考點(diǎn)一 用一元一次方程解決行程問(wèn)題 考點(diǎn)二 用一元一次方程解決配套問(wèn)題
考點(diǎn)三 用一元一次方程解決工程問(wèn)題 考點(diǎn)四 用一元一次方程解決銷售盈虧問(wèn)題
考點(diǎn)五 用一元一次方程解決比賽問(wèn)題 考點(diǎn)六 用一元一次方程解決方案選擇問(wèn)題
典型例題

考點(diǎn)一 用一元一次方程解決行程問(wèn)題
例題：（2022·湖南省隆回縣第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）已知A，B兩地相距400千米，甲、乙兩車從A地向B地運(yùn)送貨物．甲車的速度為每小時(shí)60千米，乙車的速度為每小時(shí)80千米，甲車先出發(fā)0.5小時(shí)后乙車才開(kāi)始出發(fā)．
(1)乙車出發(fā)幾小時(shí)后，才能追上甲車？
(2)追上乙車時(shí)，距離B地還有多遠(yuǎn)？
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·貴州畢節(jié)·七年級(jí)期末）修建中的貴陽(yáng)經(jīng)金沙至古藺高速公路是《貴州省交通運(yùn)輸“十三五”發(fā)展規(guī)劃》重點(diǎn)實(shí)施項(xiàng)目，項(xiàng)目全長(zhǎng)約，其中古藺至金沙段全長(zhǎng)近，設(shè)計(jì)時(shí)速的雙向六車道高速公路，它的建成將加快金沙經(jīng)濟(jì)的快速發(fā)展．建成后若一輛小轎車以的速度從古藺勻速行駛，15分鐘后一輛客車以的速度從金沙勻速出發(fā)．問(wèn)：小轎車能否在到達(dá)貴陽(yáng)之前追上客車？若不能追上說(shuō)明理由；若能追上則追上時(shí)距離目的地貴陽(yáng)還有多遠(yuǎn)？（列一元一次方程解）
2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）已知數(shù)軸上三點(diǎn)A，O，B表示的數(shù)分別為8，0，，
(1)動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)．另一動(dòng)點(diǎn)R從B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、R同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)________秒追上點(diǎn)R，此時(shí)點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)是________．
(2)若點(diǎn)M以每秒4個(gè)單位的速度從A點(diǎn)出發(fā)，點(diǎn)N以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)從B點(diǎn)出發(fā)，設(shè)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，試探究：經(jīng)過(guò)多少秒時(shí)，點(diǎn)M、N兩點(diǎn)間的距離為5個(gè)單位？
考點(diǎn)二 用一元一次方程解決配套問(wèn)題
例題：（2022·黑龍江·哈爾濱市松雷中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）用白鐵皮制作罐頭盒，每張鐵皮可制盒身16個(gè)，或盒底48個(gè)，一個(gè)盒身與兩個(gè)盒底配成一個(gè)罐頭盒，現(xiàn)有150張鐵皮，用______張鐵皮制作盒身，正好使得這150張鐵皮制作出來(lái)的盒身和盒底全部配套．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·河北· 滄州渤海新區(qū)京師學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）某玩具廠有工人84人，平均每人每天生產(chǎn)如圖所示的大玩具熊10個(gè)或小玩具熊16個(gè)，2個(gè)大玩具熊和1個(gè)小玩具熊正好配成一套“快樂(lè)之家”，要使每天生產(chǎn)的大玩具熊、小玩具熊剛好配家成“快樂(lè)之家”，則應(yīng)安排生產(chǎn)大玩具熊、小玩具熊的人數(shù)分別為多少人？
2．（2022·吉林·長(zhǎng)春博碩學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）一套儀器由2個(gè)A部件和5個(gè)B部件構(gòu)成，用1m3鋼材可做40個(gè)A部件或200個(gè)B部件，現(xiàn)要用6鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，恰好能使這種儀器剛好配套？
