1.能根據(jù)行程問題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，加強(qiáng)模型觀念.2.借助行程問題，體會(huì)畫圖分析數(shù)量關(guān)系是一種有效方法.3.經(jīng)歷運(yùn)用方程解決行程問題的過程，感受數(shù)學(xué)與實(shí)際的聯(lián)系，加強(qiáng)應(yīng)用意識(shí).
尋找行程問題中的等量關(guān)系，建立方程.
畫圖分析行程問題中的數(shù)量關(guān)系.
假如兔子每分鐘跑30m，烏龜每分鐘爬1m，它們同時(shí)同地同向出發(fā)，兔子跑了2min后覺得領(lǐng)先太多，就躺下睡覺了.烏龜出發(fā)多久后追上兔子？
探究點(diǎn)　利用一元一次方程解決行程問題
　小明每天早上要到距家1000m 的學(xué)校上學(xué).一天，小明以80m/min的速度出發(fā)，出發(fā)后5min，小明的爸爸發(fā)現(xiàn)小明忘了帶語文書.于是，爸爸立即以180m/min的速度沿同一條路去追小明，并且在途中追上了他.爸爸追上小明用了多長時(shí)間？ 追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？
(1)問題中有哪些已知量和未知量？
已知量：小明家與學(xué)校的距離、小明的速度、爸爸的速度、小明先出發(fā)的時(shí)間；未知量：爸爸追小明所用的時(shí)間、爸爸追小明期間小明所走的路程、爸爸追小明的路程.
(2)分析追及的過程，用一個(gè)圖直觀表示問題中各個(gè)量之間的關(guān)系.
爸爸追小明期間小明走的路程
小明先出發(fā)的路程＋爸爸追小明期間小明所走的路程＝爸爸追小明的路程
(3)根據(jù)題意列出方程設(shè)爸爸追上小明用了x min.當(dāng)爸爸追上小明時(shí)，兩人所行路程相等，如圖所示.
80x + 80×5=180x
答：爸爸追上小明用了4min.
追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有多遠(yuǎn)？
180×4 = 720（m）
1000－720 = 280（m）
所以，追上小明時(shí)，距離學(xué)校還有 280 m.
小明和小剛步行的速度分別為4.5 km/h和3.5 km/h. 他們分別從A，B兩地同時(shí)出發(fā).如果相向而行，那么0.5h相遇；如果他們同向而行(小剛在前，小明在后)，那么小明追上小剛需要幾小時(shí)？
解：設(shè)小明追上小剛需要x h.根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程 (4.5+3.5)×0.5＋3.5x＝4.5x 解得 x＝4.答：如果他們同向而行，那么小明追上小剛需要4h.
甲、乙兩人同向出發(fā)，甲追乙這類問題為追及問題：
(1)對(duì)于同向同時(shí)不同地的問題，如圖所示
甲的行程-乙的行程＝兩出發(fā)地的距離
(2)對(duì)于同向同地不同時(shí)的問題，如圖所示
甲的行程=乙先走的路程＋乙后走的路程.
小明和小華兩人在400m 的環(huán)形跑道上練習(xí)長跑，小明每分鐘跑260m，小華每分鐘跑300m，兩人起跑時(shí)站在跑道同一位置.(1)如果小明起跑后1min小華才開始跑，那么小華用多長時(shí)間能追上小明？(2)如果小明起跑后1min小華開始反向跑，那么小華起跑后多長時(shí)間兩人首次相遇？
思考：題目中涉及的量、等量關(guān)系
解：設(shè)小華用了x min追上小明根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程： 260+260x=300x 解得 x=6.5答：小華用6.5 min追上小明
等量關(guān)系：(1)小華的路程=小明1min的路程＋小華追小明期間小明的路程
等量關(guān)系：(2)小華的路程+小華跑步期間小明的路程＝跑道一圈的長－小明1min的路程
解：設(shè)小華起跑后x min兩人首次相遇，根據(jù)等量關(guān)系，列出方程： 260x+300x=400-260 解得，x=0.25答：小華起跑后0.25min兩人首次相遇.
(1)環(huán)形跑道問題：設(shè)v甲>v乙，環(huán)形跑道長s m，經(jīng)過t s，甲、乙第一次相遇①同時(shí)同地同向而行： v甲t- v乙t=s②同時(shí)同地背向而行： v甲t+v乙t=s
(2)用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟
數(shù)學(xué)問題（一元一次方程）
數(shù)學(xué)問題的解(一元一次方程的解)
回顧本節(jié)一元一次方程應(yīng)用的學(xué)習(xí)，對(duì)于如何尋找等量關(guān)系列方程，你積累了那些經(jīng)驗(yàn)？
