1.用一元一次方程解決實際問題的一般步驟
列方程解應用題的基本思路為：問題方程解答．由此可得解決此類
題的一般步驟為：審、設、列、解、檢驗、答．
注意：
（1）“審”指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，及它們之間的關系，尋找等量關系；
（2）“設”就是設未知數(shù)，一般求什么就設什么為x，但有時也可以間接設未知數(shù)；
（3）“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關系中的各個量，列出方程，同時注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；
（4）“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值．
（5）“檢驗”就是指檢驗方程的解是否符合實際意義，當有不符合的解時，及時指出，舍去即可；
（6）“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．
2 .建立書寫模型常見的數(shù)量關系
1）公式形數(shù)量關系：生活中許多數(shù)學應用情景涉及如周長、面積、體積等公式。在解決這類問題時，必須通過情景中的信息，準確聯(lián)想有關的公式，利用有關公式直接建立等式方程。
長方形面積=長×寬 長方形周長=2（長+寬） 正方形面積=邊長×邊長 正方形周長=4邊長
2）約定型數(shù)量關系：利息問題，利潤問題，質量分數(shù)問題，比例尺問題等涉及的數(shù)量關系，像數(shù)學中的公式，但常常又不算數(shù)學公式。我們稱這類關系為約定型數(shù)量關系。
3）基本數(shù)量關系：在簡單應用情景中，與其他數(shù)量關系沒有什么差別，但在較復雜的應用情景中，應用方法就不同了。我么把這類數(shù)量關系稱為基本數(shù)量關系。
單價×數(shù)量=總價 速度×時間=路程 工作效率×時間=總工作量等。
3.分析數(shù)量關系的常用方法
1）直譯法分析數(shù)量關系：將題中關鍵性的數(shù)量關系的語句譯成含有未知數(shù)的代數(shù)式，并找出沒有公國的等量關系，翻譯成含有未知數(shù)的等式。
2）列表分析數(shù)量關系：當題目中條件較多，關系較復雜時，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格進行分析。這種方法的好處在于把已知量和未知量“對號入座”，便于正確理解各數(shù)量之間的關系。
3）圖解法分析數(shù)量關系：用圖形表示題目中的數(shù)量關系，這種方法能幫助我們透徹地理解題意，并可直觀形象的體會題意。在行程問題中，我們常常用此類方法。
題型1 分段計費問題
【解題技巧】總費用=未超標部分的費用+超標部分的費用。
已知費用求需判定的所屬范圍；若無法知道費用對應的具體范圍時，需對其進行不同范圍的分類討論。
注：需審題仔細，看清計費標準是否有“超過部分”。
常見試題背景：水費、電費、氣費、車費、納稅、社保醫(yī)保體系等
1．（2022·福建·上杭縣第三中學七年級階段練習）為響應國家節(jié)能減排的號召，鼓勵居民節(jié)約用電，各省先后出臺了居民用電“階梯價格”制度，如表中是某省的電價標準（每月），例如：王女士家6月份用電420度，電費＝180×0.6＋220×0.7＋20×0.9＝280元，實行“階梯價格”收費以后，居民用電__________千瓦時，其當月的平均電價每千瓦時恰好為0.65元．
2．（2022·海南鑫源高級中學八年級期中）某地為了鼓勵居民節(jié)約用水，決定實行兩級收費制，即每月用水量不超過10噸（含10噸）時，水價為每噸1.2元；每月超過10噸，超過部分按每噸1.8元收費．
(1)小黃家5月份用水15噸，應交水費多少元？
(2)該市某戶6月份用水量為噸（x＞10），應交水費為元，寫出與之間的函數(shù)關系式；
3．（2022·浙江紹興·一模）為節(jié)約用水，某市居民生活用水按級收費，水費分為三個等級（如圖）；
例如：某戶用水量為35噸，則水費為（元）．
(1)若某住戶收到一張自來水總公司水費專用發(fā)票，其中上期抄表數(shù)為587噸，本期抄表數(shù)為617噸，請計算本期該用戶應付的水費．(2)若該住戶的用水量為x噸，應付水費為y元，求出y關于x的函數(shù)表達式．(3)小明爸爸收到水費短信通知：2022年2月本期用水量為45噸，水費為150.5元．根據(jù)此通知求出第三級收費標準a的值．
4．（2022·遼寧大連·）下表是中國移動兩種“G套餐”計費方式（月租費固定收，主叫不超過主叫時間，流量不超上網(wǎng)流量不再收費，主叫超時和上網(wǎng)超流量部分加收超時費和超流量費）
（1）若某月小張主叫通話時間為260分鐘，上網(wǎng)流量為4G，則他按方式一計費需________元，按方式二計費需_______元；（2）若某月小張按方式二計費需78元，主叫通話時間為320分鐘，則小張該月上網(wǎng)流量為多少G？（3）若某月小張上網(wǎng)流量為G，是否存在某主叫通話時間t（分鐘），按方式一和方式二的計費相等？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．
5．（2022·浙江杭州·）為提高公民的社會責任感，保證每個納稅人公平納稅，調節(jié)不同階層貧富差距，營造“納稅光榮”社會氛圍，2019年我國實行新的《個人收入所得稅征收辦法》，將個人收入所得稅的起征點提高至5000元（即全月個人收入所得不超過5000元的，免征個人所得稅）：個人收入超過5000元的，其超出部分稱為“應納稅所得額”，國家對納稅人的“應納稅所得額”實行“七級超額累進個人所得稅制度”該制度的前三級納稅標準如下：
