1）一列數(shù)的規(guī)律：把握常見幾類數(shù)的排列規(guī)律及每個數(shù)與排列序號之間的關系.
2）一列等式的規(guī)律：用含有字母的代數(shù)式總結規(guī)律，注意此代數(shù)式與序號之間的關系.
3）圖形（圖表）規(guī)律：觀察前幾個圖形，確定每個圖形中圖形的個數(shù)或圖形總數(shù)與序號之間的關系.
4）圖形變換的規(guī)律：找準循環(huán)周期內(nèi)圖形變換的特點，然后用圖形變換總次數(shù)除以一個循環(huán)變換周期，進而觀察商和余數(shù).
5）數(shù)形結合的規(guī)律：觀察前項（一般前3項）及利用題中的已知條件，歸納猜想一般性結論.
2. 常見的數(shù)列規(guī)律：
1）1，3，5，7，9，… ，（為正整數(shù)）．
2） 2，4，6，8，10，…，（為正整數(shù)）．
3） 2，4，8，16，32，…，（為正整數(shù)）．
4）2， 6， 12， 20，…， （為正整數(shù)）．
5），，，，，，…，（為正整數(shù)）．
6）特殊數(shù)列： ①三角形數(shù)：1,3,6,10,15,21，…，.
②斐波那契數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，…，從第三個數(shù)開始每一個數(shù)等于與它相鄰的前兩個數(shù)的和.
題型1：數(shù)列的規(guī)律
1．（2022·黑龍江·哈爾濱市第十七中學校七年級階段練習）給定一列按規(guī)律排列的數(shù)：-1，，，，…，則第9個數(shù)為________．
【答案】
【分析】根據(jù)題意易得奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，分子為2n-1，分母為，進而問題可求解．
【詳解】解：由-1，，，，…，可知：奇數(shù)項為負數(shù)，偶數(shù)項為正數(shù)，分子為2n-1，分母為，
∴第9個數(shù)為；
故答案為．
【點睛】本題主要考查數(shù)字規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)題意得到數(shù)字的規(guī)律．
2．（2022·云南紅河·八年級期末）一組按規(guī)律排列的單項式3a、5a2、7a3、9a4……，依這個規(guī)律用含字母n（n為正整數(shù)，且n≥1）的式子表示第n個單項式為_______
【答案】
【分析】找出前3項的規(guī)律，然后通過后面幾項驗證，找出規(guī)律得到答案．
【詳解】解：3a＝（2×1+1）a1，
5a2＝（2×2+1）a2，
7a3＝（2×3+1）a3，
…
第n個單項式是：（2n+1）an．
故答案為：（2n+1）an．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是找出前幾項的規(guī)律，然后驗證，最后得到規(guī)律．
3．（2022·黑龍江牡丹江·九年級期末）按順序觀察下列五個數(shù)-1，5，-7，17，-31……，找出以上數(shù)據(jù)依次出現(xiàn)的規(guī)律，則第個數(shù)是_____________．
【答案】
【分析】所給的數(shù)可轉化為：-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…據(jù)此即可得第n個數(shù)，從而可求解．
【詳解】解：∵-1=1-21，5=1+22，-7=1-23，17=1+24，-31=1-25，…，
∴第奇數(shù)個數(shù)為：1-2n；
第偶數(shù)個數(shù)為：1+2n；
∴第n個數(shù)為：．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的數(shù)字分析出存在的規(guī)律．
4．（2022·甘肅天水·七年級期末）有一組分數(shù)：…，則第8個數(shù)是_______________．
【答案】
【分析】根據(jù)數(shù)據(jù)的分子與分母的變化分別得出分子與分母的值，得出規(guī)律即可得出答案．
【詳解】解：根據(jù) …， 分子是連續(xù)的奇數(shù)，
則第8個數(shù)的分子是：2n+1=2×8+1=17，
分母是，
∴第8個數(shù)是：．
故答案為：
【點睛】此題主要考查了數(shù)字的規(guī)律性問題，通過觀察，分析、歸納并發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題是解本題的關鍵．
5．（2021·河北承德·七年級期末）如圖，將一列有理數(shù)－1，2，－3，4，－5，6，．．．，有序排列，根據(jù)圖中的排列規(guī)律可知，“峰1”中峰頂?shù)奈恢茫–的位置）是有理數(shù)4，那么，“峰5”中C的位置是有理數(shù)_ _，-2021應排在A、B、C、D、E中的___位置．其中兩個填空依次為（ ）
A．24，EB．﹣25，E
C．-24，BD．24，C
【答案】A
【分析】觀察發(fā)現(xiàn)，每個峰排列5個數(shù)，求出5個峰排列的數(shù)的個數(shù)，再求出，“峰5”中C位置的數(shù)的序數(shù)，然后根據(jù)排列的奇數(shù)為負數(shù)，偶數(shù)為正數(shù)解答；用（2021﹣1）除以5，根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所在峰中的位置即可．
【詳解】解：∵每個峰需要5個數(shù)，
∴5×4＝20，
20+1+3＝24，
∴“峰5”中C位置的數(shù)的是24，
∵（2021﹣1）÷5＝404，
∴﹣2021為“峰404”的最后一個數(shù)，排在E的位置．
