂直，得到方程，求出得或1.
【詳解】因?yàn)橹本€和直線垂直，故，解得或1，
經(jīng)檢驗(yàn)，符合要求.
故選：C
4. 如圖所示，已知等腰直角三角形ADE與正方形ABCD所在的平面互相垂直，且，F(xiàn)是線段CD的中點(diǎn)，則BD與EF所成的角的余弦值為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，寫出和的坐標(biāo)利用夾角公式求出余弦值即可.
【詳解】因?yàn)槠矫鍭DE⊥平面ABCD，平面平面ABCD=AD，AE⊥AD，平面ADE，
所以AE⊥平面ABCD，
又平面ABCD，所以AE⊥AB，
又AB⊥AD，所以AB，AD，AE兩兩垂直，
分別以AB、AD、AE所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
可得B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，2），F(xiàn)（1，2，0），
∴，，
設(shè)BD與EF所成角大小為α，
則，
即BD與EF所成的角的余弦值為，
故選：D.
5. 已知點(diǎn)、，點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)對稱性求出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用兩點(diǎn)間的距離公式可求得的值.
【詳解】由于點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，則點(diǎn)，
由空間中兩點(diǎn)間的距離公式得.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離的計算，同時也考查了利用對稱性求點(diǎn)的坐標(biāo)，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.
6. 過點(diǎn)與圓相切的兩條直線垂直，則（）
A. B. C. D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】由題意，點(diǎn)到圓心的距離是半徑的倍，列方程求解即可.
【詳解】圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程為，
圓心坐標(biāo)為，半徑，
過點(diǎn)與圓相切的兩條直線垂直，則點(diǎn)到圓心的距離為，
即，解得.
故選：D.
7. 已知直線與圓相交于A，B兩點(diǎn)，且，則數(shù)()
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)圓的弦長公式即可計算.
【詳解】設(shè)圓C半徑為r.
由可得，
∴圓心，
圓心C到直線的距離為，
由，得，∴，解得．
故選：B．
8. 若圓與圓關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)的圓P與y軸相切，則圓心P的軌跡方程為（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出兩個圓的圓心坐標(biāo)，兩個半徑，利用兩個圓關(guān)于直線的對稱知識，求出a的值，然后設(shè)出圓心P的坐標(biāo)為，圓心到點(diǎn)C的距離等于圓心到y(tǒng)軸的距離，列出方程求出圓心P的軌跡方程．
【詳解】圓的圓心為，圓的圓心為，
因?yàn)閳A與圓關(guān)于直線對稱，
所以的中點(diǎn)滿足直線方程，解得，
過點(diǎn)的圓P與y軸相切，設(shè)圓心P的坐標(biāo)為，
所以解得：，
故選：C．
二、多選題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，少選得2分，多選得0分．
9. 已知向量，，，則（）
A. 向量，的夾角為B. ∥
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，求出，再根據(jù)向量夾角的定義判斷即可；對于B，只需判斷是否成立，即可判斷；對于C，只需判斷是否成立，即可判斷；對于D，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，計算出的值，即可判斷.
【詳解】解：對于A，因?yàn)椋?br>所以向量，的夾角為，故錯誤；
對于B，因?yàn)?，?br>所以，所以∥，故正確；
對于C，因?yàn)?，?br>所以，所以，故正確；
對于D，因?yàn)?，?br>所以，故錯誤.
故選：BC.
10. 已知圓：，直線：，則（）
A. 直線過定點(diǎn)，坐標(biāo)為
B. 直線與圓的位置關(guān)系無法確定
C. 直線被圓截得的最短弦長是
D. 直線被圓截得的弦長最大時
【答案】AD
【解析】
【分析】A選項(xiàng)，變形后得到方程組，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；B選項(xiàng)，確定直線所過定點(diǎn)在圓內(nèi)，從而得到直線與圓的位置關(guān)系；C選項(xiàng)，當(dāng)與直線垂直時，直線被圓截得的弦長最短，由兩點(diǎn)間距離公式和垂徑定理得到最短弦長；D選項(xiàng)，當(dāng)直線經(jīng)過圓心時，被圓截得的弦長最大，將圓心坐標(biāo)代入直線，得到的值.
