第06講分式方程及其應(yīng)用（2考點+8題型）-2025年中考數(shù)學一輪復習講練測（廣東專用）-試卷下載-教習網(wǎng)

第06講分式方程及其應(yīng)用（3~8分）
TOC \ "1-1" \n \h \z \u \l "_Tc180489092" 01考情透視·目標導航
\l "_Tc180489093" 02知識導圖·思維引航
\l "_Tc180489094" 03考點突破·考法探究
考點一解分式方程
考點二分式方程的應(yīng)用

\l "_Tc180489098" 04題型精研·考向洞悉
命題點一解分式方程
?題型01 判斷分式方程
?題型02 分式方程的解法
命題點二分式方程的解
?題型01 根據(jù)分式方程解的情況求值
?題型02 分式方程無解問題
命題點三分式方程的應(yīng)用
?題型01 列分數(shù)方程
?題型02 行程問題
?題型03 工程問題
?題型04 經(jīng)濟問題
\l "_Tc180489121" 05分層訓練·鞏固提升
\l "_Tc180489122" 基礎(chǔ)鞏固
\l "_Tc180489123" 能力提升
考點一解分式方程
分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．
增根的概念：在方程變形時，有時可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根.
1. 分式方程與整式方程的根本區(qū)別：分母中含有未知數(shù)，也是判斷分式方程的依據(jù).
2. 去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項.
3. 分式方程的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．
4. 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的公分母為0的根，它不是原分式方程的根．
5. 解分式方程可能產(chǎn)生使分式方程無意義的根，檢驗是解分式方程的必要步驟.
6. 分式方程有增根與無解并非是同一個概念．分式方程無解，需分類討論：可能是解為增根，也可能是去分母后的整式方程無解.
考點二分式方程的應(yīng)用
用分式方程解決實際問題的步驟：
審：理解并找出實際問題中的等量關(guān)系;
設(shè)：用代數(shù)式表示實際問題中的基礎(chǔ)數(shù)據(jù);
列：找到所列代數(shù)式中的等量關(guān)系，以此為依據(jù)列出方程;
解：求解方程;
驗：考慮求出的解是否具有實際意義;+
1）檢驗所求的解是否是所列分式方程的解.
2）檢驗所求的解是否符合實際意義.
答：實際問題的答案.
與分式方程有關(guān)應(yīng)用題的常見類型：
命題點一解分式方程
?題型01 判斷分式方程
1．（2024·廣西賀州·三模）下列式子是分式方程的是（）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】此題考查了分式方程，分母中含有未知數(shù)的有理方程是分式方程，據(jù)此進行判斷即可．
【詳解】解：A．是一元一次方程，故選項不符合題意；
B．不是方程，故選項不符合題意；
C．是分式方程，故選項符合題意；
D．是一元一次方程，故選項符合題意．
故選：C．
2．（2021·河南信陽·模擬預測）下列方程：①；②；③；④（為已知數(shù)），其中分式方程有（）
A．個B．個C．個D．個
【答案】B
【分析】等號兩邊至少有一個分母含有未知數(shù)的有理方程叫做分式方程；
【詳解】解：觀察各方程的分母，只有①③分母中含有未知數(shù)，而④中分母雖含有字母，但字母不是未知數(shù)，故不是分式方程，所以方程①③是分式方程，方程②④均屬于整式方程．
故選：B．
【點睛】本題考查分式方程的定義，掌握定義是解題關(guān)鍵．
3．（2023·四川南充·二模）關(guān)于的方程的解是負數(shù)，則的取值范圍是（）
A．B．C．，且D．，且
【答案】D
【分析】先解關(guān)于x的分式方程，求得x的值，然后再依據(jù)“解是負數(shù)”建立不等式求a的取值范圍即可．
【詳解】解：去分母，得，
解得，
∵方程的解是負數(shù)，
∴，且，
∴，且．
故選：D．
【點睛】本題考查分式方程的解，解題關(guān)鍵是要掌握分式方程的解的定義，使方程成立的未知數(shù)的值叫做方程的解．
4．（2024全國）下列關(guān)于x的方程中，屬于分式方程的是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．
【詳解】解：A、是一元一次方程，故不符合題意；
B、是一元一次方程，故不符合題意；
C、是分式方程，故符合題意；
D、是二元一次方程，故不符合題意；
故選C．
【點睛】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用分式方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．
?題型02 分式方程的解法
5．（2024·廣東廣州·模擬預測）解方程：
【答案】
【分析】本題考查了解分式方程，先去分母，將分式方程化為整式方程，再進行計算，最后進行檢驗即可．
【詳解】解：，
，
，
，
，
．
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
∴原分式方程的解為．
6．（2024·廣東廣州·中考真題）解方程：．
【答案】
【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法是解題關(guān)鍵，注意檢驗．依次去分母、去括號、移項、合并同類項求解，檢驗后即可得到答案．
【詳解】解：，
去分母得：，
去括號得：，
移項得：，
合并同類項得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，
該分式方程的解為．
7．（2023·廣東江門·一模）解分式方程：．
【答案】.