（1）若某人1月份應納稅所得額為2900元，應納稅______元．
（2）若甲1月份應納稅所得額為x元且時，則甲應納稅__________元（用含x的代數(shù)式表示并化簡）．（3）若小明的爸爸1月份應納稅1390元，應納稅所得額為多少元？
6．（2022·浙江杭州·七年級期中）為充分發(fā)揮市場機制和價格杠桿在水資源配置中的作用，促進節(jié)約用水，提高用水效率，2017年7月1日起某地實行階梯水價，價目如表（注：水費按月結算，表示立方米）：
例：某戶居民5月份共用水，則應繳水費（元）．
（1）若A居民家1月份共用水，則應繳水費_______元；
（2）若B居民家2月份共繳水費66元，則用水_________；
（3）若C居民家3月份用水量為（a低于，即），且C居民家3、4兩個月用水量共，求3、4兩個月共繳水費多少元？（用含a的代數(shù)式表示）
（4）在（3）中，當時，求C居民家3、4兩個月共繳水費多少元？
題型2.方案優(yōu)化問題
解題技巧：此類題型，一般會提供多種方案供選擇，要求我們選出最合算的方案。解此類題型有2種思路。
思路1：分別求解出每種方案的最終費用，在比較優(yōu)劣
思路2：求解出每種方案費用相同時的臨界點，在根據(jù)臨界點進行討論分析。
1．（2022·儀征市實驗初中七年級月考）現(xiàn)有甲、乙兩個瓷器店，出售茶壺和茶杯，茶壺每只價格20元，茶杯每只5元，已知甲店制定的優(yōu)惠方法是：買一只茶壺送一只茶杯，乙店為總價的 90%付款，現(xiàn)某單位需購買茶壺10只，茶杯若干只（不少于10只）：
（1）當購買茶杯多少時，兩種優(yōu)惠方法一樣？
（2）當購買40只茶杯時，請聰明的你去辦這件事，你打算怎樣購買更省錢？請通過計算說明理由．
2．（2022·山東青島·八年級期末）某單位計劃組織員工到某地旅游，參加旅游人數(shù)為40人，景點票價為每人30元，該景點規(guī)定滿40人可購買八折的團隊票，當天恰逢母親節(jié)活動所有女士可打五折，但是不能同時享受兩種優(yōu)惠，若團隊中有女士x人，請你幫助他們選擇購票方案．
3．（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校期中）工廠制作大小兩種長方體紙盒的尺寸如下：（單位：cm，接頭處忽略不計）
(1)做一個大紙盒和一個小紙盒共用料多少平方厘米（用含m、n的代數(shù)式表示）？
(2)當，時，求制作一大一小兩個紙盒共用料多少平方厘米？
(3)班級現(xiàn)計劃購買大紙盒10個，小紙盒a個（），現(xiàn)從A，B兩家商店了解到；兩家商店的紙盒價格相同，大紙盒每個1.9元，小紙盒每個0.5元．A商店的優(yōu)惠政策為：每買一個大紙盒贈送一個小紙盒，B商店的優(yōu)惠政策為：大小紙盒都按八折優(yōu)惠．那么學校到兩家商店購買各應付款多少元（用含a的式子表示）？若規(guī)定只能選擇一家商店購買，當a為何值時，到兩家商店購買付款一樣多？
4．（2022·黑龍江·雞西市第四中學七年級期中）某中學全體教師集體出去參觀考察，出發(fā)前去購買飲用水．學校附近有兩家超市同一款礦泉水的單價均為1.5元，但優(yōu)惠策略不同，A超市：一律打九折優(yōu)惠；B超市：買5瓶贈送一瓶，如果需要購買120瓶礦泉水．(1)去哪家超市比較便宜？(2)比原價能便宜多少錢？
5．（2022·湖北武漢·七年級期末）如表中有兩種移動電話計費方式：
其中，月使用費固定收，主叫不超過限定時間不再收費，主叫超過部分加收超時費．
(1)如果某月主叫時間500min，按方式二計費應交費______元；
(2)如果某月的主叫時間為350min時，兩種方式收費相同，求a的值；
(3)在（2）的條件下，如果每月主叫時間超過400min，選擇哪種方式更省錢？
6．（2022·湖南長沙七年級期末）明德中學某班需要購買20本筆記本和x(x＞40)支圓珠筆作為期末考試的獎品，筆記本每本8元，圓珠筆每支0.8元．現(xiàn)有甲、乙兩家文具店可供選擇，甲文具店優(yōu)惠方法：買1本筆記本贈送2支圓珠筆；乙文具店優(yōu)惠方法：全部商品按九折出售．
(1)求單獨到甲，乙文具店購買獎品，應各付多少元？
(2)圓珠筆買多少支時，單獨到甲文具店和單獨到乙文具店購買所花的總錢數(shù)一樣多？
(3)若該班需要購買60支圓珠筆，則怎么樣購買最省錢？寫出購買方案．
題型3 行程問題
解題技巧：行程問題總公式為：路程=速度×時間。
解此類題的關鍵是抓住甲、乙兩物體的時間關系或所走的路程關系，并且還常常借助畫草圖來分析．
行程問題可分為四大類，不同類型的問題，在求解速度時有所不同，具體如下：
①相遇問題（或相向問題）：
速度和×時間=總路程
②追及問題：
同時不同地：
速度差×時間=起點間的距離
同地不同時：
速度差×時間=先行路程
不同時不同地：
速度差×時間=起點間的距離+先行路程
③航行問題：（1）順流速度=靜水速度+水流速度；（2）逆流速度=靜水速度-水流速度。
④火車過橋問題：火車過橋問題是一種特殊的行程問題，需要注意的是從車頭至橋起，到車尾離橋止，火車所行距離等于橋長加上車長，列車過橋問題的基本數(shù)量關系為：車速×過橋時間=車長+橋長。
1．（2022·福建泉州·七年級期末）輪船在河流中來往航行于A、兩碼頭之間，順流航行全程需小時，逆流航行全程需小時，已知水流速度為每小時，求、兩碼頭間的距離．若設A、兩碼頭間距離為，則所列方程為（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·江蘇·七年級單元測試）一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以40km/h的速度前進，突然，6號隊員以50km/h的速度獨自行進，行進15km后掉轉車頭，仍以50km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合．設6號隊員從離隊開始到與隊員重新會合經(jīng)過了xh，則x為（ ）