【詳解】A選項(xiàng)，變形，
令，解得，
故直線過定點(diǎn)，坐標(biāo)為，A正確；
B選項(xiàng)，因?yàn)?，故在圓內(nèi)，則直線與圓相交，B錯誤；
C選項(xiàng)，當(dāng)與直線垂直時，直線被圓截得的弦長最短，
此時，
由垂徑定理得，最短弦長為，C錯誤；
D選項(xiàng)，直線經(jīng)過圓心時，被圓截得的弦長最大，
將代入中，，
解得，D正確.
故選：AD
11. 已知圓：，直線：，為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線、，切點(diǎn)為A、，則下列各選項(xiàng)正確的是（）
A. 四邊形面積最大值為8B. 四邊形面積的最小值為4
C. 當(dāng)最大時，D. 動直線一定經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)
【答案】BCD
【解析】
【分析】根據(jù)已知，結(jié)合圖形，利用直角三角形、正方形的性質(zhì)、直線方程以及點(diǎn)到直線的距離公式、勾股定理計算求解.
【詳解】因?yàn)閳A：的圓心，半徑為，
由圓的幾何性質(zhì)可得，如下圖所示：
對于選項(xiàng)A、B：由切線長定理可得，且，可知，
所以四邊形的面積，
因?yàn)椋?br>當(dāng)時，取最小值，且，即，
因?yàn)闊o最大值，即無最大值，故四邊形面積無最大值，故A錯誤；
當(dāng)時，四邊形的面積取到最小值為，故B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)闉殇J角，，且，
當(dāng)取到最小值時，則最大，即最大，
此時，故C正確；
對于選項(xiàng)D：因?yàn)闉橹本€：上的動點(diǎn)，設(shè)，
則，
可得，
又因?yàn)?，可知點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，
圓的方程為，即，
又因?yàn)閳A：，即，
兩圓方程相減可得：，
即直線，所以動直線一定經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，故D正確.
故選：BCD.
12. 長方體中，，，點(diǎn)，分別在棱和上運(yùn)動（不含端點(diǎn)），若，下列說法正確的是（）
A. B. 的最大值為0
C. 面積的最大值為D. 三棱錐的體積不變
【答案】AD
【解析】
【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)坐標(biāo)，根據(jù)求出參數(shù)之間的關(guān)系，在依次判斷選項(xiàng)正誤.
【詳解】
以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示.
則設(shè)，其中
，
又，即
對于選項(xiàng)A，，因此，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B，，，
因此無最大值，故選項(xiàng)B錯誤；
對于選項(xiàng)C，，因此面積無最大值，故選項(xiàng)C錯誤；
對于選項(xiàng)D，,因此三棱錐的體積不變，故選項(xiàng)D正確.
故選：AD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 圓與圓的公共弦長為______．
【答案】
【解析】
【分析】先求兩圓公共弦方程，再利用弦心距，弦長，半徑之間的關(guān)系求解
【詳解】設(shè)圓：與圓：交于，兩點(diǎn)
把兩圓方程相減，化簡得
即：
圓心到直線的距離，又
而，所以
故答案為：
14. 已知圓：，圓的弦被點(diǎn)平分，則弦所在的直線方程是________．
【答案】
【解析】
【分析】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得到圓心，由于圓的弦被點(diǎn)平分，故，得到，由點(diǎn)斜式求解即可.
【詳解】因?yàn)閳A：，
所以化為標(biāo)準(zhǔn)方程為：，所以圓心.
又圓的弦被點(diǎn)平分，故，
而直線斜率不存在，所以，
由于過點(diǎn)，故直線的方程為：.
故答案為：.
15. 已知圓：，圓上恰有3個點(diǎn)到直線：的距離為，則________．
【答案】
【解析】
【分析】求出圓的圓心和半徑，根據(jù)條件可知圓心到直線的距離為，進(jìn)一步計算即可.