【分析】先找到最簡公分母，方程的左右兩邊同時乘以最簡公分母，將其轉(zhuǎn)化為整式方程，再解一元一次方程即可，最后檢驗．
【詳解】解：
∴，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
【點睛】本題考查了分式方程的求解，去分母是解題的關(guān)鍵，注意分式方程要檢驗．
8．（2022·廣東揭陽·模擬預測）（1）++=1；
（2）．
【答案】（1）x=1；（2），
【分析】（1）先去分母，把分式方程化為整式方程，然后解出整式方程，再檢驗，即可求解；
（2）先去分母再利用因式分解法解答，即可求解．
【詳解】解：（1）方程兩邊同乘以（x+2）（x-2），
得x-2+4x-2（x+2）=（x+2）（x-2），
解得x=1或2．
經(jīng)檢驗，x=1是原方程的解，x=2不是原方程的解，
所以原方程的解為：x=1．
（2）去分母得，，
移項得，，
∴（3x-2）[4（3x-2）+3]=0，
∴3x-2=0，4（3x-2）+3=0，
解得，，．
【點睛】本題主要考查了解分式方程，解一元二次方程，熟練掌握分式方程和一元二次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
命題點二分式方程的解
?題型01 根據(jù)分式方程解的情況求值
9．（2024·廣東·模擬預測）已知是分式方程的解，則的值為（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了分式方程解的定義，分式方程的解是使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，據(jù)此把代入原方程求出的值即可．
【詳解】解：是分式方程的解，
，
解得：，
故選：C．
10．（2024·廣東揭陽·一模）已知關(guān)于的方程的解是負數(shù)，則的取值范圍是（）
A．B．且
C．D．且
【答案】B
【分析】本題考查了解分式方程、根據(jù)分式方程解的情況求參數(shù)，先解分式方程得出，根據(jù)解是負數(shù)得出，且，求解即可得出答案．
【詳解】解：去分母得：，
解得：，
關(guān)于的方程的解是負數(shù)，
，且，
解得：且，
故選：B．
11．（2020·重慶·中考真題）若關(guān)于x的一元一次不等式結(jié)的解集為；且關(guān)于的分式方程有正整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之積是（）
A．7B．－14C．28D．－56
【答案】A
【分析】不等式組整理后，根據(jù)已知解集確定出a的范圍，分式方程去分母轉(zhuǎn)化為正整數(shù)方程，由分式方程有非負整數(shù)解，確定出a的值，求出之和即可．
【詳解】解：解不等式，解得x≤7，
∴不等式組整理的，
由解集為x≤a，得到a≤7，
分式方程去分母得：y?a＋3y?4＝y(tǒng)?2，即3y?2＝a，
解得：y＝，
由y為正整數(shù)解且y≠2，得到a＝1，7，
1×7＝7，
故選：A．
【點睛】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．
12．（2024·四川德陽·三模）已知關(guān)于的分式方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是（）
A．B．C．且D．且
【答案】D
【分析】本題考查的是分式方程的解．先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．
【詳解】解：
方程兩邊同時乘以得，，
解得，
∵x為正數(shù)，
∴，解得．
∵，
∴，即．
∴m的取值范圍是且．
故選：D．
?題型02 分式方程無解問題
13．（2023·黑龍江牡丹江·二模）若分式方程無解，則a的值為（）
A．1B．C．2或1D．2或
【答案】C
【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解恰好使原分式方程的分母等于0．
【詳解】解：去分母得：，
整理得：，
由題意，分以下兩種情況：
（1）當，即時，整式方程無解，分式方程無解；
（2）當時，，
當時，分母為0，分式方程無解，即，
解得，
綜上，a的值為1或2．
故選：C．
【點睛】本題考查了分式方程無解問題，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．
14．（2021·廣東廣州·二模）小明把分式方程去分母后得到整式方程，由此他判斷該分式方程只有一個解．對于他的判斷，你認為下列看法正確的是（）
A．小明的說法完全正確B．整式方程正確，但分式方程有2個解
C．整式方程不正確，分式方程無解D．整式方程不正確，分式方程只有1個解
【答案】C
【分析】解分式方程去分母后得到整式方程，由于，得到方程無實數(shù)根，于是得到結(jié)論．
【詳解】解：∵分式方程去分母后得到整式方程，
，
∴方程無實數(shù)根，
∴方程無解，
故整式方程不正確，分式方程無解，
故選：C．
【點睛】本題考查了分式方程的解法,一元二次方程根的判別式,熟練將分式方程轉(zhuǎn)化為一元二次方程是解題的關(guān)鍵．
15．（2020·廣東深圳·一模）若關(guān)于的方程無解，則的值為（）
A．1B．3C．1或D．
【答案】C
【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解的意義，計算即可求出m的值.
【詳解】解：去分母得：，
整理得，，
當時，即時，方程無解，
當時，，即x=3時，方程無解，
此時，解得，
所以，或，
故選：C.
【點睛】本題考查了分式方程的解，把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程，理解分式方程無解的意義，是解題的關(guān)鍵．
16．（2020·廣東東莞·模擬預測）關(guān)于x的分式方程＋3＝有增根，則m的值為（）
A．7B．3C．1D．－3
【答案】A
【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母x-1=0，得到x=1，然后代入化為整式方程的方程算出m的值．
【詳解】方程兩邊都乘（x-），得7+ 3（x-1）=m
∵原方程有增根，
∴最簡公分母x-1=0，
解得x=1，
當x=1時，7+ 3（1-1）=m．
解得m=7．
故選：A．
【點睛】本題考查了分式方程的增根，讓最簡公分母為0確定增根；化分式方程為整式方程；把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．
命題點三分式方程的應(yīng)用
?題型01 列分數(shù)方程