A．1.5B．0.75C．D．
3．（2022·四川廣元·七年級期末）已知某鐵路橋長1600米．現(xiàn)有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全過橋共用90秒，整列火車完全在橋上的時間是70秒．則這列火車長______米．
4．（2022·青島市嶗山七年級開學考試）一輛貨輪往返于上下兩個碼頭，逆流而上需用38小時，順流而下需用32小時，若水流速度為8千米/時，則下列求兩碼頭距離 的方程正確的是( )
A．.B．C．D．
5．（2022·黑龍江·大慶市第四十四中學校期末）甲乙兩車分別從A、B兩城同時相對開出，經(jīng)過4小時，甲車行了全程的80%，乙車超過中點13千米，已知甲車比乙車每小時多行3千米，A、B兩城相距多少千米？
6．（2022·山西渾源·初一期末）七年級開展迎新年“迷你小馬拉松健身跑”活動，跑步路線為學校附近一段筆直的的健身步道，全長4200米．甲、乙兩名同學相約健身，二人計劃沿預定路線由起點A跑向終點B．由于乙臨時有事，于是甲先出發(fā)，3分鐘后，乙才出發(fā)．已知甲跑步的平均速度為150米/分，乙跑步的平均速度為200米/分．根據(jù)題意解決以下問題：（1）求乙追上甲時所用的時間；（2）在乙由起點A到終點B的過程中，若設乙跑步的時間為m分，請用含m的代數(shù)式表示甲乙二人之間的距離；（3）當乙到達終點B后立即步行沿原路返回，速度降為50米/分．直接寫出乙返回途中與甲相遇時甲離終點B的距離．
題型4工程問題
【解題技巧】我們常常把工作總量看做單位“1”，工作效率則用幾分之幾表示。在工程問題中，常常用“不同的對象所完成的工作量之和等于總工作量”這個關系來列寫等式方程。
工程問題關鍵是把“一項工程”看成單位“1”，工作效率就可以用工作時間的倒數(shù)來表示。復雜的工程問題，往往需要設多個未知數(shù)，不要擔心，在求解過程中，有一些未知數(shù)是可以約掉的。
1．（2022·內蒙古赤峰·七年級期末）整理一批圖書，由一個人做要30小時完成，現(xiàn)計劃由一部分人先做3小時，然后增加2人與他們一起做6小時，完成這項工作，假設這些人的工作效率相同，具體應先安排多少人工作？如果設安排x人先做3小時，下列四個方程中正確的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南·南陽市宛城區(qū)官莊鎮(zhèn)第一初級中學七年級階段練習）一項筑路工程，甲隊單獨完成需要80天，乙隊單獨完成需要120天．若甲隊每天比乙隊多筑路50米，求這項工程共需筑路多少米？
3．（2022·河南三門峽·七年級期末）整理一批快遞，如果由一個人單獨做要用20小時，現(xiàn)先安排一部分人用1小時整理，隨后又增加4人和他們一起做了2小時，恰好完成整理工作，假設每個人的工作效率相同，那么應先安排多少人整理這批快遞？
4．（2022·吉林·東北師大附中七年級期中）[教材改編]改編華師版七年級下冊數(shù)學教材第19頁的部分內容．
問題3 課外活動時李老師來教室布置作業(yè)，有一道題只寫了“學校校辦廠需制作一塊廣告牌，請來兩名工人．已知師傅單獨完成需4天，徒弟單獨完成需6天”就停住了．根據(jù)以上信息解答下列問題：
（1）兩人合作需要__________天完成．
（2）李老師選了兩位同學的問題，合起來在黑板上寫出：現(xiàn)由徒弟先做1天，再兩人合作，完成后共得到報酬450元，如果按各完成工作量計算報酬，那么該如何分配？
[拓展]在問題3中，如果兩人合作完成后共得報酬450元，工作量相同部分的報酬，師徒按3：2分配，余下的工作量所得報酬分配給該部分完成者，請直接寫出師徒各得的報酬．
5．（2022·廣西桂林·七年級期末）甲、乙兩工程隊共同承包了一段長9200米的某“村村通”道路硬化工程，計劃由兩工程隊分別從兩端相向施工．已知甲隊平均每天可完成460米，乙隊平均每天比甲隊多完成230米．（1）若甲乙兩隊同時施工，共同完成全部任務需要幾天？（2）若甲乙兩隊共同施工5天后，甲隊被調離去支援其他工程，剩余的部分由乙隊單獨完成，則乙隊需再施工多少天才能完成任務？
6．（2022·黑龍江）某中學庫存若干套桌凳，準備修理后支援貧困山區(qū)學校，現(xiàn)有甲、乙兩木工組，甲每天修桌凳16套，乙每天修桌凳比甲多8套，甲單獨修完這些桌凳比乙單獨修完多用20天，學校每天付甲組80元修理費，付乙組120元修理費．（1）問該中學庫存多少套桌凳？（2）在修理過程中，學校要派一名工人進行質量監(jiān)督，學校負擔他每天10元生活補助費，現(xiàn)有三種修理方案：①由甲單獨修理；②由乙單獨修理；③甲、乙合作同時修理．請你通過計算說明哪種方案省錢．
題型5 商品銷售問題
【解題技巧】此類題型，需要我們找出利潤和利潤率之間的關系來列寫等式方程。
實際售價＝標價×打折率 利潤＝售價－成本(或進價)＝成本×利潤率
標價＝成本(或進價)×(1＋利潤率)
注意：“商品利潤＝售價－成本”中的右邊為正時，是盈利；當右邊為負時，就是虧損.打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售．
在解決復雜商品銷售問題時，通常會多設原價為a這個未知數(shù)，雖然在解題過程中，這個未知數(shù)會被消掉。但是，若不設這個未知數(shù)，許多關系就不好表達了。