故選：A．
【點睛】本題是對數(shù)字變化規(guī)律的考查，觀察出每個峰有5個數(shù)是解題的關鍵，難點在于峰上的數(shù)的排列是從2開始．
6．（2022·山東青島·七年級期末）也許你認為數(shù)字運算是數(shù)學中常見而又枯燥的內(nèi)容，但實際上，它里面也蘊藏著許多不為人知的奧妙，下面就讓我們來做一個數(shù)字游戲：
第一步：取一個自然數(shù)，計算得；
第二步：計算出的各位數(shù)字之和得，再計算得；
第三步：計算出的各位數(shù)字之和得，再計算得；
……
依此類推，則_______．
【答案】123
【分析】根據(jù)游戲的規(guī)則進行運算，求出a1、a2、a3、a4、a5，再分析其規(guī)律，從而可求解．
【詳解】解：∵a1＝n12+2＝32+2＝11，
∴n2＝1+1＝2，a2＝n22+2＝22+2＝6，
n3＝6，a3＝n32+2＝62+2＝38，
n4＝3+8＝11，a4＝n42+2＝112+2＝123，
n5＝1+2+3＝6，a5＝n52+2＝62+2＝38，
……
∴從第3個數(shù)開始，以38，123不斷循環(huán)出現(xiàn)，
∵（2020﹣2）÷2＝1009，
∴a2020＝a4＝123．
故答案為：123．
【點睛】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的規(guī)則得到存在的規(guī)律．
題型2：數(shù)表的規(guī)律
1．（2022·湖北十堰·九年級期末）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，若2021是表中第n行第m列，則m＋n＝（ ）．
A．66B．68C．69D．70
【答案】C
【分析】根據(jù)題意得：第1行1個數(shù)字，第2行2個數(shù)字，第3行3個數(shù)字，第4行4個數(shù)字，第5行5個數(shù)字， 由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第 行有 個數(shù)字，從而得到前 行有 個數(shù)字，再由，可得到2021位于第64行第5列，即可求解．
【詳解】解：根據(jù)題意得：第1行1個數(shù)字，
第2行2個數(shù)字，
第3行3個數(shù)字，
第4行4個數(shù)字，
第5行5個數(shù)字，

由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第 行有 個數(shù)字，
∴前 行有 個數(shù)字，
∵，
∴2021位于第64行第5列，即 ，
∴．
故選：C
【點睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關鍵．
2．（2022·山東濟寧·七年級期中）將正整數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，有序數(shù)對表示第排，從左到右第個數(shù)．如有序數(shù)對表示8，則有序數(shù)對表示的數(shù)為______．
【答案】123
【分析】有序數(shù)對表示第排，從左到右第個數(shù)．則前n排的數(shù)字共有個數(shù)，將n=16代入，可得出第16行有16個數(shù)，第1個數(shù)是136，從大到小排列，據(jù)此解答即可．
【詳解】解：由圖可知，
第一排1個數(shù)，
第二排2個數(shù)，數(shù)字從大到小排列，
第三排3個數(shù)，數(shù)字從小到大排列，
第四排4個數(shù)，數(shù)字從大到小排列，
…，
則前n排的數(shù)字共有個數(shù)，
∵當n=16時，，
∴第16行有16個數(shù)，第1個數(shù)是136，從大到小排列，
∴第16行第14個數(shù)是123，
故選：C．
故答案為：123．
【點睛】此題考查對數(shù)字變化類知識點的理解和掌握，解答此類題目的關鍵是根據(jù)題目中給出的圖形、數(shù)值、數(shù)列等已知條件，認真分析，找出規(guī)律，解決問題．
3．（2022·湖北十堰·三模）中國古代數(shù)學史曾經(jīng)有自己光輝燦爛的篇章，而“楊輝三角”的發(fā)現(xiàn)就是十分精彩的一頁，上圖是其中的一部分．“楊輝三角”蘊含了許多優(yōu)美的規(guī)律，小明對此非常著迷．一次，他把寫的楊輝三角數(shù)表用書本遮蓋住，只漏出其中某一行的一部分的5個數(shù)字；1，10，45，120，210，讓同桌小聰說出第6個數(shù)字，小聰稍加思索，便說出正確答案，正確答案是_________．
【答案】252
【分析】先根據(jù)第二個數(shù)字確定出其所在行數(shù)，再根據(jù)規(guī)律確定出上一行的所有數(shù)字，即可得答案．
【詳解】解：由第二個數(shù)為10知，該行為第11行，
第11行的數(shù)字為：1，10，45，120，210，？，210，120，45，10，1，
第10行數(shù)字為：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1，
∴第11行第6個數(shù)字為：126+126=252，
故答案為：252．
【點睛】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，解題的關鍵是根據(jù)所給的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)規(guī)律．
4．（2022·廣西·南寧市三美學校三模）如圖，將正整數(shù)按此規(guī)律排列成數(shù)表，則2022分布在表中的第___________行．
【答案】64
