構(gòu)建知識體系
考點(diǎn)梳理
1. 分式方程的有關(guān)概念
(1)分式方程：分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程
(2)增根：使分式方程的分母為零的根叫做增根
(3)產(chǎn)生增根的原因：分式方程本身隱含分母不為0的條件，將其化為整式方程后沒有此條件限制了
2. 分式方程的解法(2024.9)
(1)解分式方程的基本思想：把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程
(2)解法：方程兩邊同乘各分式的最簡公分母，約去分母，化為整式方程，再求根驗(yàn)根
3. 分式方程的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)
(1)常見類型及關(guān)系式：
①行程問題：路程速度＝時(shí)間；
②工程問題：工作總量工作效率＝工作時(shí)間(當(dāng)題干中沒有給出具體的工作總量時(shí)，默認(rèn)工作總量為1)；
③購買問題：總價(jià)單價(jià)＝數(shù)量；
④航行問題：順?biāo)俣龋届o水船速＋水流速度；逆水速度＝靜水船速－水流速度
(2)一般步驟：
(3)雙檢驗(yàn)：①檢驗(yàn)是否是分式方程的根；②檢驗(yàn)是否符合實(shí)際問題
練考點(diǎn)
1. 下列方程中不是分式方程的是( )
A. x23－x＝0 B. 2x＝1
C. 23－x＝x D. 1y＋y＝2
2. 解下列方程：
(1)2x+1＝3x；
(2)32－x－1x－2＝1.
3. 小明在一家便利店買了若干瓶酸奶，結(jié)賬時(shí)共計(jì)48元，收銀員告訴他滿50元打八折，于是小明又拿了一瓶相同的酸奶，共花費(fèi)了44.8元.設(shè)該酸奶單價(jià)為x元/瓶，則可列方程為 .
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 分式方程及其解法(2024.9)
例1 已知關(guān)于x的分式方程2－x2x+2＝mx1+x.
(1)若分式方程的解為x＝3，則m的值為 ；
(2)若m＝1，則該方程的解為 ；
(3)若分式方程有增根，則m的值為 ；
(4)若分式方程無解，則m的值為 .
易錯(cuò)警示
分式方程的增根與無解并非同一概念.
(1)分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程分母為0的根；
(2)分式方程無解的原因有兩個(gè)：一是去分母后的整式方程無解；二是整式方程的解使得最簡公分母為0.
變式1 (2024遂寧)分式方程2x－1＝1－mx－1的解為正數(shù)，則m的取值范圍( )
A. m＞－3 B. m＞－3且m≠－2 C. m＜3 D. m＜3且m≠－2
考點(diǎn)2 分式方程的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)
例2 中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化是中華民族的“根”和“魂”，是我們必須世代傳承的文化根脈、文化基因.為傳承優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校園內(nèi)掀起了傳統(tǒng)文化學(xué)習(xí)的熱潮.為滿足同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情，該校特派兩名學(xué)生代表小偉和小聰去采購相關(guān)書籍.
(1)兩人要去距離學(xué)校10 km的圖書批發(fā)市場購買圖書，因小偉有事耽擱，故小聰騎自行車先走，過了20 min后，小偉乘汽車出發(fā)，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá).已知汽車的平均速度是自行車平均速度的2倍，求小聰騎自行車的平均速度；
(2)兩人決定購買《三國演義》和《水滸傳》連環(huán)畫若干套，其中每套《三國演義》連環(huán)畫的價(jià)格比每套《水滸傳》連環(huán)畫的價(jià)格貴60元，用4 800元購買《水滸傳》連環(huán)畫的套數(shù)是用3 600元購買《三國演義》連環(huán)畫套數(shù)的2倍，則每套《水滸傳》連環(huán)畫的價(jià)格為多少元？
(3)將書全部運(yùn)回學(xué)校后，小偉和小聰開始整理所買書籍，小聰和小偉兩人共同整理5 min后，因小聰有事退出，小偉需再單獨(dú)整理7 min才能完成任務(wù)，若小聰單獨(dú)整理所買書籍需要15 min，求小偉單獨(dú)整理所買書籍需要多長時(shí)間？
真題及變式
命題點(diǎn)1 解分式方程(2024.9)
1. (2024廣東9題3分·人教八上例題改編)方程2x－3＝3x的解是( )
A. x＝－3 B. x＝－9 C. x＝3 D. x＝9
命題點(diǎn)2 分式方程的實(shí)際應(yīng)用(6年3考)
(2023廣東17題7分·人教八上習(xí)題改編)某學(xué)校開展了社會實(shí)踐活動(dòng)，活動(dòng)地點(diǎn)距離學(xué)校12 km.甲、乙兩同學(xué)騎自行車同時(shí)從學(xué)校出發(fā)，甲的速度是乙的1.2倍，結(jié)果甲比乙早到10 min，求乙同學(xué)騎自行車的速度.
變式
2.1 變情景——將同向出發(fā)變?yōu)橄嘞虺霭l(fā)
A，B兩地相距200千米，甲車從A地出發(fā)勻速開往B地，乙車同時(shí)從B地出發(fā)勻速開往A地，兩車相遇時(shí)距A地80千米.已知乙車每小時(shí)比甲車多行駛30千米，求甲、乙兩車的速度.