1．（2022·山西·右玉縣第三中學校七年級期末）把一批上衣按進價提高50%后作為售價，因打6折促銷，售價相應調整為90元，打折后每件上衣（ ）
A．賺20元B．賺10元C．虧20元D．虧10元
2．（2022·重慶十八中兩江實驗中學九年級階段練習）萬盛是重慶茶葉生產(chǎn)基地和名優(yōu)茶產(chǎn)地之一，以“重慶第一泡 萬盛茶飄香”為主題的采茶制茶、品茶賞茶、茶藝表演活動在萬盛板遼湖游客接待中心開幕，活動持續(xù)兩周，活動舉辦方為游客準備了三款年的新茶：清明香、云霧毛尖、滴翠劍茗．第一批采制的茶葉中清明香、云霧毛尖、滴翠劍茗的數(shù)量盒之比為：：．由于品質優(yōu)良宣傳力度大，網(wǎng)上的預訂量暴增，舉辦方加緊采制了第二批同種類型的茶葉，其中清明香增加的數(shù)量占總增加數(shù)量的，此時清明香總數(shù)量達到三種茶葉總量的，而云霧毛尖和滴翠劍茗的總數(shù)量恰好相等．若清明香、云霧毛尖、滴翠劍茗三種茶葉每盒的成本分別為元、元、元，清明香的售價為每盒元，活動中將清明香的供游客免費品嘗，活動結束時兩批茶葉全部賣完，總利潤率為，且云霧毛尖的銷售單價不高于另外兩種茶葉銷售單價之和的，則滴翠劍茗的單價最低為______元．
3．（2022·甘肅·甘州中學七年級期末）元旦節(jié)期間，百貨商場為了促銷，每件夾克按成本價提高50%后標價，后因季節(jié)關系按標價的8折出售，每件仍盈利20元，這批夾克每件的成本價是多少元？
4．（2022·山東·日照市北京路中學七年級期末）某商場經(jīng)銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件進價40元，加價50%作為售價；乙種商品每件進價50元，售價80元．
(1)甲種商品每件售價為_____元，乙種商品每件的利潤為 元，利潤率為 ％．
(2)若該商場同時購進甲、乙兩種商品共50件，恰好總進價為2100元，求購進甲、乙兩種商品各多少件？
(3)按以下優(yōu)惠條件，若小梅一次性購買乙種商品實際付款504元，則此次小梅在該商場最多購買乙種商品多少件？
5．（2022·遼寧·阜新蒙古族自治縣蒙古貞初級中學七年級期末）某水果銷售店用1000元購進甲、乙兩種新出產(chǎn)的水果共140千克，這兩種水果的進價、售價如表所示：
(1)這兩種水果各購進多少千克？
(2)若該水果店按售價銷售完這批水果，獲得的利潤是多少元？
6．（2022·重慶實驗外國語學校九年級二模）4月30日，某水果店購進了100千克水蜜桃和50千克蘋果，蘋果的進價是水蜜桃進價的1.2倍，水蜜桃以每千克16元的價格出售，蘋果以每千克20元的價格出售，當天兩種水果均全部售出，水果店獲利1800元．（1）求水蜜桃的進價是每千克多少元？
（2）5月1日，該水果店又以相同的進價購進了300千克水蜜桃，第一天仍以每千克16元的價格出售，售出了8a千克，且售出量已超過進貨量的一半．由于水蜜桃不易保存，第二天，水果店將水蜜桃的價格降低了a%，到了晚上關店時，還剩20千克沒有售出，店主便將剩余水蜜桃分發(fā)給了水果店員工們，結果這批水蜜桃的利潤為2660元，求a的值．
題型6 比賽積分問題
解題技巧：此類問題，主要是通過積分來列寫等式方程。需要注意，有些比賽結果只有勝負；有的比賽結果又勝負和平局。
比賽總場數(shù)=勝場數(shù)+負場數(shù)+平場數(shù) 比賽積分=勝場積分+負場積分+平場積分
1．（2022·湖南婁底·七年級期中）2022年2月6日女足亞洲杯決賽，在逆境中鏗鏘玫瑰沒有放棄，逆轉奪冠！某學校掀起一股足球熱，舉行了班級聯(lián)賽，某班開局11場保持不敗，積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，則該班獲勝的場數(shù)為（ ）
A．4B．5C．6D．7
2．（2022·福建福州·七年級期末）姚明在一次“NBA”比賽（美國籃球聯(lián)賽）中，22投14中得28分，除了3個三分球全部投中外，他還投中了______________個兩分球和______________個罰球（一分球）．
3．（2022·黑龍江哈爾濱·一模）某年全國足球甲級A組的前11場比賽中，某隊保持連續(xù)不敗，共積23分，按比賽規(guī)則，勝一場得3分，平一場得1分，那么該隊共勝了________場．
4．（2022·江西宜春·七年級階段練習）為有效落實雙減工作，切實做到減負提質，很多學校高度重視學生的體育鍛煉，并不定期舉行體育比賽．已知在一次足球比賽中，勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，某隊在已賽的11場比賽中保持連續(xù)不敗，共得25分，求該隊獲勝的場數(shù)．
5．（2022·安徽合肥·七年級期末）聰聰同學到某校游玩時，看到運動場的宣傳欄中的部分信息（如表）：
聰聰同學結合學習的知識設計了如下問題，請你幫忙解決：
(1)從表中可以看出，負一場積 分，勝一場積 分；
(2)某隊在比完22場的前提下，勝場總積分能等于負場總積分嗎？請說明理由．
6．（2022·山西七年級期中）某電視臺組織學習黨史知識競賽，共設20道選擇題，各題分值相同，答對一題得5分，可以選擇不答，下表記錄的是3名參賽者的得分情況．
（1）由表格知，不答一題得______分，答錯一題扣______分．
（2）某參賽者D答錯題數(shù)比不答題數(shù)的2倍多1題，最后得分為64分，他答對幾道題？
（3）在前10道題中，參賽者E答對8題，1題放棄不答，1題答錯，則后面10題中，至少要答對幾題才有可能使最后得分不低于79分？為什么？
題型7 配套問題
【解題技巧】因工藝上的特點，某幾個工序之間存在比例關系，需這幾道工序的成對應比例才能完全配套完成，這類題型為配套問題。配套問題，主要利用配套的比例來列寫等式方程。