【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可以寫出前幾行的數(shù)字個數(shù)，然后即可寫出前n行的數(shù)字個數(shù)，從而可以得到2022在圖中的位置．
【詳解】解：由圖可知，
第一行1個數(shù)字，
第二行2個數(shù)字，
第三行3個數(shù)字，
…，
第n行n個數(shù)字，
前n行一共有個數(shù)字，
，
2022是表中第64行．
故答案為：64．
【點睛】本題考察數(shù)字的變化規(guī)律總結．解答本題的關鍵是發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點．寫出前n行的數(shù)字個數(shù)．
5．（2021·廣東·雷州市第三中學七年級期中）觀察下列按一定規(guī)律排列的三行數(shù)：
如圖，在上面的數(shù)據(jù)中，用長方形圈出同一列的三個數(shù)，這列的第一個數(shù)表示為a，其余各數(shù)分別用b，c表示，
(1)若這三個數(shù)分別在這三行數(shù)的第8列，請寫出a，b，c的值．
a＝ ；b＝ ；c＝ ．
(2)若這三個數(shù)分別在這三行數(shù)的第n列，則a的值為 ，c的值為 ；（用含有n的式子表示）
(3)若a記為x，求a，b，c這三個數(shù)的和（結果用含x的式子表示并化簡）．
【答案】(1)-256；259；-128 (2)；；(3)
【分析】（1）根據(jù)題意得：第一行：，……，由此發(fā)現(xiàn)：第一行的數(shù)的規(guī)律，再觀察第二行和第三行，可得第二行中每個數(shù)是第一行相應位置上的數(shù)加上3，第三行中每個數(shù)是第一行相應位置上的數(shù)除以2，即可求解；
（2）根據(jù)（1）中的規(guī)律，即可求解；
（3）由（1）可得：b=a+3，，再把a=x代入，再化簡，即可求解．
（1）解：根據(jù)題意得：第一行：，……，由此發(fā)現(xiàn)：第一行第n列數(shù)為，∴，根據(jù)題意得：第二行中每個數(shù)是第一行相應位置上的數(shù)加上3，∴第二行第n列數(shù)為，∴b=256+3=259，根據(jù)題意得：第三行中每個數(shù)是第一行相應位置上的數(shù)除以2，∴第一行第n列數(shù)為，∴c=-256÷2=-128；故答案為：-256；259；-128
（2）解：由（1）得：a的值為；c的值為；故答案為：；；
（3）解：由（1）得：b=a+3，，∵a記為x，∴．
【點睛】本題主要考查了數(shù)字類規(guī)律題，明確題意，準確得到規(guī)律是解題的關鍵．
6．（2022·四川成都·七年級期末）如圖所示數(shù)表，由從1開始的連續(xù)自然數(shù)組成，觀察規(guī)律并完成下列各題：
(1)第六排從左往右第1個數(shù)為______；第七排從左往右第1個數(shù)為_____；
(2)第a排第1個數(shù)可以表示為______；（用含a的式子表示）
(3)若第n排的一個數(shù)和第（n+1）排的兩個連續(xù)自然數(shù)能夠放入如圖所示的等邊三角形中，則稱該三角形為“天府三角形”，里面三個數(shù)字之和稱為該數(shù)字三角形的“天府和”．若第n排和第（n+1）排中總共有39個“天府三角形”，其中一個“天府三角形”的“天府和”為2371，則該“天府三角形”中的三個數(shù)字分別為多少？
【答案】(1)16，22(2)a2-a+1(3)764，803和804
【分析】（1）觀察數(shù)據(jù)得到每排數(shù)的個數(shù)等于排數(shù)，則先計算出第六排和第七排前面共有的數(shù)字，然后得到答案；
（2）先計算出第a排前面共有a（a-1）個數(shù)，然后可得答案；
（3）根據(jù)“天府三角形”的定義得出n=39，再列方程可得答案．
(1)解：∵第六排前面共有1+2+3+4+5=15個數(shù)，第七排前面共有1+2+3+4+5+6=21個數(shù)，
∴第六排從左往右第1個數(shù)為16；第七排從左往右第1個數(shù)為22；
故答案為：16，22；
(2)∵第a排前面共有1+2+3+…+（a-1）=a（a-1），
∴第a排的第一個數(shù)字為a（a-1）+1=a2-a+1，
故答案為：a2-a+1；
(3)根據(jù)“天府三角形”的定義可得，
第n排和第（n+1）排中總共有n個“天府三角形”，
所以n=39，
設第n排的數(shù)是x，第（n+1）排的兩個數(shù)分別是x+39，x+40，
由題意得，x+（x+39）+（x+40）=2371，
解得x=764，
所以三個數(shù)分別是764，803和804．
【點睛】本題考查了規(guī)律型—數(shù)字的變化類：通過從一些特殊的數(shù)字變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的因素，然后推廣到一般情況．
題型3：算式的規(guī)律
算式規(guī)律這一類沒有固定的套路，主要依靠學生對已知算式的觀察、總結、邏輯推理，發(fā)現(xiàn)期中的規(guī)律。
?？嫉谋尘坝校簵钶x三角、等差數(shù)列、連續(xù)n個數(shù)的立方和、連續(xù)n個數(shù)的平方和、階乘等。
通常結合數(shù)字特點和圖形變化情況進行猜想，驗證，從而提高探究規(guī)律能力。
1．（2022·山東濟寧·七年級期中）如圖，觀察所給算式，找出規(guī)律：
，
，
，
，
……
根據(jù)規(guī)律計算______．
【答案】400
【分析】觀察這幾個式子可得每個式子的結果等于中間數(shù)的平方，即可求解．
【詳解】觀察這幾個式子可得每個式子的結果等于中間數(shù)的平方，
所以1+2+3+…+19+20+19+…+3+2+1
=202
=400
故答案為：400.
