構(gòu)建知識(shí)體系
考點(diǎn)梳理
1. 等式的基本性質(zhì)
(1)性質(zhì)1：同加減：等式兩邊加(或減去)同一個(gè)數(shù)(或式子)，結(jié)果仍相等，即如果 a＝b，那么 a±c ＝① 解方程中的移項(xiàng)
(2)性質(zhì)2：同乘除：等式兩邊乘同一個(gè)數(shù)，或除以同一個(gè)不為0的數(shù)，結(jié)果仍相等，即如果a＝b，那么② ＝bc解方程中的去分母；如果a＝b(c≠0)，那么③ ＝bc 解方程中的系數(shù)化為1
2. 一元一次方程及其解法
(1)一元一次方程：兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程
(2)解題步驟：去分母→去括號(hào)→移項(xiàng)→合并同類(lèi)項(xiàng)→系數(shù)化為1
3. 二元一次方程組及其解法(6年2考)
(1)基本思想：二元一次方程組一元一次方程
(2)解法：①代入消元法：當(dāng)方程組中某個(gè)方程中的未知數(shù)的系數(shù)是1或－1時(shí)，選用此方法較簡(jiǎn)單；
②加減消元法：當(dāng)方程組中同一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相同或互為相反數(shù)時(shí)，選用此方法較簡(jiǎn)單
4. *三元一次組方程及其解法
通過(guò)“代入”或“加減”進(jìn)行消元，把“三元”化為“二元”，使解三元一次方程組轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組，進(jìn)而再轉(zhuǎn)化為解一元一次方程，這與解二元一次方程組的思路相同
5. 一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用(6年2考)
(1)利潤(rùn)問(wèn)題：售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×折扣；銷(xiāo)售額＝④ ×銷(xiāo)量；利潤(rùn)＝⑤ －成本；利潤(rùn)率＝利潤(rùn)成本×100％
(2)行程問(wèn)題：①基本量間的關(guān)系：⑥ ＝速度×?xí)r間；
②相遇問(wèn)題：總路程＝甲走的路程⑦ 乙走的路程；
③追及問(wèn)題：同地不同時(shí)出發(fā)：前者走的路程⑧ 追者走的路程；
同時(shí)不同地出發(fā)：前者走的路程＋兩地間的距離⑨ 追者走的路程
(3)列方程(組)解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答
練考點(diǎn)
1. 下列判斷正確的是( )
A. 若a＝b，則a－2＝b＋2
B. 若a2＝b3，則2a＝3b
C. 若a＝b，則a2＝b2
D. 若ac＝bc，則a＝b
2. 解方程：2(x－1)－3＝x.
3. 解方程組x＋y=42x－y=5.
4. 若共有x名學(xué)生，分成y個(gè)學(xué)習(xí)小組.若每組10人，則還差5人；若每組9人，還余下3人.若求冬令營(yíng)學(xué)生的人數(shù)，所列的方程組為 .
高頻考點(diǎn)
考點(diǎn)1 解一次方程(組)(6年2考)
例1 (人教七上例題改編)解方程：2x+12－x3＝1.
【答題模板】
解：去分母，得 ，
去括號(hào)，得 ，
移項(xiàng)，得 ，
合并同類(lèi)項(xiàng)，得 ，
系數(shù)化為1，得 .
例2 (北師七上習(xí)題改編)用下列方法解方程組5x＋y=33x－2y=7.
方法一(代入消元法)： 方法二(加減消元法)：
變式1 (人教七上習(xí)題改編)關(guān)于x的一元一次方程3x＋m＝7的解為x＝2，則m的值為( )
A. 1 B. －1 C. 6 D. －6
變式2 (2023朝陽(yáng)改編)已知關(guān)于x，y的方程組5x＋y＝a，3x－2y=2a+1的解滿足x－y＝3，則a的值為 .
考點(diǎn)2 一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用(6年2考)
例3 端午節(jié)是我國(guó)入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗.某超市在端午節(jié)前計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌粽子進(jìn)行銷(xiāo)售.
