分式方程及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一,一般著重考查解分式方程及列分式方程解應(yīng)用題,并要求會(huì)用增根的意義解題,考題常以解答透折考綱題的形式出現(xiàn),有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題和填空題中.
考標(biāo)要求
1．能確定分式有意義、無(wú)意義和分式的值為零時(shí)的條件．
2．能熟練應(yīng)用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行分式的約分和通分．
3．能熟練進(jìn)行分式的四則運(yùn)算及其混合運(yùn)算，并會(huì)解決與之相關(guān)的化簡(jiǎn)、求值問(wèn)題.
考點(diǎn)精講
考點(diǎn)1：分式方程的解法
解分式方程的一般步驟：
（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；
（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；
（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無(wú)解.
考點(diǎn)3：分式方程應(yīng)用
列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：
（1）審：即審題：根據(jù)題意找出已知量和未知量，并找出等量關(guān)系.
（2）設(shè)：即設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)的方法有直接設(shè)和間接設(shè)，注意單位要統(tǒng)一，選擇一個(gè)未知量用未知數(shù)表示，并用含未知數(shù)的代數(shù)式表示相關(guān)量. （3）列：即列方程，根 據(jù)等量關(guān)系列出分式方程. （4）解：即解所列的分式方程，求出未知數(shù)的值.
（5）驗(yàn)：即驗(yàn)根，要檢驗(yàn)所求的未知數(shù)的值是否適合分式方程，還要檢驗(yàn)此解是否符合實(shí)際意義.
（6）答：即寫(xiě)出答案，注意答案完整.
母題精講
【典例1】（2021秋?金山區(qū)期末）下列關(guān)于x的方程中，不是分式方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解答】解：A、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符題意；
B、分母中不含有未知數(shù)，是整式方程，故本選項(xiàng)符合題意；
C、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符題意；
D、分母中含有未知數(shù)，是分式方程，故本選項(xiàng)不符題意．
故選：B．
【典例2】（2022?內(nèi)蒙古）某班學(xué)生去距學(xué)校10km的博物館參觀，一部分學(xué)生騎自行車(chē)先走，過(guò)了20min后，其余學(xué)生乘汽車(chē)出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)．已知汽車(chē)的速度是騎車(chē)學(xué)生速度的2倍，設(shè)騎車(chē)學(xué)生的速度為xkm/h，下列方程正確的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝20
C．﹣＝D．﹣＝
【答案】D
【解答】解：∵騎車(chē)學(xué)生的速度為xkm/h，且汽車(chē)的速度是騎車(chē)學(xué)生速度的2倍，
∴汽車(chē)的速度為2xkm/h．
依題意得：﹣＝，
即﹣＝．
故選：D
【典例3】（2022?西寧）解方程：﹣＝0．
【解答】解：方程兩邊同乘以x（x+1）（x﹣1）得：
4（x﹣1）﹣3（x+1）＝0．
去括號(hào)得：
4x﹣4﹣3x﹣3＝0，
移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得：
x＝7．
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝7時(shí)，x（x+1）（x﹣1）≠0，
∴x＝7是原方程的根．
∴x＝7．