【點睛】本題考查了數(shù)字規(guī)律的計算，解決本題的關鍵在于根據(jù)所給的算式，找到規(guī)律，并把規(guī)律應用到解題中．
2．（2022·江西·新余市第一中學八年級階段練習）如圖的數(shù)表，它有這樣的規(guī)律：表中第1行為1，第n （n≥2）行兩端的數(shù)均為n，其余每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，設第n （n≥2）行的第2個數(shù)為an，如a2=2，a3=4，則an+1﹣an=_____（n≥2），an=______．
【答案】
【分析】先根據(jù)題意得到，由此得到規(guī)律進行求解即可．
【詳解】解：由題意得，
∴，
∴，
故答案為：，．
【點睛】本題主要考查了數(shù)字類的規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關鍵．
3．（2022·河南鄭州·七年級期末）觀察按下列順序排列的等式：…，猜想第個等式為________．
【答案】
【分析】根據(jù)已知等式，分析等式兩邊數(shù)的變化規(guī)律，利用歸納推理得出結論，再代入2021計算即可．
【詳解】解：由…，得
第n個等式應為
當n=2021時， 10n+1=20210+1=20211
故答案為：．
【點睛】本題考查數(shù)的規(guī)律、歸納推理的應用，掌握規(guī)律是解題關鍵．
4．（2022·全國·七年級專題練習）觀察下列各式：×2 = + 2；×3 = + 3；×4 = + 4；×5 = + 5．設n表示正整數(shù)，試用關于n的等式，表示這個規(guī)律為：______×______=______+______．
【答案】，，，
【分析】通過觀察可以看出分母比分子小1，而相乘的數(shù)和相加的數(shù)也比分母大1，據(jù)此歸納．
【詳解】解：由所給的各式可知，不妨設分母為n，則分子為n+1，乘數(shù)和加數(shù)也為n+1，
因此可知律為：，
故答案為：，，，．
【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，找出式子之間的聯(lián)系，由特殊找出一般規(guī)律解決問題．
5．（2022·山東青島·七年級期末）觀察下列圖形及圖形所對應的等式，根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，寫出第n幅圖形對應的等式________．
【答案】1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2
【分析】由已知條件1+8×1=32；1+8×1+8×2=52，1+8+8×2+8×3=72，進而推理出第n幅圖形對應的等式為1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2．
【詳解】解：根據(jù)題意得，第n幅圖形對應的等式為：1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2．
故答案為：1+8+16+24+…+8n=（2n+1）2．
【點睛】此題主要考查圖形的規(guī)律性，注意由已知發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化，從而得出一般規(guī)律．
6.（2022·浙江麗水·七年級期中）觀察下列等式：
第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；
……
請解答下列問題：
(1)按以上規(guī)律列出第5個等式：a5= = ；
(2)按以上規(guī)律列出第2015個等式：a2015= = ；
(3)求a1+a2+a3+a4+…+a2016的值．
【答案】(1)，(2)(3)
【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進行求解即可；
（2）根據(jù)所得規(guī)律求出第n個等式，從而得到第2015個等式；
（3）利用（2）中的規(guī)律進行求解即可．
（1）解：由題意得：第5個等式為：，
故答案為：，；
（2）第1個等式：；
第2個等式：；
第3個等式：；
第4個等式：；……
∴第n個等式：，
∴第2015個等式：；
（3）
=
=
=
=
=．
【點睛】本題考查數(shù)字的規(guī)律，能夠通過所給式子，找到數(shù)字的變化規(guī)律，歸納出一般結論是解題的關鍵．
題型4：圖形的規(guī)律（一次類）
1．（2022·云南玉溪·七年級期末）觀察下列圖中所示的一系列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n個圖形中共有（ ）個“ｏ”．
A．3nB．3n+1C．3n-1D．3n+2
【答案】B
【分析】設第n個圖形共有an個“”（n為正整數(shù)），觀察圖形，根據(jù)各圖形中“”個數(shù)的變化可得出變化規(guī)律“an＝3n+1（n為正整數(shù)）”，即可求出結論．
【詳解】設第n個圖形共有an個“”（n為正整數(shù)），
觀察圖形，可知：a1＝4＝1+3，a2＝7＝1+2×3，a3＝10＝1+3×3，a4＝13＝1+4×3，…，
∴an＝3n+1（n為正整數(shù)），
故選B．
【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖形中“”個數(shù)的變化找出變化規(guī)律“an＝3n+1（n為正整數(shù)）”是解題的關鍵．