“配套”型應用題中有三組數(shù)據(jù)：（1）車間工人的人數(shù)；（2）每人每天平均能生產(chǎn)的不同的零件數(shù)；（3）不同零件的配套比。利用（3）得到等量關系，先構造分式方程，再利用比例的性質交叉相乘積相等得到一元一次方程。
1．（2022·河南·鄭州市七年級期末）新型冠狀肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人們生活中必不可少的物品．某口罩廠有26名工人，每人每天可以生產(chǎn)400個口罩面或500個口罩耳繩，一個口罩面需要配兩個耳繩，為使每天生產(chǎn)的口罩剛好配套，設安排x名工人生產(chǎn)口罩面，則下列所列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（2022·山東菏澤·八年級期中）某單位為一中學捐贈了一批新桌椅，學校組織初一年級200名學生搬桌椅．規(guī)定一人一次搬兩把椅子，兩人一次搬一張桌子，每人限搬一次，最多可搬桌椅（一桌一椅為一套）的套數(shù)為______套．
3．（2022·河北滄州·七年級期末）某工廠有28名工人生產(chǎn)零件和零件，每人每天可生產(chǎn)零件18個或零件12個（每人每天只能生產(chǎn)一種零件），一個零件配兩個零件.工廠將零件批發(fā)給商場時，每個零件可獲利10元，每個零件可獲利5元.(1)若每天生產(chǎn)的零件和零件恰好配套，求該工廠每天有多少工人生產(chǎn)零件？(2)因市場需求，該工廠每天在生產(chǎn)配套的零件外，還要多生產(chǎn)出一部分零件供商場零售.在（1）的人員分配情況下，現(xiàn)從生產(chǎn)零件的工人中調出多少名工人生產(chǎn)零件，才能使每天生產(chǎn)的零件全部批發(fā)給商場后總獲利為3120元？
4．（2022·廣東·七年級期末）2020年3月，我縣新冠肺炎疫情最為嚴重．為支持抗疫，某工廠緊急加工一批醫(yī)用口罩．已知某車間有52名工人，每名工人每天可以生產(chǎn)800個口罩面或1000個口罩耳繩，一個口罩面需要配2個口罩耳繩．請問安排多少名工人生產(chǎn)口罩面，能使每天生產(chǎn)的口罩面與口罩耳繩剛好配套．
5．（2022·江西贛州·七年級期末）石城縣礦山機械設備聞名省內外．在某礦山機械設備車間工人正在緊張地按訂單進度進行生產(chǎn)，若每人每天平均可以生產(chǎn)軸承12個或者軸桿16個，1個軸承與2個軸桿組成一套，該車間共有90人，應該怎樣調配人力，才能使每天生產(chǎn)的軸承和軸桿正好配套？
6．（2022·吉林七年級期末）某絲巾廠家70名工人義務承接了2020年上海進博會上志愿者佩戴的手環(huán)、絲巾的制作任務．已知每人每天平均生產(chǎn)手環(huán)180個或者絲巾120條，一條絲巾要配兩個手環(huán)．
（1）為了使每天生產(chǎn)的絲巾和手環(huán)剛好配套，應分配多少名工人生產(chǎn)手環(huán)，多少名工人生產(chǎn)絲巾？
（2）在（1）的方案中，能配成 套．
題型8 調配問題
【解題技巧】調配問題中，調配前后總量始終保持不變，可利用這個關系列寫等式方程，有時又在調配前后的變化中找等量關系。
調出者的數(shù)量=原有的數(shù)量－調出的數(shù)量 調進者的數(shù)量=原有的數(shù)量+調入的數(shù)量
1.（2022·浙江七年級月考）溫州和杭州某廠同時生產(chǎn)某種型號的機器若干臺，溫州廠可支援外地10臺，杭州廠可支援外地4臺，現(xiàn)在決定給武漢8臺，南昌6臺，每臺機器的運費如下表，設杭州運往南昌的機器為臺．
（1）用的代數(shù)式來表示總運費（單位：元）
（2）若總運費為8400元，則杭州運往南昌的機器應為多少臺？
（3）試問有無可能使總運費是8600元？請說明理由．
2．（2022·廣東七年級期中）某市水果批發(fā)欲將A市的一批水果運往本市銷售，有火車和汽車兩種運輸方式，運輸過程中的損耗均為200元/時，其它主要參考數(shù)據(jù)如下：
(1) 如果汽車的總支出費用比火車費用多1100元，你知道本市與A市之間的路程是多少千米嗎？請你列方程解答.（總支出包含損耗、運費和裝卸費用）
(2) 如果A市與B市之間的距離為S千米，你若是A市水果批發(fā)部門的經(jīng)理，要想將這種水果運往B市銷售，試分析以上兩種運輸工具中選擇哪種運輸方式比較合算呢？
3．（2022·山東禹城市·七年級期中）在天府新區(qū)的建設中，現(xiàn)要把176噸物資從某地運往華陽的甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共18輛，恰好能一次性運完這批物資．已知這兩種貨車的載重量分別為12噸/輛和8噸/輛，運往甲、乙兩地的運費如下表：
（1）求這兩種貨車各用多少輛？（2）如果安排10輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設前往甲地的大貨車為a輛，運往甲、乙兩地的總運費為w元，求出w與a的關系式；（3）在（2）的條件下，若運往甲地的物資為100噸，請求出安排前往甲地的大貨車多少輛，并求出總運費．
4．（2022·廣東羅湖區(qū)·七年級期末）某市水果批發(fā)部門欲將 A 市的一批水果運往本市銷售，有火車和汽車兩種運輸方式，運輸過程中的損耗均為 200 元/ 時．其它主要參考數(shù)據(jù)如下：
運輸過程中，火車因多次臨時停車，全程在路上耽誤 2 小時 45 分鐘，火車的總支出費用與汽車的總支出費用相同，請問某市與本地的路程是多少千米?