17．（2024·廣東深圳·模擬預測）2023年3月底，國道深圳寶安段(下稱“107國道”)正式啟動先行段的市政化改造，它縱貫寶安區(qū)，沿線是廣深科技創(chuàng)新走廊的核心地段，千余家國家高新技術(shù)企業(yè)密布其間，被視為“鵬城一翼”“灣區(qū)動軸”．它全長為31.4千米，這條94歲的國道路面需整改，為了盡量減少施工對城市交通所造成的影響，實際施工時，每天的工效比原計劃增加，結(jié)果提前5天完成這一任務(wù)，設(shè)原計劃每天整改千米，則下列方程正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題考查由實際問題列分式方程，設(shè)原計劃每天整改千米，得到實際施工時每天整改千米，由等量關(guān)系結(jié)果提前5天完成這一任務(wù)，即可列出分式方程，讀懂題意，準確找到等量關(guān)系列方程是解決問題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)原計劃每天整改千米，實際施工時每天整改千米，則
，
故選：B．
18．（2024·廣東深圳·三模）一次夏令營活動中，班長購買了甲、乙兩種礦泉水，其中甲種礦泉水共花費80元，乙種礦泉水共花費60元，甲種礦泉水比乙種礦泉水多20瓶，乙種礦泉水價格是甲種礦泉水價格的1.5倍．若設(shè)甲種礦泉水的價格為x元，根據(jù)題意可列方程為（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本題考查了由實際問題抽象出分式方程．設(shè)甲種礦泉水的價格為元，則乙種礦泉水價格為，根據(jù)甲種礦泉水比乙種礦泉水多20瓶，列分式方程．
【詳解】解：設(shè)甲種礦泉水的價格為元，則乙種礦泉水價格為，
由題意得，．
故選：B．
19．（2024·廣東江門·模擬預測）一艘輪船在靜水中的速度為，它沿江順流航行與逆流航行所用時間相等，江水的流速為多少？設(shè)江水流速為，則符合題意的方程是（）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了列分式方程，先分別根據(jù)“順流速度靜水速度江水速度”、“逆流速度靜水速度江水速度”求出順流速度和逆流速度，再根據(jù)“沿江順流航行與逆流航行所用時間相等”建立方程即可得．
【詳解】解：由題意得：輪船的順流速度為，逆流速度為，
則可列方程為，
故選：A．
20．（2023·廣東陽江·一模）由于市場急需A產(chǎn)品，某工廠現(xiàn)在平均每天比原計劃多生產(chǎn)A產(chǎn)品50萬件，現(xiàn)在生產(chǎn)A產(chǎn)品400萬件所需時間比原計劃生產(chǎn)A產(chǎn)品450萬件所需時間少5天，設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x萬件，則下列方程正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此題主要考查了列分式方程應(yīng)用，利用本題中“現(xiàn)在生產(chǎn)A產(chǎn)品400萬件所需時間比原計劃生產(chǎn)A產(chǎn)品450萬件所需時間少5天”這一個條件，列出分式方程是解題關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)現(xiàn)在平均每天生產(chǎn)A產(chǎn)品x萬件，則原來可生產(chǎn)萬件．
由題意得：，
故選：B．
?題型02 行程問題
21．（24-25九年級·重慶）周末，小明和小紅約著一起去公園跑步鍛煉身體，若兩人同時從地出發(fā)，勻速跑向距離處的地，小明的跑步速度是小紅跑步速度的倍，那么小明比小紅早分鐘到達地.
(1)求小明、小紅的跑步速度；
(2)若從地到達地后，小明跑步繼續(xù)前進到地整個過程不休息，據(jù)了解，在整個運動過程中，小明跑步的前分鐘內(nèi)，平均每分鐘消耗熱量卡路里，超過分鐘后，每多跑步分鐘，平均每分鐘消耗的熱量就增加卡路里，在整個過程中，小明共消耗卡路里熱量，小明從地到地鍛煉共用多少分鐘．
【答案】(1)小明跑步速度是，小紅跑步速度是
(2)小明從地到地鍛煉共用分鐘
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用；
（1）設(shè)小紅跑步速度是，則小明跑步速度是，利用時間路程速度，結(jié)合小明比小紅早分鐘到達地，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出小紅跑步的速度，再將其代入中，即可求出小明跑步的速度；
（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，根據(jù)“在整個鍛煉過程中，小明共消耗卡路里的熱量”，可列出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)小紅跑步速度是，則小明跑步速度是，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
答：小明跑步速度是，小紅跑步速度是；
（2）設(shè)小明從地到地鍛煉共用分鐘，
根據(jù)題意得：，
整理得：，
解得：不符合題意，舍去，．
答：小明從地到地鍛煉共用分鐘．
22．（24-25九年級·重慶）在周末自駕游中，李明和張華相約從A城前往B城進行戶外探險.已知A、B兩城相距120公里，兩人均勻速行駛，李明與張華的速度之比為．
(1)若張華先行15公里后，李明才開始從A城出發(fā)，李明出發(fā)30分鐘恰好追上張華，求李明駕駛的速度為每小時多少公里；
(2)若張華比李明早出發(fā)30分鐘，結(jié)果反而比李明晚30分鐘到達B城，求李明駕駛的速度為每小時多少公里．
【答案】(1)每小時90公里
(2)每小時60公里
【分析】本題考查了分式方程和一元一次方程的應(yīng)用，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)李明駕駛的速度為每小時公里，則張華的速度為每小時公里，根據(jù)路程＝速度時間，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）設(shè)李明駕駛的速度為每小時y公里，則張華的速度為每小時公里，根據(jù)時間＝路程＋速度結(jié)合張華比李明多用1小時，即可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：由題意得，設(shè)李明駕駛的速度為每小時公里，則張華的速度每小時公里，
依題意得：
解得：，則．
答：李明駕駛的速度為每小時90公里；
（2）解：設(shè)李明駕駛的速度為每小時y公里，則張華的速度為每小時公里，
則由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，
答：李明駕駛的速度為每小時60公里．
?題型03 工程問題
23．（24-25九年級上·山東威?！て谥校┠呈姓媱潓υ撌胁┪镳^進行改造，現(xiàn)安排甲、乙兩個工程隊完成，已知甲隊的工作效率是乙隊工作效率的1.5倍，甲隊單獨完成該改造計劃比乙隊單獨完成該計劃少用4天．
(1)甲、乙兩隊單獨完成該計劃分別需要多少天？