2．（2021·山東臨沂·七年級期中）把四邊形和三角形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中圖案①中共有4個三角形，圖案②中共有7個三角形，圖案③中共有10個三角形，…，若按此規(guī)律拼圖案，則圖案⑨中共有（ ）

A．25個三角形B．28個三角形C．31個三角形D．34個三角形
【答案】B
【分析】根據(jù)題目中的圖形，可以寫出前幾個圖形中三角形的個數(shù)，從而發(fā)現(xiàn)三角形個數(shù)的變化規(guī)律，從而可以解答本題．
【詳解】解：由圖可得，
第①個圖案中有1+3=4個三角形，
第②個圖案中有1+3×2=7個三角形，
第③個圖案中有1+3×3=10個三角形，
…
則第⑨個圖案中有1+3×9=28個三角形，
故選：B．
【點睛】本題考查圖形的變化類、列代數(shù)式，解答本題的關鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)圖形中三角形個數(shù)的變化規(guī)律，求出相應圖形中三角形的個數(shù)．
3．（2022·河北保定·七年級期末）觀察下列圖形，它們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第2022個圖形中共有______個五角星（ ）
A．6068B．6067C．6066D．6065
【答案】B
【分析】第一個圖形五角星數(shù)目：1+3＝1+3×1，第二個圖形五角星數(shù)目：1+3+3＝1+3×2，第三個圖形五角星數(shù)目：1+3+3+3＝1+3×3，第四個圖形五角星數(shù)目：1+3+3+3+3＝1+3×4，……，得出第n個圖形五角星數(shù)目：1+3+3+?+3＝1+3×n，即可得出第2022個圖形中五角星數(shù)目．
【詳解】解：∵第一個圖形五角星數(shù)目：1+3＝1+3×1，
第二個圖形五角星數(shù)目：1+3+3＝1+3×2，
第三個圖形五角星數(shù)目：1+3+3+3＝1+3×3，
第四個圖形五角星數(shù)目：1+3+3+3+3＝1+3×4，
……
第n個圖形五角星數(shù)目：1+3+3+?+3＝1+3×n＝1＋3n，
∴第2022個圖形中五角星數(shù)目為：1+3×2022＝6067．
故選：B．
【點睛】本題考查了圖形個數(shù)的規(guī)律，解題關鍵是根據(jù)已知圖形的變化規(guī)律找到第n個圖形個數(shù)表達式．
4．（2022·遼寧本溪·七年級期末）如圖，第1個圖案是由灰白兩種顏色的六邊形地面磚組成的，第2個，第3個圖案可以看成是由第1個圖案經(jīng)過平移而得，那么第個圖案中有白色六邊形地面磚的塊數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】觀察圖形可知，第一個黑色地面磚由六個白色地面磚包圍，再每增加一個黑色地面磚就要增加四個白色地面磚．
【詳解】解：∵第一個圖案中，有白色的是6個，后邊是依次多4個．
∴第個圖案中白色六邊形個數(shù)為：6＋4（n?1）＝（4n＋2）個，
故選：C．
【點睛】本題考查利用平移設計圖形，主要培養(yǎng)學生的觀察能力和空間想象能力，解題的關鍵是發(fā)現(xiàn)規(guī)律：在第一個圖案的基礎上，多一個圖案，多4塊白色地磚．
5．（2022·山東濟寧·中考真題）如圖，用相同的圓點按照一定的規(guī)律拼出圖形．第一幅圖4個圓點，第二幅圖7個圓點，第三幅圖10個圓點，第四幅圖13個圓點……按照此規(guī)律，第一百幅圖中圓點的個數(shù)是（ ）
A．297B．301C．303D．400
【答案】B
【分析】首先根據(jù)前幾個圖形圓點的個數(shù)規(guī)律即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從而得到第100個圖擺放圓點的個數(shù)．
【詳解】解：觀察圖形可知：第1幅圖案需要4個圓點，即4＋3×0，
第2幅圖7個圓點，即4+3=4+3×1；
第3幅圖10個圓點，即4＋3＋3=4＋3×2；
第4幅圖13個圓點，即4＋3＋3＋3=4＋3×3；
第n幅圖中，圓點的個數(shù)為：4+3(n-1)=3n+1，
……，
第100幅圖，圓中點的個數(shù)為：3×100+1=301．
故選：B．
【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，解答的關鍵是由所給的圖形總結出存在的規(guī)律．
6．（2021·廣東梅州·七年級期末）觀察下列圖形：他們是按一定規(guī)律排列的，依照此規(guī)律，第n（n為正整數(shù)）個圖形共有的點數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設第n（n為正整數(shù)）個圖形共有an個點，根據(jù)各個圖形中點數(shù)的變化，即可得出變化規(guī)律“an=6n+4”，此題得解．
【詳解】解：設第n（n為正整數(shù)）個圖形共有an個點．
觀察圖形，可知：a1=10=6×1+4，a2=16=6×2+4，a3=22=6×3+4，a4=28=6×4+4，…，
∴an=6n+4．
故選：D．
【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，根據(jù)各圖形中點數(shù)的變化，找出變化規(guī)律“an=6n+4”是解題的關鍵．
題型5：圖形的規(guī)律（二次類）
1．（2022·河北石家莊·八年級期中）用同樣大小的黑色棋子按圖1～圖4所示的規(guī)律擺放下去，那么，第5個圖形中黑色（不棋子個數(shù)為_____個；第n個圖形中黑色棋子的個數(shù)S與n的關系式為__________（不用寫出自變量n的取值范圍）．
【答案】 64
