注意事項(xiàng)：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)在答題卡上填寫(xiě)清楚.
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).在試題卷上作答無(wú)效.
一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1.已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)部的2倍，則實(shí)數(shù)（ ）
A.1 B.3 C.5 D.7
3.若，則（ ）
A. B. C. D.
4.已知向量滿足，則在方向上的投影向量為（ ）
A. B. C. D.
5.“”是“直線與圓相交”的（ ）
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
6.甲?乙?丙三人玩?zhèn)髑蛴螒颍總€(gè)人都等可能地把球傳給另一人，由甲開(kāi)始傳球，作為第一次傳球，經(jīng)過(guò)3次傳球后，球回到甲手中的概率為（ ）
A. B. C. D.
7.已知函數(shù)在時(shí)有最大值，且在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的最大值是（ ）
A. B. C. D.
8.若，則（ ）
A. B.
C. D.
二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9.某機(jī)床生產(chǎn)一種零件，在8天中每天生產(chǎn)的次品數(shù)分別為，關(guān)于該組數(shù)據(jù)，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.中位數(shù)為3 B.極差為6
C.第40百分位數(shù)為4 D.方差為4.75
10.下列說(shuō)法正確的是（ ）
A.直線的傾斜角的取值范圍是
B.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為
C.過(guò)點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線的方程為
D.直線的方向向量為，則該直線的傾斜角為
11.已知，兩直線，且，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A. B.
C.的最小值為 D.的最小值為9
12.如圖，在正方體中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列命題正確的是（ ）
A.存在點(diǎn)，使得平面
B.存在點(diǎn)，使得平面
C.對(duì)任意點(diǎn)
D.對(duì)任意點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截正方體表面得到的圖形始終是梯形
第II卷（非選擇題，共90分）
注意事項(xiàng)：
第II卷用黑色碳素筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，在試題卷上作答無(wú)效.
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13.已知函數(shù)是奇函數(shù)，則__________.
14.若直線過(guò)點(diǎn)且與平行，則直線的一般方程為_(kāi)_________.
15.在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的棱柱稱(chēng)為“塹堵”.已知三棱柱為一“塹堵”，其中，且該“塹堵”外接球的表面積為，則該“塹堵”的高為_(kāi)_________.
16.點(diǎn)在曲線上，則的取值范圍為_(kāi)_________.
四?解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17.（本小題滿分10分）
在中，設(shè)所對(duì)的邊分別為，且滿足.
（1）求角；
（2）若，求的面積.
18.（本小題滿分12分）
某市在創(chuàng)建國(guó)家級(jí)衛(wèi)生城（簡(jiǎn)稱(chēng)“創(chuàng)衛(wèi)”）的過(guò)程中，相關(guān)部門(mén)需了解市民對(duì)“創(chuàng)衛(wèi)”工作的滿意程度，若市民滿意指數(shù)（滿意指數(shù)）不低于0.8，“創(chuàng)衛(wèi)”工作按原方案繼續(xù)實(shí)施，否則需進(jìn)一步整改.為此該部門(mén)隨機(jī)調(diào)查了100名市民，根據(jù)這100名市民對(duì)“創(chuàng)衛(wèi)”工作滿意程度給出的評(píng)分，分成六組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求直方圖中的值；
（2）為了解部分市民給“創(chuàng)衛(wèi)”工作評(píng)分較低的原因，該部門(mén)從評(píng)分低于70分的市民中用分層抽樣的方法隨機(jī)選取8人進(jìn)行座談，求應(yīng)選取評(píng)分在的市民人數(shù)；
（3）假設(shè)同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值代替，根據(jù)你所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，判斷該市“創(chuàng)衛(wèi)”工作是否需要進(jìn)一步整改，并說(shuō)明理由.
19.（本小題滿分12分）
已知圓過(guò)點(diǎn)，圓心在直線上，且圓與軸相切.
（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，若為直角三角形，求直線的方程.