【典例4】（2022?貴港）為了加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，某班計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)部分繩子和實(shí)心球．已知每條繩子的價(jià)格比每個(gè)實(shí)心球的價(jià)格少23元，且84元購(gòu)買(mǎi)繩子的數(shù)量與360元購(gòu)買(mǎi)實(shí)心球的數(shù)量相同．
（1）繩子和實(shí)心球的單價(jià)各是多少元？
（2）如果本次購(gòu)買(mǎi)的總費(fèi)用為510元，且購(gòu)買(mǎi)繩子的數(shù)量是實(shí)心球數(shù)量的3倍，那么購(gòu)買(mǎi)繩子和實(shí)心球的數(shù)量各是多少？
【解答】解：（1）設(shè)繩子的單價(jià)為x元，則實(shí)心球的單價(jià)為（x+23）元，
根據(jù)題意，得，
解得x＝7，
經(jīng)檢驗(yàn)可知x＝7是所列分式方程的解，且滿足實(shí)際意義，
∴x+23＝30，
答：繩子的單價(jià)為7元，實(shí)心球的單價(jià)為30元．
（2）設(shè)購(gòu)買(mǎi)實(shí)心球的數(shù)量為m個(gè)，則購(gòu)買(mǎi)繩子的數(shù)量為3m條，
根據(jù)題意，得7×3m+30m＝510，
解得m＝10，
∴3m＝30，
答：購(gòu)買(mǎi)繩子的數(shù)量為30條，購(gòu)買(mǎi)實(shí)心球的數(shù)量為10個(gè)
【典例5】（2022?聊城）為了解決雨季時(shí)城市內(nèi)澇的難題，我市決定對(duì)部分老街道的地下管網(wǎng)進(jìn)行改造．在改造一段長(zhǎng)3600米的街道地下管網(wǎng)時(shí)，每天的施工效率比原計(jì)劃提高了20%，按這樣的進(jìn)度可以比原計(jì)劃提前10天完成任務(wù)．
（1）求實(shí)際施工時(shí)，每天改造管網(wǎng)的長(zhǎng)度；
（2）施工進(jìn)行20天后，為了減少對(duì)交通的影響，施工單位決定再次加快施工進(jìn)度，以確?？偣て诓怀^(guò)40天，那么以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加多少米？
【解答】解：（1）設(shè)原計(jì)劃每天改造管網(wǎng)x米，則實(shí)際施工時(shí)每天改造管網(wǎng)（1+20%）x米，
由題意得：﹣＝10，
解得：x＝60，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝60是原方程的解，且符合題意．
此時(shí)，60×（1+20%）＝72（米）．
答：實(shí)際施工時(shí)，每天改造管網(wǎng)的長(zhǎng)度是72米；
（2）設(shè)以后每天改造管網(wǎng)還要增加m米，
由題意得：（40﹣20）（72+m）≥3600﹣72×20，
解得：m≥36．
答：以后每天改造管網(wǎng)至少還要增加36米．
真題精選

命題1 分式方程的解法
1．（2022?營(yíng)口）分式方程＝的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣6C．x＝6D．x＝﹣2
【答案】C
【解答】解：＝，
方程兩邊都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，
解得：x＝6，
檢驗(yàn)：當(dāng)x＝6時(shí)，x（x﹣2）≠0，
所以x＝6是原方程的解，
即原方程的解是x＝6，
故選：C．
2．（2022?黑龍江）已知關(guān)于x的分式方程﹣＝1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（ ）
A．m＞4B．m＜4C．m＞4且m≠5D．m＜4且m≠1
【答案】C
【解答】解：方程兩邊同時(shí)乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，
解得x＝m﹣4．
∵x為正數(shù)，
∴m﹣4＞0，解得m＞4，
∵x≠1，
∴m﹣4≠1，即m≠5，
∴m的取值范圍是m＞4且m≠5．
故選：C．
3．（2022?玉林）解方程：＝．
【解答】解：方程兩邊同乘2（x﹣1），得2x＝x﹣1，
解得：x＝﹣1，
檢驗(yàn)，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，2（x﹣1）＝﹣4≠0，
所以原分式方程的解為x＝﹣1．
4．（2022?梧州）解方程：1﹣＝．
【解答】解：去分母得：x﹣3+2＝4，
解得：x＝5，