考點(diǎn)三 用一元一次方程解決工程問(wèn)題
例題：（2022·海南·儋州川綿中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）師傅和徒弟兩人檢修一條長(zhǎng)300米的管道，師傅每小時(shí)檢修17米，徒弟每小時(shí)檢修13米，現(xiàn)兩人同時(shí)合作，用多少時(shí)間可以完成檢修？
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·全國(guó)·七年級(jí)開(kāi)學(xué)考試）一項(xiàng)工程，如果甲隊(duì)單獨(dú)做5天可以完成全工程的；如果乙、丙兩隊(duì)合做2天可以完成全工程．三隊(duì)合做多少天可以完成全工程？
考點(diǎn)四 用一元一次方程解決銷售盈虧問(wèn)題
例題：（2022·福建泉州·七年級(jí)期末）一種商品的售價(jià)為120元，由于購(gòu)買的人多，商家便提價(jià)25%銷售，但提價(jià)后，商品滯銷，商家只好再降價(jià)x%，使商品售價(jià)恢復(fù)到了原價(jià)，那么x%＝( )．
A．25B．20C．25%D．20%
【變式訓(xùn)練】
1．（2020·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）現(xiàn)對(duì)某商品降價(jià)20%促銷，為了使銷售總金額不變，銷售量要比按原價(jià)銷售時(shí)增加____%．
2．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）某商場(chǎng)經(jīng)銷的甲、乙兩種商品，甲種商品每件進(jìn)價(jià)40元，加價(jià)50%作為售價(jià)；乙種商品每件進(jìn)價(jià)50元，售價(jià)80元．
(1)甲種商品每件售價(jià)為_(kāi)____元，乙種商品每件的利潤(rùn)為 元，利潤(rùn)率為 ％．
(2)若該商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價(jià)為2100元，求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種商品各多少件？
(3)按以下優(yōu)惠條件，若小梅一次性購(gòu)買乙種商品實(shí)際付款504元，則此次小梅在該商場(chǎng)最多購(gòu)買乙種商品多少件？
考點(diǎn)五 用一元一次方程解決比賽問(wèn)題
例題：（2022·湖南·衡陽(yáng)市船山英文學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）足球比賽的記分規(guī)則：勝一場(chǎng)得分，平一場(chǎng)得分，負(fù)一場(chǎng)得分．某隊(duì)打了場(chǎng)，負(fù)場(chǎng)，共得分，那么這個(gè)隊(duì)平了（ ）
A．場(chǎng)B．場(chǎng)C．場(chǎng)D．場(chǎng)
【變式訓(xùn)練】
1．（2021·廣東惠州·七年級(jí)期末）某次數(shù)學(xué)測(cè)試共20道選擇題，答對(duì)一道得5分，答錯(cuò)或不答倒扣2分．小明在這次考試中得了79分，則他答對(duì)了____道題．
2．（2021·福建·莆田礪志學(xué)校七年級(jí)階段練習(xí)）一份數(shù)學(xué)試卷，只有25個(gè)選擇題，做對(duì)一題得4分，做錯(cuò)一題倒扣1分，某同學(xué)做了全部試卷，得了60分，他一共做對(duì)了_________題.
考點(diǎn)六 用一元一次方程解決方案選擇問(wèn)題
例題：（2022·河北保定·七年級(jí)期末）周末，某校七年級(jí)準(zhǔn)備組織觀看電影《長(zhǎng)津湖》，由各班班長(zhǎng)負(fù)責(zé)買票，每班人數(shù)都多于40人，票價(jià)每張20元，一班班長(zhǎng)問(wèn)售票員買團(tuán)體票是否可以優(yōu)惠，售票員說(shuō)：40人以上的團(tuán)體票有兩個(gè)優(yōu)惠方案可選擇：
方案1：全體人員可打8折；方案2：若打9折，有5人可以免票．
(1)七年級(jí)二班有48名學(xué)生，他該選擇哪個(gè)方案比較省錢？請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)一班班長(zhǎng)思考一會(huì)兒說(shuō)：“我們班無(wú)論選擇哪種方案要付的錢是一樣的”．請(qǐng)求出一班的人數(shù)．
【變式訓(xùn)練】