(2)若甲隊工作一天需付費用8萬元，乙隊工作一天需付費用6萬元，由于項目原因，甲隊先做了幾天后，由乙隊接著將改造計劃完成，最后改造費用不超過67萬元，甲隊至少做了多少天？
【答案】(1)甲隊單獨完成該計劃需要8天，乙隊單獨完成該計劃需要12天
(2)甲隊至少做了5天
【分析】本題考查分式方程的實際應(yīng)用，一元一次不等式的實際應(yīng)用，理解題意，找出數(shù)量關(guān)系，列出等式或不等式是解題關(guān)鍵．
（1）設(shè)乙隊單獨完成該計劃需要天，則甲隊單獨完成該計劃需要天，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的分式方程，解出x的值，再驗算即可；
（2）設(shè)甲隊做了天，則乙隊做了天，根據(jù)題意可列出關(guān)于m的不等式，解之即可．
【詳解】（1）解：設(shè)乙隊單獨完成該計劃需要天，則甲隊單獨完成該計劃需要天，
根據(jù)題意得：
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的解，且符合題意，
此時，
答：甲隊單獨完成該計劃需要8天，乙隊單獨完成該計劃需要12天；
（2）解：設(shè)甲隊做了天，則乙隊做了天，
根據(jù)題意得：
解得：，
答：甲隊至少做了5天．
24．（24-25九年級上·重慶·階段練習）我校綜紛藝術(shù)節(jié)即將拉開帷幕，學校準備在一文創(chuàng)廠家定制個布藝文化袋發(fā)放給師生，該廠家甲車間每天可生產(chǎn)個布藝文化袋，乙車間每天可生產(chǎn)個布藝文化袋，甲車間先單獨工作4天后，乙車間加入一起趕工．
(1)該廠家完成這批布藝文化袋一共需要多少天？
(2)甲車間按原生產(chǎn)效率單獨生產(chǎn)4天后，由于時間緊迫，兩個車間改進了生產(chǎn)工藝，并且平分了剩下的生產(chǎn)任務(wù)，改進后甲、乙兩車間每天生產(chǎn)布藝文化袋的數(shù)量之比為．兩個車間各自完成剩下生產(chǎn)任務(wù)的天數(shù)之和為天，問改進工藝后甲車間每天生產(chǎn)多少個布藝文化袋？
【答案】(1)該廠家完成這批布藝文化袋一共需要天
(2)改進工藝后甲車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋．
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用，找到相等關(guān)系是解題的關(guān)鍵
（1）設(shè)從開始加工到完成這批布藝紅包袋一共需要x天，根據(jù)“甲、乙的工作量之和為”列方程求解
（2）設(shè)改進工藝后甲車間每天生產(chǎn)個，乙車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋，根據(jù)“改進后甲、乙兩車間每天生產(chǎn)的布藝文化袋數(shù)量之比為、兩個車間各自完成剩下生產(chǎn)任務(wù)的天數(shù)之和為天”列方程求解．
【詳解】（1）解∶設(shè)該廠家完成這批布藝文化袋一共需要x天，則
．
解得∶．
答∶ 該廠家完成這批布藝文化袋一共需要天．
（2）解∶設(shè)改進工藝后甲車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋，乙車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋．
甲車間按原生產(chǎn)效率單獨生產(chǎn)4天后還剩∶(個)，每個車間完成 (個)
由題意得∶，
解得∶，
經(jīng)檢驗∶是原分式方程的解，且符合題意．
甲車間每天生產(chǎn) (個)．
答∶ 改進工藝后甲車間每天生產(chǎn)個布藝文化袋．
?題型04 經(jīng)濟問題
25．（24-25九年級重慶）每年的12月12日各大網(wǎng)絡(luò)平臺都會推出大型網(wǎng)購促銷活動，吸引消費者購物．某一網(wǎng)絡(luò)銷售公司準備在這一天銷售2000件“元旦禮盒”，找到甲工廠承接這項生產(chǎn)任務(wù)，甲工廠工作15天后還未加工完，于是提高了生產(chǎn)速度，提速后每天生產(chǎn)的數(shù)量比原來每天生產(chǎn)的數(shù)量多40件，又生產(chǎn)了5天才完成了任務(wù)．
(1)求甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”多少件？
(2)“雙12”當天，“元旦禮盒”快速被搶空，該網(wǎng)絡(luò)銷售公司決定增加生產(chǎn)．安排甲、乙兩家工廠共同加工生產(chǎn)該“元旦禮盒”2800件，甲工廠按提速前的速度和乙工廠一起加工完成一半后，更換了新的生產(chǎn)設(shè)備，兩家工廠每天均比之前多生產(chǎn)一倍，結(jié)果比原計劃提前4天完成任務(wù)，求更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”多少件？
【答案】(1)甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”90件
(2)更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”85件
【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是找準等量關(guān)系，正確列出方程．
（1）設(shè)甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”x件，根據(jù)生產(chǎn)的總數(shù)量為2000件，列方程求解即可；
（2）設(shè)更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”y件，根據(jù)結(jié)果比原計劃提前4天完成任務(wù)，列方程求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”x件，依題意，得：
，
解得：．
答：甲工廠提速前每天生產(chǎn)“元旦禮盒”90件．
（2）解：設(shè)更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”y件，依題意，得：
，
解得：．
經(jīng)檢驗，是原方程的解．
答：更換新的生產(chǎn)設(shè)備前乙工廠每天加工“元旦禮盒”85件．
26．（24-25九年級上·廣東河源·期中）已知某平臺在售的故宮文創(chuàng)產(chǎn)品書燈有A，B兩個系列，A系列產(chǎn)品比B系列產(chǎn)品的售價低50元，1000元購買A系列產(chǎn)品的數(shù)量與1500元購買B系列產(chǎn)品的數(shù)量相等．按定價銷售一段時間后發(fā)現(xiàn)：B系列產(chǎn)品按定價銷售，每天可以賣500件，若B系列產(chǎn)品每降1元，則每天可以多賣10件．