5．（2022·浙江柯橋區(qū)·七年級期中）公共自行車的普及給市民的出行帶來了方便．現(xiàn)有兩個公共自行車投放點A地、B地．要從甲、乙兩廠家向A、B兩地運送自行車．已知甲廠家可運出20輛自行車，乙廠家可運出60輛自行車；A地需30輛自行車，B地需50輛自行車．甲、乙兩廠家向A、B兩地的運費如下表：
（1）若設甲廠家運往A地的自行車的量數(shù)為x，則甲廠家運往B地的自行車的量數(shù)為 ；
則乙廠家運往A地的自行車的量數(shù)為 ；則乙廠家運往B地的自行車的量數(shù)為 ；
（2）當甲、乙兩廠家各運往A、B兩地多少輛自行車時，總運費等于470元？
6．（2022·四川八年級期末）大學生運動會將在成都召開，大批的大學生報名參與志愿者服務工作．某大學計劃組織本校大學生志愿者乘車去了解比賽場館情況，若單獨調配36座（不含司機）新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調配22座（不含司機）新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個座位．求計劃調配36座新能源客車多少輛？該大學共有多少名大學生志愿者？
題型9 數(shù)字與日歷問題
解題技巧：已知各數(shù)位上的數(shù)字，寫出兩位數(shù)，三位數(shù)等這類問題一般設間接未知數(shù)，例如：若一個兩位數(shù)的個位數(shù)字為a，十位數(shù)字為b，則這個兩位數(shù)可以表示為10b+a．
在日歷問題中，橫行相鄰兩數(shù)相差1，豎鄰相鄰兩數(shù)相差7，即可設日歷中某數(shù)為（在日歷中該數(shù)上下左右都有相應數(shù)字），橫行相鄰數(shù)為，；豎鄰兩數(shù)為，；
注：求出的數(shù)必須是整數(shù)且符合畫框要求。
1．（2022·江蘇·七年級專題練習）有一個兩位數(shù)，個位上的數(shù)字比十位上的數(shù)字大1，如果把這兩位數(shù)的個位與十位對調，那么所得的新數(shù)與原數(shù)的和是121，求這個兩位數(shù)．設十位上的數(shù)字為x，則可列方程為__．
2．（2022·廣東江門·七年級期末）我國古代的“九宮格”是由3×3的方格構成的，每個方格內均有不同的數(shù)，每一行每一列以及每一條對角線上的三個數(shù)之和相等．如圖，給出了“九宮格”的一部分，則陰影部分的數(shù)值是______．
3．（2022·河南駐馬店·七年級期末）將連續(xù)的奇數(shù)1、3、5、7、9、11等，按一定規(guī)律排成如圖：圖中的T字框框住了四個數(shù)字，若將T字框上下左右移動，按同樣的方式可框住另外的四個數(shù)．若將T字框上下左右移動，則框住的四個數(shù)的和不可能得到的數(shù)是（ ）
A．34B．62C．118D．158
4．（2022·安徽阜陽·七年級期末）下表所示是2022年元月的月歷表．下列結論：
①每一豎列上相鄰的兩個數(shù)，下面的數(shù)比上面的數(shù)大7；
②可以框出一豎列上相鄰的三個數(shù)，這三個數(shù)的和是24；
③可以框出一個的矩形塊的四個數(shù)，這四個數(shù)的和是82；
④任意框出一個的矩形塊的九個數(shù)，這九個數(shù)的和是中間數(shù)的9倍，其中正確的是__________（把所有正確的序號都填上）．
5．（2022·云南七年級期末）下圖是某月的月歷，通過觀察發(fā)現(xiàn)：
（1）在月歷中，觀察一個橫列上相鄰的三個數(shù)，如果三個數(shù)的和為63，則這三個數(shù)分別為 、 、 ；
（2）在月歷中，觀察一個豎列上相鄰的三個數(shù)，如果設中間的數(shù)為，則另外兩個數(shù)分別為 、 ；
（3）隨手拿出一張月歷，在上面任意圈出一個如圖所示"22"的正方形，請問這4個數(shù)的和可能是112嗎？如果可能，請你求出4個數(shù)分別是多少？如果不可能，請說明理由。
6．（2022·湖北荊州·七年級期末）把正整數(shù)1，2，3，4，…，排列成如圖1所示的一個表，從上到下分別稱為第1行、第2行、第3行……，從左到右分別稱為第1列、第2列、第3列……．用如圖2所示的方框在圖1中框住16個數(shù)，把其中沒有被陰影覆蓋的四個數(shù)分別記為a，b，c，d．設a＝x．

(1)在圖1中，數(shù)2022排在第幾行第幾列？(2)若，求出d所表示的數(shù)；
(3)將圖1中的奇數(shù)都改為原數(shù)的相反數(shù)，偶數(shù)不變，此時的值能否為2700？如果能，請求出a所表示的數(shù)，并求出a在圖1中排在第幾行第幾列；如果不能，請說明理由．
題型10．和、差、倍、分（比例）問題
（1）和、差、倍問題關鍵要分清是幾倍多幾和幾倍少幾，“是”、“比”相當于“=”；
即：當較大量是/比較小量的幾倍多幾時：較大量=較小量×倍數(shù)+多余量；
當較大量是/比較小量的幾倍少幾時：較大量=較小量×倍數(shù)-所少量。
（2）尋找相等關系：抓住關鍵詞列方程，常見的關鍵詞：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增長率等．
1．（2022·河南開封·七年級期中）《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，卷七“盈不足”中有題譯文如下：令有人合伙買羊，每人出5錢，會差45錢，每人出7錢，會差3錢，問合伙人數(shù)：羊價各是多少？設合伙人數(shù)為x，所列方程正確的是（ ）