【詳解】圓：，
化為
所以圓心為，半徑為，
因?yàn)閳A上恰有3個點(diǎn)到直線：的距離為，
所以圓心到直線的距離為，
則，
解得
故答案為：
16. 在直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知是以點(diǎn)為圓心的圓上的一點(diǎn)，折疊該圓兩次使點(diǎn)分別與圓上不相同的兩點(diǎn)（異于點(diǎn)）重合，兩次的折痕方程分別為和，若圓上存在點(diǎn)，使得，其中點(diǎn)、，且，則的取值范圍是________．
【答案】
【解析】
【分析】由圓上的點(diǎn)A兩次折疊與圓上的點(diǎn)重合，得圓心坐標(biāo)，半徑，由，推得兩圓有公共點(diǎn)，求得m的取值范圍.
【詳解】因?yàn)閳A上的點(diǎn)A兩次折疊與圓上的點(diǎn)重合，所以兩次的折痕過圓心，
，得，，所以圓心為，該圓半徑，
由，所以P在以MN為直徑的圓上，
即兩圓有公共點(diǎn)，所以，m的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】將向量數(shù)量積為零轉(zhuǎn)化為垂直關(guān)系，進(jìn)而得到點(diǎn)P的軌跡是圓，將問題轉(zhuǎn)化為圓與圓的位置關(guān)系.
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）
17. 如圖，在四棱錐中，底面是正方形，底面，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)是棱上一點(diǎn)．
（1）證明：；
（2）若是棱上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，求點(diǎn)到平面的距離．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先證明平面，則有，再證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；
（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.
【小問1詳解】
因?yàn)榈酌?，底面?br>所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以，
因?yàn)?，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，
所以，
又平面，
所以平面，
又平面，所以；
【小問2詳解】
如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
故，
設(shè)平面的法向量為，
則，令，則，
所以，
所以點(diǎn)到平面的距離為．
18. 已知的頂點(diǎn)邊上的高所在直線方程為，角的平分線所在直線方程為.
（1）求頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）設(shè)，根據(jù)垂直關(guān)系和點(diǎn)在直線上得到方程組，解得答案.
（2）計算點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，計算斜率得到直線方程.
【小問1詳解】
設(shè)，則有，，即，解得，
即；
【小問2詳解】
點(diǎn)C關(guān)于的對稱點(diǎn)，則，，
解得，即，，
直線的方程：，整理：.
19. 如圖所示，三棱柱的所有棱長均為1，，為直角．
（1）證明：平面平面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取AB的中點(diǎn)D，連接，先證明，，進(jìn)而由線面垂直以及面面垂直的判定證明即可；
（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解.
【小問1詳解】
如圖，取AB的中點(diǎn)D，連接，
由于三棱柱的所有棱長均為1，故底面是正三角形,
因此，由于為直角，
故，所以，
因?yàn)?，平面，所以平?
由此得.
在直角中, .
在中, 由, 故.
又平面，
所以平面, 平面，
故平面平面.
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
于是，
由，所以，
，
設(shè)是平面的法向量.
，取，則.
即直線與平面所成角的正弦值為
.
20. ①圓心在直線：上，圓過點(diǎn)；②圓過直線：和圓的交點(diǎn)：在①②這兩個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面的問題中進(jìn)行求解．
已知圓經(jīng)過點(diǎn)，且________．
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)，求過點(diǎn)的圓的切線方程．
【答案】（1）選①：；選②：
（2）和
【解析】
【分析】（1）利用圓的定義、直線方程、直線與圓的關(guān)系、圓與圓的關(guān)系運(yùn)算即可得解.
（2）利用直線與圓的關(guān)系、直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式運(yùn)算即可得解.
【小問1詳解】
解：選①：設(shè)圓心，則由題意：
∵圓心在直線：上，
∴………………………（?。?br>∵圓過點(diǎn)和，
∴，即，
化簡得：…………………（ⅱ）
聯(lián)立（?。áⅲ┙獾茫海?br>∴圓心，半徑為，
∴圓標(biāo)準(zhǔn)方程為.