(1)A系列產(chǎn)品和B系列產(chǎn)品的售價各是多少？
(2)為了使B系列產(chǎn)品每天的銷售額為96000元，而且盡可能讓顧客得到實惠，求B系列產(chǎn)品的實際售價應(yīng)定為多少元/件？
【答案】(1)A系列單價為100元，B系列單價為150元；
(2)80元
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，正確理解題意是解題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)A系列單價為x元；B系列單價為元，根據(jù)題意得，解方程即可．
（2）設(shè)B系列單價為y元，則單件降價為元，根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可．
【詳解】（1）設(shè)A系列單價為x元，B系列單價為元，
根據(jù)題意，得，
解方程，得，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，此時元，
答：A系列單價為100元，B系列單價為150元；
（2）設(shè)B系列定價為y元，則單件降價為元，
每天的銷售量為件，
根據(jù)題意，得，
整理得，
解得，
∵盡可能讓顧客得到實惠，
∴定價為80元．
答：B系列產(chǎn)品的實際售價應(yīng)定為80元．
基礎(chǔ)鞏固
一、單選題
1．（2024·廣東廣州·二模）方程的解為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本題考查了解分式方程．先去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程，再求解，檢驗即可．
【詳解】解：，
去括號得，
解得：，
經(jīng)檢驗：是原方程的根，
故選：A．
2．（2023·海南海口·模擬預測）若代數(shù)式和的值互為相反數(shù)，則x等于（）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】本題考查了相反數(shù)，分式方程的求解，根據(jù)相反數(shù)定義列式，根據(jù)去分母，去括號，移項合并同類項，系數(shù)化為1的過程進行求解即可．
【詳解】解：代數(shù)式和的值互為相反數(shù)，
，
去分母得：，
去括號得：，
合并同類項得：，
解得：，
經(jīng)檢驗是方程的解，
故選：B．
3．（2024·廣東深圳·模擬預測）深圳寶安國際機場是深圳對外交往的重要平臺，旅客從市民中心前往寶安機場有兩條線路，路線一：走深南大道經(jīng)寶安大道，全程是千米，但交通比較擁堵；路線二：走深南大道轉(zhuǎn)京港澳高速，全程是千米，平均速度是路線一的倍，因此到寶安機場的時間比走路線一少用分鐘，設(shè)走路線一到達寶安機場需要分鐘，則下列方程正確的是（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)走路線一到達寶安機場需要分鐘，根據(jù)題意，列出分式方程即可求解，根據(jù)題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)走路線一到達寶安機場需要分鐘，
由題意可得，
故選：．
4．（2024·廣東佛山·二模）在題目“甲、乙兩地相距，一輛汽車從甲地勻速開往乙地，…，求汽車實際行駛的時間？”中，若設(shè)汽車原計劃需行駛，可得方程，則題目中“…”表示的條件是（）
A．速度比原計劃增加，結(jié)果提前到達B．速度比原計劃增加，結(jié)果晚到達
C．速度比原計劃減少，結(jié)果提前到達D．速度比原計劃減少，結(jié)果晚到達
【答案】A
【分析】本題主要考查分式的實際運用，理解題目中的數(shù)量關(guān)系，分式方程表示的含義，掌握分式方程解實際問題的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)設(shè)汽車原計劃需行駛，可得表示的含義，由此可得，表示的含義，由此即可求解．
【詳解】解：設(shè)汽車原計劃需行駛，則表示原計劃的速度，
∴表示的是在原計劃的速度上提高，
∴表示實際的速度，
∴A符合題意，
故選：．
5．（2023·海南?？凇ひ荒＃┤舸鷶?shù)式和的值相等，則x等于（）
A．1B．2C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意列分式方程并求解．
【詳解】解：由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是方程的解；
故選：C．
【點睛】本題考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意列分式方程，解分式方程并檢驗．
6．（2024·廣東汕頭·一模）為降低成本，某出租車公司推出了“油改氣”措施，如圖，，分別表示燃油汽車和燃氣汽車行駛路程S（單位：千米）與所需費用y（單位：元）的關(guān)系，已知燃油汽車每千米所需的費用比燃氣汽車每千米所需費用2倍多元，設(shè)燃氣汽車每千米所需費用為x元，則可列方程為（）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用，設(shè)燃氣汽車每千米所需費用為x元，則燃油汽車每千米所需的費用為元，由圖像可得，燃油汽車花費30元所行駛的路程等于燃氣汽車10元行駛的路程，依次列方程即可．
【詳解】解：設(shè)燃氣汽車每千米所需費用為x元，則燃油汽車每千米所需的費用為元，
由圖像可得，燃油汽車花費30元所行駛的路程等于燃氣汽車10元行駛的路程，
即
故選：C．
二、填空題
7．（2024·廣東·模擬預測）代數(shù)式與代數(shù)式的值相等，則．
【答案】4
【分析】本題主要考查了代數(shù)式值相等問題，熟練掌握相等關(guān)系，列出方程，解方程，分式方程檢驗，是解決本題的關(guān)鍵．
通過題目中的等量關(guān)系列方程，解方程，檢驗，即可．
【詳解】由題可得：，
去分母得，，
解得，，
檢驗：當時，，
∴是所列方程的根，
故答案為：4．
8．（2024·廣東梅州·模擬預測）若關(guān)于x 的方程無解，則a的值為．
【答案】1或
【分析】此題考查了分式方程的無解問題，先整理方程得到，分和兩種情況，分別進行求解即可．
【詳解】解：
去分母得：，
整理得：，
當時，方程無解，故；
當時，時，分式方程無解，
則，
∴關(guān)于x 的方程無解，則a的值為：1或．
故答案為：1或．
9．（2024·廣東廣州·二模）為了落實“雙減”政策，進一步豐富文體活動，學校準備購進一批籃球和足球，已知每個籃球的價格比每個足球的價格多元，用元購進籃球的數(shù)量比用元購進足球的數(shù)量多個，如果設(shè)每個足球的價格為元，可列方程為：．
【答案】