【分析】第1個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：，第2個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：，第3個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：，由此得到規(guī)律進行求解即可．
【詳解】解：第1個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：，
第2個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：，
第3個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：，
∴第5個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：；
∴第n個圖形中黑色棋子的個數(shù)為：，
故答案為：64；．
【點睛】本題主要考查了與圖形有關的規(guī)律題，正確理解題意找到對應的規(guī)律是解題的關鍵．
2．（2022·湖南永州·八年級期中）如圖，每一幅圖中均含有若干個正方形．第①幅圖中含有1個正方形；第②幅圖中含有5個正方形；第③幅圖中含有14個正方形…按這樣的規(guī)律下去，則第⑦幅圖中含有______個正方形．
【答案】140
【分析】觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個有1個正方形，第二個有1+4=5個正方形，第三個有1+4+9=14個正方形，…第n個有：1+22+32+…+n2個正方形，從而得到答案．
【詳解】解：觀察圖形發(fā)現(xiàn)第一個有1個正方形，
第二個有1+4=5個正方形，
第三個有1+4+9=14個正方形，
…
∴第n個有：（1+22+32+…+n2）個正方形，
則第7個有1+4+9+16+25+36+49=140個正方形，
故答案為：140．
【點睛】此題考查了圖形的變化規(guī)律，解題的關鍵是仔細觀察圖形并找到規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．
3．（2021·黑龍江佳木斯·八年級期中）如圖，根據(jù)下列5個圖形及相應點的個數(shù)的變化規(guī)律，試猜想第20個圖形中包含的點的個數(shù)為________．
【答案】381
【分析】對于找規(guī)律的題目首先應找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的，按照規(guī)律求解．
【詳解】解：觀察圖形點分布的變化規(guī)律，發(fā)現(xiàn)第一個圖形只有一個中心點；
第二個圖形中除中心外還有兩邊，每邊一個點；
第三個圖形中除中心點外還有三個邊，每邊兩個點；
依此類推，第n個圖形中除中心外有n條邊，每邊(n-1)個點，
故第n個圖形中點的個數(shù)為n（n-1）+1．
當n=20時，20（20-1）+1=381．
故答案為：381．
【點睛】此題考查的知識點是圖形數(shù)字變化類問題，解題的關鍵是通過觀察圖形分析總結出規(guī)律，再按規(guī)律求解．
4．（2022·廣東湛江·七年級期末）觀察下列圖形的構成規(guī)律，根據(jù)此規(guī)律，第9個圖形中有______個圓．
【答案】82
【分析】觀察圖形，得到規(guī)律：每幅圖可看作一個由圓圈組成的正方形再加一個圓圈，可利用正方形的面積公式解答．
【詳解】解：觀察圖形可得，第1個圖形中，圓的個數(shù)為1+1=2（個）；
第2個圖形中，圓的個數(shù)為+1=5（個）；
第3個圖形中，圓的個數(shù)為+1=10（個）；
第4個圖形中，圓的個數(shù)為+1=17（個）；
第個圖形中，圓的個數(shù)為個；
當n=9時，（個）
故答案為：82．
【點睛】本題考查用代數(shù)式表示圖形的變化規(guī)律，是基礎考點，掌握相關知識是解題關鍵．
5．（2021·湖南婁底·二模）如圖所示，一系列圖案均是長度相同的火柴棒按一定的規(guī)律拼搭而成：第1個圖案需7根火柴棒，第2個圖案需13根火柴棒，…，依此規(guī)律，第n個圖案需要________根火柴棒．
【答案】273
【分析】根據(jù)第1個圖案需7根火柴，7＝1×（1＋3）＋3，第2個圖案需13根火柴，13＝2×（2＋3）＋3，第3個圖案需21根火柴，21＝3×（3＋3）＋3，得出規(guī)律：第n個圖案需[n（n＋3）＋3]根火柴，即可解決問題．
【詳解】解：第1個圖案需7根火柴，7＝1×（1＋3）＋3，
第2個圖案需13根火柴，13＝2×（2＋3）＋3，
第3個圖案需21根火柴，21＝3×（3＋3）＋3，
…，
則第n個圖案需[n（n＋3）＋3]根火柴，
∴第15個圖案需：15×（15＋3）＋3＝273（根）．
故答案為：273．
【點睛】本題考查圖形的變化規(guī)律的理解與運用能力．注意根據(jù)題目中所給的圖形進行觀察思考，總結歸納出規(guī)律，再利用規(guī)律解決問題是解本題的關鍵．
6．（2022·湖北恩施·八年級期末）如圖，圖①由4根火柴棍圍成；圖②由12根火柴棍圍成；圖③由24根火柴棍圍成；…按此規(guī)律，則第⑩個圖形由______根火柴棍圍成．
【答案】220
【分析】根據(jù)每個圖形中火柴棒的根數(shù)得出1×2+1×2＝4，2×3+2×3＝12，3×4+3×4＝24，…進而得出第n個圖形中火柴棒的根數(shù)，即可得出第⑥個圖形中火柴棒的根數(shù)．
【詳解】解：∵第①個圖形中有4根火柴棒：1×2+1×2＝4，
第②個圖形一共有12根火柴棒：2×3+2×3＝12，
第③個圖形一共有24根火柴棒：3×4+3×4＝24，
…