A．5x﹣45＝7x﹣3B．5x+45＝7x+3C．D．
2．（2022·山東濱州·七年級期末）根據(jù)市場調查，某種消毒液的大瓶裝（500g）和小瓶裝（250g）兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量（按瓶計算）比為2：5．某廠每天生產(chǎn)這種消毒液22.5t，則這些消毒液分裝成的這兩種產(chǎn)品中有______瓶大瓶產(chǎn)品．
3．（2022·湖南省臨湘市教研室九年級期中）我國古代數(shù)學名著《張丘建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醐灑一斗直粟三斗，今持粟三斛，得酒五斗，問清跴酒各幾何？”大意是：現(xiàn)有一斗清酒價值10斗谷子，一斗醐灑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清灑，醐灑酒各幾斗？如果設清酒x斗，那么可列方程為_________．
4．（2022·吉林長春·七年級期末）新冠疫情肆虐春城期間，全市有大批志愿者不畏艱險加入到抗疫隊伍中來．“大白”們的出現(xiàn)，給封控小區(qū)居民帶來了信心，為他們的生活提供了保障．已知某社區(qū)在甲小區(qū)原有志愿者23名，在乙小區(qū)原有志愿者17名．現(xiàn)有來自延邊州支援該社區(qū)的志愿者20名，分別去往甲小區(qū)和乙小區(qū)支援，結果在甲小區(qū)的志愿者人數(shù)比乙小區(qū)志愿者人數(shù)的三分之二還多5名，求延邊州志愿者去往甲小區(qū)的人數(shù)．
5．（2022·江西吉安·七年級期末）直播帶貨已經(jīng)成為年輕人購物的新時尚．某網(wǎng)紅為回饋粉絲，在直播間為某品牌帶貨促銷：凡購買該品牌產(chǎn)品均享受13%的補貼（憑付款截屏到線上客服處返現(xiàn)）．某粉絲購買該品牌電視和空調各一臺共花去6000元，且該空調的單價比所買電視的單價的2倍還多600元．(1)該粉絲可以到線上客服處返多少元現(xiàn)金？(2)該粉絲所買的空調與電視的單價各是多少元？
6．（2022·陜西·交大附中分校模擬預測）冰墩墩是2022年北京冬季奧運會的吉祥物，將熊貓形象與富有超能量的冰晶外殼相結合，體現(xiàn)了追求卓越、引領時代，以及面向未來的無限可能．某學校購進了一批冰墩墩吉祥物分配給各班，若每班分4個，則剩余2個；若每班分5個，則還缺16個．求這個學校有幾個班級？
題型11 幾何問題（等積問題）
解題技巧：圖形無論如何切割或邊形，其面積或體積始終不變，利用這個不變的特點，列寫等式方程。
1．（2022·江蘇·七年級單元測試）一個長方形的周長為28cm，若把它的長減少1cm，寬增加3cm，就變成一個正方形，則這個長方形的面積是（ ）
A．48B．45C．40D．33
2．（2022·河南南陽·七年級期末）如圖，在長方形ABCD中，AB＝4cm，BC＝3cm，E為CD的中點，動點P從A點出發(fā)，以每秒1cm的速度沿A→B→C→E運動，最終到達點E．若點P運動的時間為x秒，則當△APE的面積為5cm2時，x的值為__________．
3．（2022·重慶豐都·七年級期末）在邊長為的正方形中，放置兩張大小相同的正方形紙板，邊在上，點，分別在，上，若區(qū)域的周長比區(qū)域Ⅱ與區(qū)域Ⅲ的周長之和還大，則正方形紙板的邊長為______．
4．（2022·重慶豐都·七年級期末）在邊長為9cm的正方形中，放置兩張大小相同的正方形紙板，邊EF在AB上，點K，I分別在BC，CD上，若區(qū)域Ⅰ的周長比區(qū)域Ⅱ與區(qū)域Ⅰ的周長之和還大6cm，則正方形紙板的邊長為________cm．
5．（2022·浙江八年級期中）實驗室里，水平桌面上有甲、乙、丙三個圓柱形容器（容器足夠高），底面半徑之比為，用兩個相同的管子在容器的高度處（即管子底端離容器底）連通．現(xiàn)三個容器中，只有甲中有水，水位高，如圖所示、，若每分鐘同時向乙和丙注入等量的水，開始注水1分鐘，乙的水位上升，則注水___________分鐘后，甲與乙的水位高度之差是．
6．（2022·河南平頂山·七年級期末）如圖所示，有甲、乙兩個容器，甲容器盛滿水，乙容器里沒有水，現(xiàn)將甲容器中的水全部倒入乙容器，問：水會不會溢出？如果不會溢出，請你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水會溢出，請你說明理由．（容器壁厚度忽略不計，圖中數(shù)據(jù)的單位：cm）
題型12 一元一次方程之動點問題
1．（2022·山東濟南·七年級期末）如圖，已知正方形的邊長為4，甲、乙兩動點分別從正方形ABCD的項點A、C同時沿正方形的邊開始移動，甲點依順時針方向環(huán)行，乙點依逆時針方向環(huán)行，若乙的速度是甲的速度的3倍，則它們第2022次相遇在邊________上．

2．（2022·河南南陽·七年級期中）如圖，數(shù)軸上A、B兩點對應的有理數(shù)分別是和． 動點P從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿數(shù)軸在A、B之間往返運動，同時動點Q從點B出發(fā)，以每秒2個單位的速度沿數(shù)軸在B、A之間往返運動，設運動時間為秒，當時，若原點O恰好是線段PQ的中點，則的值是_______．