當(dāng)x＝5時(shí)，x﹣3≠0，
∴x＝5是分式方程的根．
命題2 分式方程的實(shí)際應(yīng)用
5．（2022?阜新）我市某區(qū)為30萬(wàn)人接種新冠疫苗，由于市民積極配合這項(xiàng)工作，實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的1.2倍，結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作．設(shè)原計(jì)劃每天接種x萬(wàn)人，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
A．﹣＝20B．﹣＝1.2
C．﹣＝20D．﹣＝1.2
【答案】A
【解答】解：∵實(shí)際每天接種人數(shù)是原計(jì)劃的1.2倍，且原計(jì)劃每天接種x萬(wàn)人，
∴實(shí)際每天接種1.2x萬(wàn)人，
又∵結(jié)果提前20天完成了這項(xiàng)工作，
∴﹣＝20．
故選：A．
6．（2022?朝陽(yáng)）八年一班學(xué)生周末乘車(chē)去紅色教育基地參觀學(xué)習(xí)，基地距學(xué)校60km，一部分學(xué)生乘慢車(chē)先行，出發(fā)30min后，另一部分學(xué)生乘快車(chē)前往，結(jié)果同時(shí)到達(dá)．已知快車(chē)的速度是慢車(chē)速度的1.5倍，求慢車(chē)的速度．設(shè)慢車(chē)每小時(shí)行駛xkm，根據(jù)題意，所列方程正確的是（ ）
A．﹣＝B．﹣＝
C．﹣＝30D．﹣＝30
【答案】A
【解答】解：設(shè)慢車(chē)每小時(shí)行駛xkm，則快車(chē)每小時(shí)行駛1.5xkm，
根據(jù)題意可得：﹣＝．
故選：A．
7．（2022?麗水）某校購(gòu)買(mǎi)了一批籃球和足球．已知購(gòu)買(mǎi)足球的數(shù)量是籃球的2倍，購(gòu)買(mǎi)足球用了5000元，購(gòu)買(mǎi)籃球用了4000元，籃球單價(jià)比足球貴30元．根據(jù)題意可列方程＝﹣30，則方程中x表示（ ）
A．足球的單價(jià)B．籃球的單價(jià)C．足球的數(shù)量D．籃球的數(shù)量
【答案】D
【解答】解：設(shè)籃球的數(shù)量為x個(gè)，足球的數(shù)量是2x個(gè)．
根據(jù)題意可得：＝﹣30，
故選：D．
8．（2022?鞍山）某加工廠接到一筆訂單，甲、乙車(chē)間同時(shí)加工，已知乙車(chē)間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車(chē)間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，甲車(chē)間加工4000件比乙車(chē)間加工4200件多用3天．設(shè)甲車(chē)間每天加工x件產(chǎn)品，根據(jù)題意可列方程為 ﹣＝3 ．
【解答】解：∵甲車(chē)間每天加工x件產(chǎn)品，乙車(chē)間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量是甲車(chē)間每天加工的產(chǎn)品數(shù)量的1.5倍，
∴乙車(chē)間每天加工1.5x件產(chǎn)品，
又∵甲車(chē)間加工4000件比乙車(chē)間加工4200件多用3天，
∴﹣＝3．
故答案為：﹣＝3．
9．（2022?貴陽(yáng)）國(guó)發(fā)（2022）2號(hào)文發(fā)布后，貴州迎來(lái)了高質(zhì)量快速發(fā)展，貨運(yùn)量持續(xù)增加．某物流公司有兩種貨車(chē)，已知每輛大貨車(chē)的貨運(yùn)量比每輛小貨車(chē)的貨運(yùn)量多4噸，且用大貨車(chē)運(yùn)送80噸貨物所需車(chē)輛數(shù)與小貨車(chē)運(yùn)送60噸貨物所需車(chē)輛數(shù)相同．每輛大、小貨車(chē)貨運(yùn)量分別是多少噸？
【解答】解：設(shè)每輛小貨車(chē)的貨運(yùn)量是x噸，則每輛大貨車(chē)的貨運(yùn)量是（x+4）噸，
依題意得：＝，
解得：x＝12，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝12是原方程的解，且符合題意，
∴x+4＝12+4＝16．
答：每輛大貨車(chē)的貨運(yùn)量是16噸，每輛小貨車(chē)的貨運(yùn)量是12噸．

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