∴則第n個圖形中火柴棒的根數(shù)為：n（n+1）+n（n+1）＝2n（n+1），
故第⑩個圖形中火柴棒的根數(shù)為：2×10×（10+1）＝220．
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了圖形的變化類，根據(jù)已知得出每個圖形中數(shù)字變化規(guī)律是解題關鍵．
題型6：圖形的規(guī)律（指數(shù)類）
1.（2021·江蘇七年級期末）如圖，已知圖①是一塊邊長為1，周長記為C1的等邊三角形卡紙，把圖①的卡紙剪去一個邊長為的等邊三角形紙板后得到圖②，然后沿同一底邊再剪去一個邊長為的等邊三角形后得到圖③，依次剪去一個邊長為、、…的等邊三角形后，得到圖④、⑤、⑥、…，記圖n（n≥3）中的卡紙的周長為Cn，則Cn﹣Cn﹣1＝_____．
【答案】
【分析】利用等邊三角形的性質(zhì)（三邊相等）求出等邊三角形的周長C1，C2，C3，C4，根據(jù)周長相減的結果能找到規(guī)律即可求出答案．
【詳解】解：∵C1＝1+1+1＝3，C2＝1+1+＝，C3＝1+1+×3＝，C4＝1+1+×2+×3＝，…
∴C3﹣C2= ，C3﹣C2＝﹣＝＝（）2；C4﹣C3＝﹣＝＝（）3，…
則C n﹣Cn﹣1＝（）n﹣1＝．故答案為：．
【點睛】此題考查圖形的變化規(guī)律，通過觀察圖形，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中運算規(guī)律，并應用規(guī)律解決問
題．
2.（2021·常州市同濟中學七年級期中）（1）為了計算1+2+3+…+8的值，我們構造圖形（圖1），共8行，每行依次比上一行多一個點．此圖形共有（1+2+3+…+8）個點．如圖2，添出圖形的另一半，此時共8行9列，有8×9＝72個點，由此可得1+2+3+…+8=×72=36．
用此方法，可求得1+2+3+…+20= （直接寫結果）．
（2）觀察下面的點陣圖（如圖3），解答問題：
填空：①1+3+5+…+49= ；②1+3+5…+（2n+1）= ．
（3）請構造一圖形，求 （畫出示意圖，寫出計算結果）．
【答案】（1）210；（2）①625；②(n+1)2；（3）圖見解析，
【分析】（1）利用題干中所給方法解答即可；（2）由點陣圖可知：一個數(shù)時和為1=12，2個數(shù)時和為4=22，3個數(shù)時和為9=32，???n個數(shù)時和為n2，由此可得①為25個數(shù)，和為252=625；②為（n+1）個數(shù)，和為(n+1)2；（3）按要求畫出示意圖，依據(jù)圖形寫出計算結果．
【詳解】解：（1）1+2+3+???+20=（1+20）×20=21×10=210；故答案為：210；
（2）由點陣圖可知：一個數(shù)時和為1=12，2個數(shù)時和為4=22，3個數(shù)時和為9=32，???，n個數(shù)時和為n2．
①∵1+3+5+…+49中有25個數(shù)，∴1+3+5+…+49=252=625．
②∵1+3+5…+（2n+1）中有(n+1)個數(shù)，∴1+3+5…+（2n+1）=(n+1)2．故答案為：625；(n+1)2；
（3）由題意畫出圖形如下：假定正方形的面積為1，
第一次將正方形分割為和兩部分，第二次將正方形的分割為和兩部分，???，以此類推，
第2020次分割后，剩余的面積為，那么除了剩余部分的面積，前面所有分割留下的面積應該是：
，∴，
左右兩邊同除以2得：．∴原式．
【點睛】本題主要考查了圖形的變化規(guī)律，有理數(shù)的混合運算，數(shù)形結合的思想方法．前兩小題考察學生數(shù)與形相結合，難度不大，仔細觀察規(guī)律，即可求解，第三小題對學生構建數(shù)與形的要求較高，考察學生的發(fā)散性思維．
3．（2021·日照港中學九年級三模）如圖，小聰用一張面積為1的正方形紙片，按如下方式操作：①將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，把四個等腰直角三角形扔掉；②在余下紙片上依次重復以上操作，當完成第2021次操作時，余下紙片的面積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)將正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，余下面積為原來面積的一半即可解答．
【詳解】解：正方形紙片四角向內(nèi)折疊，使四個頂點重合，展開后沿折痕剪開，
第一次：余下面積S1=，第二次：余下面積S2=，第三次：余下面積S3=，
當完成第2021次操作時，余下紙片的面積為S2021=，故選：C．
【點睛】本題考查剪紙問題，圖形的變化，解題的關鍵是學會探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題，屬于中考?？碱}型．
4．（2021·江蘇七年級期中）數(shù)學家華羅庚曾經(jīng)說過：“數(shù)形結合百般好，隔裂分家萬事休”．如圖，將一個邊長為1的正方形紙板等分成兩個面積為的長方形，接著把面積為的長方形分成兩個面積為的長方形，如此繼續(xù)進行下去，根據(jù)圖形的規(guī)律計算：的值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】分析數(shù)據(jù)和圖象可知，利用正方形的面積減去最后的一個小長方形的面積來求解面積和即可.
【詳解】解：分析數(shù)據(jù)和圖象可知，利用正方形的面積減去最后的一個小長方形的面積來求解面積和即為所求.最后一個小長方形的面積= 故
即故選B.
【點睛】本題主要考查了學生的分析、總結、歸納能力，通過數(shù)形結合看出前面所有小長方形的面積等于總面積減去最后一個空白的小長方形的面積是解答此題的關鍵.