選②：如下圖：設(shè)直線：和圓的交點(diǎn)為，
連接，則由直線和圓的位置關(guān)系、圓和圓的位置關(guān)系知直線，
垂足為，連接、.
由題意，圓的圓心為，半徑.
∵直線方程為，，
∴直線方程為，故設(shè)圓心，
由圖知，則，
由解得直線和直線交點(diǎn)，
則，
圓半徑，
，，
由得：
，解得：.
∴圓心，半徑.
∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
【小問2詳解】
解：由（1）知，選①或選②，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程均為，
如下圖，點(diǎn)在圓外，則
因?yàn)閳A的圓心到軸距離，
所以，是圓過點(diǎn)的一條切線.
設(shè)圓過點(diǎn)的另一條切線斜率為，則其方程為：
，即.
由直線與圓相切知圓心到直線距離為半徑，則有
，解得：，
∴切線方程為，即.
綜上知，過點(diǎn)的圓的切線方程為和.
21. 如圖，正三棱柱的底面邊長是2，側(cè)棱長是，是的中點(diǎn)．
（1）求證：平面；
（2）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值是，若存在，求出的長；若不存在，說明理由．
【答案】（1）證明過程見詳解
（2）存在；或.
【解析】
【分析】（1）連接交于，連接，，由已知條件得四邊形是矩形，由三角形中位線能證明平面；
（2）作于，建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在，設(shè)，求出平面與平面的法向量，利用平面與平面夾角的余弦值是求出值，進(jìn)而求出的長.
【小問1詳解】
連接交于，連接，
因?yàn)槿庵钦庵?br>所以四邊形是矩形，所以為的中點(diǎn)，
又因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以是三角形的中位線，
所以，因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面.
【小問2詳解】
作于，由正三棱柱的性質(zhì)及面面垂直的性質(zhì)可知平面，
所以在正三棱柱中如圖建立空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)?，是的中點(diǎn).
所以,
假設(shè)在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值是，
設(shè)，則有，，
設(shè)平面的法向量為，
則有，即，
令，則，，所以，
易知平面的一個法向量，
又因?yàn)槠矫媾c平面夾角的余弦值是，
所以，
解得，解得或，
所以線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面與平面夾角的余弦值是，
且或.
22. 最近國際局勢波云詭譎，我國在某地區(qū)進(jìn)行軍事演練，如圖，是三個軍事基地，為一個軍事要塞，在線段上．已知，，到，的距離分別為5km，.以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示，位于第一象限．
（1）求兩個軍事基地的長；
（2）若要塞正北方向距離要塞10km處有一處正在進(jìn)行爆破試驗(yàn)，爆炸波生成時的半徑為（參數(shù)為大于零的常數(shù)），爆炸波開始生成時，一飛行器以的速度自基地A開往基地，問參數(shù)控制在什么范圍內(nèi)時，爆炸波不會波及到飛行器的飛行．
【答案】（1）
（2）當(dāng)時，爆炸波不會波及飛行器的飛行
【解析】
【分析】（1）利用直線與圓相切求出點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線方程求出點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)的距離公式即可求解
（2）由題意得對恒成立，即對恒成立，然后對進(jìn)行分類討論，利用基本不等式即可求解．
【小問1詳解】
則由題設(shè)得：，直線的方程為，，
由，且，解得，所以．
所以直線的方程為，即，
聯(lián)立方程，解得，即，
所以，
即基地的長為．
【小問2詳解】
設(shè)爆炸產(chǎn)生的爆炸波圓，
由題意可得，爆炸波生成小時后，飛行在線段上的點(diǎn)處，
則，，所以，
爆炸波不會波及飛行器的通行，即對恒成立．
所以，即，
當(dāng)時，上式恒成立；
當(dāng)時，整理得，
因?yàn)椋?br>當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以在時，恒成立，亦即爆炸波不會波及飛行的通行．

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