1．（2022·吉林·農(nóng)安縣第一中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）某乳制品廠有鮮牛奶10噸，若直接銷售，每噸可獲利500元；若制成酸奶銷售，每噸可獲利1200元；若制成奶粉銷售，每噸可獲利2000元，該工廠的生產(chǎn)能力是：若制成酸奶，每天可加工鮮牛奶3噸；若制成奶粉，每天可加工鮮牛奶1噸（兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行）．受氣溫條件限制，這批鮮牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完成．為此該廠設(shè)計(jì)了以下兩種可行方案：
方案一：4天時(shí)間全部用來(lái)生產(chǎn)奶粉，剩余鮮牛奶直接銷售；
方案二：將一部分鮮牛奶制成奶粉，剩余的制成酸奶，并恰好4天完成．
你認(rèn)為哪種方案獲利較多，為什么？
2．（2021·廣東惠州·七年級(jí)期末）下表中有兩種移動(dòng)電話計(jì)費(fèi)方式：
（月使用費(fèi)固定收；主叫不超過(guò)限定的時(shí)間不再收費(fèi)，主叫超過(guò)限定時(shí)間的部分加收超時(shí)費(fèi)；被叫免費(fèi)）
(1)若張聰某月主叫通話時(shí)間為200分鐘，則他按方式一計(jì)費(fèi)需____元，按方式二計(jì)費(fèi)需____元；李華某月按方式二計(jì)費(fèi)需110元，則李華該月主叫通話時(shí)間為_(kāi)____分鐘；
(2)是否存在某主叫通話時(shí)間t（分鐘），按方式一和方式二的計(jì)費(fèi)相等？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
(3)直接寫出當(dāng)月主叫通話時(shí)間t（分鐘）滿足什么條件時(shí)，選擇方式一省錢．
課后訓(xùn)練
一、選擇題
1．（2022·仁壽縣長(zhǎng)平初級(jí)中學(xué)校（四川省仁壽第一中學(xué)校南校區(qū)初中部）七年級(jí)期中）甲在乙后12千米處，甲的速度為7千米/小時(shí)，乙的速度為5千米/小時(shí)，現(xiàn)兩人同向同時(shí)出發(fā)，那么甲從出發(fā)到剛好追上乙所需要時(shí)間是( )
A．5小時(shí)B．1小時(shí)C．6小時(shí)D．2.4小時(shí)
2．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一一三中學(xué)校期末）一只鋼筆優(yōu)惠后現(xiàn)價(jià)120元，比原定價(jià)便宜了20%，則原價(jià)為（ ）元．
A．100B．135C．160D．150
3．（2022·四川廣元·七年級(jí)期末）有一所寄宿制學(xué)校，開(kāi)學(xué)安排宿舍時(shí)，如果每間宿舍安排住4人，就會(huì)空出5間宿舍；如果每間宿舍安排住3人，就有100人沒(méi)床位，那么在學(xué)校住宿的學(xué)生有多少人？設(shè)在學(xué)校住宿的學(xué)生有x人，根據(jù)題意可列方程為（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）一項(xiàng)工作，甲單獨(dú)完成需要20分鐘，乙單獨(dú)完成需要16分鐘．若先由甲單獨(dú)工作4分鐘，余下的工作再由兩人合作用了分鐘，則根據(jù)題意可列方程（ ）
A．B．
C．D．
5．（2022·山西·古縣教育局教學(xué)研究室七年級(jí)期末）小明與他的爸爸一起做“投籃球”游戲．兩人商定游戲規(guī)則為：小明投中1個(gè)得2分，小明爸爸投中1個(gè)得1分，兩人共投中了25個(gè)．經(jīng)計(jì)算，發(fā)現(xiàn)小明比爸爸多得2分，你知道小明投中幾個(gè)嗎？設(shè)小明投中x個(gè)，根據(jù)題意，列方程正確的是（ ）
A．B．
C．D．
6．（2022·湖北十堰·一模）《九章算術(shù)》中記載：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三問(wèn)人數(shù)、羊價(jià)各幾何？”其大意是：今有人合伙買羊，若每人出5錢，還差45錢；若每人出7錢，還差3錢，問(wèn)合伙人數(shù)，羊價(jià)各是多少？如果我們?cè)O(shè)合伙人數(shù)為x，則可列方程（ ）
A．B．C．D．
二、填空題
7．（2022·福建省永春烏石中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）某商人在一次買賣中以120元賣出一件衣服，賺了25％，則這件衣服的進(jìn)價(jià)為_(kāi)___元．