(1)該超市采購(gòu)員發(fā)現(xiàn)，2盒A品牌粽子和1盒B品牌粽子共需97元，1盒A品牌粽子和2盒B品牌粽子共需86元，求A，B兩種品牌粽子每盒進(jìn)價(jià)各為多少元？
該超市購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌粽子若干盒進(jìn)行銷(xiāo)售，若A品牌粽子的售價(jià)比B品牌粽子的售價(jià)貴15元，且7盒A品牌粽子和10盒B品牌粽子售價(jià)相同，求A，B兩種品牌粽子每盒售價(jià)各為多少元？
該超市按照(1)中的進(jìn)價(jià)購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌粽子共200盒，再按照(2)中的售價(jià)全部售出，共獲利2 500元，求購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌粽子各多少盒？
(4)端午節(jié)當(dāng)天超市開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，A，B兩種品牌粽子按(2)中的售價(jià)打相同的折扣銷(xiāo)售，節(jié)日當(dāng)天購(gòu)買(mǎi)20盒A品牌粽子和20盒B品牌粽子一共只需1 360元，求A，B兩種品牌粽子是按原價(jià)的幾折銷(xiāo)售？
真題及變式
命題點(diǎn)1 一次方程(組)及其解法(6年2考)
1. (2021廣東11題4分)二元一次方程組x+2y＝－22x＋y=2的解為 .
2. [2020廣東21(1)題4分]已知關(guān)于x，y的方程組ax+23y＝－103x＋y=4與x－y=2x＋by=15的解相同，求a，b的值.
命題點(diǎn)2 一次方程(組)的實(shí)際應(yīng)用(6年2考)
3. (2022廣東19題9分)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代的數(shù)學(xué)專(zhuān)著，幾名學(xué)生要湊錢(qián)購(gòu)買(mǎi)1本.若每人出8元，則多了3元；若每人出7元，則少了4元.問(wèn)學(xué)生人數(shù)和該書(shū)單價(jià)各是多少？
拓展訓(xùn)練
4. (2024陜西)星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進(jìn)行一次家庭衛(wèi)生大掃除.根據(jù)這次大掃除的任務(wù)量，若小峰單獨(dú)完成，需4 h；若爸爸單獨(dú)完成，需2 h.當(dāng)天，小峰先單獨(dú)打掃了一段時(shí)間后，去參加籃球訓(xùn)練，接著由爸爸單獨(dú)完成了剩余的打掃任務(wù)，小峰和爸爸這次一共打掃了3 h，求這次小峰打掃了多長(zhǎng)時(shí)間.
新考法
第5題圖
5. “九宮圖”傳說(shuō)是遠(yuǎn)古時(shí)代洛河中的一個(gè)神龜背上的圖案，故又稱(chēng)“龜背圖”.觀察圖①，我們可以歸納出“九宮圖”中各數(shù)字之間的關(guān)系，即九宮圖中每行、每列及對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都相等.同圖①的規(guī)律，那么在圖②中，mn＝ .
6. 如圖，巴桑家客廳的電視背景墻是由10塊形狀大小相同的長(zhǎng)方形墻磚砌成.
(1)求一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)和寬；
(2)求電視背景墻的面積.
第6題圖
請(qǐng)完成分層作業(yè)本第8～9頁(yè)
考點(diǎn)精講
①b±c ②ac ③ac ④單價(jià) ⑤銷(xiāo)售收入
⑥路程 ⑦＋ ⑧＝ ⑨＝
練考點(diǎn)
1. C
2. 解：2x－2－3＝x，
2x－x＝2＋3，
x＝5.
3. 方法一：代入消元法
解：令x＋y=4①2x－y=5②，
由①得x＝4－y③，
將③代入②中，得2(4－y)－y＝5，
化簡(jiǎn)得8－3y＝5，
解得y＝1，
將y＝1代入③中，得x＝3，
∴方程組的解為x=3y=1.
一題多解法
方法二：加減消元法
解：令x＋y=4①2x－y=5②，
①＋②得3x＋y－y＝9，
解得x＝3，
將x＝3代入①中，解得y＝1，
∴方程組的解為x=3y=1.
4. 10y＝x+59y＝x－3
高頻考點(diǎn)
例1 解：3(2x＋1)－2x＝6，6x＋3－2x＝6，6x－2x＝6－3，4x＝3，x＝34.