【分析】此題考查了分式方程的應(yīng)用，設(shè)每個足球的價格為元，則每個籃球的價格為元，用元購進籃球的數(shù)量比用元購進足球的數(shù)量多個列出方程即可，由解題的關(guān)鍵讀懂題意列出分式方程．
【詳解】解：設(shè)每個足球的價格為元，則每個籃球的價格為元，
由題意得：，
故答案為：．
三、解答題
10．（2024·廣東清遠·模擬預測）近年來，新能源汽車特別是純電動汽車受到越來越多消費者的關(guān)注，下面是價格相同的燃油車與純電動汽車的部分相關(guān)信息對比：
(1)用含m的代數(shù)式表示純電動汽車的每千米行駛費用；
(2)若純電動汽車每千米行駛費用比燃油車少0.64元．
①分別求出這兩款車的每千米行駛費用；
②若燃油車和純電動汽車每年的其它費用分別為3600元和6800元．小明家要購置新車，他們家每年行駛里程大于6000千米，則他們購買哪一款汽車的年費用更低？（年費用=年行駛費用+年其它費用）
【答案】(1)（或）；
(2)①燃油車每千米行駛費用為0.75元，純電動汽車每千米行駛費用為0.11元；②他們購買純電動汽車的年費用更低．
【分析】（1）根據(jù)表中的信息，可以表示新能源車的每千米行駛費用；
（2）①根據(jù)燃油車的每千米行駛費用比新能源車多0.64元和表中的信息，可以列出相應(yīng)的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要檢驗；
②先分別算出購買燃油車的年費和購買純電動汽車的年費，再進行比較，即可作答．
本題考查列代數(shù)式的問題，分式方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的分式方程和不等式．
【詳解】（1）解：新能源車的每千米行駛費用為：（元）；
故答案為：（或）．
（2）解：①，
解得，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的解，
∴（元），（元），
答：燃油車的每千米行駛費用為0.75元，新能源車的每千米行駛費用為0.11元；
②購買燃油車的年費：（元）
購買純電動汽車的年費：（元）
∵
∴他們購買純電動汽車的年費用更低．
11．（2024·廣東·模擬預測）“綠水青山就是金山銀山”，為了綠色發(fā)展，某林場計劃購買甲、乙兩種樹苗，已知購買一株甲種樹苗的進價比一株乙種樹苗的進價少3元，用3000元購進甲種樹苗的數(shù)量是用3200元購進乙種樹苗的數(shù)量的1.5倍．
(1)求每株甲種樹苗，每株乙種樹苗的進價分別為多少元？
(2)相關(guān)資料表明：甲、乙兩種樹苗的成活率分別為和．為保證綠化效果，林場決定再購買甲、乙兩種樹苗共100株．若要使這批樹苗的成活率不低于，且購買樹苗的總費用最低，應(yīng)如何選購樹苗？
【答案】(1)每株甲種樹苗的進價為5元，則乙種樹苗的進價為8元．
(2)應(yīng)選擇購買乙種樹苗60棵．購買甲種樹苗40棵．
【分析】本題主要考查了分式方程的實際應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用．
（1）設(shè)每株甲種樹苗的進價為x元，則乙種樹苗的進價為元，根據(jù)用3000元購進甲種樹苗的數(shù)量是用3200元購進乙種樹苗的數(shù)量的1.5倍列出分式方程求解即可．
（2）設(shè)應(yīng)購買乙種樹苗m棵，則甲種數(shù)樹苗為棵，根據(jù)題意列出關(guān)于m的一元一次不等式，求解，再根據(jù)甲乙種數(shù)苗的單價即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）解：設(shè)每株甲種樹苗的進價為x元，則乙種樹苗的進價為元，
根據(jù)題意有：，
解得：
經(jīng)檢驗，是分式方程的解，
∴，
∴每株甲種樹苗的進價為5元，則乙種樹苗的進價為8元．
（2）解：設(shè)應(yīng)購買乙種樹苗m棵，則甲種數(shù)樹苗為棵，
根據(jù)題意有：，
解得：，
∵甲種樹苗的進價為5元，則乙種樹苗的進價為8元，
∴乙種樹苗購買的數(shù)量越小，總費用越低，
故應(yīng)選擇購買乙種樹苗60棵．購買甲種樹苗40棵．
能力提升
一、單選題
1．（2023·廣東云浮·二模）已知完成某項工程甲組需要12天，乙組需要若干天，甲組單獨工作半天后，乙組加入，兩組合作2天后，甲組又單獨工作了3天半，工程完工，則乙組單獨完成此項工程需要的天數(shù)比甲組（）
A．少6天B．少8天C．多3天D．多6天
【答案】B
【分析】題目主要考查分式方程的應(yīng)用，設(shè)乙組單獨完成此頂工程需要x天，根據(jù)題意列出方程求解即可，注意進行檢驗．
【詳解】解：設(shè)乙組單獨完成此頂工程需要x天，
依題意，得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴．
故選：B．
2．（2023·廣東廣州·模擬預測）把分式方程化為整式方程正確的是( )
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】方程兩邊都乘，即可求解．
【詳解】解：原方程可變形為：，
方程兩邊都乘得：，
故選：C．
【點睛】本題考查了解分式方程，正確的去分母是解題的關(guān)鍵．
3．（2022·廣東廣州·模擬預測）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（）
A．1B．2C．D．0
【答案】C
【分析】增根是化為整式方程后產(chǎn)生的不適合分式方程的根．所以應(yīng)先確定增根的可能值，讓最簡公分母，得到，然后代入化為整式方程的方程算出的值．
【詳解】解：方程兩邊都乘，
得，
原方程有增根，
最簡公分母，
解得：，
當時，，
故選：C．
【點睛】本題考查根據(jù)分式方程解的情況求值．注意計算的準確性．
4．（2023·廣東廣州·二模）《九章算術(shù)》是我國古代重要的數(shù)學專著之一，其中記錄的一道題譯為白話文是：把一份文件送到900里外的城市，用慢馬送所需的時間比用快馬送所需的時間多4天．已知快馬速度是慢馬速度的2倍，求慢馬的速度．設(shè)慢馬的速度為里/天，則可列方程為（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】設(shè)慢馬的速度為里/天，則快馬的速度為里/天，根據(jù)“用慢馬送所需的時間比用快馬送所需的時間多4天”
【詳解】解：設(shè)慢馬的速度為里/天，則快馬的速度為里/天，
根據(jù)題意得，
故選：A．
【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程以及數(shù)學常識，找準等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．
二、填空題
5．（2024·廣東廣州·二模）清明緬懷英烈，某校計劃組織540名學生外出祭奠．現(xiàn)有A，B 兩種不同型號的客車可供選擇，在每輛車剛好滿座的前提下，每輛B型客車比每輛A型客車多坐15人，單獨選擇B型客車比單獨選擇A型客車少租6輛(每輛車剛好滿座)，設(shè)A型客車每輛坐x人，則根據(jù)題意可列方程為