甲、乙二人在一環(huán)形場地上從A 點(diǎn)同時(shí)同向勻速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4 min后兩人首次相遇，此時(shí)乙還需要跑300 m 才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及環(huán)形場地的周長.
解：設(shè)乙的速度為x m/min，則甲的速度為2.5x m/min根據(jù)等量關(guān)系，可列出方程 2.5x×4-4x = 4x+300 解得 x =150 2.5×150=375， 4×150+300＝900答：甲的速度為375m/min，乙的速度為150m/min， 環(huán)形場地的周長為900m.
《孫子算經(jīng)》記載：“今有長木，不知長短，引繩度之，余繩若干，屈繩度之，余繩二尺五寸，繩再屈量之，不足二尺五寸，木長幾何？”大意是：用一根繩子去度量一根長木，余繩較多，將繩子對(duì)折后去量，繩子還剩余2.5尺，將繩子再次對(duì)折后再量，繩子則差2.5尺，木長多少尺？ 設(shè)木長x尺，則可列方程為( )
A．2(x+2.5) ＝4(x-2.5) 　　　　　B．2x-2.5＝4(x-2.5)C．2x+2.5=4x-2.5 D．2(x+2.5) ＝4x-2.5
如圖，設(shè)木長x 尺.因?yàn)閷⒗K子對(duì)折后去量，繩子還剩余2.5尺，所以繩子長為2(x+2.5)尺.因?yàn)閷⒗K子再次對(duì)折后再量，繩子則差2.5尺，所以繩子長為4(x-2.5)尺，所以方程為2(x+2.5) ＝ 4(x-2.5). 故選A.
今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺. 問：幾何？(選自《孫子算經(jīng)》)題目大意：有一根木材，不知道它的長度，用一根繩子來量，繩子長出4尺5寸；將這根繩子對(duì)折來量，繩子差1尺. 這根木材有多長？
【選自教材P152 隨堂練習(xí)】
*行程問題中的順逆航行問題
一架飛機(jī)飛行在兩城市之間，風(fēng)速為24km/h，順風(fēng)飛行需要2h50min，逆風(fēng)飛行需要3h.求兩個(gè)城市之間的飛行路程.
解得 x=2448
答：兩個(gè)城市之間的飛行路程為2448km
解法二(間接設(shè)未知數(shù))：設(shè)飛機(jī)在無風(fēng)時(shí)的速度為x km/h，則順風(fēng)飛行的速度為(x+24)km/h，逆風(fēng)飛行的速度為(x-24)km/h
解得 x=840
答：兩個(gè)城市之間的飛行路程為2448km.
3×(840-24)=2448
培優(yōu)點(diǎn)　行程問題中的分類討論思想
A，B兩地相距70km，甲從A地出發(fā)，每小時(shí)行15km，乙從B地出發(fā)，每小時(shí)行20km.(1)若兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，則經(jīng)過幾小時(shí)兩人相遇？
解：設(shè)經(jīng)過x h兩人相遇根據(jù)等量關(guān)系，列出方程： 15x＋20x=70 解得 x=2答：經(jīng)過2h兩人相遇.
A，B兩地相距70km，甲從A地出發(fā)，每小時(shí)行15km，乙從B地出發(fā)，每小時(shí)行20km.(1)若兩人同時(shí)出發(fā)，相向而行，則經(jīng)過幾小時(shí)兩人相距10km？
1.小彬和小強(qiáng)每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4m，小強(qiáng)每秒跑6 m.(1)如果他們站在百米跑道的兩端同時(shí)相向起跑，那么幾秒后兩人相遇？
解：設(shè)經(jīng)過x 秒兩人相遇根據(jù)等量關(guān)系，列出方程： 4x＋6x=100 解得 x=10答：10秒后兩人相遇.
【選自教材P155 習(xí)題5.3 第8題】
解：設(shè)經(jīng)過x 秒小強(qiáng)能追上小彬根據(jù)等量關(guān)系，列出方程： 4x＋10=6x 解得 x=5答：經(jīng)過5秒小強(qiáng)能追上小彬.
1.小彬和小強(qiáng)每天早晨堅(jiān)持跑步，小彬每秒跑4m，小強(qiáng)每秒跑6 m.(2)如果小強(qiáng)站在百米跑道的起點(diǎn)處，小彬站在他前面10m處，兩人同時(shí)同向起跑，經(jīng)過幾秒小強(qiáng)能追上小彬？
【選自教材P155 習(xí)題5.3 第9題】

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5.3 應(yīng)用一元一次方程——水箱變高了

版本： 北師大版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)上冊(cè)

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