拓展訓(xùn)練
(2024綏化改編)一艘貨輪在靜水中的航速為40 km/h，它以該航速沿江順流航行120 km所用時(shí)間，與以該航速沿江逆流航行80 km所用時(shí)間相等，則江水的流速為多少？
新考法
4. [跨物理學(xué)科](人教八上例題改編)照相機(jī)成像應(yīng)用了一個(gè)重要原理，用公式1f＝1u＋1v(v≠f)表示，其中f表示照相機(jī)鏡頭的焦距，u表示物體到鏡頭的距離，v表示膠片(像)到鏡頭的距離.已知f，v，則u＝( )
A. ff－v B. f－vfv C. fvv－f D. v－ffv
5. [新定義運(yùn)算](北師八下復(fù)習(xí)題改編)對于實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算“?”為：a?b＝1a－b2，這里等式右邊是實(shí)數(shù)運(yùn)算.例如：1?3＝11－32＝－18.則方程x?(－2)＝2x－4－1的解是( )
A. x＝7 B. x＝6 C. x＝5 D. x＝4
6. [與數(shù)軸結(jié)合](人教八上習(xí)題改編)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為1x，王老師讓同學(xué)們在數(shù)軸上再標(biāo)出一點(diǎn) B.點(diǎn)B表示數(shù)x+83x，且AB比OA大2.若點(diǎn)A與點(diǎn)B的位置如圖所示，求x的值.
第6題圖
練考點(diǎn)
1. A
2. 解：(1)方程兩邊同乘x(x＋1)，得2x＝3(x＋1)，
去括號，得2x＝3x＋3，
系數(shù)化為1，得x＝－3，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－3時(shí)，x(x＋1)≠0，
∴x＝－3是原分式方程的解；
(2)方程兩邊同乘(x－2)，得－3－1＝x－2，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得x＝－2，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝－2時(shí)，x－2≠0，
∴x＝－2是原分式方程的解.
3. －48x＝1
高頻考點(diǎn)
例1 解：(1)－16 (2)x＝23
(3)－32 【解析】去分母得，2－x＝2mx，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得(2m＋1)x＝2，系數(shù)化為1，得x＝22m+1.∵分式方程有增根，∴2m+1≠022m+1＝－1，解得m＝－32.
(4)－12或－32 【解析】由(3)得分式方程的解為x＝22m+1.∵分式方程無解，∴分兩種情況，當(dāng)整式方程無解時(shí)，即2m＋1＝0，解得m＝－12，當(dāng)整式方程有解，分式方程無解時(shí)，即2m+1≠022m+1＝－1，解得m＝－32，∴m的值為－12或－32.
變式1 B 【解析】方程兩邊同時(shí)乘以x－1得，2＝x－1－m，解得x＝m＋3，∵分式方程2x－1＝1－mx－1的解為正數(shù)，∴m＋3＞0，∴m＞－3，∵x≠1，即m＋3≠1，∴m≠－2，∴m的取值范圍為m＞－3且m≠－2.
例2 解：(1)設(shè)小聰騎自行車的平均速度為x km/h，則汽車的平均速度為2x km/h，
由題意得10x－102x＝13，
解得x＝15，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝15是原分式方程的解，且符合題意，
答：小聰騎自行車的平均速度為15 km/h；
(2)設(shè)每套《水滸傳》連環(huán)畫的價(jià)格為x元，則每套《三國演義》連環(huán)畫的價(jià)格為(x＋60)元，
由題意得4 800x＝2×3 600x+60，
解得x＝120，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝120是原分式方程的解且符合題意，
答：每套《水滸傳》連環(huán)畫的價(jià)格為120元；
(3)設(shè)小偉單獨(dú)整理所買書籍需要x min，
由題意得(115＋1x)×5＋7×1x＝1，
解得x＝18，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝18是原分式方程的解且符合題意，
答：小偉單獨(dú)整理所買書籍需要18 min.
真題及變式
1. D 【解析】2x－3＝3x，2x＝3(x－3)，解得x＝9，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝9時(shí)，x(x－3)≠0，∴x＝9是原分式方程的解.
2. 解：設(shè)乙同學(xué)騎自行車的速度為x km/h，則甲同學(xué)騎自行車的速度為1.2x km/h，
由題意得12x－121.2x＝1060，
解得x＝12，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原分式方程的解，且符合實(shí)際，
答：乙同學(xué)騎自行車的速度為12 km/h.
變式2.1 解：設(shè)甲車的速度是x千米/時(shí)，乙車的速度為(x＋30)千米/時(shí)，
由題意，得80x＝200－80x+30，
解得x＝60，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原分式方程的解，且符合實(shí)際，
∴x＋30＝90.
答：甲車的速度是60千米/時(shí)，乙車的速度是90千米/時(shí).
3. 解：設(shè)江水的流速為x km/h，則沿江順流航行的速度為(40＋x) km/h，沿江逆流航行的速度為(40－x) km/h，
根據(jù)題意得12040+x＝8040－x，
解得x＝8，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝8是原分式方程的解，且符合題意.
答：江水的流速為8 km/h.
4. C 【解析】∵1f＝1u＋1v，∴1u＝1f－1v，∴1u＝v－ffv，∴u＝fvv－f .
5. C 【解析】已知等式整理，得1x－4＝2x－4－1，去分母得1＝2－x＋4，解得x＝5，經(jīng)檢驗(yàn)x＝5是分式方程的解.
6. 解：根據(jù)題意，得x+83x－1x－1x＝2，
解得x＝25，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝25是原分式方程的解.
∴x的值為25.

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