20.（本小題滿分12分）
與學(xué)生安全有關(guān)的問(wèn)題越來(lái)越受到社會(huì)的關(guān)注和重視，為了普及學(xué)生安全教育，某社區(qū)舉辦學(xué)生安全知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，某場(chǎng)比賽中，甲?乙?丙三個(gè)家庭同時(shí)回答一道有關(guān)學(xué)生安全知識(shí)的問(wèn)題.已知甲家庭回答正確這道題的概率是，甲?丙兩個(gè)家庭都回答錯(cuò)誤的概率是.乙?丙兩個(gè)家庭都回答正確的概率是，各家庭是否回答正確互不影響.
（1）分別求乙?丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率；
（2）求甲?乙?丙三個(gè)家庭中不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.
21.（本小題滿分12分）
如圖甲，在直角梯形中，是的中點(diǎn)，是與的交點(diǎn).將沿折起到.的位置，如圖乙.
（1）證明：平面.；
（2）若二面角為直二面角，求直線與平面所成角的正弦值.
22.（本小題滿分12分）
已知點(diǎn)，圓的半徑為1.
（1）若圓的圓心坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，求此切線的方程；
（2）若圓的圓心在直線上，且圓上存在點(diǎn)，使，為坐標(biāo)原點(diǎn)，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍.
下關(guān)一中教育集團(tuán)2023~2024學(xué)年高二年級(jí)上學(xué)期段考（一）
數(shù)學(xué)參考答案
第I卷（選擇題，共60分）
一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分）
【解析】
1.由不等式，分解因式可得，解得，則，所以，故選C.
2.的虛部是實(shí)部的2倍，，解得，故選D.
3.由，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選A.
4.如圖，令，以為鄰邊作平行四邊形，則，即為，對(duì)角線相等，所以平行四邊形為矩形，則在方向上的投影向量，即為在方向上的投影向量，故選.
5.直線與圓相交，顯然，推不出，而可推出，故是必要不充分條件，故選B.
6.設(shè)甲?乙?丙三人用，由題意可知：傳球的方式有以下形式，，，所求概率為，故選B.
7.在時(shí)取得最大值，即，可得，所以，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以且，解得，當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，故選C.
8.因?yàn)?，令，其中，因?yàn)楹瘮?shù)在上均為增函數(shù)，所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，因?yàn)?，即，故，則，所以，，則，A錯(cuò)B對(duì)；無(wú)法確定與1的大小，故與0的大小無(wú)法確定，CD都錯(cuò)，故選A.
二?多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）
【解析】
9.將這組數(shù)據(jù)從小到大排列為，所以中位數(shù)為，故A錯(cuò)誤；極差為，故B正確；因?yàn)閿?shù)據(jù)共有8個(gè)，所以，所以第40百分位數(shù)是4，故C正確；設(shè)平均數(shù)為，方差為，則，，故D正確，故選BCD.
10.對(duì)：直線的傾斜角為，則，因?yàn)?，所以，故A正確；對(duì)B：點(diǎn)和的中點(diǎn)在直線上，且連線的斜率為，可得與直線垂直，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，故B正確；對(duì)：設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，則與軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)原點(diǎn)，斜率為，故方程為；當(dāng)時(shí)，直線的斜率，故直線方程為，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：設(shè)直線的傾斜角為，則，故，故D正確，故選ABD.
11.，兩直線，且，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，則的最小值為，故選AC.
12.對(duì)于，如圖，分別取的中點(diǎn)，由
且，面，而面，則面，
又且，面，而面，則面，
因?yàn)?，且面?br>所以面面，又總與面相交于點(diǎn)，
所以不存在這樣的點(diǎn)使得面，即不存在這樣的點(diǎn)使得平面，故錯(cuò)誤；
對(duì)于，如圖，在正方體中，由在面上的射影為，則，又在面上的射影為，則，又，且面，所以面，當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，平面，所以存在這樣的點(diǎn)，使得平面，故B正確；
對(duì)于C，如圖所示，在正方體中，有面面，又，且面，則面，所以點(diǎn)和點(diǎn)到面的距離相等，所以，故C正確；
對(duì)于，如圖，過(guò)點(diǎn)的平面截正方體表面得到四邊形，且與不平行，所以四邊形始終是梯形，所以正確，故選.