例2 解：方法一：
令5x＋y=3①3x－2y=7②，
由①得，y＝3－5x③，
將③代入②中，得3x－2(3－5x)＝7，
解得x＝1，
將x＝1代入③中，得y＝－2，
∴原方程組的解為x=1y＝－2；
方法二：
令5x＋y=3①3x－2y=7②，
①×2，得10x＋2y＝6③，
②＋③，得3x＋10x＝7＋6，
解得x＝1，
將x＝1代入①中，得5×1＋y＝3，
解得y＝－2，
∴原方程組的解為x=1y＝－2.
變式1 A 【解析】∵x＝2是關(guān)于x的一元一次方程3x＋m＝7的解，∴3×2＋m＝7，解得m＝1.
變式2 3 【解析】∵x－y＝3，∴y＝x－3.令5x＋y＝a①3x－2y=2a+1②，將y＝x－3分別代入①，②中，得6x－3=a③x+5=2a④，6×④－③，得12a－a＝30＋3，解得a＝3.
例3 解：(1)設(shè)A品牌粽子的進(jìn)價(jià)為x元/盒，B品牌粽子的進(jìn)價(jià)為y元/盒，
根據(jù)題意可得2x＋y=97x+2y=86，
解得x=36y=25，
答：A品牌粽子的進(jìn)價(jià)為36元/盒，B品牌粽子的進(jìn)價(jià)為25元/盒；
(2)設(shè)A品牌粽子的售價(jià)為a元/盒，B品牌粽子的售價(jià)為b元/盒，
根據(jù)題意可得a=15+b7a=10b，
解得a=50b=35，
答：A品牌粽子的售價(jià)為50元/盒，B品牌粽子的售價(jià)為35元/盒；
(3)設(shè)購(gòu)進(jìn)A品牌粽子m盒，則購(gòu)進(jìn)B品牌粽子(200－m)盒，
根據(jù)題意可得(50－36)m＋(35－25)(200－m)＝2 500，
解得m＝125，
∴200－125＝75，
答：購(gòu)進(jìn)A品牌粽子125盒，購(gòu)進(jìn)B品牌粽子75盒；
(4)設(shè)A，B兩種品牌粽子按原價(jià)的n％銷(xiāo)售，
根據(jù)題意可得20×(50＋35)×n％＝1 360，
解得n＝80，
答：A，B兩種品牌粽子是按原價(jià)的八折銷(xiāo)售.
真題及變式
1. x=2y＝－2 【解析】令x+2y＝－2①2x＋y=2②，①×2得2x＋4y＝－4③，③－②得3y＝－6，解得y＝－2，將y＝－2代入①中，得x＋2×(－2)＝－2，解得x＝2，∴方程組的解為x=2y＝－2.
2. 解：由題意得x＋y=4x－y=2，
解得x=3y=1.
把x=3y=1代入ax＋23y＝－103，
得3a＋23＝－103，
解得a＝－43，(2分)
把x=3y=1代入x＋by＝15，得3＋b＝15，
解得b＝12.(4分)
3. 解：設(shè)學(xué)生人數(shù)有x人，該書(shū)單價(jià)為y元，
由題意可得8x－3=y7x+4=y，(4分)
解得x=7y=53，
答：學(xué)生人數(shù)有7人，該書(shū)單價(jià)為53元.(9分)
一題多解法
解：設(shè)學(xué)生人數(shù)有x人，
由題意得8x－3＝7x＋4，(3分)
解得x＝7，(5分)
則該書(shū)單價(jià)為8×7－3＝53(元)，(8分)
答：學(xué)生人數(shù)有7人，該書(shū)單價(jià)為53元.(9分)
4. 解：設(shè)這次小峰打掃了x h，則爸爸打掃了(3－x)h，
根據(jù)題意，得14x＋12(3－x)＝1，
解得x＝2，
答：這次小峰打掃了2 h.
5. －1 【解析】∵九宮圖中每行、每列及對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)之和都相等，7－3+m＝－5+1+7n+1－3=－5+1+7，解得m＝－1n=5，∴mn＝(－1)5＝－1.
6. 解：(1)設(shè)一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為x m，寬為y m.
依題意得x＋y=1.52x＝x+4y，
解得x=1.2y=0.3，
答：一塊長(zhǎng)方形墻磚的長(zhǎng)為1.2 m，寬為0.3 m；
(2)電視背景墻的面積為2×1.2×1.5＝3.6(m2)，
答：電視背景墻的面積為3.6 m2.

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