1. 掌握定理的概念，并能分清命題與定理之間的關(guān)系.2. 了解證明的意義，知道要判斷一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論是否正確，僅僅依靠經(jīng)驗(yàn)、觀察或?qū)嶒?yàn)是不夠的，必須一步一步、有理有據(jù)地進(jìn)行推理.重點(diǎn)：掌握定理的概念，了解證明的意義.難點(diǎn)：掌握推理的方法和步驟.
我們舉例的一些描述稱為數(shù)學(xué)對(duì)象的定義，一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的定義揭示了它的本質(zhì)特征，能夠幫助我們準(zhǔn)確地理解它，并作出準(zhǔn)確的判斷.
2. 命題的結(jié)構(gòu)是什么?
數(shù)學(xué)中的命題?？梢詫?xiě)成“如果……那么……”的形式，這時(shí)“如果”后接的部分是題設(shè)，“那么”后接的部分是結(jié)論.
用我們以前學(xué)過(guò)的觀察,實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證特例等方法.
這些方法往往并不可靠.
那已經(jīng)知道的真命題又是如何證實(shí)的?
能不能根據(jù)已經(jīng)知道的真命題證實(shí)呢?
如何證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？
古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得 (公元前 300 年前后) 編寫(xiě)了一本書(shū)，書(shū)名叫做《原本》. 為了說(shuō)明每一結(jié)論的正確性，他在編寫(xiě)這本書(shū)時(shí)進(jìn)行了大膽創(chuàng)造：挑選了一部分?jǐn)?shù)學(xué)名詞和一部分公認(rèn)的真命題作為證實(shí)其他命題的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù).
討論：判斷下列命題哪些是真命題? 哪些是假命題?(1) 在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；(2) 如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角；(3) 如果 | a | = | b |，那么 a = b；(4) 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；(5) 兩點(diǎn)確定一條直線.
上面練習(xí)中的(1)的正確性是經(jīng)過(guò)推理證實(shí)的，這樣得到的真命題叫作定理.定理也可以作為繼續(xù)推理的依據(jù).(4)(5)是真命題，屬于基本事實(shí).
(1) 在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；(4) 經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；(5) 兩點(diǎn)確定一條直線.
基本事實(shí)： 不需要證明. 除了基本事實(shí)外，其他真命題的正確性都需要通過(guò)演繹推理的方法證實(shí).
思考2：你能舉例說(shuō)出幾個(gè)學(xué)過(guò)的基本事實(shí)嗎?
3. 同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.
2. 兩點(diǎn)之間線段最短.
1. 兩點(diǎn)確定一條直線.
對(duì)頂角相等內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行
思考1：你能舉例說(shuō)出幾個(gè)學(xué)過(guò)的定理嗎?
4. 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行 (簡(jiǎn)述為：同位角相等，兩直線平行).
5. 過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行.
討論：前面我們學(xué)習(xí)了命題、定理，現(xiàn)在我們來(lái)學(xué)習(xí)證明，命題、定理和證明之間有什么聯(lián)系和區(qū)別?
在很多情況下，一個(gè)命題的正確性需要經(jīng)過(guò)推理，才能作出判斷，這個(gè)推理過(guò)程叫作證明.
基本事實(shí)是定理推導(dǎo)的起點(diǎn)，無(wú)需證明但被廣泛接受為真.
定理是命題和基本事實(shí)的邏輯延伸，通過(guò)證明得到的真命題.
定義，命題，基本事實(shí)，定理之間的區(qū)別與聯(lián)系：
定義是命題、基本事實(shí)和定理的基礎(chǔ)，明確了它們的討論范圍.
經(jīng)過(guò)證明的真命題叫定理
例1 如圖，已知直線 a⊥b，b∥c，求證：a⊥c．
證明：∵ a⊥b(已知)， ∴ ∠1 = 90°(垂直的定義).又 ∵ b∥c(已知)，∴∠2 =∠1 = 90°(兩直線平行，同位角相等).∴ a⊥c(垂直的定義).
例2 如圖，給出下列論斷：(1) AB∥DC，(2)AD∥BC，(3) ∠A +∠ABC = 180°，(4)∠ABC +∠C = 180°，以其中一個(gè)作為題設(shè)，另一個(gè)作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題.想一想，若連接 BD，你能試著寫(xiě)出一個(gè)真命題并寫(xiě)出其推理過(guò)程嗎?
如果 AB∥DC，那么∠ABC +∠C = 180°.
如果 AB∥DC，那么∠ABD =∠BDC.
思考：證明需要注意些什么?
證明中的每一步推理都要有根據(jù)，這些根據(jù)可以是已知條件，也可以是學(xué)過(guò)的定義、基本事實(shí)、定理等.
證明：∵AB∥DC(已知)，∴∠ABD =∠BDC(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等).
1. 請(qǐng)把下面證明過(guò)程補(bǔ)充完整.如圖，已知 AD⊥BC 于點(diǎn) D，點(diǎn) E 在 BA 的延長(zhǎng)線上，EG⊥BC 于點(diǎn) G，交 AC 于點(diǎn) F，∠E =∠1.求證：AD 平分∠BAC.
證明：∵AD⊥BC，EG⊥BC，∴∠ADC = ∠EGC = 90°( ).∴ AD∥EG ( ).∴∠1=∠2( )，∠E =∠3( ).∵∠E =∠ (已知)，∴∠2 =∠3( ).∴AD 平分∠BAC ( ).
同位角相等，兩直線平行
兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等
兩直線平行，同位角相等
2. 如圖，現(xiàn)有以下 3 個(gè)論斷：①AB∥CD；②∠B =∠C；③∠E =∠F. 請(qǐng)以其中 2 個(gè)論斷為條件，另一個(gè)論斷為結(jié)論構(gòu)造命題.(1) 你構(gòu)造的是哪幾個(gè)命題?(2) 請(qǐng)選擇其中一個(gè)真命題加以證明.
解：(1)由①②得③；由①③得②； 由②③得①.(2) 由①②得③，證明過(guò)程如下：∵ AB∥CD，∴∠EAB =∠C.又∵∠B =∠C，∴∠EAB = ∠B.∴CE∥BF. ∴∠E =∠F. (答案不唯一)

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7.3 定義、命題、定理

版本： 人教版（2024）

年級(jí)： 七年級(jí)下冊(cè)（2024）

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