第II卷（非選擇題，共90分）
三?填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
【解析】
13.因?yàn)?，故，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，故，時(shí)，，整理得到，故.
14.因?yàn)橹本€的斜率是：，且直線與平行，直線的斜率也為-2，故直線的方程是：，整理得.
15.如圖，將三棱柱補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱柱的外接球即為長(zhǎng)方體的外接球，設(shè)球的半徑為，該“塹堵”的高為，由題意可得解得，所以該“塹堵”的高為.
16.如圖，曲線為圓的上半圓，圓心，半徑為2，表示點(diǎn)到直線距離的5倍.由點(diǎn)到直線的距離公式得，所以直線與圓相離，的最小值為的最大值為，則的取值范圍為.
四?解答題（共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17.（本小題滿分10分）
解：（1）因?yàn)椋?br>由余弦定理得，
即
所以.又，
所以.
（2）由余弦定理得：，則，
，解得，
所以.
18.（本小題滿分12分）
解：（1）依題意得：，得.
（2）由頻率分布直方圖知，評(píng)分在的市民人數(shù)為；
評(píng)分在的市民人數(shù)為；
評(píng)分在的市民人數(shù)，
故應(yīng)選取評(píng)分在的市民人數(shù)為.
（3）由頻率分布直方圖可得滿意程度平均分為
，
則滿意指數(shù)，故該市“創(chuàng)衛(wèi)”工作需要進(jìn)一步整改.
19.（本小題滿分12分）
解：（1）由題意，設(shè)圓心，由于圓與軸相切，
半徑，
又圓過(guò)點(diǎn)，解得，
圓方程為.
（2）由圓方程易知直線的斜率存在，
故設(shè)，即，
設(shè)到的距離為，
則，
為直角三角形，，
或，
故直線的方程為或.
20.（本小題滿分12分）
解：（1）記“甲家庭回答正確這道題”，“乙家庭回答正確這道題”，“丙家庭回答正確這道題”分別為事件，
則，
即，
所以，
所以乙?丙兩個(gè)家庭各自回答正確這道題的概率分別為.
（2）有3個(gè)家庭回答正確的概率為
有2個(gè)家庭回答正確的概率為
所以不少于2個(gè)家庭回答正確這道題的概率.
21.（本小題滿分12分）
（1）證明：在圖甲中，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，，
故四邊形為正方形，所以，
即在圖乙中，，
又平面，
所以平面.
又，所以四邊形是平行四邊形，
所以，所以平面.
（2）解：由已知，平面平面，
又由（1）知，，
所以為二面角的平面角，
所以，
如圖所示，以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸?軸?軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
因?yàn)椋?br>令，
故平面的一個(gè)法向量為，
又，
設(shè)直線與平面所成角的平面角為，
從而，
故直線與平面所成角的正弦值為.
22.（本小題滿分12分）
解：（1）由題意得圓標(biāo)準(zhǔn)方程為，
當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為，
由，解得：，
當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為，滿足題意；
所以切線的方程為或.
（2）由圓心在直線上，設(shè)，
設(shè)點(diǎn)，由，
得：，
化簡(jiǎn)得：，
所以點(diǎn)在以為圓心，2為半徑的圓上.
又點(diǎn)在圓上，所以圓與圓有交點(diǎn)，
則，即，
解得：或.題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
A
A
B
B
C
A
題號(hào)
9
10
11
12
答案
BCD
ABD
AC
BCD
題號(hào)
13
14
15
16
答案
1

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