【答案】
【分析】本題考查由實際問題抽象出分式方程，首先根據(jù)A型客車每輛坐x人，得每輛B型客車每輛坐人，根據(jù)根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可．
【詳解】解：A型客車每輛坐x人，
∵B型客車比每輛A型客車多坐15人
∴B型客車每輛坐人
∴根據(jù)題意的：，
故答案為．
6．（2024·廣東揭陽·一模）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為．
【答案】
【分析】本題考查了增根的概念，利用增根的意義即可求解，正確理解增根的含義是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：，
，
，
∵關(guān)于的分式方程有增根，
∴，
∴，
故答案為：．
7．（2023·廣東深圳·二模）對于實數(shù)，，定義一種新運算“θ”為：，例如：，則的解是．
【答案】/
【分析】利用題中的新定義化簡，計算即可求出解．
【詳解】解：∵，
∴，即，
去分母得：，
解得：，
檢驗：當時，，
∴分式方程的解是，
故答案為：
【點睛】此題考查了解分式方程，以及實數(shù)的運算，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．
8．（2023·廣東東莞·模擬預測）勞動教育是全面發(fā)展教育體系的重要組成部分，是大中小學必須開展的教育活動．某校積極響應(yīng)，開設(shè)校園農(nóng)場．七年級學生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，八年級學生共收獲農(nóng)產(chǎn)品，已知八年級學生比七年級學生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，七年級學生人數(shù)是八年級學生人數(shù)的1.5倍．求七、八年級各有多少名學生．若設(shè)八年級有x名學生，則可列分式方程為．
【答案】
【分析】根據(jù)題設(shè)，得出七年級有1.5x名學生，再表示出每個年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量，根據(jù)八年級比七年級人均多建立方程．
【詳解】解：若設(shè)八年級有x名學生，則七年級有1.5x名學生，
八年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，
七年級人均收獲農(nóng)產(chǎn)品為，
已知八年級學生比七年級學生人均多收獲農(nóng)產(chǎn)品，
則有．
故答案為：．
【點睛】此題考查了列分式方程，解題的關(guān)鍵是理清題目中的數(shù)量關(guān)系．
三、解答題
9．（2024·廣東中山·三模）據(jù)有關(guān)部門預測，今年夏天某景區(qū)游客將會大幅度增長．為方便更多的游客在景區(qū)內(nèi)休息，景區(qū)管理委員會決定向某公司采購一批戶外休閑椅．經(jīng)了解，該公司出售弧形和條形兩種類型的休閑椅，已知條形椅的單價是弧形椅單價的倍，用元購買弧形椅的數(shù)量比用元購買條形椅的數(shù)量多張，弧形椅和條形椅的單價分別是多少元
【答案】弧形椅的單價為元，條形椅的單價為元
【分析】此題主要考查了分式方程的應(yīng)用．設(shè)弧形椅的單價為元，則條形椅的單價為元，根據(jù)“用6000元購買弧形椅的數(shù)量比用3600元購買條形椅的數(shù)量多6張”列分式方程解答即可．
【詳解】解：設(shè)弧形椅的單價為元，則條形椅的單價為元，根據(jù)題意得：
，
解得，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
，
答：弧形椅的單價為200元，條形椅的單價為150元．
10．（2024·廣東廣州·模擬預測）今年年初一美麗的白鵝潭江而進行了以“活力灣區(qū)，新彩廣州”為主題的煙花匯演，甲、乙兩人從各自家前往最佳觀賞點之一的洲頭咀公園觀看煙花匯演，由于當晚該公園附近路段實施了交通管制，甲先將車開到距離自己家20千米的停車場后，再步行2千米到達目的地，共花了1小時．此期間，已知甲開車的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲開車的平均速度及步行的平均速度分別是多少？
(2)乙是騎車前往與他家相距8千米的目的地，若乙騎車的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小時（），乙騎車時間比甲開車時間多a小時，求a的值．
【答案】(1)甲開車的平均速度是40千米/小時，步行的平均速度是4千米/小時
(2)的值為
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用．
（1）設(shè)甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，利用時間路程速度，結(jié)合甲到達目的地共花了1小時，可列出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗后，可得出甲步行的平均速度，再將其代入中，即可求出甲開車的平均速度；
（2）利用路程速度時間，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論．
【詳解】（1）設(shè)甲步行的平均速度是千米小時，則甲開車的平均速度是千米小時，
根據(jù)題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是所列方程的解，且符合題意，
（千米小時）．
答：甲開車的平均速度是40千米小時，甲步行的平均速度是4千米小時；
（2）根據(jù)題意得：，
即，
解得：，（不符合題意，舍去）．
答：的值為．
11．（2024·廣東深圳·三模）深圳某校為了提升學生體質(zhì)，豐富體育活動，計劃購買若干個排球、足球，已知每個足球比排球貴元．花費元購買的排球數(shù)量比花費元購買的足球數(shù)量少個，其中，排球單價不低于元．
(1)求排球、足球的單價各為多少？
(2)若排球、足球共買個，購買足球的個數(shù)不低于排球個數(shù)的不高于排球個數(shù)的，張老師帶了元，請你判斷張老師帶的錢夠不夠，如果不夠，最少還差多少元．
【答案】(1)排球的單價為元，足球的單價為元；
(2)張老師帶的錢不夠，最少還差元．
【分析】（）設(shè)排球的單價為元，則足球的單價為元，根據(jù)題意列出方程即可求解；
（）設(shè)學校購買個足球，則購買個排球，根據(jù)題意列出不等式組，求出的取值范圍，設(shè)費用為元，再求出與的一次函數(shù)關(guān)系，最后根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；