8．（2022·黑龍江·哈爾濱市第一一三中學(xué)校期末）甲乙兩人駕車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行，當(dāng)甲走了全程的時(shí)，乙走了全程的，當(dāng)甲乙相遇時(shí)，乙比甲多走了40千米，則當(dāng)乙到達(dá)終點(diǎn)A地時(shí)，甲距離終點(diǎn)B的距離為_(kāi)_____千米．
9．（2022·四川·岳池縣興隆中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺釘或2000個(gè)螺母，1個(gè)螺釘需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺釘和螺母剛好配套，應(yīng)安排_(tái)_______名工人生產(chǎn)螺釘．
10．（2022·河南許昌·七年級(jí)期末）一件工程，甲獨(dú)做18天可完，乙獨(dú)做24天可完．現(xiàn)在兩個(gè)人合作，但是中途乙因有事離開(kāi)幾天，從開(kāi)工后12天兩人把這件工程做完，則乙中途離開(kāi)了_____________天．
11．（2022·湖南邵陽(yáng)·七年級(jí)期末）在一次讀報(bào)知識(shí)競(jìng)賽中，其有30道題，答對(duì)每題得4分，答錯(cuò)或不答每題扣2分，最后小明得分為90分，則小明答對(duì)了______道題．
12．（2022·山東煙臺(tái)·七年級(jí)期末）22年冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，煙臺(tái)萊州武校的健兒們參演的立春節(jié)目讓全世界人民驚艷和動(dòng)容，小明想知道這震撼人心的隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)．張老師說(shuō)你可以自己算算：若調(diào)配55座大巴若干輛接送他們，則有8人沒(méi)有座位；若調(diào)配44座大巴接送，則用車數(shù)量將增加兩輛，并空出3個(gè)座位，你能幫小明算出一共去了_______名健兒參演節(jié)目嗎？
三、解答題
13．（2022·上海理工大學(xué)附屬初級(jí)中學(xué)期末）甲以每小時(shí)30千米的速度由A地行駛到B地，如果以比原速度多20%的速度行駛，則甲花了原來(lái)時(shí)間的多20分鐘到達(dá)B地，求甲原來(lái)需要行駛的時(shí)間與A、B兩地間的距離．
14．（2022·四川廣安·七年級(jí)期末）某車間有94個(gè)工人，生產(chǎn)甲、乙兩種零件，每人每天平均能生產(chǎn)甲種零件12個(gè)或乙種零件23個(gè)．已知每1個(gè)甲種零件和2個(gè)乙種零件配成一套，問(wèn)應(yīng)分配多少人生產(chǎn)甲種零件，多少人生產(chǎn)乙種零件，才能使每天生產(chǎn)的這兩種零件剛好配套？每天能生產(chǎn)成多少套？（列一元一次方程求解）
15．（2022·全國(guó)·七年級(jí)專題練習(xí)）某廠接到一所中學(xué)的冬季校服定做任務(wù)，計(jì)劃用、兩臺(tái)大型設(shè)備進(jìn)行加工，如果單獨(dú)用型設(shè)備，需要45天做完；如果單獨(dú)用型設(shè)備，需要30天做完；為了同學(xué)們能及時(shí)領(lǐng)到冬季校服，工廠決定由兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)趕制．
(1)填空：型設(shè)備的工作效率是_________，型設(shè)備的工作效率是_________；
(2)若兩臺(tái)設(shè)備同時(shí)加工10天后，型設(shè)備出了故障，暫時(shí)不能工作，如果由型設(shè)備單獨(dú)完成剩下的任務(wù)，則還需要多少天？
16．（2022·福建·福州時(shí)代中學(xué)七年級(jí)期末）某社區(qū)超市第一次用6000元購(gòu)進(jìn)一批甲乙兩種商品，其中甲商品的件數(shù)比乙商品件數(shù)的2倍少30件，兩件商品的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下圖所示：
(1)超市購(gòu)進(jìn)的這批貨中甲乙兩種商品各有多少件？
(2)該超市第二次分別以第一次同樣的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)第二批甲乙兩種商品，其中乙商品的件數(shù)是第一批乙商品件數(shù)的3倍，甲商品件數(shù)不變，甲商品按照原售價(jià)銷售，乙商品在原價(jià)的基礎(chǔ)上打折銷售，第二批商品全部售出后獲得的總利潤(rùn)比第一批獲得的總利潤(rùn)多720元，求第二批乙商品在原價(jià)基礎(chǔ)上打幾折銷售？