5．（2021·山西實驗中學九年級其他模擬）謝爾賓斯基地毯，最早是由波蘭數(shù)學家謝爾賓斯基制作出來的：把一個正三角形分成全等的4個小正三角形，挖去中間的一個小三角形；對剩下的3個小正三角形再分別重復以上做法…將這種做法繼續(xù)進行下去，就得到小格子越來越多的謝爾賓斯基地毯（如圖）．若圖1中的陰影三角形面積為1，則圖5中的所有陰影三角形的面積之和是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根據(jù)題意，每次挖去等邊三角形的面積的，剩下的陰影部分面積等于原陰影部分面積的，然后根據(jù)有理數(shù)的乘方列式計算即可得解．
【解答】解：圖2陰影部分面積＝1﹣，圖3陰影部分面積＝，
圖4陰影部分面積＝，圖5陰影部分面積＝．故選：B．
6．（2021·北京七年級期末）將邊長為1的正方形紙片按如圖所示方法進行對折，第1次對折后得到的圖形面積為S1，第2次對折后得到的圖形面積為S2，…，第n次對折后得到的圖形面積為Sn，則S4＝_____，S1+S2+S3+…+S2021＝______．
【答案】
【分析】根據(jù)翻折變換表示出所得圖形的面積，再根據(jù)句各部分圖形的面積之和等于正方形面積減去剩下部分的面積進行計算即可得解．
【詳解】解：由題意得：……；
∴，∴S1+S2+S3+…+S2021＝；故答案為，．
【點睛】本題主要考查圖形規(guī)律及有理數(shù)的運算，關鍵在于觀察各部分圖形的面積之和等于正方形面積減去剩下部分的面積．
題型7：程序框圖
1.（2022?溫江區(qū)七年級期末）如圖所示的運算程序中，若開始輸入的x值為24，我們發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結果為12，第2次輸出的結果為6，…，則第2021次輸出的結果為（ ）
A．6B．3C．24D．12
【分析】根據(jù)運算的程序，把24代入，求出前幾個數(shù)，可發(fā)現(xiàn)從第2個數(shù)開始，每2個數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，據(jù)此作答即可．
【解答】解：第1次輸出的數(shù)為：；
第2次輸出的數(shù)為：；
第3次輸出的數(shù)為：；
第4次輸出的數(shù)為：3+3＝6；
第5次輸出的數(shù)為：；
…
由此得從第2個數(shù)開始，每2個數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，
∵（2021﹣1）÷2＝1010，
∴第2021次輸出的數(shù)為3．
故選：B．
2．（2022·河南鄭州·七年級期末）樂樂在數(shù)學學習中遇到了神奇的“數(shù)值轉換機”，按如圖所示的程序運算，若輸入一個有理數(shù)，則可相應的輸出一個結果．若輸入的值為，則輸出的結果為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把x=代入程序中計算，判斷結果比0小，以此類推，得到結果大于0，輸出即可．
【詳解】解：把x=代入運算程序得：（-1）×（-3）-8=3-8=-50，
輸出的結果y為7．
故選B．
【點睛】本題考查了代數(shù)式求值，弄清題中的程序流程是解本題的關鍵．
3．（2022·河南信陽·七年級期末）按如圖所示程序計算，若開始輸入的x值是正整數(shù)，最后輸出的結果是32，則滿足條件的x值為（ ）
A．11B．4C．11或4D．無法確定
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列出等式，進而可以求解．
【詳解】解：由題意可得，
當輸入x時，3x-1=32，解得：x=11，
即輸入x=11，輸出結果為32；
當輸入x滿足3x-1=11時，解得x=4，
即輸入x=4，結果為11，再輸入11可得結果為32，
故選：C．
【點睛】本題考查了程序流程圖與代數(shù)式求值，根據(jù)題意列出等式是解決本題的關鍵．
4．（2022·重慶南開中學七年級期末）按如圖所示的運算程序，若輸入a＝1，b＝﹣2，則輸出結果為（ ）
A．﹣3B．1C．5D．9
【答案】C
【分析】根據(jù)新定義的要求進行整式混合運算，代入數(shù)值進行實數(shù)四則運算．
【詳解】解：∵輸入a＝1，b＝﹣2，a＞b，即走“否”的路徑，
∴，
輸出結果為5，
故選：C．
【點睛】本題考查了整式運算、實數(shù)運算的新定義，關鍵是要讀懂題意，能正確代入數(shù)據(jù)求解．
5．（2022·貴州六盤水·七年級期末）小陽同學在學習了“設計自己的運算程序”綜合與實踐課后，設計了如圖所示的運算程序，若開始輸入的值為2，則最后輸出的結果是（ ）
A．2B．3C．4D．8
【答案】D
【分析】把m=2代入運算程序中計算，如小于或等于7則把其結果再代入運算程序中計算，如大于7則直接輸出結果．
【詳解】解：當m=2時，
m2-1
=22-1
=3＜7，
當m=3時，
m2-1
=32-1
=8＞7，
則y=8．
故選：D．
【點睛】此題考查了代數(shù)式求值，以及有理數(shù)的混合運算，弄清題中的運算程序是解本題的關鍵．
6．（2022·重慶·三模）按如圖所示的運算程序，能使輸出結果為19的是（ ）
A．a(chǎn)=4，b=3B．a(chǎn)=2，b=4C．a(chǎn)=3，b=4D．a(chǎn)=1，b=4
【答案】A
【分析】把各自的值代入運算程序中計算得到結果，即可作出判斷．
【詳解】解：A、把，代入運算程序中得：
∵a>b，
∴，符合題意；
B、把，代入運算程序中得：
∵a＜b，
∴，不符合題意；
C、把，代入運算程序中得：
∵a

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