3．（2022·江蘇·泰興市濟川初級中學七年級階段練習）如圖，長方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，點P從A出發(fā)，以1cm/s的速度沿A→B→C運動，最終到達點C，在點P運動了8秒后，點Q開始以2cm/s的速度從D運動到A，在運動過程中，設點P的運動時間為t秒，當△APQ的面積為4cm2時，t的值為________
4．（2022·安徽·桐城市第二中學七年級期末）已知多項式的次數(shù)為a，常數(shù)項為b，a，b分別對應著數(shù)軸上的A、B兩點．
(1)______，______；并在數(shù)軸上畫出A、B兩點；
(2)若點P從點A出發(fā)，以每秒3個單位長度單位的速度向x軸正半軸運動，求運動時間為多少時，點P到點A的距離是點P到點B的距離的2倍；
(3)數(shù)軸上還有一點C的坐標為30，若點P和Q同時從點A和點B出發(fā)，分別以每秒3個單位長度和每秒1個單位長度的速度向C點運動，P到達C點后，再立即以同樣的速度返回，運動到終點A，點Q到達終點C停止．求點P和點Q運動多少秒時，P，Q兩點之間的距離為4．
5．（2022·四川·安岳縣七年級期中）如圖1，在長方形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點P沿AB邊從點A開始向點B以2cm/s的速度移動；點Q沿DA邊從點D開始向點A以1厘米/秒的速度移動．如果P、Q同時出發(fā)，用t（秒）表示移動的時間；(1)當t 為何值時，線段AQ的長度等于線段AP的長度？(2)當t 為何值時，AQ與AP的長度之和是長方形周長的？(3)如圖2，P、Q到達B、A后繼續(xù)運動，P點到達C點后都停止運動．當t 為何值時，線段AQ的長等于線段CP的長的一半？

6．（2022·河南三門峽·七年級期末）愛思考的小明將一個玩具火車放置在數(shù)軸上水平移動，如圖（1）．他發(fā)現(xiàn)當A點移動到B點時，B點所對應的數(shù)為24；當B點移動到A點時，A點所對應的數(shù)6（單位：單位長度）．
圖（1）
(1)由此可得點A處的數(shù)字是 ，玩具火車的長為 個單位長度．
(2)如果火車AB正前方10個單位處有一個“隧道”MN，火車AB從（1）的起始位置出發(fā)到完全駛離“隧道”恰好用了t秒，已知火車AB的速度為0.5個單位/秒，則可知“隧道”MN的長為 個單位．（自己在草紙上畫圖分析，用含t的代數(shù)式表示即可）
(3)他驚喜的發(fā)現(xiàn)，“數(shù)軸”是學習數(shù)學的重要的工具，于是他繼續(xù)深入探究：在（1）條件下的數(shù)軸上放置與AB大小相同的玩具火車CD，使原點O與點C重合，兩列玩具火車分別從點O和點A同時在數(shù)軸上同時移動，已知CD火車速度為2個單位/秒，AB火車速度為1個單位/秒（兩火車均向右運動），幾秒后兩火車的A處與C處相距2個單位？
階梯
電量
電價
一檔
0~180度
0.6元/度
二檔
181~400度
0.7元度
三檔
400度及以上
0.9元/度
月租費
（元）
主叫通話
（分鐘）
上網(wǎng)流量
（G）
接聽
主叫超時部分
（元/分鐘）
超出流量部分
（元/G）
方式一
38
200
3
免費
0.15
10
方式二
60
300
5
免費
0.10
8
全民應納稅所得額
稅率
不超過3000的部分
3%
超過3000元至12000元部分
10%
超過12000元至25000元部分
20%
……
……
價目表
每月用水量
單價（元/）
不超過18的部分
3
超出18不超出25的部分
4
超出25的部分
7
長
寬
高
小紙盒
1
2
大紙盒
2
3
月使用費/元
主叫限定時間/min
主叫超時費/（元/min）
方式一
58
200
a
方式二
88
400
0.25
打折前一次性購物總金額
優(yōu)惠措施
不超過450元
不優(yōu)惠
超過450元，但不超過600元
售價打九折
超過600元
其中600元部分打8.2折優(yōu)惠超過600元部分3折優(yōu)惠
甲種
乙種
進價（元/千克）
5
9
售價（元/千克）
8
13
校籃球賽成績公告
比賽場次
勝場
負場
積分
22
12
10
34
22
14
8
36
22
0
22
22
參賽者
答對題數(shù)
不答題數(shù)
答錯題數(shù)
得分
A
19
0
1
94
B
18
1
1
91
C
18
2
0
94
終點
起點
南昌
武漢
溫州廠
400
800
杭州廠
300
500
運輸工具
途中平均速度（千米/時）
運費（元/千米）
裝卸費用（元）
火車
100
15
2000
汽車
80
20
900
運往地
車型
甲地（元/輛）
乙地（元/輛）
大貨車
640
680
小貨車
500
560
運輸工具
途中平均速度（千米/ 時）
運費（元/ 千米）
裝卸費用（元)
火車
100
15
2000
汽車
80
20
900
運往
運費（元/輛）
甲廠家
乙廠家
A地
5
10
B地
6
4
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31

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