17．（2022·新疆塔城·七年級(jí)期末）北京某景區(qū)，門票價(jià)格規(guī)定如下表：
某校七年級(jí)（1）、（2）兩個(gè)班共102人去該景區(qū)游玩，其中（1）班人數(shù)多于（2）班人數(shù)，且（1）班人數(shù)不足100人，如果兩個(gè)班分別以班為單位單獨(dú)購(gòu)買門票，一共應(yīng)付5500元．
(1)去該景區(qū)游玩的七年級(jí)（1）班和（2）班各有多少學(xué)生？
(2)如果七年級(jí)（1）班有12名學(xué)生因需參加學(xué)校競(jìng)賽不能外出游玩，（2）班學(xué)生可以全員參加游玩，作為組織者，你有幾種購(gòu)票方案？通過(guò)比較，你該如何購(gòu)票才能最省錢？
18．（2021·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）某種圓珠筆的售價(jià)是每支2元，甲、乙兩家文具店均有促銷活動(dòng)：甲文具店全部九折，乙文具店20支及以下不打折，超過(guò)20支的部分打八折．設(shè)小明需要購(gòu)買的圓珠筆的數(shù)量為x，根據(jù)題意回答下列問(wèn)題：
(1)若購(gòu)買超過(guò)20支的圓珠筆，則在甲文具店需要花費(fèi) 元，在乙文具店需要花費(fèi) 元．（用含x的代數(shù)式表示）
(2)當(dāng)x＝25時(shí)，選擇哪家文具店更優(yōu)惠？當(dāng)x＝50呢？
(3)隨著x的變化，試說(shuō)明選擇哪家文具店更優(yōu)惠．
19．（2022·河北·安新縣第二中學(xué)七年級(jí)階段練習(xí)）商場(chǎng)經(jīng)銷的A，B兩種商品，A種商品每件售價(jià)60元，利潤(rùn)率為50%；B種商品每件進(jìn)價(jià)50售價(jià)80元．（利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)×100%）
(1)A種商品每件的進(jìn)價(jià)為多少元，每件B種商品的利潤(rùn)率為多少？
(2)若該商場(chǎng)同時(shí)購(gòu)進(jìn)A，B兩種商品共50件，恰好總進(jìn)價(jià)為2100元，求購(gòu)進(jìn)A種商品多少件？
(3)“雙十一”活動(dòng)期間，該商場(chǎng)只對(duì)A，B兩種商品進(jìn)行如下表所示的優(yōu)惠促銷活動(dòng)，按優(yōu)惠條件，若小華一次性購(gòu)買A，B兩種商品實(shí)際付款522元，則沒(méi)有優(yōu)惠促銷時(shí)，小華在該商場(chǎng)購(gòu)買同樣商品要付多少元？
20．（2021·黑龍江·哈爾濱市第三十七中學(xué)校階段練習(xí)）如圖，A、B為數(shù)軸上的兩點(diǎn)，A點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，B點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)n,且與互為相反數(shù)；
(1)求A、B之間的距離；
(2)若有一只電子螞蟻P從B出發(fā)，以15個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q從A出發(fā)，以8個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)兩只電子螞蟻在數(shù)軸上的C點(diǎn)相遇，求點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)；
(3)若電子螞蟻P從B出發(fā)，以15個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一只電子螞蟻Q從A出發(fā)，以8個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)電子螞蟻P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q之間距離為8個(gè)單位長(zhǎng)度
打折前一次性購(gòu)物總金額
優(yōu)惠措施
不超過(guò)450元
不優(yōu)惠
超過(guò)450元，但不超過(guò)600元
售價(jià)打九折
超過(guò)600元
其中600元部分打8.2折優(yōu)惠超過(guò)600元部分3折優(yōu)惠
月使用費(fèi)
主叫限定時(shí)間（分鐘）
主叫超時(shí)費(fèi)（元／分鐘）
被叫
方式一
65
160
0.20
免費(fèi)
方式二
100
380
0.25
免費(fèi)
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