本題考查了分式方程的應(yīng)用，一次函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)題意正確列出分式方程和一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：設(shè)排球的單價為元，則足球的單價為元，
依題意得，，
解得（不符合題意，舍去），，
經(jīng)檢驗，是原方程的解，且符合題意，
∴，
答：排球的單價為元，足球的單價為元；
（2）解：設(shè)學校購買個足球，則購買個排球，
依題意得，，
解得，
設(shè)費用為元，
由題意得，，
∵，
∴隨的增大而增大，
∴當時，的值最小，，
∵，，
∴張老師帶的錢不夠，最少還差元，
答：張老師帶的錢不夠，最少還差元．
12．（2022·廣東潮州·一模）國家推行“節(jié)能減排，低碳經(jīng)濟”政策后，低排量的汽車比較暢銷，某汽車經(jīng)銷商購進A，B兩種型號的低排量汽車，其中A型汽車的進貨單價比B型汽車的進貨單價多2萬元；花50萬元購進A型汽車的數(shù)量與花40萬元購進B型汽車的數(shù)量相同．
(1)求A，B兩種型號汽車的進貨單價；
(2)銷售過程中發(fā)現(xiàn)：A型汽車的每周銷售量yA（臺）與售價xA（萬元臺）滿足函數(shù)關(guān)系yA＝﹣xA+18；B型汽車的每周銷售量yB（臺）與售價xB（萬元/臺）滿足函數(shù)關(guān)系yB＝﹣xB+14．若A型汽車的售價比B型汽車的售價高1萬元/臺，設(shè)每周銷售這兩種車的總利潤為w萬元．
①當A型汽車的利潤不低于B型汽車的利潤，求B型汽車的最低售價？
②求當B型號的汽車售價為多少時，每周銷售這兩種汽車的總利潤最大？最大利潤是多少萬元？
【答案】(1)A種型號汽車的進貨單價為10萬元、B兩種型號汽車的進貨單價為8萬元
(2)①B型汽車的最低售價為萬元/臺，②A、B兩種型號的汽車售價各為13萬元、12萬元時，每周銷售這兩種汽車的總利潤最大，最大利潤是23萬元
【分析】（1）設(shè)未知數(shù)，用未知數(shù)分別表示A型汽車、B型汽車的進價，然后根據(jù)花50萬元購進A型汽車的數(shù)量與花40萬元購進B型汽車的數(shù)量相同列分式方程求解即可．
（2）①用利潤公式：利潤=（售價-進價）×數(shù)量，分別表示出A、B型汽車利潤，然后列不等式求解即可；②B型號的汽車售價為t萬元/臺，然后將兩車的總利潤相加得出一個二次函數(shù)，求二次函數(shù)的最值即可．
【詳解】（1）解：設(shè)B型汽車的進貨單價為x萬元，根據(jù)題意，得：
＝，
解得x＝8，
經(jīng)檢驗x＝8是原分式方程的根，
8+2＝10（萬元），
答：A種型號汽車的進貨單價為10萬元、B兩種型號汽車的進貨單價為8萬元；
（2）設(shè)B型號的汽車售價為t萬元/臺，則A型汽車的售價為（t+1）萬元/臺，
①根據(jù)題意，得：（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]≥（t﹣8）（﹣t+14），
解得：t≥，
∴t的最小值為，即B型汽車的最低售價為萬元/臺，
答：B型汽車的最低售價為萬元/臺；
②根據(jù)題意，得：
w＝（t+1﹣10）[﹣（t+1）+18]+（t﹣8）（﹣t+14）
＝﹣2t2+48t﹣265
＝﹣2（t﹣12）2+23，
∵﹣2＜0，當t＝12時，w有最大值為23．
答：A、B兩種型號的汽車售價各為13萬元、12萬元時，每周銷售這兩種汽車的總利潤最大，最大利潤是23萬元．
【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，理清數(shù)量關(guān)系，明確等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．
13.（2024·四川成都·二模）“直播帶貨”已經(jīng)成為信息社會中商家的一種新型促銷手段，2024年是中國農(nóng)歷甲辰龍年，某主播用3000元購進了一批“小金龍”布偶玩具在直播間銷售，由于銷售火爆，又用9900元購進了第二批這種玩具，所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的3倍，但每件的進價貴了3元．
(1)求商場購進第一批“小金龍”每件的進價；
(2)直播間在第二批“小金龍”布偶銷售過程中發(fā)現(xiàn)，“小金龍”布偶每分鐘的銷量（件）與銷售單價（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)每分鐘的銷售利潤為元，求與之間的函數(shù)關(guān)系式，并求最大值．
【答案】(1)30元
(2)；最大值160元
【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用、二次函數(shù)的應(yīng)用，正確列出分式方程，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．
（1）設(shè)購進第一批“小金龍”每件進價為元，則購進第二批“小金龍”每件進價為元，根據(jù)“第二批所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的3倍”列出分式方程，解方程即可得出答案；
（2）由題意得得出與之間的函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．
【詳解】（1）解：設(shè)購進第一批“小金龍”每件進價為元，則購進第二批“小金龍”每件進價為元，
由題意得：，
解得：，
經(jīng)檢驗，是原分式方程的根，且符合題意，
商場購進第一批“小金龍”每件的進價為30元．
（2）解：由題意得：，
當時，有最大值160元，
答：最大值為160元．
考點要求
新課標要求
考查頻次
命題預測
解分式方程
能解可化為一元一次方程的分式方程
10年9考
中考中本考點考查內(nèi)容以分式方程解法、分式方程含參問題、分式方程的應(yīng)用題為主，既有單獨考查，也有和一次函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合考察，年年考查，分值為10分左右，預計2025年各地中考還將繼續(xù)考查分式方程解法、分式方程含參問題（較難）、分式方程的應(yīng)用題，為避免丟分，學生應(yīng)扎實掌握．
分式方程的應(yīng)用
能根據(jù)具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性
10年連續(xù)考查
燃油車
油箱容積：40升
油價：7.5元/升
續(xù)航里程：m千米
每千米行駛費用：元
純電動汽車
電池容量：80千瓦時
電價：0.55元/千瓦時
續(xù)航里程：m千米
每千米行駛費用：________元

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